【同步輔導】2021高中數(shù)學北師大版選修2-2導學案：《復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算》

第3課時復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算1.理解復數(shù)的代數(shù)形式的四則運算,并能用運算律進行復數(shù)的四則運算.2.能依據(jù)所給運算的形式選擇恰當?shù)姆椒ㄟM行復數(shù)的四則運算.兩個多項式可以進行乘除法運算,例如(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd;對于兩個復數(shù)a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),能像多項式一樣進行乘除法運算嗎?問題1:結合多項式乘法運算的特點,說明復數(shù)乘法運算有哪些特點?(1)復數(shù)的乘法與多項式的乘法類似,只是在運算過程中把i2換成,然后實部、虛部分別合并;

(2)兩個復數(shù)的積仍是一個復數(shù);(3)復數(shù)的乘法與實數(shù)的乘法一樣,滿足交換律、結合律及安排律;(4)在復數(shù)范圍內(nèi),實數(shù)范圍內(nèi)正整數(shù)指數(shù)冪的運算律仍舊成立.問題2:什么是共軛復數(shù)?一般地,當兩個復數(shù)的時,這兩個復數(shù)叫作互為共軛復數(shù).

問題3:怎樣進行復數(shù)除法運算?復數(shù)的除法首先是寫成分數(shù)的形式,再利用兩個互為共軛復數(shù)的積是一個實數(shù),將分母化為實數(shù),從而化成一個具體的復數(shù).問題4:復數(shù)的四種基本運算法則(1)加法:(a+bi)+(c+di)=;

(2)減法:(a+bi)-(c+di)=;

(3)乘法:(a+bi)(c+di)=;

(4)除法:(a+bi)÷(c+di)=a+bic+di=1.i是虛數(shù)單位,復數(shù)z=2+3i-3+2i的虛部是A.0 B.-1 C.1 D.22.復數(shù)z1=3+i,z2=1-i,則z=z1·z2在復平面內(nèi)的對應點位于().A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限3.已知復數(shù)z與(z+2)2-8i均是純虛數(shù),則z=.

4.設復數(shù)z滿足i(z+1)=-3+2i(i為虛數(shù)單位),試求z的實部.復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算計算:(1)(1-i)(1+i)+(-1+i);(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i;(3)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i)(4)(1-i)3.復數(shù)代數(shù)形式的除法運算計算:(1)(1+2i)÷(3-4i);(2)(1+(3)(12+32i)4+復數(shù)四則運算的綜合應用已知|z|2+(z+z-)i=3-i2+i計算:(1)(1-i)2;(2)(-12+32i)(32+12i計算:(1)(1(2)a+bi若關于x的方程x2+(t2+3t+tx)i=0有純虛數(shù)根,求實數(shù)t的值和該方程的根.1.復數(shù)z=(2-i)2i(i為虛數(shù)單位),則A.25 B.41 C.5 D.52.i是虛數(shù)單位,則復數(shù)2i1+i+(1+2i)2等于(A.-2-5i B.5-2i C.5+2i D.-2+5i3.若復數(shù)z滿足z(1+i)=2,則復數(shù)z=.

4.計算:3-4i4+3i+(2022年·山東卷)已知a,b∈R,i是虛數(shù)單位.若a-i與2+bi互為共軛復數(shù),則(a+bi)2=().A.5-4i B.5+4i C.3-4i D.3+4i考題變式(我來改編):

答案第3課時復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算學問體系梳理問題1:(1)-1問題2:實部相等,虛部互為相反數(shù)問題4:(1)(a+c)+(b+d)i(2)(a-c)+(b-d)i(3)(ac-bd)+(ad+bc)i(4)ac+bdc基礎學習溝通1.B∵z=2+3ii(2+3i)=1i=-i,2.Dz=z1·z2=(3+i)(1-i)=4-2i.3.-2i設z=bi(b∈R),則(z+2)2-8i=(bi+2)2-8i=4-b2+(4b-8)i,依題意得4-b2=0所以z=-2i.4.解:(法一)∵i(z+1)=-3+2i,∴z=-3+2ii-1=-(-3i-2)-1=1故z的實部是1.(法二)令z=a+bi(a、b∈R),由i(z+1)=-3+2i,得i[(a+1)+bi]=-3+2i,-b+(a+1)i=-3+2i,∴a+1=2,∴a=1.故z的實部是1.重點難點探究探究一:【解析】(1)(1-i)(1+i)+(-1+i)=1-i2-1+i=1+i.(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i=(-2+10i+i-5i2)(3-4i)+2i=(-2+11i+5)(3-4i)+2i=(3+11i)(3-4i)+2i=(9-12i+33i-44i2)+2i=53+21i+2i=53+23i.(3)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i)=(4-i)(6-2i)+(7-i)(4-3i)=(24-8i-6i+2i2)+(28-21i-4i+3i2)=47-39i.(4)(1-i)3=13-3×12×i+3×1×i2-i3=1-3i-3-(-i)=-2-2i.【小結】三個或三個以上的復數(shù)相乘可按從左到右的挨次運算或利用結合律運算,混合運算與實數(shù)的運算挨次一樣,對于能夠使用乘法公式計算的兩個復數(shù)的乘法,用乘法公式更簡捷,如平方差公式、立方差公式、完全平方公式等.探究二:【解析】(1)(1+2i)÷(3-4i)=1+2=(1+2i=-15+25(2)(法一)原式=1+3=4i4i(法二)原式=[(=4i4i(3)原式=[(12+32i)2]2=(-12+32i)2-1+3i4i=-12-=(-12-34)+(14-3【小結】進行復數(shù)的運算,除了應用四則運算法則之外,對于一些簡潔算式要知道其結果,這樣可便利計算,簡化運算過程,比如1i=-i,(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,1+i1-i=i,1-i1+i=-i,a+bi=i(運算方法要機敏,有時要奇妙運用相應實數(shù)系中的乘法公式,比如第(2)題中的解法一.探究三:【解析】原方程化簡為|z|2+(z+z-)i=1-i設z=x+yi(x,y∈R),代入上述方程得x2+y2+2xi=1-i,∴x2+y2=1,2x=-【小結】對于此類復數(shù)方程我們一般是設出復數(shù)的代數(shù)形式z=x+yi(x,y∈R),然后將其代入給定方程,利用復數(shù)四則運算將其整理,然后利用復數(shù)相等的充要條件來求解.思維拓展應用應用一:(1)(1-i)2=1-2i+i2=-2i.(2)(-12+32i)(32+12=[(-34-34)+(34-14)=(-32+12i)(=(-32-12)+(12-=-1+32+應用二:(1)(1-=7+i3+4i==25-(2)a+bib-ai+a-b應用三:設x=ai(a∈R且a≠0)是方程x2+(t2+3t+tx)i=0的一個純虛根,將其代入方程可得(ai)2+(t2+3t+tai)i=0,∴-a2-at+(t2+3t)i=0,由復數(shù)相等的充要條件可得-a2-at=0,t2基礎智能檢測1.Cz=3-4ii=-4-