2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之三角形

第1頁（共1頁）2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之三角形一．選擇題（共10小題）1．在學(xué)習(xí)了《勾股定理》一課后，小明同學(xué)對于它的證明方式非常好奇，并動手操作，完成了其中一些證明并給出了示意圖．請你根據(jù)示意圖幫助小明同學(xué)判斷，一定不能完成定理證明的是（）A． B． C． D．2．已知關(guān)于x的不等式組x-a＜02x+1≥8，至少有兩個整數(shù)解，且存在以2A．0個 B．1個 C．2個 D．3個3．將一副三角板按如圖所示擺放，使含30°角的三角板的斜邊與含45°角的三角板的一條直角邊平行，則∠α的角度為（）A．75° B．105° C．110° D．120°4．我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”如圖所示，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．若大正方形面積為136，小正方形面積為16，則tanθ的值為（）A．53 B．35 C．43 5．已知數(shù)軸上點A，B，C，D對應(yīng)的數(shù)字分別為﹣1，1，x，7，點C在線段BD上且不與端點重合，若線段AB，BC，CD能圍成三角形，則x的取值范圍是（）A．1＜x＜7 B．2＜x＜6 C．3＜x＜5 D．3＜x＜46．如圖，直線MN∥PQ，等腰直角三角板ABC的底角頂點A落在PQ上，直角頂點C落在MN上，若∠BCM＝10°，則∠PAB的度數(shù)為（）A．70° B．65° C．60° D．55°7．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分別以各邊為直徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學(xué)史上稱為“希波克拉底月牙”，當(dāng)AC＝4，BC＝2時，則陰影部分的面積為（）A．4 B．4π C．8π D．88．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，點E是BC的中點．設(shè)AB＝c，AC＝b，AD＝h，BD＝m，CD＝n，m＜n，且h2＝mn．有以下三個結(jié)論：①c2＝m2+mn；②點A，B，C在以點E為圓心，12③b2+m2＞3h2．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③9．勾股定理是人類數(shù)學(xué)文化的一顆璀璨明珠，是用代數(shù)思想解決幾何問題最重要的工具，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一．如圖，當(dāng)秋千靜止時，踏板B離地的垂直高度BE＝0.7m，將它往前推3m至C處時（即水平距離CD＝3m），隨板離地的垂直高度CF＝2.5m，它的繩索始終拉直，則繩索AC的長是（）A．3.4m B．5m C．4m D．5.5m10．如圖，直線l1∥l2，等腰直角三角形ABC和等邊△DEF在l1，l2之間，點A，D分別在l1，l2上，點B，C，E，F(xiàn)在同一直線上．若∠α＝53°，則∠β的度數(shù)為（）A．50° B．52° C．54° D．56°二．填空題（共5小題）11．如圖，在四邊形ABCD中，BC⊥BD，BC＝2，BD＝4．作AM⊥BD，垂足為點M，連接CM，若AM＝3，則CM+AD的最小值為．12．如圖，把四邊形的某些邊向兩方延長，其它各邊有不在延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凹四邊形．如圖，在凹四邊形ABCD中，BC＝2，AB=23，∠B＝90°，∠C＝30°，∠A＝15°，則凹四邊形ABCD的周長為13．如圖，已知∠BAC＝60°，AD是角平分線且AD＝20，作AD的垂直平分線交AC于點F，作DE⊥AC，則△DEF的周長為．14．如圖，△ABC的頂點都在以邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格格點上，則BC邊上的高等于．15．如圖，BD是△ABC的角平分線，DE⊥BC于點E．若BE＝3，△BDE的面積為1.5，則點D到邊AB的距離為．三．解答題（共5小題）16．如圖，△ABC中，AB＝2AC，點P為BC延長線上一點．（1）若，，求PA的長；（請從信息“①∠PAC＝∠B，②BC＝6，③CP＝2”中選擇兩個分別填入橫線中，將題目補充完整，并完成解答．）（2）在（1）的條件下，當(dāng)AC＝AP時，求△ABC的面積．17．如圖，CA＝CD，∠BCE＝∠ACD，BC＝EC．（1）求證：AB＝DE；（2）若∠A＝25°，∠E＝35°，求∠ECD的度數(shù)．18．如圖，已知△ABC，∠C＝50°，將AB沿著射線BC的方向平移至DE，使E為BC的中點，連接AD，記DE與AC的交點為O．（1）求證：△AOD≌△COE；（2）若AC平分∠BAD，求∠B的度數(shù)．19．某校項目式學(xué)習(xí)小組開展項目活動，過程如下：項目主題：測量某水潭的寬度．問題驅(qū)動：能利用哪些數(shù)學(xué)原理來測量水潭的寬度？組內(nèi)探究：由于水潭中間不易到達(dá)，無法直接測量，需要借助一些工具來測量，比如自制的直角三角形硬紙板，米尺，測角儀，平面鏡等，甚至還可以利用無人機，確定方法后，先畫出測量示意圖，然后進(jìn)行實地測量，并得到具體數(shù)據(jù)，從而計算水潭的寬度．成果展示：下面是同學(xué)們進(jìn)行交流展示時的兩種測量方案：方案方案①方案②測量示意圖測量說明如圖①，測量員在地面上找一點C，在BC連線的中點D處做好標(biāo)記，從點C出發(fā)，沿著與AB平行的直線向前走到點E處，使得點E與點A、D在一條直線上，測出CE的長度如圖②，測量員在地面上找一點C，沿著BC向前走到點D處，使得CD＝AC，沿著AC向前走到點E處，使得CE＝BC，測出D、E兩點之間的距離測量結(jié)果CE＝20m，BD＝CD，CE∥ABAC＝CD，BC＝CE，DE＝20m請你選擇上述兩種方案中的一種，計算水潭的寬度AB．20．將△ABC和△DEF如圖放置．已知AB＝DE，∠D+∠CHF＝180°，AB∥EF，求證：△ABC≌△DEF．

2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之三角形參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．在學(xué)習(xí)了《勾股定理》一課后，小明同學(xué)對于它的證明方式非常好奇，并動手操作，完成了其中一些證明并給出了示意圖．請你根據(jù)示意圖幫助小明同學(xué)判斷，一定不能完成定理證明的是（）A． B． C． D．【考點】勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形的面積．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】C【分析】由正方形面積公式、三角形面積公式以及梯形面積公式分別對各個選項進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A．設(shè)計的圖形中，如下圖，∵c2∴c2＝2ab+a2﹣2ab+b2，∴c2＝a2+b2，∴可完成定理證明，故本選項不符合題意；B．設(shè)計的圖形中，如下圖，∴12∴2ab+c2＝a2+2ab+b2，∴a2+b2＝c2，∴可完成定理證明，故本選項不符合題意；C．設(shè)計的圖形中，不能完成勾股定理的證明，符合題意；D．設(shè)計的圖形中，如下圖，∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADC＝90°，∴△ADC∽△ACB，∴ACAB∴AC2＝AB?AD，∵∠B＝∠B，∠BCA＝∠BDC＝90°，∴△BCA∽△BDC，∴BCBD∴BC2＝AB?BD，∴AC2+BC2＝AB?AD+AB?BD＝AB（AD+BD）＝AB2，即a2+c2＝c2，∴可完成定理證明，故本選項不符合題意．故選：C．【點評】本題考查了勾股定理的證明、正方形面積公式、三角形面積公式以及梯形面積公式，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．已知關(guān)于x的不等式組x-a＜02x+1≥8，至少有兩個整數(shù)解，且存在以2，A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【考點】三角形三邊關(guān)系；解一元一次不等式組；一元一次不等式組的整數(shù)解．【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；三角形；運算能力；推理能力．【答案】B【分析】依據(jù)不等式組至少有兩個整數(shù)解，即可得到a＞5，再根據(jù)存在以2，a，5為邊的三角形，可得3＜a＜7，即可得到結(jié)論．【解答】解：解不等式x﹣a＜0，可得x＜a，解不等式2x+1≥8，可得x≥3.5，∵不等式組至少有兩個整數(shù)解，∴a＞5，又∵存在以2，a，5為邊的三角形，∴3＜a＜7，∴a的取值范圍是5＜a＜7，∴a的整數(shù)解有1個，故選：B．【點評】此題考查的是一元一次不等式組的解法和三角形的三邊關(guān)系的運用，求不等式組的解集應(yīng)遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．3．將一副三角板按如圖所示擺放，使含30°角的三角板的斜邊與含45°角的三角板的一條直角邊平行，則∠α的角度為（）A．75° B．105° C．110° D．120°【考點】等腰直角三角形；平行線的性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ABC的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠α的度數(shù)．【解答】解：∵含30°角的三角板的斜邊與含45°角的三角板的一條直角邊平行，如圖所示：∴∠ABC＝∠A＝45°，∵∠C＝30°，∴∠α＝180°﹣45°﹣30°＝105°，故選：B．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角板中角度的特點，三角形內(nèi)角和定理等，熟練掌握這些知識是解題的關(guān)鍵．4．我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”如圖所示，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．若大正方形面積為136，小正方形面積為16，則tanθ的值為（）A．53 B．35 C．43 【考點】勾股定理的證明；解直角三角形．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力；推理能力．【答案】A【分析】設(shè)小直角三角形的直角邊為a，b，根據(jù)兩個正方形的面積得到4×12ab（a﹣b）2＝136，（a﹣b）2＝16，進(jìn)而推出b＝a﹣4，ab＝60，則可得方程a（a﹣4）＝解方程求出a＝10，則b＝a﹣4＝6，再由正切的定義可得tanθ=a【解答】解：設(shè)小直角三角形的直角邊為a，b，a＞b，大正方形面積為136，小正方形面積為16，∴4×12ab+（a﹣b）2＝136，（a﹣b）2＝∴2ab+（a﹣b）2＝136，a﹣b＝4，∴2ab+16＝136，b＝a﹣4，∴ab＝60，∴a（a﹣4）＝60，解得a＝10或a＝﹣6（舍去），∴b＝a﹣4＝6，∴tanθ=a故選：A．【點評】本題主要考查了求角的正切值，解一元二次方程，解題的是掌握還是得靈活運用．5．已知數(shù)軸上點A，B，C，D對應(yīng)的數(shù)字分別為﹣1，1，x，7，點C在線段BD上且不與端點重合，若線段AB，BC，CD能圍成三角形，則x的取值范圍是（）A．1＜x＜7 B．2＜x＜6 C．3＜x＜5 D．3＜x＜4【考點】三角形三邊關(guān)系；數(shù)軸；解一元一次不等式組．【專題】實數(shù)；一元一次不等式（組）及應(yīng)用；三角形；運算能力．【答案】C【分析】由三角形三邊關(guān)系定理得：x-1+7-x＞2①【解答】解：由點在數(shù)軸上的位置得：AB＝1﹣（﹣1）＝2，BC＝x﹣1，CD＝7﹣x，由三角形三邊關(guān)系定理得：x-不等式①恒成立，由不等式②得：x＞3，由不等式③得：x＜5，∴不等式組的解集是3＜x＜5，故選：C．【點評】本題考查三角形三邊關(guān)系定理，數(shù)軸，解一元一次不等式組，關(guān)鍵是由三角形三邊關(guān)系定理得到一元一次不等式組．6．如圖，直線MN∥PQ，等腰直角三角板ABC的底角頂點A落在PQ上，直角頂點C落在MN上，若∠BCM＝10°，則∠PAB的度數(shù)為（）A．70° B．65° C．60° D．55°【考點】等腰直角三角形；平行線的性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】D【分析】先根據(jù)△ABC是等腰直角三角形可得∠B＝45°，由三角形外角的性質(zhì)得∠BDM＝10°+45°＝55°，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得答案．【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝45°，∵∠BCM＝10°，∵∠BDM＝∠B+∠BCM，∴∠BDM＝10°+45°＝55°，∵M(jìn)N∥PQ，∴∠PAB＝∠BDM＝55°．故選：D．【點評】本題考查平行線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用數(shù)形結(jié)合的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．7．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分別以各邊為直徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學(xué)史上稱為“希波克拉底月牙”，當(dāng)AC＝4，BC＝2時，則陰影部分的面積為（）A．4 B．4π C．8π D．8【考點】勾股定理．【專題】與圓有關(guān)的計算．【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理得到AB2＝AC2+BC2，根據(jù)扇形面積公式計算即可．【解答】解：由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝20，則陰影部分的面積=12×AC×BC+12×π×（AC2）2+12×π=12×2×4+12×π×14×（＝4，故選：A．【點評】本題考查的是勾股定理、扇形面積計算，掌握勾股定理和扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，點E是BC的中點．設(shè)AB＝c，AC＝b，AD＝h，BD＝m，CD＝n，m＜n，且h2＝mn．有以下三個結(jié)論：①c2＝m2+mn；②點A，B，C在以點E為圓心，12③b2+m2＞3h2．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【考點】勾股定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】D【分析】根據(jù)AD⊥BC可得AB2＝BD2+AD2，即c2＝m2+h2，又因為h2＝mn，所以c2＝m2+mn，故①正確；根據(jù)AD⊥BC，h2＝mn，可證△ABD∽△CAD，進(jìn)而∠BAC＝90°，所以點A，B，C在以點E為圓心，12(m+n)為半徑的圓上，故②正確；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)逐一分析解答即可；在Rt△ACD中，AC2＝AD2+CD2，即b2﹣h2＝n2，可得b2+m2﹣3h2＝（b2﹣h2）+（m2﹣2h2）＝n2+m2﹣2mn＝（m﹣n）2，根據(jù)m＜n，可知（m﹣n）2＞0，所以b2+m2＞【解答】解：∵AD＝h，BD＝m，CD＝n，且h2＝mn，∴hm=n∵AD⊥BC于點D，∴∠ADB＝∠CDA＝90°，∴△ABD∽△CAD，∴∠BAD＝∠C，∵∠C+∠CAD＝90°，∴∠BAD+∠CAD＝90°，∴△ABC為直角三角形．在Rt△ABD中，AB2＝BD2+AD2，∴c2＝m2+h2，∵h(yuǎn)2＝mn，∴c2＝m2+mn，故①正確．∵△ABC為直角三角形，∠BAC＝90°，BC＝m+n，∴點A，B，C在以點E為圓心，12(m在Rt△ACD中，AC2＝AD2+CD2，即b2﹣h2＝n2，∴b2+m2﹣3h2＝（b2﹣h2）+（m2﹣2h2）＝n2+m2﹣2mn＝（m﹣n）2，∵m＜n，∴b2+m2﹣3h2＝（m﹣n）2＞0，∴b2+m2＞3h2，故③正確．故選：D．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、直徑所對的圓周角為90°、以及代數(shù)推理等知識．9．勾股定理是人類數(shù)學(xué)文化的一顆璀璨明珠，是用代數(shù)思想解決幾何問題最重要的工具，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一．如圖，當(dāng)秋千靜止時，踏板B離地的垂直高度BE＝0.7m，將它往前推3m至C處時（即水平距離CD＝3m），隨板離地的垂直高度CF＝2.5m，它的繩索始終拉直，則繩索AC的長是（）A．3.4m B．5m C．4m D．5.5m【考點】勾股定理的應(yīng)用．【專題】等腰三角形與直角三角形；應(yīng)用意識．【答案】A【分析】設(shè)AC的長為x，則AB＝AC＝xm，故AD＝AB﹣BD＝（x﹣1.8）m．在直角△ADC中利用勾股定理即可求解．【解答】解：由題意可知，CF＝2.5m，BE＝0.7m，∴BD＝1.8m．設(shè)AC的長為xm，則AB＝AC＝xm，所以AD＝AB﹣BD＝（x﹣1.8）m．在直角△ADC中，AD2+CD2＝AC2，即（x﹣1.8）2+32＝x2，解得：x＝3.4，即繩索AC的長是3.4米．故選：A．【點評】本題考查勾股定理的實際應(yīng)用，找到直角三角形并利用勾股定理構(gòu)造方程是解題的關(guān)鍵．10．如圖，直線l1∥l2，等腰直角三角形ABC和等邊△DEF在l1，l2之間，點A，D分別在l1，l2上，點B，C，E，F(xiàn)在同一直線上．若∠α＝53°，則∠β的度數(shù)為（）A．50° B．52° C．54° D．56°【考點】等邊三角形的性質(zhì)；平行線的性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；等腰三角形與直角三角形；幾何直觀；運算能力；推理能力．【答案】B【分析】延長AC交l2于H，由平行線性質(zhì)得∠CHD＝180°﹣∠α＝127°，由等腰直角三角形性質(zhì)得∠ACB＝∠ECH＝45°，再由等邊三角形性質(zhì)得∠DEF＝∠EDF＝60°，則∠CED＝180°﹣∠DEF＝120°，再由四邊形內(nèi)角和等于360°得∠EDH＝68°，由此可得∠β的度數(shù)．【解答】解：延長AC交l2于H，如下圖所示：∵l1∥l2，∠α＝53°，∴∠CHD+∠α＝180°，∠CHD＝180°﹣∠α＝180°﹣53°＝127°，∵△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC＝90°，∴∠ACB＝∠ECH＝45°，∵△DEF是等邊三角形，∴∠DEF＝∠EDF＝60°，∴∠CED＝180°﹣∠DEF＝120°，在四邊形CEDH中，∠ECH+∠CHD+∠CED+∠EDH＝360°，即45°+127°+120°+∠EDH＝360°，∴∠EDH＝68°，∴∠β＝180°﹣∠EDF﹣∠EDH＝180°﹣60°﹣68°＝52°．故選：B．【點評】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，準(zhǔn)確識圖，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）11．如圖，在四邊形ABCD中，BC⊥BD，BC＝2，BD＝4．作AM⊥BD，垂足為點M，連接CM，若AM＝3，則CM+AD的最小值為41．【考點】勾股定理；解直角三角形；線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短．【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】41．【分析】過D作AM的平行線，過A作BD的平行線，兩平行線交于點E，即AM∥DE，AE∥MD，證明四邊形AMDE是矩形推出CM+AD＝CM+ME；連接CE，則當(dāng)點M與CE、BD的交點重合時，CM+ME最小，從而CM+AD最小，且最小值為線段CE的長；在Rt△EFC中，由勾股定理求出CE的長即可得出結(jié)果．【解答】解：如圖，過D作AM的平行線，過A作BD的平行線，兩平行線交于點E，即AM∥DE，AE∥MD，∴四邊形AMDE是平行四邊形；∵AM⊥BD，∴四邊形AMDE是矩形，∴DE⊥BD，AM＝DE＝3，AD＝ME，∴CM+AD＝CM+ME；連接CE，則當(dāng)點M與CE、BD的交點重合時，CM+ME最小，從而CM+AD最小，且最小值為線段CE的長；過C作CF∥BD，交ED延長線于點F，則∠DBC＝∠BCF＝∠BDF＝90°，∴四邊形BCFD是矩形，∴CF＝BD＝4，∠F＝90°，DF＝BC＝2，∴EF＝DE+DF＝5；在Rt△EFC中，由勾股定理得，CE=∴CM+AD最小值為41，故答案為：41．【點評】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形EFC是解題的關(guān)鍵．12．如圖，把四邊形的某些邊向兩方延長，其它各邊有不在延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凹四邊形．如圖，在凹四邊形ABCD中，BC＝2，AB=23，∠B＝90°，∠C＝30°，∠A＝15°，則凹四邊形ABCD的周長為4【考點】勾股定理；含30度角的直角三角形．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】43【分析】過點D作DE⊥BC于點E，作DF⊥AB于點F，作∠DGB＝30°，設(shè)DE＝x，則CD＝2DE＝2x，由勾股定理求出CE的長，繼而求出BE的長，再證四邊形DEBF是矩形，即可得出DF、BF的長，再求出DG的長、FG的長，由AB的長即可求出x的值，從而求出凹四邊形ABCD的周長．【解答】解：過點D作DE⊥BC于點E，作DF⊥AB于點F，作∠DGB＝30°，設(shè)DE＝x，在Rt△CDE中，∠C＝30°，∴CD＝2DE＝2x，由勾股定理得，CE=∵BC＝2，∴BE＝BC﹣CE=2-∵DE⊥BC，DF⊥AB，∠B＝90°，∴四邊形DEBF是矩形，∴DE＝BF＝x，DF＝BE=2-在Rt△DFG中，∠DGB＝30°，∴DG＝2DF＝2（2-3x）=4-2∵tan60°=FG∴3=∴FG=23∵∠DGB＝30°，∠A＝15°，∴∠ADG＝∠DGB﹣∠A＝30°﹣15°＝15°，∴∠ADG＝∠A，∴AG＝DG=4-∵AB=2∴x+23∴x=∴CD=23-2，DF=3-1，AF在Rt△ADF中，由勾股定理得，AD=∴凹四邊形ABCD的周長為BC+AB+CD+AD＝2+23故答案為：43【點評】本題考查了勾股定理，含30°角的直角三角形，矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．13．如圖，已知∠BAC＝60°，AD是角平分線且AD＝20，作AD的垂直平分線交AC于點F，作DE⊥AC，則△DEF的周長為10+103．【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)．【專題】三角形；推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出DE、根據(jù)勾股定理求出AE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形的周長公式計算，得到答案．【解答】解：∵∠BAC＝60°，AD是角平分線，∴∠DAE＝30°，在Rt△DAE中，AD＝20，∠DAE＝30°，∴DE=12AD＝由勾股定理得：AE=AD2∵AD的垂直平分線交AC于點F，∴FA＝FD，∴△DEF的垂直＝DE+EF+FD＝DE+EF+FA＝DE+AE＝10+103，故答案為：10+103．【點評】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．14．如圖，△ABC的頂點都在以邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格格點上，則BC邊上的高等于53417【考點】勾股定理；三角形的面積．【專題】三角形；幾何直觀；運算能力．【答案】534【分析】根據(jù)圖形可知：AC＝2，AC邊上的高為5，根據(jù)勾股定理可以求得BC的長，再根據(jù)等面積法即可求得BC邊上的高．【解答】解：由圖可得，AC＝2，AC邊上的高為5，BC=3設(shè)BC上的邊上的高為h，則2×52解得h=5故答案為：534【點評】本題考查勾股定理、三角形的面積，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．15．如圖，BD是△ABC的角平分線，DE⊥BC于點E．若BE＝3，△BDE的面積為1.5，則點D到邊AB的距離為1．【考點】角平分線的性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】1．【分析】過點D作DF⊥AB，交AB的延長線于點F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)證得DE＝DF，然后根據(jù)面積公式求出DE即可解答．【解答】解：過點D作DF⊥AB，交AB的延長線于點F，∵BD是△ABC的角平分線，DE⊥BC于點E，∴DE＝DF，∵BE＝3，△BDE的面積為1.5，∴12×3×解得DE＝1，∴DF＝DE＝1．故答案為：1．【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）16．如圖，△ABC中，AB＝2AC，點P為BC延長線上一點．（1）若①∠PAC＝∠B，③CP＝2，求PA的長；（請從信息“①∠PAC＝∠B，②BC＝6，③CP＝2”中選擇兩個分別填入橫線中，將題目補充完整，并完成解答．）（2）在（1）的條件下，當(dāng)AC＝AP時，求△ABC的面積．【考點】三角形的面積．【專題】三角形；圖形的相似；幾何直觀；運算能力．【答案】（1）①∠PAC＝∠B，③CP＝2；PA＝4；（2）315【分析】（1）選擇①∠PAC＝∠B，③CP＝2，證△PAC∽△PBA得CPPA=ACAB，再根據(jù)AB＝2AC即可得PA的長；另外（?。┤绻x擇①∠PAC＝∠B，②BC＝6，由△PAC∽△PBA得PAPB=CPPA=ACAB=12，進(jìn)而得PB＝2PA，PA＝2CP，此時求不出（2）過點A作AD⊥PC于D，則CP＝2，AC＝AP＝4，進(jìn)而得CD＝PD＝1，再由勾股定理求出AD=15，則S△PAC=15，根據(jù)△PAC和△PBA相似且ACAB=12，得S【解答】解：（1）若①∠PAC＝∠B，③CP＝2，求PA的長；∵∠PAC＝∠B，∠P＝∠P，∴△PAC∽△PBA，∴CPPA∵AB＝2AC，∴CPPA∴PA＝2CP＝4；另外（?。┤绻x擇①∠PAC＝∠B，②BC＝6，同理△PAC∽△PBA，∴PAPB∴PB＝2PA，PA＝2CP，此時求不出PA的長；（ⅱ）如果選擇②BC＝6，③CP＝2，此時也求出PA的長．故答案為：①∠PAC＝∠B，③CP＝2．（2）過點A作AD⊥PC于D，如下圖所示：∵在（1）的條件下，∴CP＝2，AP＝4，∴AC＝AP＝4，∴CD＝PD＝1，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD=A∴S△PAC=12×CP×AD=∵△PAC∽△PBA，ACAB∴S△PAC：S△PBA＝1：4，∴S△PAB＝4S△PAC=415∴S△ABC＝S△PAB﹣S△PAC=415【點評】此題主要考查了三角形的面積，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．17．如圖，CA＝CD，∠BCE＝∠ACD，BC＝EC．（1）求證：AB＝DE；（2）若∠A＝25°，∠E＝35°，求∠ECD的度數(shù)．【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的全等；運算能力；推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）由∠BCE＝∠ACD，得∠ACB＝∠DCE，而CA＝CD，BC＝EC，即可根據(jù)“SAS”證明△ACB≌△DCE，則AB＝DE；（2）由全等三角形的性質(zhì)得∠A＝∠D＝25°，而∠E＝35°，則∠ECD＝180°﹣∠D﹣∠E＝120°．【解答】（1）證明：∵∠BCE＝∠ACD，∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，∴∠ACB＝∠DCE，在△ACB和△DCE中，CA=∴△ACB≌△DCE（SAS），∴AB＝DE．（2）解：由（1）得△ACB≌△DCE，∴∠A＝∠D＝25°，∵∠E＝35°，∴∠ECD＝180°﹣∠D﹣∠E＝180°25°﹣35°＝120°，∴∠ECD的度數(shù)是120°．【點評】此題重點考查全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識，推導(dǎo)出∠ACB＝∠DCE，進(jìn)而證明△ACB≌△DCE是解題的關(guān)鍵．18．如圖，已知△ABC，∠C＝50°，將AB沿著射線BC的方向平移至DE，使E為BC的中點，連接AD，記DE與AC的交點為O．（1）求證：△AOD≌△COE；（2）若AC平分∠BAD，求∠B的度數(shù)．【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；平移的性質(zhì)．【專題】圖形的全等；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力．【答案】（1）見解析過程；（2）80°．【分析】（1）由三角形中位線定理可得OA＝OC，EO=12AB＝OD，由“SAS”可證△AOD≌△（2）由全等三角形的性質(zhì)可得∠DAO＝∠C＝50°，由角平分線的定義可得“∠BAD＝2∠DAO＝100°，由平行線的性質(zhì)可求解．【解答】（1）證明：由平移可知，AB＝DE，AB∥DE，∵E為BC的中點，∴OE是△ABC的中位線，∴OA＝OC，EO=12∴OE=12即DO＝OE，在△AOD與△COE中，OA=∴△AOD≌△COE（SAS）；（2）解：∵△AOD≌△COE，∴∠DAO＝∠C＝50°，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠OAD＝50°，∴∠BAD＝2∠DAO＝100°，由平移可知，AD∥BC，∴∠BAD+∠B＝180°，∴∠B＝180°﹣∠BAD＝180°﹣100°＝80°．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的定理，平移的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．19．某校項目式學(xué)習(xí)小組開展項目活動，過程如下：項目主題：測量某水潭的寬度．問題驅(qū)動：能利用哪些數(shù)學(xué)原理來測量水潭的寬度？組內(nèi)探究：由于水潭中間不易到達(dá)，無法直接測量，需要借助一些工具來測量，比如自制的直角三角形硬紙板，米尺，測角儀，平面鏡等，甚至還可以利用無人機，確定方法后，先畫出測量示意圖，然后進(jìn)行實地測量，并得到具體數(shù)據(jù)，從而計算水潭的寬度．成果展示：下面是同學(xué)們進(jìn)行交流展示時的兩種測量方案：方案方案①方案②測量示意圖測量說明如圖①，測量員在地面上找一點C，在BC連線的中點D處做好標(biāo)記，從點C出發(fā)，沿著與AB平行的直線向前走到點E處，使得點E與點A、D在一條直線上，測出CE的長度如圖②，測量員在地面上找一點C，沿著BC向前走到點D處，使得CD＝AC，沿著AC向前走到點E處，使得CE＝BC，測出D、E兩點之間的距離測量結(jié)果CE＝20m，BD＝CD，CE∥ABAC＝CD，BC＝CE，DE＝20m請你選擇上述兩種方案中的一種，計算水潭的寬度AB．【考點】全等三角形的應(yīng)用．【專題】三角形；推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】選擇方案①：先證明∠ABC＝∠C，結(jié)合∠ADB＝∠EDC，DB＝DC，可得△ABD≌△ECD，再利用全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；選擇方案②：直接利用SAS證明△ACB≌△DCE，再利用全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；【解答】解：選擇方案①；∵CE∥AB，∴∠ABC＝∠C，∵∠ADB＝∠EDC，DB＝DC，∴△ABD≌△ECD，∵CE＝20m，∴AB＝CE＝20（m），∴水潭的寬度AB為20m；選擇方案②：∵AC＝DC，BC＝EC，∠ACB＝∠DCE，∴△ACB≌△DCE，∵DE＝20m，∴AB＝DE＝20（m），∴水潭的寬度AB為20m；【點評】本題考查的是全等三角形的應(yīng)用，熟記全等三角形的判定方法與全等三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．20．將△ABC和△DEF如圖放置．已知AB＝DE，∠D+∠CHF＝180°，AB∥EF，求證：△ABC≌△DEF．【考點】全等三角形的判定．【專題】圖形的全等；推理能力．【答案】見解答．【分析】先根據(jù)等角的補角相等得到∠D＝∠CHE，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠B＝∠DEF，∠CHE＝∠A，所以∠A＝∠D，然后利用“ASA”可判斷△ABC≌△DEF．【解答】證明：∵∠D+∠CHF＝180°，∠CHF+∠CHE＝180°，∴∠D＝∠CHE，∵AB∥EF，∴∠B＝∠DEF，∠CHE＝∠A，∴∠A＝∠D，在△ABC和△DEF中，∠A∴△ABC≌△DEF（ASA）．【點評】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的關(guān)鍵；選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件．

考點卡片1．?dāng)?shù)軸（1）數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸．?dāng)?shù)軸的三要素：原點，單位長度，正方向．（2）數(shù)軸上的點：所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，但數(shù)軸上的點不都表示有理數(shù)．（一般取右方向為正方向，數(shù)軸上的點對應(yīng)任意實數(shù)，包括無理數(shù)．）（3）用數(shù)軸比較大?。阂话銇碚f，當(dāng)數(shù)軸方向朝右時，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大．2．解一元一次不等式組（1）一元一次不等式組的解集：幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的不等式組的解集．（2）解不等式組：求不等式組的解集的過程叫解不等式組．（3）一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集．方法與步驟：①求不等式組中每個不等式的解集；②利用數(shù)軸求公共部分．解集的規(guī)律：同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到．3．一元一次不等式組的整數(shù)解（1）利用數(shù)軸確定不等式組的解（整數(shù)解）．解決此類問題的關(guān)鍵在于正確解得不等式組或不等式的解集，然后再根據(jù)題目中對于解集的限制得到下一步所需要的條件，再根據(jù)得到的條件進(jìn)而求得不等式組的整數(shù)解．（2）已知解集（整數(shù)解）求字母的取值．一般思路為：先把題目中除未知數(shù)外的字母當(dāng)做常數(shù)看待解不等式組或方程組等，然后再根據(jù)題目中對結(jié)果的限制的條件得到有關(guān)字母的代數(shù)式，最后解代數(shù)式即可得到答案．4．線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短線段公理兩點的所有連線中，可以有無數(shù)種連法，如折線、曲線、線段等，這些所有的線中，線段最短．簡單說成：兩點之間，線段最短．5．平行線的性質(zhì)1、平行線性質(zhì)定理定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡單說成：兩直線平行，同位角相等．定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補．簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等．簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．2、兩條平行線之間的距離處處相等．6．三角形的面積（1）三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即S△=1（2）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分．7．三角形三邊關(guān)系（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊．（2）在運用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個三角形．（3）三角形的兩邊差小于第三邊．（4）在涉及三角形的邊長或周長的計算時，注意最后要用三邊關(guān)系去檢驗，這是一個隱藏的定時炸彈，容易忽略．8．全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三條邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣兩角及其夾邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等．（4）判定定理4：AAS﹣﹣兩角及其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等．（5）判定定理5：HL﹣﹣斜邊與直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應(yīng)相等，則必須再找一組對邊對應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應(yīng)鄰邊．9．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．10．全等三角形的應(yīng)用（1）全等三角形的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用用全等尋找下一個全等三角形的條件，全等的性質(zhì)和判定往往是綜合在一起應(yīng)用的，這需要認(rèn)真分析題目的已知和求證，分清問題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯(lián)系．（2）作輔助線構(gòu)造全等三角形常見的輔助線做法：①把三角形一邊的中線延長，把分散條件集中到同一個三角形中是解決中線問題的基本規(guī)律．②證明一條線段等于兩條線段的和，可采用“截長法”或“補短法”，這些問題經(jīng)常用到全等三角形來證明．（3）全等三角形在實際問題中的應(yīng)用一般方法是把實際問題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再轉(zhuǎn)化為三角形問題，其中，畫出示意圖，把已知條件轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系是關(guān)鍵．11．角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．注意：①這里的距離是指點到角的兩邊垂線段的長；②該性質(zhì)可以獨立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有時不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)語言：如圖，∵C在∠AOB的平分線上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE12．線段垂直平分線的性質(zhì)（1）定義：經(jīng)過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡稱“中垂線”．（2）性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段．②垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，該點叫外心，并且這一點到三個頂點的距離相等．13．等邊三角形的性質(zhì)（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作為判定一個三角形是否為等邊三角形的方法；②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對而言的．（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且都等于60°．等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的垂直平分線是對稱軸．14．含30度