《優(yōu)化探究》2022屆高三數(shù)學人教A版理科一輪復習提素能高效訓練-第8章-平面解析幾何-8-2

A組考點基礎演練一、選擇題1．直線2x＋my＝2m－4與直線mx＋2y＝mA．m＝2 B．m＝－2C．m＝0 D．m∈R解析：由題意得，2m＋2m＝0，得m＝0.故選C.答案：C2．已知直線l1：x＋2y－1＝0與直線l2：mx－y＝0平行，則實數(shù)m的取值為()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C．2 D．－2解析：由于直線l1：x＋2y－1＝0與直線l2：mx－y＝0平行，所以eq\f(m,1)＝eq\f(－1,2)≠0，解得m＝－eq\f(1,2)，故選A.答案：A3．過點A(1,2)且與原點距離最大的直線方程為()A．x＋2y－5＝0 B．2x＋y－4＝0C．x＋3y－7＝0 D．3x＋y－5＝0解析：當所求直線l與線段OA垂直時，原點到直線的距離最大．∵kOA＝2，∴kl＝－eq\f(1,2).∴所求直線方程為：y－2＝－eq\f(1,2)(x－1)．即x＋2y－5＝0.答案：A4．(2021年南寧模擬)與直線3x－4y＋5＝0關于x軸對稱的直線方程為()A．3x＋4y＋5＝0 B．3x＋4y－5＝0C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0解析：直線3x－4y＋5＝0關于x軸對稱的直線方程為3x－4(－y)＋5＝0.即3x＋4y＋5＝0.答案：A5．若動點A，B分別在直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上運動，則AB的中點M到原點的距離的最小值為()A.eq\r(2) B．2eq\r(2)C．3eq\r(2) D．4eq\r(2)解析：由題意知AB的中點M的集合為到直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0的距離都相等的直線，則點M到原點的距離的最小值為原點到該直線的距離．設點M所在直線的方程為l：x＋y＋m＝0，依據(jù)平行線間的距離公式得，eq\f(|m＋7|,\r(2))＝eq\f(|m＋5|,\r(2))，即|m＋7|＝|m＋5|，所以m＝－6，即l：x＋y－6＝0，依據(jù)點到直線的距離公式，得點M到原點的距離的最小值為eq\f(|－6|,\r(2))＝3eq\r(2).答案：C二、填空題6．(2022年高考江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中，若曲線y＝ax2＋eq\f(b,x)(a，b為常數(shù))過點P(2，－5)，且該曲線在點P處的切線與直線7x＋2y＋3＝0平行，則a＋b的值是________．解析：∵y＝ax2＋eq\f(b,x)∴y′＝2ax－eq\f(b,x2)，由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＋\f(b,2)＝－5，,4a－\f(b,4)＝－\f(7,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2.))∴a＋b＝－3.答案：－37．若兩平行直線3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之間的距離為eq\f(2\r(13),13)，則eq\f(c＋2,a)的值為________．解析：由題意得，eq\f(6,3)＝eq\f(a,－2)≠eq\f(c,－1)，∴a＝－4，c≠－2.則6x＋ay＋c＝0可化為3x－2y＋eq\f(c,2)＝0.∴eq\f(2\r(13),13)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\f(c,2)＋1,\r(13))))，∴解得c＝2或c＝－6∴eq\f(c＋2,a)＝1或eq\f(c＋2,a)＝－1.答案：±18．將一張坐標紙折疊一次，使得點(0,2)與點(4,0)重合，點(7,3)與點(m，n)重合，則m＋n＝________.解析：設A(0,2)，B(4,0)，則線段AB的中點為(2,1)，直線AB的斜率kAB＝eq\f(0－2,4－0)＝－eq\f(1,2).則線段AB的垂直平分線方程為y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.又點(7,3)與點(m，n)重合，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n－3,m－7)＝－\f(1,2)，,2×\f(7＋m,2)－\f(3＋n,2)－3＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋2n－13＝0，,2m－n＋5＝0.))解之得m＝eq\f(3,5)且n＝eq\f(31,5)，∴m＋n＝eq\f(34,5).答案：eq\f(34,5)三、解答題9．已知直線l1：x＋a2y＋1＝0和直線l2：(a2＋1)x－by＋3＝0(a，b∈R)．(1)若l1∥l2，求b的取值范圍；(2)若l1⊥l2，求|ab|的最小值．解析：(1)由于l1∥l2，所以－b－(a2＋1)a2＝0，即b＝－a2(a2＋1)＝－a4－a2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,2)))2＋eq\f(1,4)，由于a2≥0，所以b≤0.又由于a2＋1≠3，所以b≠－6.故b的取值范圍是(－∞，－6)∪(－6,0]．(2)由于l1⊥l2，所以(a2＋1)－a2b＝0，明顯a≠0，所以ab＝a＋eq\f(1,a)，|ab|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))≥2，當且僅當a＝±1時等號成立，因此|ab|的最小值為2.10．已知直線l：3x－y＋3＝0，求：(1)點P(4,5)關于l的對稱點；(2)直線x－y－2＝0關于直線l對稱的直線方程．解析：設P(x，y)關于直線l：3x－y＋3＝0的對稱點為P′(x′，y′)．∵kPP′·kl＝－1，即eq\f(y′－y,x′－x)×3＝－1.①又PP′的中點在直線3x－y＋3＝0上，∴3×eq\f(x′＋x,2)－eq\f(y′＋y,2)＋3＝0.②由①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(－4x＋3y－9,5)，③,y′＝\f(3x＋4y＋3,5).④))(1)把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，∴P(4,5)關于直線l的對稱點P′的坐標為(－2,7)．(2)用③④分別代換x－y－2＝0中的x，y，得關于l的對稱直線方程為eq\f(－4x＋3y－9,5)－eq\f(3x＋4y＋3,5)－2＝0，化簡得7x＋y＋22＝0.B組高考題型專練1．(2021年洛陽統(tǒng)考)已知點P(x0，y0)是直線l：Ax＋By＋C＝0外一點，則方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示()A．過點P且與l垂直的直線B．過點P且與l平行的直線C．不過點P且與l垂直的直線D．不過點P且與l平行的直線解析：由于點P(x0，y0)不在直線Ax＋By＋C＝0上，所以Ax0＋By0＋C≠0，所以直線Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0不經(jīng)過點P，排解A、B；又直線Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0與直線l：Ax＋By＋C＝0平行，排解C，故選D.答案：D2．P點在直線3x＋y－5＝0上，且P到直線x－y－1＝0的距離為eq\r(2)，則P點坐標為()A．(1,2) B．(2,1)C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)解析：設P(x,5－3x)，則d＝eq\f(|x－5＋3x－1|,\r(12＋－12))＝eq\r(2)，|4x－6|＝2,4x－6＝±2，即x＝1或x＝2，故P(1,2)或(2，－1)．答案：C3．設曲線y＝eq\f(x＋1,x－1)在點(3,2)處的切線與直線ax＋y＋1＝0垂直，則a＝()A．2 B．－2C．－eq\f(1,2) D.eq\f(1,2)解析：∵y′＝eq\f(x－1－x－1,x－12)＝eq\f(－2,x－12)，∴曲線在點(3,2)處的切線的斜率k＝y(tǒng)′eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3))＝－eq\f(1,2)，又該切線與直線ax＋y＋1＝0垂直，∴－a·k＝－1，∴a＝－2，故選B.答案：B4．已知直線l過點P(3,4)且與點A(－2,2)，B(4，－2)等距離，則直線l的方程為()A．2x＋3y－18＝0B．2x－y－2＝0C．3x－2y＋18＝0或x＋2y＋2＝0D．2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0解析：由題意可知所求直線斜率存在，故設所求直線方程為y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，由已知，得eq\f(|－2k－2＋4－3k|,\r(1＋k2))＝eq\f(|4k＋2＋4－3k|,\r(1＋k2))，∴k＝2或－eq\f(2,3).∴所求直線l的方程為2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.答案：D5．在直角坐標系中，A(4,0)，B(0,4)，從點P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后，再射到直線OB上，最終經(jīng)直線OB反射后又回到P點，則光線所經(jīng)過的路程是()A．2eq\r(10) B．6C．3eq\r(3) D．2eq\r(5)解析：如圖，設點P關于直線AB，y軸的對稱點分別為D，C，易求得D(4,2)，C(－2,0)，則△PMN的周長＝|PM|＋|MN|＋|PN|＝|DM|＋|MN|＋|NC|.由對稱性，D，M，N，C共線，∴|CD|即為所求，由兩點間的距離公式得|CD|＝eq\r(40)＝2eq\r(10).答案：A6．若三條直線y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一點，則m的值為________．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,x＋y＝3))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2.))∴點(1,2)滿足方程mx＋2y＋5＝0，即m×1＋2×2＋5＝0，∴m＝－9.答案：－97．已知兩條平行直線，l1：mx＋8y＋n＝0與l2：2x＋my－1＝0間的距離為eq\r(5)，則直線l1的方程為________．解析：∵l1∥l2，∴eq\f(m,2)＝eq\f(8,m)≠eq\f(n,－1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝4，,n≠－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－4，,n≠2.))①當m＝4時，直線l1的方程為4x＋8y＋n＝0，把l2的方程寫成4x＋8y－2＝0，∴eq\f(|n＋2|,\r(16＋64))＝eq\r(5)，解得n＝－22或18.故所求直線的方程為2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0.②當m＝－4時，直線l1的方程為4x－8y－n＝0，l2的方程為4x－8y－2＝0，∴eq\f(|－n＋2|,\r(16＋64))＝eq\r(5)，解得n＝－18或22.故所求直線的方程為2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0.答案：2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝08．(2021年廈門調研)若直線m被兩平行線l1：x－y＋1＝0與l2：x－y＋3＝0所截得的線段的長為2eq\r(2)，則m的傾斜角可以是：①15°；②30°