【-學(xué)案導(dǎo)學(xué)設(shè)計】2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)(北師大版-必修4)課時作業(yè)2.6第二章-平面向量

§6平面對量數(shù)量積的坐標(biāo)表示課時目標(biāo)1．把握數(shù)量積的坐標(biāo)表示，會進行平面對量數(shù)量積的坐標(biāo)運算．2．能運用數(shù)量積的坐標(biāo)表示求兩個向量的夾角，會用數(shù)量積的坐標(biāo)表示推斷兩個平面對量的垂直關(guān)系，會用數(shù)量的坐標(biāo)表示求向量的模．1．平面對量數(shù)量積的坐標(biāo)表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝__________________．即兩個向量的數(shù)量積等于______________________．2．兩個向量垂直的坐標(biāo)表示設(shè)兩個非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?____________________．3．平面對量的模(1)向量模公式：設(shè)a＝(x1，y1)，則|a|＝__________________．(2)兩點間距離公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝________________________．4．向量的夾角公式設(shè)兩非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ，則cosθ＝____________________＝______________________________________________________．一、選擇題1．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b與b垂直，則|a|等于A．1B．eq\r(2)C．2D．42．平面對量a與b的夾角為60°，a＝(2,0)，|b|＝1，則|a＋2b|等于()A．eq\r(3)B．2eq\r(3)C．4D．123．已知a，b為平面對量，a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，則a，b夾角的余弦值等于A．eq\f(8,65)B．－eq\f(8,65)C．eq\f(16,65)D．－eq\f(16,65)4．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c滿足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，則c等于()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)，\f(7,3)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,3)，－\f(7,9)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，\f(7,9)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,9)，－\f(7,3)))5．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5eq\r(2)，則|b|等于()A．eq\r(5)B．eq\r(10)C．5D．256．已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b與a－2b垂直，則實數(shù)λ的值為()A．－eq\f(1,7)B．eq\f(1,7)C．－eq\f(1,6)D．eq\f(1,6)二、填空題7．已知a＝(3，eq\r(3))，b＝(1,0)，則(a－2b)·b＝_______________________________．8．若平面對量a＝(1，－2)與b的夾角是180°，且|b|＝4eq\r(5)，則b＝________．9．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，則a在b方向上的射影為______．10．已知a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a與b的夾角α為鈍角，則λ的取值范圍為________．三、解答題11．已知a與b同向，b＝(1,2)，a·b＝10．(1)求a的坐標(biāo)；(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c．12．已知三個點A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，(1)求證：AB⊥AD；(2)要使四邊形ABCD為矩形，求點C的坐標(biāo)并求矩形ABCD兩對角線所成的銳角的余弦值．力氣提升13．已知向量a＝(1,1)，b＝(1，a)，其中a為實數(shù)，O為原點，當(dāng)此兩向量夾角在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,12)))變動時，a的范圍是()A．(0,1)B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\r(3)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))∪(1，eq\r(3))D．(1，eq\r(3))14．若等邊△ABC的邊長為2eq\r(3)，平面內(nèi)一點M滿足eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up6(→))，則eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝________．1．向量的坐標(biāo)表示簡化了向量數(shù)量積的運算．為利用向量法解決平面幾何問題以及解析幾何問題供應(yīng)了完善的理論依據(jù)和有力的工具支持．2．應(yīng)用數(shù)量積運算可以解決兩向量的垂直、平行、夾角以及長度等幾何問題，在學(xué)習(xí)中要不斷地提高利用向量工具解決數(shù)學(xué)問題的力氣．§6平面對量數(shù)量積的坐標(biāo)表示答案學(xué)問梳理1．x1x2＋y1y2相應(yīng)坐標(biāo)乘積的和2．x1x2＋y1y2＝03．(1)eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))(2)eq\r(x2－x12＋y2－y12)4．eq\f(a·b,|a||b|)eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))作業(yè)設(shè)計1．C[由(2a－b)·b＝0，則2a·b－|b|∴2(n2－1)－(1＋n2)＝0，n2＝3．∴|a|＝eq\r(1＋n2)＝2．]2．B[a＝(2,0)，|b|＝1，∴|a|＝2，a·b＝2×1×cos60°＝1．∴|a＋2b|＝eq\r(a2＋4×a·b＋4b2)＝2eq\r(3)．]3．C[∵a＝(4,3)，∴2a＝(8,6)．又2a＋b＝(3,18)，∴b＝(－5,12∴a·b＝－20＋36＝16．又|a|＝5，|b|＝13，∴cos〈a，b〉＝eq\f(16,5×13)＝eq\f(16,65)．]4．D[設(shè)c＝(x，y)，由(c＋a)∥b有－3(x＋1)－2(y＋2)＝0，①由c⊥(a＋b)有3x－y＝0，②聯(lián)立①②有x＝－eq\f(7,9)，y＝－eq\f(7,3)，則c＝(－eq\f(7,9)，－eq\f(7,3))．]5．C[∵|a＋b|＝5eq\r(2)，∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b＝5＋2×10＋b2＝(5eq\r(2))2，∴|b|＝5．]6．A[由a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，知λa＋b＝(－3λ－1,2λ)，a－2b＝(－1,2)．又(λa＋b)·(a－2b)＝0，∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－eq\f(1,7)．]7．1解析a－2b＝(1，eq\r(3))，(a－2b)·b＝1×1＋eq\r(3)×0＝1．8．(－4,8)解析由題意可設(shè)b＝λa＝(λ，－2λ)，λ<0，則|b|2＝λ2＋4λ2＝5λ2＝80，∴λ＝－4，∴b＝－4a＝(－4,89．eq\f(\r(65),5)解析設(shè)a、b的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(2×－4＋3×7,\r(22＋32)\r(－42＋72))＝eq\f(\r(5),5)，故a在b方向上的射影為|a|cosθ＝eq\r(13)×eq\f(\r(5),5)＝eq\f(\r(65),5)．10．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))∪(2，＋∞)解析由題意cosα＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－2λ－1,\r(5)·\r(λ2＋1))，∵90°<α<180°，∴－1<cosα<0，∴－1<eq\f(－2λ－1,\r(5)·\r(λ2＋1))<0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2λ－1<0，,－2λ－1>－\r(5λ2＋5)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ>－\f(1,2)，,2λ＋12<5λ2＋5，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ>－\f(1,2)，,λ≠2，))∴λ的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))∪(2，＋∞)．11．解(1)設(shè)a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)，則有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．(2)∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝1×2＋2×4＝10，∴a(b·c)＝0a(a·b)c＝10×(2，－1)＝(20，－10)．12．(1)證明∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,1)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－3,3)，又∵eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝1×(－3)＋1×3＝0，∴eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(AD,\s\up6(→))，即AB⊥AD．(2)解eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(AD,\s\up6(→))，四邊形ABCD為矩形，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))．設(shè)C點坐標(biāo)為(x，y)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,1)，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(x＋1，y－4)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝1，,y－4＝1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝5.))∴C點坐標(biāo)為(0,5)．由于eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2,4)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－4,2)，所以eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝8＋8＝16，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(5)，|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝2eq\r(5)．設(shè)eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(BD,\s\up6(→))夾角為θ，則cosθ＝eq\f(\o(AC,\s\up6(→))·\o(BD,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|·|\o(BD,\s\up6(→))|)＝eq\f(16,20)＝eq\f(4,5)>0，∴解得矩形的兩條對角線所成的銳角的余弦值為eq\f(4,5)．13．C[已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,1)，即A(1,1)如圖所示，當(dāng)點B位于B1和B2時，a與b夾角為eq\f(π,12)，即∠AOB1＝∠AOB2＝eq\f(π,12)，此時，∠B1Ox＝eq\f(π,4)－eq\f(π,12)＝eq\f(π,6)，∠B2Ox＝eq\f(π,4)＋eq\f(π,12)＝eq\f(π,3)，故B1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),3)))，B2(1，eq