2025年中考數(shù)學一輪復習之圖形的對稱

第1頁（共1頁）2025年中考數(shù)學一輪復習之圖形的對稱一．選擇題（共10小題）1．下列交通標志圖形中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCO的邊CO，OA分別在x軸、y軸上，點E在邊BC上，將該矩形沿AE折疊，點B恰好落在邊OC上的點F處．若OA＝8，CF＝4，則點E的坐標是（）A．（﹣8，3） B．（﹣8，4） C．（﹣9，3） D．（﹣10，3）3．如圖，在3×3的網(wǎng)格圖中，在空白格中隨機選擇一個打上陰影，則圖中陰影部分構(gòu)成的圖形是軸對稱圖形的概率是（）A．57 B．47 C．37 4．下列圖形中，不是軸對稱圖形的是（）A．①⑤ B．②⑤ C．④⑤ D．①②5．如圖，將面積為2的正方形沿虛線剪開，拼成一個長方形，下列說法正確的是（）A．面積不變，周長變小 B．面積不變，周長變大 C．面積變小，周長不變 D．面積不變，周長不變6．①～⑥是三個三角形的碎片，若組合其中的兩個，恰能拼成一個軸對稱圖形，則應(yīng)選擇（）A．①⑥ B．②④ C．③⑤ D．④⑥7．如圖所示，長方形紙片ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，現(xiàn)將其沿EF對折，使得點C與點A重合，則AF長為（）A．3cm B．125cm C．5cm D．258．在平面直角坐標系中，將點P（﹣3，2）向上平移3個單位長度得到點P′，則點P′關(guān)于x軸的對稱點的坐標為（）A．（﹣3，5） B．（3，﹣5） C．（﹣3，﹣5） D．（3，5）9．如圖，把一長方形紙片ABCD的一角沿AE折疊，點D的對應(yīng)點D'落在∠BAC內(nèi)部．若∠CAE＝2∠BAD′，且∠CAD′＝20°，則∠DAE的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．60°10．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．將△ABC折疊，使AC邊落在AB邊上，展開后得到折痕l，則l的長為（）A．35 B．33 C．5 D二．填空題（共5小題）11．如圖，在△ABC中，∠C＝2∠B，AC＝3，AB＝5，點P是BC邊上一點，連接AP，若將∠C沿直線AP翻折，使得∠C的頂點恰好落在AB邊上的點D處，則PC＝．12．如圖，矩形ABCD的邊AB＝4，BC＝6，點E是AB的中點，點F是BC上一動點（不與B、C重合），把△BEF沿EF對折，使點B與點N重合，則線段DN的最小值為．13．如圖，將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使點A落在△ABC外的A′處，折痕為DE，若∠A＝α，∠BDA′＝β，∠CEA′＝γ，則α，β，γ三者的等量關(guān)系式是．14．如圖，將平行四邊形ABCD沿對角線AC折疊，使點B落在點B'處，若∠1＝∠2＝36°，∠B為．15．如圖，在直角坐標系中，A（﹣2，0），B（0，2），C是OB的中點，點D在第二象限，且四邊形AOCD為矩形，P是CD上一個動點，過點P作PH⊥OA于H，Q是點B關(guān)于點A的對稱點，則BP+PH+HQ的最小值為．三．解答題（共5小題）16．如圖是4×4的正方形網(wǎng)格，請僅用無刻度尺的直尺按要求完成以下作圖．（1）在圖1中作四邊形ABCD，使點C，D在格點上，并且四邊形ABCD為軸對稱圖形．（畫出一種即可）（2）在圖2中的線段AB上作點Q，使PQ最短．（用實線保留作圖痕跡）17．如圖，在邊長為1的正方形的網(wǎng)格中，已知△ABC及直線l．（1）畫出△ABC關(guān)于直線l的對稱圖形△A1B1C1；（2）僅用無刻度直尺在邊AC上找到點E，使得△ABE的面積等于△ABC面積的1318．如圖，在?ABCD中，AE⊥BC，垂足為ECF⊥AD垂足為F．（1）求證：四邊形AECF是矩形．（2）△FCG沿直線FG折疊，點C落在矩形AECF的對角線AC上點H處，若AE＝1，EC＝2，求線段CG的長度．19．如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A（﹣3，5），B（﹣4，1），C（﹣2，3）．（1）畫出△ABC關(guān)于x軸的對稱圖形△A1B1C1．（2）將（1）中的△A1B1C1向右平移6個單位長度，再向上平移2個單位長度后得到的△A2B2C2，畫出△A2B2C2．（3）若線段AC上一點M（a，b）經(jīng)過上述兩次變換后對應(yīng)線段A2C2上的點M2，則點M2的坐標是．20．在?ABCD中，連接AC，∠BAC＝90°，將△ACD沿著對角線AC翻折，使點D落在D′處，連接AD′，AD′與BC交于E，連接BD'．（1）試判斷四邊形ABD'C的形狀，并說明理由；（2）若?ABCD的周長為32，sin∠D＝0.8，求四邊形ABD'C的面積．

2025年中考數(shù)學一輪復習之圖形的對稱參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．下列交通標志圖形中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點】軸對稱圖形．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀．【答案】D【分析】利用軸對稱圖形的概念可得答案．【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；B、不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；C、不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；D、是軸對稱圖形，故此選項符合題意；故選：D．【點評】此題主要考查了軸對稱圖形，關(guān)鍵是掌握如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．2．如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCO的邊CO，OA分別在x軸、y軸上，點E在邊BC上，將該矩形沿AE折疊，點B恰好落在邊OC上的點F處．若OA＝8，CF＝4，則點E的坐標是（）A．（﹣8，3） B．（﹣8，4） C．（﹣9，3） D．（﹣10，3）【考點】翻折變換（折疊問題）；矩形的性質(zhì)；坐標與圖形變化﹣對稱．【專題】平面直角坐標系；矩形菱形正方形；展開與折疊；運算能力．【答案】D【分析】根據(jù)題意可以得到CE、OF的長度，根據(jù)點E在第二象限，從而可以得到點E的坐標．【解答】解：由題意，BC＝OA＝8，設(shè)CE＝a，則BE＝8﹣a，由折疊可得，EF＝BE＝8﹣a，∵∠ECF＝90°，CF＝4，∴a2+42＝（8﹣a）2，解得，a＝3，設(shè)AB＝b，∴AF＝OC＝b，∴OF＝b﹣4，∵∠AOF＝90°，b2＝（b﹣4）2+82，解得b＝10，∴點E的坐標為（﹣10，3），故選：D．【點評】本題考查勾股定理的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)、翻折變化、坐標與圖形變化﹣對稱，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．3．如圖，在3×3的網(wǎng)格圖中，在空白格中隨機選擇一個打上陰影，則圖中陰影部分構(gòu)成的圖形是軸對稱圖形的概率是（）A．57 B．47 C．37 【考點】利用軸對稱設(shè)計圖案；概率公式．【專題】概率及其應(yīng)用；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力．【答案】A【分析】根據(jù)題意，在網(wǎng)格中構(gòu)造出軸對稱圖形，再由簡單概率公式代值求解即可得到答案．【解答】解：圖中共有7個空白格，在空白格中隨機選擇一個打上陰影，則圖中陰影部分構(gòu)成的圖形是軸對稱圖形有5個，如圖所示：∴P（圖中陰影部分構(gòu)成的圖形是軸對稱圖形）=5故選：A．【點評】本題考查簡單概率公式求一步問題概率，涉及網(wǎng)格中作軸對稱圖形，熟記軸對稱圖形的定義及設(shè)計是解決問題的關(guān)鍵．4．下列圖形中，不是軸對稱圖形的是（）A．①⑤ B．②⑤ C．④⑤ D．①②【考點】軸對稱圖形．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀．【答案】A【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．【解答】解：①⑤的圖形都不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；②③④的圖形能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；故選：A．【點評】本題考查軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．5．如圖，將面積為2的正方形沿虛線剪開，拼成一個長方形，下列說法正確的是（）A．面積不變，周長變小 B．面積不變，周長變大 C．面積變小，周長不變 D．面積不變，周長不變【考點】圖形的剪拼．【專題】矩形菱形正方形；運算能力．【答案】B【分析】求出正方形的邊長，周長，面積，長方形的周長，面積即可判斷．【解答】解：∵正方形面積為2，∴正方形的邊長為2，正方形的周長為4×將其分為4個全等的等腰直角三角形后，直角邊為1，拼剪的長方形面積不變，而周長為2×（1+2）＝6，∵6＞∴長方形周長變大．故選：B．【點評】本題考查圖形的拼剪，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．6．①～⑥是三個三角形的碎片，若組合其中的兩個，恰能拼成一個軸對稱圖形，則應(yīng)選擇（）A．①⑥ B．②④ C．③⑤ D．④⑥【考點】利用軸對稱設(shè)計圖案．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；運算能力．【答案】B【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°且利用圖形已知的兩個角的度數(shù)分別求出另一個角的度數(shù)，然后利用等腰三角形定義及等腰三角形是軸對稱圖形判斷即可【解答】解：∵②180°﹣（30°+75°）＝75°，④圖形一個角是75°，∴②和④可以組成一個三角形，且這個三角形是等腰三角形，是軸對稱圖形，∵⑤180°﹣（30°+35°）＝115°，③圖形一個角是115°，∴③和⑤可以組成一個三角形，這個三角形三個角都不相等，故不是軸對稱圖形，∵180°﹣（90°+63°）＝27°，①圖形一個角是27°，∴①和⑥可以組成一個三角形，這個三角形三個角都不相等，故不是軸對稱圖形．故選：B．【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和和軸對稱圖形，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理和軸對稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵；7．如圖所示，長方形紙片ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，現(xiàn)將其沿EF對折，使得點C與點A重合，則AF長為（）A．3cm B．125cm C．5cm D．25【考點】翻折變換（折疊問題）；矩形的性質(zhì)．【專題】矩形菱形正方形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力．【答案】C【分析】設(shè)AF＝xcm，則DF＝（8﹣x）cm，利用矩形紙片ABCD中，現(xiàn)將其沿EF對折，使得點C與點A重合，由勾股定理求AF即可．【解答】解：設(shè)AF＝xcm，則DF＝（8﹣x）cm，∵矩形紙片ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，現(xiàn)將其沿EF對折，使得點C與點A重合，∴DF＝D′F，在Rt△AD′F中，∵AF2＝AD′2+D′F2，∴x2＝42+（8﹣x）2，解得：x＝5（cm）．∴AF＝5cm，故選：C．【點評】本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理，掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．在平面直角坐標系中，將點P（﹣3，2）向上平移3個單位長度得到點P′，則點P′關(guān)于x軸的對稱點的坐標為（）A．（﹣3，5） B．（3，﹣5） C．（﹣3，﹣5） D．（3，5）【考點】關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標；坐標與圖形變化﹣平移．【專題】平面直角坐標系；符號意識．【答案】C【分析】先根據(jù)向上平移3個單位，縱坐標加3，橫坐標不變，求出點P'的坐標，再根據(jù)關(guān)于x軸對稱，橫坐標不變，縱坐標相反解答．【解答】解：∵將點P（﹣3，2）向上平移3個單位得到點P'，∴點P'的坐標是（﹣3，5），∴點P'關(guān)于x軸的對稱點的坐標是（﹣3，﹣5）．故選：C．【點評】本題考查了坐標與圖形變化﹣平移，以及關(guān)于x軸、y軸對稱點的坐標的關(guān)系，熟練掌握并靈活運用是解題的關(guān)鍵．9．如圖，把一長方形紙片ABCD的一角沿AE折疊，點D的對應(yīng)點D'落在∠BAC內(nèi)部．若∠CAE＝2∠BAD′，且∠CAD′＝20°，則∠DAE的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．60°【考點】翻折變換（折疊問題）；角的計算．【專題】線段、角、相交線與平行線；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；運算能力．【答案】B【分析】設(shè)∠BAD′＝x°，則∠CAE＝2x°，得到∠EAD′＝∠CAE+∠CAD′＝2x°+20°，由折疊的性質(zhì)得到：∠DAE＝∠EAD′＝2x°+20°，由矩形的性質(zhì)，得到∠BAD＝90°，得到2x+20+2x+20+x＝90，求出x＝10，即可求出∠DAE＝2x°+20°＝40°．【解答】解：設(shè)∠BAD′＝x°，則∠CAE＝2x°，∴∠EAD′＝∠CAE+∠CAD′＝2x°+20°，由折疊的性質(zhì)得到：∠DAE＝∠EAD′＝2x°+20°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∴∠DAE+∠EAD+∠BAD′＝90°，∴2x+20+2x+20+x＝90，∴x＝10，∴∠DAE＝2x°+20°＝40°．故選：B．【點評】本題考角的計算，折疊的性質(zhì)，關(guān)鍵是由折疊的性質(zhì)得到關(guān)于x的方程．10．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．將△ABC折疊，使AC邊落在AB邊上，展開后得到折痕l，則l的長為（）A．35 B．33 C．5 D【考點】翻折變換（折疊問題）；勾股定理．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力．【答案】A【分析】由勾股定理求出AB＝10，設(shè)DC＝x，運用等積法可求出DC＝3，再用勾股定理求出AD即可．【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．∴AB=設(shè)DC＝x，∵S△∴12解得x＝3．Rt△ACD中，AC2+DC2＝AD2∴AD=∴l(xiāng)的長為35故選：A．【點評】本題考查了翻折變換（折疊問題），勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）11．如圖，在△ABC中，∠C＝2∠B，AC＝3，AB＝5，點P是BC邊上一點，連接AP，若將∠C沿直線AP翻折，使得∠C的頂點恰好落在AB邊上的點D處，則PC＝2．【考點】翻折變換（折疊問題）．【專題】等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力．【答案】2．【分析】先求出BD，再證明出∠B＝∠DPB，得到BD＝PD，由PC＝PD可得到PC的長．【解答】解：∵將∠C沿直線AP翻折，使得∠C的頂點恰好落在AB邊上的點D處，∴PD＝PC，AD＝AC＝3，∠ADP＝∠C，∵AC＝3，AB＝5，∴BD＝AB﹣AD＝AB﹣AC＝5﹣3＝2，∵∠C＝2∠B，∴∠ADP＝2∠B＝∠B+∠DPB，∴∠B＝∠DPB，∴BD＝PD，∴PC＝BD＝2，故答案為：2．【點評】本題考查翻折變換，等腰三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理的推論，推出PC＝PD＝BD是解題的關(guān)鍵．12．如圖，矩形ABCD的邊AB＝4，BC＝6，點E是AB的中點，點F是BC上一動點（不與B、C重合），把△BEF沿EF對折，使點B與點N重合，則線段DN的最小值為210-【考點】翻折變換（折疊問題）；矩形的性質(zhì)．【專題】矩形菱形正方形；展開與折疊；運算能力；推理能力．【答案】210【分析】由勾股定理可求DE的長，由折疊的性質(zhì)可得EN＝BE＝2，則點N在以點E為圓心，BE為半徑的圓上，即可求解．【解答】解：如圖，連接DE，∵AB＝4，點E是AB的中點，∴AE＝2＝BE，∴DE=∵把△BEF沿EF對折，∴EN＝BE＝2，∴點N在以點E為圓心，BE為半徑的圓上，∴點N在線段DE上時，DN有最小值，最小值為210故答案為：210【點評】本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識，確定點N的運動軌跡是解題的關(guān)鍵．13．如圖，將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使點A落在△ABC外的A′處，折痕為DE，若∠A＝α，∠BDA′＝β，∠CEA′＝γ，則α，β，γ三者的等量關(guān)系式是β＝2a+γ．【考點】翻折變換（折疊問題）；三角形內(nèi)角和定理．【專題】三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；運算能力；推理能力．【答案】β＝2a+γ．【分析】根據(jù)三角形的外角得：∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，代入已知可得結(jié)論．【解答】解：由折疊得：∠A＝∠A'，∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，∵∠A＝α，∠CEA′＝γ，∠BDA'＝β，∴∠BDA'＝β＝α+α+γ＝2α+γ，故答案為：β＝2a+γ．【點評】本題考查了翻折變換（折疊問題），三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是關(guān)鍵．14．如圖，將平行四邊形ABCD沿對角線AC折疊，使點B落在點B'處，若∠1＝∠2＝36°，∠B為126°．【考點】翻折變換（折疊問題）；平行四邊形的性質(zhì)．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)翻折可得∠B′AC＝∠BAC，根據(jù)平行四邊形可得DC∥AB，所以∠BAC＝∠DCA，從而可得∠1＝2∠BAC，進而求解．【解答】解：根據(jù)翻折可知：∠B′AC＝∠BAC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，∴∠BAC＝∠DCA，∴∠BAC＝∠DCA＝∠B′AC，∵∠1＝∠B′AC+∠DCA，∴∠1＝2∠BAC＝36°，∴∠BAC＝18°，∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠2＝180°﹣18°﹣36°＝126°，故答案為：126°．【點評】本題考查了翻折變換、平行四邊形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是利用翻折的性質(zhì)．15．如圖，在直角坐標系中，A（﹣2，0），B（0，2），C是OB的中點，點D在第二象限，且四邊形AOCD為矩形，P是CD上一個動點，過點P作PH⊥OA于H，Q是點B關(guān)于點A的對稱點，則BP+PH+HQ的最小值為6．【考點】軸對稱﹣最短路線問題；坐標與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)；矩形的性質(zhì)．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；運算能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】連接CH，根據(jù)A、B的坐標先確定OA和OB的長，證明四邊形PHOC是矩形，得PH＝OC＝BC＝1，再證明四邊形PBCH是平行四邊形，則BP＝CH，在BP+PH+HQ中，PH＝1是定值，所以只要CH+HQ的值最小就可以，當C、H、Q在同一直線上時，CH+HQ的值最小，利用平行四邊形的性質(zhì)求出即可．【解答】解：如圖，連接CH，∵A（﹣2，0），B（0，2），∴OB＝2，OA＝2，∵C是OB的中點，∴BC＝OC＝1，∵∠PHO＝∠COH＝∠DCO＝90°，∴四邊形PHOC是矩形，∴PH＝OC＝BC＝1，∵PH∥BC，∴四邊形PBCH是平行四邊形，∴BP＝CH，∴BP+PH+HQ＝CH+HQ+1，要使CH+HQ的值最小，只需C、H、Q三點共線即可，∵點Q是點B關(guān)于點A的對稱點，∴Q（﹣4，﹣2），又∵點C（0，1），根據(jù)勾股定理可得CQ=此時，BP+PH+HQ＝CH+HQ+PH＝CQ+1＝5+1＝6，即BP+PH+HQ的最小值，6；故答案為：6．【點評】本題考查了一次函數(shù)點的坐標的求法、三角形面積的求法和三點共線及最值，綜合性強，是中考常見題型，正確記憶相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）16．如圖是4×4的正方形網(wǎng)格，請僅用無刻度尺的直尺按要求完成以下作圖．（1）在圖1中作四邊形ABCD，使點C，D在格點上，并且四邊形ABCD為軸對稱圖形．（畫出一種即可）（2）在圖2中的線段AB上作點Q，使PQ最短．（用實線保留作圖痕跡）【考點】作圖﹣軸對稱變換．【專題】作圖題；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀；應(yīng)用意識．【答案】（1）見解答．（2）見解答．【分析】（1）根據(jù)軸對稱圖形的定義畫圖即可．（2）結(jié)合垂線段最短，過點P作AB的垂線，交AB于點Q，則點Q即為所求．【解答】解：（1）如圖1，四邊形ABCD即為所求．（2）如圖2，過點P作AB的垂線，交AB于點Q，則點Q即為所求．【點評】本題考查作圖﹣軸對稱變換、垂線段最短，熟練掌握軸對稱圖形的定義、垂線段最短是解答本題的關(guān)鍵．17．如圖，在邊長為1的正方形的網(wǎng)格中，已知△ABC及直線l．（1）畫出△ABC關(guān)于直線l的對稱圖形△A1B1C1；（2）僅用無刻度直尺在邊AC上找到點E，使得△ABE的面積等于△ABC面積的13【考點】作圖﹣軸對稱變換．【專題】作圖題；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；圖形的相似；幾何直觀．【答案】（1）見解答．（2）見解答．【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作圖即可．（2）取格點M，N，使AM：CN＝1：2，且AM∥CN，連接MN，交AC于點E，即點E即為所求．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求．（2）如圖，取格點M，N，使AM：CN＝1：2，且AM∥CN，連接MN，交AC于點E，則△AEM∽△CEN，∴AE：CE＝AM：CN＝1：2，∴AE：AC＝1：3，∴△ABE的面積等于△ABC面積的13即點E即為所求．【點評】本題考查作圖﹣軸對稱變換、三角形的面積、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．18．如圖，在?ABCD中，AE⊥BC，垂足為ECF⊥AD垂足為F．（1）求證：四邊形AECF是矩形．（2）△FCG沿直線FG折疊，點C落在矩形AECF的對角線AC上點H處，若AE＝1，EC＝2，求線段CG的長度．【考點】翻折變換（折疊問題）；相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；矩形的判定與性質(zhì)．【專題】多邊形與平行四邊形；矩形菱形正方形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；圖形的相似；推理能力．【答案】（1）見解析；（2）CG的長度為12【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AF∥CE，得到AE∥CF，根據(jù)矩形的判定定理即可得到結(jié)論．（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到FG⊥CH，推出△ACE∽∠GFC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AECG【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴AF∥CE，∵AE⊥BC，∴AE⊥AD，∵CF⊥AD，∴AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴四邊形AECF是矩形．（2）解：∵△FCG沿直線FG折疊，點C落在矩形AECF的對角線AC上點H處，∴FG⊥CH，∴∠HCG+∠CGF＝∠CGF+∠CFG＝90°，∴∠ACE＝∠CFG，∵∠AEC＝∠FCG＝90°，∴△ACE∽∠GFC，∴AECG∵AE＝1，EC＝2，∴CF＝AE＝1，∴1CG∴CG=1故線段CG的長度為12【點評】本題考查了翻折變換（折疊問題），平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A（﹣3，5），B（﹣4，1），C（﹣2，3）．（1）畫出△ABC關(guān)于x軸的對稱圖形△A1B1C1．（2）將（1）中的△A1B1C1向右平移6個單位長度，再向上平移2個單位長度后得到的△A2B2C2，畫出△A2B2C2．（3）若線段AC上一點M（a，b）經(jīng)過上述兩次變換后對應(yīng)線段A2C2上的點M2，則點M2的坐標是（a+6，﹣b+2）．【考點】作圖﹣軸對稱變換；作圖﹣平移變換．【專題】作圖題；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）（a+6，﹣b+2）．【分析】（1）根據(jù)題意畫出即可；關(guān)于y軸對稱點的坐標縱坐標不變，橫坐標互為相反數(shù)；（2）根據(jù)平移的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和平移的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）△A1B1C1如圖所示；（2）△A2B2C2如圖所示；（3）點M經(jīng)過第一次變換后坐標為（﹣a，b），經(jīng)過第二次變換后的坐標為（a+6，﹣b+2），故答案為（a+6，﹣b+2）．【點評】本題是作圖﹣平移變換，軸對稱變換，熟練掌握平移和軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．在?ABCD中，連接AC，∠BAC＝90°，將△ACD沿著對角線AC翻折，使點D落在D′處，連接AD′，AD′與BC交于E，連接BD'．（1）試判斷四邊形ABD'C的形狀，并說明理由；（2）若?ABCD的周長為32，sin∠D＝0.8，求四邊形ABD'C的面積．【考點】翻折變換（折疊問題）；解直角三角形；平行四邊形的性質(zhì)．【專題】矩形菱形正方形；展開與折疊；運算能力；推理能力．【答案】（1）四邊形ABD'C是矩形，理由見解析過程；（2）48．【分析】（1）先判定四邊形ABD'C是平行四邊形，再根據(jù)∠BAC＝90°，即可得出四邊形ABD'C是矩形；（2）先解直角三角形得到AC和CD的長，進而得到四邊形ABD'C的面積．【解答】解：（1）四邊形ABD'C是矩形，理由：∵平行四邊形ABCD中，AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC＝90°，由折疊可得，∠ACD'＝∠ACD＝90°，∴∠BAC+∠ACD'＝180°，∴AB∥CD'，由折疊可得，CD'＝CD，又∵平行四邊形ABCD中，CD＝AB，∴AB＝CD'，∴四邊形ABD'C是平行四邊形，又∵∠BAC＝90°，∴四邊形ABD'C是矩形；（2）∵?ABCD的周長為32，∴AD+CD＝16，又∵Rt△ACD中，sin∠D＝0.8，∴可設(shè)AC＝4x，AD＝5x，則CD＝3x，∴5x+3x＝16，解得x＝2，∴AC＝8，CD＝6＝CD'，∴矩形ABD'C的面積為6×8＝48．【點評】本題主要考查了矩形的性質(zhì)以及折疊變換，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．

考點卡片1．角的計算（1）角的和差倍分①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，記作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，記作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射線OC是∠AOB的三等分線，則∠AOB＝3∠BOC或∠BOC=13∠（2）度、分、秒的加減運算．在進行度分秒的加減時，要將度與度，分與分，秒與秒相加減，分秒相加，逢60要進位，相減時，要借1化60．（3）度、分、秒的乘除運算．①乘法：度、分、秒分別相乘，結(jié)果逢60要進位．②除法：度、分、秒分別去除，把每一次的余數(shù)化作下一級單位進一步去除．2．三角形內(nèi)角和定理（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內(nèi)角，且每個內(nèi)角均大于0°且小于180°．（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．（3）三角形內(nèi)角和定理的證明證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個內(nèi)角移到一起，組合成一個平角．在轉(zhuǎn)化中借助平行線．（4）三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用主要用在求三角形中角的度數(shù)．①直接根據(jù)兩已知角求第三個角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法求三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．3．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．4．平行四邊形的性質(zhì)（1）平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．（2）平行四邊形的性質(zhì)：①邊：平行四邊形的對邊相等．②角：平行四邊形的對角相等．③對角線：平行四邊形的對角線互相平分．（3）平行線間的距離處處相等．（4）平行四邊形的面積：①平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積．②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等．5．矩形的性質(zhì)（1）矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形．（2）矩形的性質(zhì)①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對角線：矩形的對角線相等；⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點連線所在的直線；對稱中心是兩條對角線的交點．（3）由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．6．矩形的判定與性質(zhì)（1）關(guān)于矩形，應(yīng)從平行四邊形的內(nèi)角的變化上認識其特殊性：一個內(nèi)角是直角的平行四邊形，進一步研究其特有的性質(zhì)：是軸對稱圖形、內(nèi)角都是直角、對角線相等．同時平行四邊形的性質(zhì)矩形也都具有．在處理許多幾何問題中，若能靈活運用矩形的這些性質(zhì)，則可以簡捷地解決與角、線段等有關(guān)的問題．（2）下面的結(jié)論對于證題也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③點O到三個頂點的距離都相等．7．軸對稱圖形（1）軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關(guān)于這條直線（成軸）對稱．（2）軸對稱圖形是針對一個圖形而言的，是一種具有特殊性質(zhì)圖形，被一條直線分割成的兩部分沿著對稱軸折疊時，互相重合；軸對稱圖形的對稱軸可以是一條，也可以是多條甚至無數(shù)條．（3）常見的軸對稱圖形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圓等等．8．關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標（1）關(guān)于x軸的對稱點的坐標特點：橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)．即點P（x，y）關(guān)于x軸的對稱點P′的坐標是（x，﹣y）．（2）關(guān)于y軸的對稱點的坐標特點：橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標不變．即點P（x，y）關(guān)于y軸的對稱點P′的坐標是（﹣x，y）．9．坐標與圖形變化-對稱（1）關(guān)于x軸對稱橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù)．（2）關(guān)于y軸對稱縱坐標相等，橫坐標互為相反數(shù)．（3）關(guān)于直線對稱①關(guān)于直線x＝m對稱，P（a，b）?P（2m﹣a，b）②關(guān)于直線y＝n對稱，P（a，b）?P（a，2n﹣b）10．作圖-軸對稱變換幾何圖形都可看做是由點組成，我們在畫一個圖形的軸對稱圖形時，也是先從確定一些特殊的對稱點開始的，一般的方法是：①由已知點出發(fā)向所給直線作垂線，并確定垂足；②直線的另一側(cè)，以垂足為一端點，作一條線段使之等于已知點和垂足之間的線段的長，得到線段的另一端點，即為對稱點；③連接這些對稱點，就得到原圖形的軸對稱圖形．④作出的垂線為最短路徑．11．利用軸對稱設(shè)計圖案利用軸對稱設(shè)計圖案關(guān)鍵是要熟悉軸對稱的性質(zhì)，利用軸對稱的作圖方法來作圖，通過變換對稱軸來得到不同的圖案．12．軸對稱-最短路線問題1、最短路線問題在直線L上的同側(cè)有兩個點A、B，在直線L上有到A、B的距離之和最短的點存在，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點關(guān)于直線L的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線L的交點就是所要找的點．2、凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合本節(jié)所學軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點．13．翻折變換（折疊問題）1、翻折變換（折疊問題）實質(zhì)上就是軸對稱變換．2、折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形