【優(yōu)教通-同步備課】高中數(shù)學(xué)(北師大版)必修五教案：2.2-三角形中的幾何計(jì)算-參考教案1

§2三角形中的幾何計(jì)算教學(xué)目的：1進(jìn)一步生疏正、余弦定理內(nèi)容；2能夠應(yīng)用正、余弦定理進(jìn)行邊角關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化；3能夠利用正、余弦定理推斷三角形的外形；4能夠利用正、余弦定理證明三角形中的三角恒等式教學(xué)重點(diǎn)：利用正、余弦定理進(jìn)行邊角互換時(shí)的轉(zhuǎn)化方向教學(xué)難點(diǎn):三角函數(shù)公式變形與正、余弦定理的聯(lián)系授課類型：新授課課時(shí)支配：1課時(shí)教具：多媒體、實(shí)物投影儀教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)引導(dǎo)式1啟發(fā)同學(xué)在證明三角形問題或者三角恒等式時(shí)，要留意正弦定理、余弦定理的適用題型與所證結(jié)論的聯(lián)系，并留意特殊正、余弦關(guān)系的應(yīng)用，比如互補(bǔ)角的正弦值相等，互補(bǔ)角的余弦值互為相反數(shù)等；2引導(dǎo)同學(xué)總結(jié)三角恒等式的證明或者三角形外形的推斷，重在發(fā)揮正、余弦定理的邊角互換作用教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：正弦定理：余弦定理：，二、講解范例：例1在任一△ABC中求證：證：左邊===0=右邊例2在△ABC中，已知，，B=45求A、C及c解一：由正弦定理得：∵B=45<90即b<a∴A=60或120當(dāng)A=60時(shí)C=75當(dāng)A=120時(shí)C=15解二：設(shè)c=x由余弦定理將已知條件代入，整理：解之：當(dāng)時(shí)從而A=60，C=75當(dāng)時(shí)同理可求得：A=120，C=15例3在△ABC中，BC=a,AC=b,a,b是方程的兩個(gè)根，且2cos(A+B)=1求（1）角C的度數(shù)（2）AB的長(zhǎng)度（3）△ABC的面積解：（1）cosC=cos[(A+B)]=cos(A+B)=∴C=120（2）由題設(shè)：∴AB2=AC2+BC22AC?BC?osC即AB=（3）S△ABC=例4如圖，在四邊形ABCD中，已知ADCD,AD=10,AB=14,BDA=60,BCD=135求BC的長(zhǎng)解：在△ABD中，設(shè)BD=x則即整理得：解之：（舍去）由余弦定理：∴例5△ABC中，若已知三邊為連續(xù)正整數(shù)，最大角為鈍角，1求最大角;2求以此最大角為內(nèi)角，夾此角兩邊之和為4的平行四邊形的最大面積解：1設(shè)三邊且∵C為鈍角∴解得∵∴或3但時(shí)不能構(gòu)成三角形應(yīng)舍去當(dāng)時(shí)2設(shè)夾C角的兩邊為S當(dāng)時(shí)S最大=例6在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D為BC中點(diǎn)，且AD＝4，求BC邊長(zhǎng)分析：此題所給題設(shè)條件只有邊長(zhǎng)，應(yīng)考慮在假設(shè)BC為ｘ后，建立關(guān)于ｘ的方程而正弦定理涉及到兩個(gè)角，故不行用此時(shí)應(yīng)留意余弦定理在建立方程時(shí)所發(fā)揮的作用由于D為BC中點(diǎn)，所以BD、DC可表示為，然用利用互補(bǔ)角的余弦互為相反數(shù)這一性質(zhì)建立方程解：設(shè)BC邊為ｘ，則由D為BC中點(diǎn)，可得BD＝DC＝，在△ADB中，cosADB＝在△ADC中，cosADC＝又∠ADB＋∠ADC＝180°∴cosADB＝cos（180°－∠ADC）＝－cosADC∴解得，ｘ＝2,所以，BC邊長(zhǎng)為2評(píng)述：此題要啟發(fā)同學(xué)留意余弦定理建立方程的功能，體會(huì)互補(bǔ)角的余弦值互為相反數(shù)這一性質(zhì)的應(yīng)用，并留意總結(jié)這一性質(zhì)的適用題型另外，對(duì)于本節(jié)的例2，也可考慮上述性質(zhì)的應(yīng)用來求解sinA，思路如下：由三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)可得，設(shè)BD＝5ｋ，DC＝3ｋ，則由互補(bǔ)角∠ADC、∠ADB的余弦值互為相反數(shù)建立方程，求出BC后，再結(jié)合余弦定理求出cosA，再由同角平方關(guān)系求出sinA三、課堂練習(xí)：1半徑為1的圓內(nèi)接三角形的面積為0．25，求此三角形三邊長(zhǎng)的乘積解：設(shè)△ABC三邊為a，b，c則Ｓ△ABC＝∴又，其中R為三角形外接圓半徑∴,∴abc＝4RS△ABC＝4×1×0．25＝1所以三角形三邊長(zhǎng)的乘積為1評(píng)述：由于題設(shè)條件有三角形外接圓半徑，故聯(lián)想正弦定理：，其中R為三角形外接圓半徑，與含有正弦的三角形面積公式Ｓ△ABC＝發(fā)生聯(lián)系，對(duì)abc進(jìn)行整體求解2在△ABC中，已知角B＝45°，D是BC邊上一點(diǎn)，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB解：在△ADC中，cosC＝又0＜C＜180°，∴sinC＝在△ABC中，∴AB＝評(píng)述：此題在求解過程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求邊，要求同學(xué)留意正、余弦定理的綜合運(yùn)用3在△ABC中，已知cosA＝，sinB＝，求cosC的值解：∵cosA＝＜＝cos45°，0＜A＜π∴45°＜A＜90°,∴sinA＝∵sinB＝＜＝sin30°，0＜B＜π∴0°＜B＜30°或150°＜B＜180°若B＞150°，則B＋A＞180°與題意不符∴0°＜B＜30°cosB＝∴cos（A＋B）＝cosA·cosB－sinA·sinB＝又C＝180°－（A＋B）∴cosC＝cos［180°－（A＋B）］＝－cos（A＋B）＝－評(píng)述：此題要求同學(xué)在利用同角的正、余弦平方關(guān)系時(shí)，應(yīng)依據(jù)已知的三角函數(shù)值具體確定角的范圍，以便對(duì)正負(fù)進(jìn)行取舍，在確定角的范圍時(shí)，通常是與已知角接近的特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行比較四、小結(jié)通過本節(jié)學(xué)習(xí)，我們進(jìn)一步生疏了三角函數(shù)公式及三角形的有關(guān)性質(zhì)，綜合運(yùn)用了正、余弦定理求解三角形的有關(guān)問題，要求大家留意常見解題方法與解題技巧的總結(jié)，不斷提高三角形問題的求解力氣五、課后作業(yè)：六、板書設(shè)計(jì)（略）七、課后記及備用資料：1正、余弦定理的綜合運(yùn)用余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理，若將正弦定理代入得：sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA這是只含有三角形三個(gè)角的一種關(guān)系式，利用這確定理解題，簡(jiǎn)捷明快，下面舉例說明之［例1］在△ABC中，已知sin2B－sin2C－sin2A＝sinAsinC，求B的度數(shù)解：由定理得sin2B＝sin2A＋sin2C－2sinAsinCcosB，∴－2sinAsinCcosB＝sinAsinC∵sinAsinC≠0∴cosΒ＝－∴B＝150°［例2］求sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°的值解：原式＝sin210°＋sin250°＋sin10°sin50°在sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA中，令B＝10°，C＝50°，則A＝120°sin2120°＝sin210°＋sin250°－2sin10°sin50°cos120°＝sin210°＋sin250°＋sin10°sin50°＝（）2＝［例3］在△ABC中，已知2cosBsinC＝sinA，試判定△ABC的外形解：在原等式兩邊同乘以sinA得：2cosBsinAsinC＝sin2A，由定理得sin2A＋sin2C－sin2Β＝sin2A，∴sin2C＝sin2B∴B＝C故△ABC是等腰三角形2一題多證在△ABC中已知a＝2bcosC，求證：△ABC為等腰三角形證法一：欲證△ABC為等腰三角形可證明其中有兩角相等，因而在已知條件中化去邊元素，使只剩含角的三角函數(shù)由正弦定理得a＝∴2bcosC＝，即2cosC·sinB＝sinA＝sin（B＋C）＝sinBcosC＋cosBsinC∴sinBcosC－cosBsinC＝0即sin（B－C）＝0，∴B－C＝ｎπ（ｎ∈Ｚ）∵B、C是三角形的內(nèi)角，∴B＝C，