【高考聚焦】2021屆高考數(shù)學(xué)(理)一輪復(fù)習(xí)題庫(梳理自測(cè)+重點(diǎn)突破+能力提升)：9.5古典概型

第2課時(shí)古典概型1．理解古典概型及其概率計(jì)算公式．2．會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)大事所含的基本大事數(shù)及大事發(fā)生的概率．[對(duì)應(yīng)同學(xué)用書P155]【梳理自測(cè)】1．一枚硬幣連擲2次，恰有一次正面朝上的概率為()A.eq\f(2,3)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)2．甲、乙、丙三名同學(xué)站成一排，甲站在中間的概率是()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2,3)3．甲乙兩同學(xué)每人有兩本書，把四本書混放在一起，每人隨機(jī)拿回兩本，則甲同學(xué)拿到一本自己書一本乙同學(xué)書的概率是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,4)4．從1，2，3，4這四個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，則其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的兩倍的概率是________．5．從{1，2，3，4，5}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為a，從{1，2，3}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為b，則a＜b的概率為________．答案：1.D2.C3.B4.eq\f(1,3)5.eq\f(1,5)◆以上題目主要考查了以下內(nèi)容：(1)基本大事的特點(diǎn)①任何兩個(gè)基本大事是互斥的．②任何大事(除不行能大事)都可以表示成基本大事的和．(2)古典概型①定義具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．a(chǎn)．試驗(yàn)中全部可能消滅的基本大事只有有限個(gè)．b．每個(gè)基本大事消滅的可能性相等．②概率公式：P(A)＝eq\f(A包含的基本大事的個(gè)數(shù),基本大事的總數(shù))．【教導(dǎo)迷津】1．一條規(guī)律從集合的角度去看待概率，在一次試驗(yàn)中，等可能消滅的全部結(jié)果組成一個(gè)集合I，基本大事的個(gè)數(shù)n就是集合I的元素個(gè)數(shù)，大事A是集合I的一個(gè)包含m個(gè)元素的子集．故P(A)＝eq\f(card（A）,card（I）)＝eq\f(m,n).2．兩個(gè)特征一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型，在于這個(gè)試驗(yàn)是否具有古典概型的兩個(gè)特征——有限性和等可能性，只有同時(shí)具備這兩個(gè)特點(diǎn)的概型才是古典概型．3．兩種方法(1)列舉法：適合于較簡潔的試驗(yàn)．(2)樹狀圖法：適合于較為簡單的問題中的基本大事的探求．[對(duì)應(yīng)同學(xué)用書P155]考向一簡潔古典概型的概率(2022·遼寧省大連市調(diào)研)某校為了解同學(xué)的視力狀況，隨機(jī)抽查了一部分同學(xué)的視力，將調(diào)查結(jié)果分組，分組區(qū)間為(3.9，4.2]，(4.2，4.5]，…，(5.1，5.4]．經(jīng)過數(shù)據(jù)處理，得到如下頻率分布表：分組頻數(shù)頻率(3.9，4.2]30.06(4.2，4.5]60.12(4.5，4.8]25x(4.8，5.1]yz(5.1，5.4]20.04合計(jì)n1.00(1)求頻率分布表中未知量n，x，y，z的值；(2)從樣本中視力在(3.9，4.2]和(5.1，5.4]的全部同學(xué)中隨機(jī)抽取兩人，求兩人的視力差的確定值低于0.5的概率．【審題視點(diǎn)】依頻數(shù)、頻率之間的關(guān)系求n，x，y，z，列舉全部隨機(jī)大事的結(jié)果，由古典概型求概率．【典例精講】(1)由頻率分布表可知，樣本容量為n，由eq\f(2,n)＝0.04，得n＝50.∴x＝eq\f(25,50)＝0.5，y＝50－3－6－25－2＝14，z＝eq\f(y,n)＝eq\f(14,50)＝0.28.(2)記樣本中視力在(3.9，4.2]的三人為a，b，c，在(5.1，5.4]的兩人為d，e.由題意，從五人中隨機(jī)抽取兩人，全部可能的結(jié)果有：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10種．記大事A表示“兩人的視力差的確定值低于0.5”，則大事A包含的可能的結(jié)果有：(a，b)，(a，c)，(b，c)，(d，e)，共4種．所以P(A)＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).故兩人的視力差的確定值低于0.5的概率為eq\f(2,5).【類題通法】依據(jù)公式P(A)＝eq\f(m,n)進(jìn)行概率計(jì)算時(shí)，關(guān)鍵是求出n，m的值，在求n值時(shí)應(yīng)留意這n種結(jié)果必需是等可能的，對(duì)一些比較簡潔的概率問題，求m，n的值只需列舉即可．1．(2022·武漢市適應(yīng)性訓(xùn)練)編號(hào)為A1，A2，…，A10的10名同學(xué)參與投籃競(jìng)賽，每人投20個(gè)球，各人投中球的個(gè)數(shù)記錄如下：同學(xué)編號(hào)A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10投中個(gè)數(shù)41311171069151112(1)將投中個(gè)數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)的人數(shù)填入表的空格內(nèi)；區(qū)間[0，5)[5，10)[10，15)[15，20)人數(shù)(2)從投中個(gè)數(shù)在區(qū)間[10，15)內(nèi)的同學(xué)中隨機(jī)抽取2人，①用同學(xué)的編號(hào)列出全部可能的抽取結(jié)果；②求這2人投中個(gè)數(shù)之和大于23的概率．解析：(1)依題意得，投中個(gè)數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)的人數(shù)如下表：區(qū)間[0，5)[5，10)[10，15)[15，20)人數(shù)1252(2)①投中個(gè)數(shù)在區(qū)間[10，15)內(nèi)的同學(xué)編號(hào)為A2，A3，A5，A9，A10，從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)，全部可能的抽取結(jié)果為(A2，A3)，(A2，A5)，(A2，A9)，(A2，A10)，(A3，A5)，(A3，A9)，(A3，A10)，(A5，A9)，(A5，A10)，(A9，A10)，共10種．②將“從投中個(gè)數(shù)在區(qū)間[10，15)內(nèi)的同學(xué)中隨機(jī)抽取2人，這2人投中個(gè)數(shù)之和大于23”記為大事B，大事B的全部可能的結(jié)果為(A2，A3)，(A2，A9)，(A2，A10)，共3種．所以P(B)＝eq\f(3,10).考向二有放回抽樣與無放回抽樣(2022·大連模擬)盒中有3只燈泡，其中2只是正品，1只是次品．(1)從中取出1只，然后放回，再取1只，求①連續(xù)2次取出的都是正品所包含的基本大事總數(shù)；②兩次取出的一個(gè)為正品，一個(gè)為次品所包含的基本大事總數(shù)；(2)從中一次任取出2只，求2只都是正品的概率．【審題視點(diǎn)】從中取一只再放回，屬于有放回抽樣，每次取燈泡的總數(shù)不變，還是3只，可列舉大事個(gè)數(shù)，屬于古典概型．【典例精講】(1)將燈泡中2只正品記為a1，a2，1只次品記為b1，則第一次取1只，其次次取1只，基本大事總數(shù)為9個(gè)，a1a1a2b1a2a1a2b1b1a1a2b1①連續(xù)2次取出的都是正品所包含的基本大事為(a1，a1)(a1，a2)(a2，a1)(a2，a2)共4個(gè)基本大事；②兩次取出的一個(gè)為正品，一個(gè)為次品所包含的基本大事為(a1，b1)(a2，b1)(b1，a1)(b1，a2)共4個(gè)基本大事．(2)“從中一次任取2只”得到的基本大事總數(shù)是3，即a1a2，a1b1，a2b1，“2只都是正品”的基本大事數(shù)是1，所以其概率為P＝eq\f(1,3).【類題通法】有“放回抽樣”，被抽取的元素總數(shù)不變，同一個(gè)元素可以被重復(fù)抽?。盁o放回抽樣”，被抽取的元素總數(shù)隨抽取的次數(shù)漸漸削減，同一個(gè)元素不會(huì)被重復(fù)抽取．2．甲、乙兩校各有3名老師報(bào)名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若從甲校和乙校報(bào)名的老師中各任選1名，寫出全部可能的結(jié)果，并求選出的2名老師性別相同的概率；(2)若從報(bào)名的6名老師中任選2名，寫出全部可能的結(jié)果，并求選出的2名老師來自同一學(xué)校的概率．解析：(1)甲校兩男老師分別用A、B表示，女老師用C表示；乙校男老師用D表示，兩女老師分別用E、F表示．從甲校和乙校報(bào)名的老師中各任選1名的全部可能的結(jié)果為：(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，共9種，從中選出的2名老師性別相同的結(jié)果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，共4種．所以選出的2名老師性別相同的概率為P＝eq\f(4,9).(2)從甲校和乙校報(bào)名的老師中任選2名的全部可能的結(jié)果為：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共15種．從中選出的2名老師來自同一學(xué)校的結(jié)果為：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共6種，所以選出的2名老師來自同一學(xué)校的概率為P＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).考向三古典概型與互斥(對(duì)立)大事概率的綜合應(yīng)用(2022·山東萊蕪模擬)中國共產(chǎn)黨第十八次全國代表大會(huì)期間，某報(bào)刊媒體要選擇兩名記者去進(jìn)行專題采訪，現(xiàn)有記者編號(hào)分別為1，2，3，4，5的五名男記者和編號(hào)分別為6，7，8，9的四名女記者．要從這九名記者中一次隨機(jī)選出兩名，每名記者被選到的概率是相等的，用符號(hào)(x，y)表示大事“抽到的兩名記者的編號(hào)分別為x、y，且x<y”．(1)共有多少個(gè)基本大事？并列舉出來；(2)求所抽取的兩名記者的編號(hào)之和小于17但不小于11或都是男記者的概率．【審題視點(diǎn)】列舉全部基本大事從中找出，滿足11≤x＋y＜17且x＜y或“x＜y≤5”的個(gè)數(shù)，用古典概型求概率．【典例精講】(1)共有36個(gè)基本大事，列舉如下：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，7)，(1，8)，(1，9)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，7)，(2，8)，(2，9)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(3，7)，(3，8)，(3，9)，(4，5)，(4，6)，(4，7)，(4，8)，(4，9)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，(6，7)，(6，8)，(6，9)，(7，8)，(7，9)，(8，9)，共36個(gè)．(2)記大事“所抽取的記者的編號(hào)之和小于17但不小于11”為大事A，即大事A為“x，y∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，且11≤x＋y<17，其中x<y”，由(1)可知大事A共含有15個(gè)基本大事，列舉如下：(2，9)，(3，8)，(3，9)，(4，7)，(4，8)，(4，9)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，(6，7)，(6，8)，(6，9)，(7，8)，(7，9)，共15個(gè)．“都是男記者”記作大事B，則大事B為“x<y≤5”，包含：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10個(gè)．故P(A)＋P(B)＝eq\f(15,36)＋eq\f(10,36)＝eq\f(25,36).【類題通法】(1)本題屬于求較簡單大事的概率問題，解題關(guān)鍵是理解題目的實(shí)際含義，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為概率模型．必要時(shí)將所求大事轉(zhuǎn)化成彼此互斥的大事的和，或者先求其對(duì)立大事的概率，進(jìn)而再用互斥大事的概率加法公式或?qū)α⒋笫碌母怕使角蠼猓?2)在求基本大事總數(shù)和所求大事包含的基本大事數(shù)時(shí)，要保證計(jì)數(shù)的全都性，就是在計(jì)算基本大事數(shù)時(shí)，都按排列數(shù)求，或都按組合數(shù)求．3．一個(gè)袋中裝有四個(gè)外形大小完全相同的球，球的編號(hào)分別為1，2，3，4.(1)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球，求取出的球的編號(hào)之和不大于4的概率；(2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為n，求n<m＋2的概率．解析：(1)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球，其一切可能的結(jié)果組成的基本大事有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6個(gè)．從袋中取出的球的編號(hào)之和不大于4的大事共有1和2，1和3兩個(gè)．因此所求大事的概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).(2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，登記編號(hào)為m，放回后，再從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，登記編號(hào)為n，其一切可能的結(jié)果(m，n)有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16個(gè)．又滿足條件n≥m＋2的大事為(1，3)，(1，4)，(2，4)，共3個(gè)，所以滿足條件n≥m＋2的大事的概率為P1＝eq\f(3,16).故滿足條件n<m＋2的大事的概率為1－P1＝1－eq\f(3,16)＝eq\f(13,16).[對(duì)應(yīng)同學(xué)用書P157]古典概型的規(guī)范解答(2021·高考江西卷)小波以玩耍方式打算是去打球、唱歌還是去下棋．玩耍規(guī)章為：以O(shè)為起點(diǎn)，再從A1，A2，A3，A4，A5，A6(如圖所示)這6個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)分別為終點(diǎn)得到兩個(gè)向量，記這兩個(gè)向量的數(shù)量積為X，若X>0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X<0就去下棋．(1)寫出數(shù)量積X的全部可能取值；(2)分別求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．【審題視點(diǎn)】(1)依據(jù)題意得出向量的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出其數(shù)量積；(2)依據(jù)(1)的結(jié)果求出各數(shù)量積的兩個(gè)向量的個(gè)數(shù)，應(yīng)用古典概型概率的求法求解．【思維流程】列舉X的全部結(jié)果．分類寫出數(shù)量積X＝－2，－1，0，1的各種情形(基本大事)．依據(jù)古典概型求概率．依據(jù)對(duì)立大事求概率．【解答過程】(1)X的全部可能取值為－2，－1，0，1.(2)數(shù)量積為－2的有eq\o(OA2,\s\up6(→))·eq\o(OA5,\s\up6(→))，共1種；數(shù)量積為－1的有eq\o(OA1,\s\up6(→))·eq\o(OA5,\s\up6(→))，eq\o(OA1,\s\up6(→))·eq\o(OA6,\s\up6(→))，eq\o(OA2,\s\up6(→))·eq\o(OA4,\s\up6(→))，eq\o(OA2,\s\up6(→))·eq\o(OA6,\s\up6(→))，eq\o(OA3,\s\up6(→))·eq\o(OA4,\s\up6(→))，eq\o(OA3,\s\up6(→))·eq\o(OA5,\s\up6(→))，共6種；數(shù)量積為0的有eq\o(OA1,\s\up6(→))·eq\o(OA3,\s\up6(→))，eq\o(OA1,\s\up6(→))·eq\o(OA4,\s\up6(→))，eq\o(OA3,\s\up6(→))·eq\o(OA6,\s\up6(→))，eq\o(OA4,\s\up6(→))·eq\o(OA6,\s\up6(→))，共4種；數(shù)量積為1的有eq\o(OA1,\s\up6(→))·eq\o(OA2,\s\up6(→))，eq\o(OA2,\s\up6(→))·eq\o(OA3,\s\up6(→))，eq\o(OA4,\s\up6(→))·eq\o(OA5,\s\up6(→))，eq\o(OA5,\s\up6(→))·eq\o(OA6,\s\up6(→))，共4種．故全部可能的狀況共有15種．所以小波去下棋的概率為p1＝eq\f(7,15)；由于去唱歌的概率為p2＝eq\f(4,15)，所以小波不去唱歌的概率p＝1－p2＝1－eq\f(4,15)＝eq\f(11,15).【規(guī)范建議】(1)為了列舉各種結(jié)果，把向量終點(diǎn)A1，A2，A3，A4，A5，A6的坐標(biāo)寫出來，分別計(jì)算數(shù)量積，再分類整理，寫在卷面上，可使解題過程規(guī)范，條理清楚．(2)“不去唱歌”，即“X≠0”的大事數(shù)較多，故利用對(duì)立大事的求法．1．(2021·高考新課標(biāo)Ⅰ卷)從1，2，3，4中任取2個(gè)不同的數(shù)，則取出的2個(gè)數(shù)之差的確定值為2的概率是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,6)解析：選B.用列舉法求出大事的個(gè)數(shù)，再利用古典概型求概率．從1，2，3，4中任取2個(gè)不同的數(shù)，有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，共12種情形，而滿足條件“2個(gè)數(shù)之差的確定值為2”的只有(1，3)，(2，4)，(3，1)，(4，2)，共4種情形，所以取出的2個(gè)數(shù)之差的確定值為2的概率為eq\f(4,12