中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)考情分類專項(xiàng)復(fù)習(xí)重難點(diǎn)突破08 全等三角形8種模型一線三等角、手拉手模型、倍長(zhǎng)中線、截長(zhǎng)補(bǔ)短、婆羅摩笈多、半角模型、平行

重難點(diǎn)突破08全等三角形8種模型

（一線三等角、手拉手模型、倍長(zhǎng)中線、截長(zhǎng)補(bǔ)短、婆羅摩笈多、半角模型、

平行線中點(diǎn)模型與雨傘模型）

目錄

題型01一線三等角模型（含一線三垂直模型）

題型02手拉手模型

題型03倍長(zhǎng)中線模型

題型04平行線中點(diǎn)模型與雨傘模型

題型05截長(zhǎng)補(bǔ)短模型

題型06婆羅摩笈多模型

題型07半角模型

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重難點(diǎn)題型突破N

題型01一線三等角模型（含一線三垂直模型）

【一線三垂直模型介紹】只要出現(xiàn)等腰直角三角形，可以過(guò)直角點(diǎn)作一條直線，然后過(guò)45。頂點(diǎn)作直線的

垂線，構(gòu)造三垂直，所得兩個(gè)直角三角形全等.根據(jù)全等三角形倒邊，得到線段之間的數(shù)量關(guān)系.

已知（一線三垂直）圖示結(jié)論（性質(zhì)）

如圖AB±BC,A

△ABD^ABCE,DE=AD+EC

AB=BC,CE_LDE,AD

±DE

T

EBL

如圖AB1BC,A

△ABD^ABCE,DE=AD-EC

AB=BC,CE1DE,AD

±DE,A,

c

已知NAOC=NADB=

△ADB合ADEC

ZCED=90°,AB=DC

c

I)BE

延長(zhǎng)DE交AC于點(diǎn)F,

AAABC^ADBE

已知NDBE二/ABC二

ZEFC=90°,AC=DE

上k

DErc

【一線三等角模型介紹】三個(gè)等角的頂點(diǎn)在同一條直線，這個(gè)角可以是直角，也可以是銳角或鈍角.

一線三等角類型:

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（同側(cè)）已知NA=NCPD=NB=/c（,CP=PD

（異側(cè)）已知NEAC二NABD=NDPC=Na,CP=PD

1.（2023?陜西西安?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）小西在物理課上學(xué)習(xí)了發(fā)聲物體的振動(dòng)實(shí)驗(yàn)后，對(duì)其作了進(jìn)一步的探

究：在一個(gè)支架的橫桿點(diǎn)。處用一根細(xì)繩懸掛一個(gè)小球4,小球A可以自由擺動(dòng)，如圖，。4表示小球靜止

時(shí)的位置.當(dāng)小明用發(fā)聲物體靠近小球時(shí)，小球從。A擺到。8位置，此時(shí)過(guò)點(diǎn)B作8。104于點(diǎn)Z）,當(dāng)小球

擺到OC位置時(shí)，。8與OC恰好垂直（圖中的A、B、O、C在同一平面上），過(guò)點(diǎn)C作CE_L04于點(diǎn)E,測(cè)得

A

2.（2023?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）感知：數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個(gè)模型：如圖1,點(diǎn)A在直線DE上，旦=

△B4C=LAEC=90%像這種一條直線上的三個(gè)頂點(diǎn)含有三個(gè)相等的角的模型我們把它稱為“一線三等角

”模型.

（1）用圖2,RtZkA3。中，^ACB-900,CB-CA,直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,過(guò)A作A?！繣。于點(diǎn)。，過(guò)B作BE±ED

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于點(diǎn)E.求證：△8EC三△CZM.

(2)如圖3,在△48。中，。是8。上一點(diǎn)，Z,CAD=90°,AC=AD,

乙DBA=乙。AB,AB=2?求點(diǎn)C至邊的距離.

(3)如圖4,在回4BCD中，E為邊BC上的一點(diǎn)，尸為邊88上的一點(diǎn).若

Z.DEF=乙B,AB=10,BE=6,求案的值.

3.(2U22?北京??？家荒?對(duì)于平面直角坐標(biāo)系皿y中的圖形M和點(diǎn)P,給出如下定義：將圖形M繞點(diǎn)P順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)90。得到圖形N,圖形N稱為圖形M關(guān)于點(diǎn)P的“垂直圖形”.例如，圖1中點(diǎn)D為點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)P的“垂直圖

形”.

訃

5-

4■

3-

2-

1-

5-4-3-2-10-1234Tx

-1-

-2-

-3-

-4_

-5-

圖1備用圖

⑴點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)。的“垂直圖形”為點(diǎn)8.

①若點(diǎn)4的坐標(biāo)為(0,3),則點(diǎn)B的坐標(biāo)為.

②若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,1),則點(diǎn)4的坐標(biāo)為.

(2)￡(-3,3),《(一2,3),GQ0),線段EF關(guān)于點(diǎn)G的“垂直圖形”記為EH,點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為￡,點(diǎn)尸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

為V.

①求點(diǎn)￡的坐標(biāo)(用含Q的式子表示);

②若。0的半徑為2,0〃上任意?點(diǎn)都在。。內(nèi)部或圓匕直接寫(xiě)出滿足條件的￡7?'的長(zhǎng)度的最大值.

4.(2021?浙江嘉興?校考一模)閱讀材料：我們知道：一條直線經(jīng)過(guò)等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)，過(guò)另外兩

個(gè)頂點(diǎn)分別向該直線作垂線，即可得三垂直模型"如圖①：在中，4CB=90。，AC=BC,分別過(guò)A、

B向經(jīng)過(guò)點(diǎn)C直線作垂線，垂足分別為。、E,我們很容易發(fā)現(xiàn)結(jié)論：AAD8ACEB.

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(1)探究問(wèn)題：如果4CM8C,其他條件不變，如圖②，可得到結(jié)淪；△AQCS^CEB.請(qǐng)你說(shuō)明理由.

(2)學(xué)以致用：如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，直線)，=%與直線CO交于點(diǎn)M(2,1),且兩直線夾角為a,

且tana=1,請(qǐng)你求出直線CD的解析式.

(3)拓展應(yīng)用：如圖④，在矩形ABC。中，48=4,8c=5,點(diǎn)E為8c邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE,將線段4E

繞點(diǎn)正順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，點(diǎn)A落在點(diǎn)尸處，當(dāng)點(diǎn)P在矩形ABCQ外部時(shí)，連接PC,PD.若△QPC為直角

三角形時(shí)，請(qǐng)你探究并直接寫(xiě)出8E的長(zhǎng).

5.(2022下?安徽淮北?九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí))數(shù)學(xué)模型學(xué)習(xí)與應(yīng)用.【學(xué)習(xí)】如圖\^BAD=W,AB=AD,

鳳？_14。于點(diǎn)。，DEE.由乙1+42=乙2+乙。=90°,得N1=N。；5L/.ACB=Z.AED=90°,

可以通過(guò)推理得到△ABC^ADAE.我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為“一線三等角”模型；

(I)【應(yīng)用】如圖2,點(diǎn)B,P,。都在直線/上，并且NABP=Z.APC=乙PDC=a.若BP=x,AB=2,BD=5,

用含x的式子表示CD的長(zhǎng)；

(2)【拓展】在△48。中，點(diǎn)。，E分別是邊3C,AC上的點(diǎn)，連接A。，DE,LB=LADE=zC,AB=5,

BC=6.若△CDE為直角三角形，求CO的長(zhǎng)；

⑶如圖3,在平面直角坐標(biāo)系XQY中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,4),點(diǎn)8為平面內(nèi)任一點(diǎn).aAOB是以O(shè)A為斜邊

的等腰直角三角形，試直接寫(xiě)出點(diǎn)8的坐標(biāo).

6.(2021上?山東青島?九年級(jí)統(tǒng)考期中)【模型引入】

我們?cè)谌葘W(xué)習(xí)中所總結(jié)的“一線三等角、K型全等”這一基本圖形，可以使得我們?cè)谟^察新問(wèn)題的時(shí)候很迅

速地聯(lián)想，從而借助已有經(jīng)驗(yàn)，迅速解決問(wèn)題.

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【模型探究】

如圖，正方形ABC。中，E是對(duì)角線8。上一點(diǎn)，連接AE,過(guò)點(diǎn)E作EF_LAE,交直線C8于點(diǎn)F.

（1）如圖1,若點(diǎn)尸在線段8c上，寫(xiě)出E4與E/的數(shù)量關(guān)系并加以證明；

（2）如圖2,若點(diǎn)尸在線段的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BC,BE和8r的數(shù)量關(guān)系.

【模型應(yīng)用】

（3）如圖3,正方形44C3中，48=4,￡為C。上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE交8。于F,過(guò)/作于/，過(guò)

〃作HG_L8O于G.則下列結(jié)論：?AF=FHx②NH4E=45。；③BD=2FG；④ACE〃的周長(zhǎng)為8.正確

的結(jié)論有一個(gè).

（4）如圖4,點(diǎn)E是正方形A8CD對(duì)角線8。上一點(diǎn)，連接AE,過(guò)點(diǎn)E作￡/U_AE,交線段BC于點(diǎn)F,

交線段AC于點(diǎn)M,連接AF交線段BD于點(diǎn)H.給出下列四個(gè)結(jié)論，?AE=EF；②&DE=CF：③5MEM

=SAMCF；?BE=DE+y[2BF；正確的結(jié)論有一個(gè).

【模型變式】

（5）如圖5,在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OBCO是正方形，且。（0,2）,點(diǎn)E是線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，

M是線段上一動(dòng)點(diǎn)（不包括點(diǎn)0、B）,作MN_LOM,垂足為M,交NC8E的平分線與點(diǎn)N,求證：MD

=MN

（6）如圖6,在上一間的條件下，連接QN交8c于點(diǎn)凡連接FM,則NFMN和NNMB之間有怎樣的數(shù)

量關(guān)系？請(qǐng)給出證明.

【拓展延伸】

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（7）已知NMON=90。，點(diǎn)A是射線ON上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)4是射線0M上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足。8>04點(diǎn)

C在線段0A的延長(zhǎng)線上，且AC=OB.如圖7,在線段BO上截取BE,使3E=OA,連接CE.若NOBA+NOCE

=/,當(dāng)點(diǎn)8在射線OM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，口的大小是否會(huì)發(fā)生變化？如果不變，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果變化，請(qǐng)

說(shuō)明理由.

（8）如圖8,正方形A8CQ中，A。=6,點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接。E,過(guò)點(diǎn)E作EFJ_ED,交AB

于點(diǎn)F，連接DF,交AC于點(diǎn)G,將AEFG沿EF翻折，得到△EFM,連接ZW,交EF于點(diǎn)N,若點(diǎn)尸是

A8邊的中點(diǎn)，則△EDM的面積是.

7.（2022上?吉林長(zhǎng)春?七年級(jí)長(zhǎng)春市第四十五中學(xué)?？计谥校┩ㄟ^(guò)對(duì)數(shù)學(xué)模型“K字”模型或“一線三等角”模

型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問(wèn)題：

［模型呈現(xiàn)］如圖1,^BAD=90°,AB=AD,過(guò)點(diǎn)B作BC1/1C于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)。作QE14C于點(diǎn)￡求證：

BC=AE.

［模型應(yīng)用］如圖2,4EJ.=AB,BC工CDnBC=CD,請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算圖中實(shí)線所

圍成的圖形的面積為-

［深入探究］如圖3,/-BAD=LCAE=90°,AB=AD,AC=AE,連接BC,DE,且3cl力廣于點(diǎn)尸，DE與

直線8F交于點(diǎn)G.若8c=21,AF=12,則△AOG的面積為.

8.12020上?河南安陽(yáng)?八年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖①.已知：在△力8c中，乙BAC=90。,AB=AC,直線m經(jīng)

過(guò)點(diǎn)A,直線m,CE1直線機(jī)，垂足分別為點(diǎn)。、E.則線段DE、BD與CE之間的數(shù)量關(guān)系是：

C

01圖3

（2）如圖②，將（1）中的條件改為：在△4?。中，AB=AC,D,A,E三點(diǎn)都在直線機(jī)上，并且有=

^AEC=^BAC=a,其中a為任意銳角或鈍角.請(qǐng)問(wèn)：（1）中的結(jié)論是還否成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；

若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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（3）拓展與應(yīng)用：如圖③，D,E是。，A,E三點(diǎn)所在直線〃?上的兩動(dòng)點(diǎn)（。，A,E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)

F為乙8AC平分線上的一點(diǎn)，且和△4CF均為等邊三角形，連接80、CE.若乙80月=乙AEC=力C,

試判斷ADEF的形狀，并說(shuō)明理由.

9.（2023上?湖南長(zhǎng)沙?八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在平面宜角坐標(biāo)系中，點(diǎn)8（。力）是第二象限內(nèi)一點(diǎn).

（1）若a、b滿足等式3+3/+|b-2|=0,求點(diǎn)8的坐標(biāo)：

（2）如圖1,在（1）的條件下，動(dòng)點(diǎn)C以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從。點(diǎn)出發(fā)，沿x軸的負(fù)半軸方向運(yùn)動(dòng)，

同時(shí)動(dòng)點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從O點(diǎn)出發(fā)，沿），軸的正半軸方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，秒，當(dāng)/

為何值時(shí)，△4BC是4B為斜邊的等腰直角三角形；

⑶如圖2,C、A分別是x軸負(fù)半軸和y軸上正半軸上一點(diǎn)，且A/IBC是以力B為斜邊的等腰直角三角形，若

石是線段OC上一點(diǎn)，連接BE交/C于點(diǎn)D,連接71E,當(dāng)4E=CE,^OAE=45°,①求證：8E平分立48。；②

設(shè)的長(zhǎng)為m△/!￡）口的面積為S.請(qǐng)用含〃的式子表示S.

10.（2022上?江蘇南京?八年級(jí)校考階段練習(xí)）己知，在△48C中，AB=AC,D,A,E三點(diǎn)都在直線機(jī)上，

且DE=9cm,Z.BDA=Z.AEC=Z.BAC.

DAE巾DAE巾D—AE加

圖①圖②圖③

（1）如圖①，若4B14C,則80與4E的數(shù)量關(guān)系為,CE與AO的數(shù)量關(guān)系為；

⑵如圖②，判斷并說(shuō)明線段BO,CE與OE的數(shù)量關(guān)系；

（3）如圖③，若只保持NBO4=44EC,BO=EF=7cm,點(diǎn)A在線段DE上以2cm/s的速度由點(diǎn)。向點(diǎn)E運(yùn)

動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)C在線段E尸上以xcm/s的速度由點(diǎn)E向點(diǎn)產(chǎn)運(yùn)動(dòng)，它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）.是否存在x,使

得△ABO與△區(qū)4c全等？若存在，求出相應(yīng)的/的值：若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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題型02手拉手模型

【模型介紹】?jī)蓚€(gè)頂角相等的等腰三角形共用頂角頂點(diǎn)，分別連接對(duì)應(yīng)的兩底角頂點(diǎn)，從而可以得到一個(gè)

經(jīng)典的全等模型.因?yàn)轫旤c(diǎn)相連的四條邊，形象可以看作兩雙手，通常稱為“手拉手模型”.

文字說(shuō)明：1）點(diǎn)A為共用頂角頂點(diǎn)，看作頭

2）線段AR、AC為等腰AABC的兩腰.看作兩條手臂

線段AM、AN為等腰AAMN的兩腰，看作兩條手臂

3）點(diǎn)B與點(diǎn)M看作左手，線段看作左手拉左手

點(diǎn)C與點(diǎn)N看作右手，線段CN看作右手拉右手

解題步驟：①找共用頂點(diǎn)，確定“四只手”;

②連接對(duì)應(yīng)端點(diǎn);

③SAS證明全等.

已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）

如圖，直線AB的同一側(cè)作AABCM1)AABM^AACN2)BM=CN

和AAMN都為等邊三角形（A、B、3)ZMEN=Z2=60°(拉手線的夾角等于頂角)

N三點(diǎn)共線），連接BM、CN,兩4)AANFgAAMD5)AAPC^AADB6)

者相交于點(diǎn)E

連接DF,DF〃BN7)連接AE,AE平分N

I????

BAN

BEN8)存在3組四點(diǎn)共同

9)EN=EM+EA,EB=EC+EA,EA=ED+EF

如圖，AABC和AAMN都為等邊M1)AABM也AACN2)BM=CN

三角形（A、B、N三點(diǎn)不共線），3)ZM0N=60°(拉手線的夾角等于頂角)

連接BM、CN,兩者相交于點(diǎn)0

4)連接AO,A0平分NBON

5)存在2組四點(diǎn)共圓

N6)ON=OM+OA,OB=OC+OA

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連接BD,CE,則BD與CE的數(shù)量關(guān)系為

(2)當(dāng)△/JOE旋轉(zhuǎn)至如圖|2所示的位置時(shí)?，取BC,DE的中點(diǎn)M,N,連接MN,BD.試問(wèn)：答的值是否隨△力OE

的旋轉(zhuǎn)而變化？若不變，請(qǐng)求出該值：若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)M,N分別為8C,DE的中點(diǎn)，連接MN.若A8=3同，AD=6,當(dāng)△力DE旋轉(zhuǎn)至8,D,￡三點(diǎn)在同一

條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出MN的值.

12.(2023下?江西撫州?九年級(jí)?？茧A段練習(xí))在AABGF,AB=AC,=a,點(diǎn)P是平面內(nèi)不與點(diǎn)4

C重合的任意一?點(diǎn),連接PC,將線段PC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)a得到線段PD,連接4P、CD、BD.

圖3

(1)當(dāng)a=60。時(shí),

①如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在△ABC的邊8c上時(shí)，線段PC繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到線段PD,則4P與8。的數(shù)量關(guān)系是

②如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部時(shí)，，線段PC繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到線段PD,①中4P與8。的數(shù)量關(guān)系還成立

嗎？若成立，請(qǐng)證明結(jié)論，若不成立，說(shuō)明理由；

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(2)當(dāng)a=90。時(shí)，

①如圖3,線段PC繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到線段PD.試判斷”與8。的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由：

②若點(diǎn)A,C,P在一條直線上，且力C=3PC,線段PC繞點(diǎn)戶逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到線段。尸，求當(dāng)?shù)闹?

??AP

13.(2023?河南洛陽(yáng)?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))綜合與實(shí)踐綜合與實(shí)踐課上，數(shù)學(xué)研究小組以“手拉手圖形”為主題開(kāi)展

數(shù)學(xué)活動(dòng)兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來(lái)，則形

成一組全等的三角形，把具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱為、、手拉手''圖形.

圖1圖2圖3

⑴操作判斷已知點(diǎn)。為^COE的公共頂點(diǎn)，將^CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a。<a<360°),連接6。，

AE,如圖1,若△48C和4CDE均為等邊三角形，請(qǐng)完成如下判斷：

①線段BD與線段AE的數(shù)量關(guān)系是；

②直線BD與直線AE相交所夾銳角的度數(shù)是：

(2)遷移探究如圖2,若乙ABC=LEDC=90°,Z.BAC=乙DEC=30°,其他條件不變，則(1)中的結(jié)論是

否都成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)拓展應(yīng)用：如圖3,^LBAC=Z-DEC=90°,AB=AC,CE=DE,BC=2CD=4x^2,當(dāng)點(diǎn)B,D,E三

點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出3。的長(zhǎng).

14.(2023?河南鄭州?鄭州市第八中學(xué)?？级?由兩個(gè)頂角相等且有公共頂角頂點(diǎn)的特殊多邊形組成的圖

形，如果把它們的底角頂點(diǎn)連接起來(lái)，則在相對(duì)位置變化的過(guò)程中，始終存在一對(duì)全等三角形，我們把這

種模型稱為“手拉手模型

(1)【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】

如圖1所示，兩個(gè)等腰直角三角形△ABC^￡^ADE^,AB=AC,AE=AD,Z.BAC=^DAE=90°,連接8。、

CE,兩線交于點(diǎn)P,8。和CE的數(shù)量關(guān)系是:BD和CE的位置關(guān)系是

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(2)【類比探究】

如圖2所示，點(diǎn)。是線段48上的動(dòng)點(diǎn)，分別以4P、8P為邊在力B的同側(cè)作正方形4PCD與正方形P8",連

接DE分別交線段BC、PC于點(diǎn)M、N.

①求乙DMC的度數(shù)；

②連接4C交DE于點(diǎn)兒直接寫(xiě)出察的值：

⑶【拓展延伸】

如圖3所示，已知點(diǎn)C為線段AE上一點(diǎn)，AE=6,ZMBC和為AE同側(cè)的兩個(gè)等邊三角形，連接BE交

CDTN,連接力。交BCFM,連接MN,直接寫(xiě)出線段MN的最大值.

15.(2022?青海?統(tǒng)考中考真題)兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底

角頂點(diǎn)連接起來(lái)，則形成一組全等的三角形，把具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形.

⑴問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：

如圖1,若△48C和△4)E是頂角相等的等腰三角形，BC,分別是底邊.求證：BD=CE；

圖1

(2)解決問(wèn)題：如圖2,若a/lCB和aDCE均為等腰直角三角形，乙1CB==90。，點(diǎn)A,D,E在同一

條直線上，CM為△DCE中DE邊上的高,連接BE,請(qǐng)判斷NAE8的度數(shù)及線段CM,AE,BE之間的數(shù)量

關(guān)系并說(shuō)明理由.

圖2

16.(2019?山東濟(jì)寧?統(tǒng)考三模)背景材料:

第12頁(yè)共189頁(yè)

在學(xué)習(xí)全等三角形知識(shí)時(shí)，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)模型，它是由兩個(gè)共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角形

構(gòu)成.在相對(duì)位置變化的同時(shí)，始終存在一對(duì)全等三角形.通過(guò)資料查詢，他們知道這種模型稱為手拉手

模型.

例如：如圖1,兩個(gè)等腰直角三角形△ABC和△ADE,ZBAC=ZEAD=90°,AB=AC,AE=AD,如果

把小等腰三角形的腰長(zhǎng)看作是小手，大等腰三角形的腰長(zhǎng)看作大手，兩個(gè)等腰三角形有公共頂點(diǎn)，類似大

手拉著小手，這個(gè)就是手拉手模型，在這個(gè)模型中易得到△ABDgZXACE.

W44?

mi圖2圖3圖4

學(xué)習(xí)小組繼續(xù)探究：

（1）如圖2,已知AABC,以AB,AC為邊分別向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE,請(qǐng)作出一個(gè)手

拉手圖形（尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡），并連接BE,CD,證明BE=CD；

（2）小剛同學(xué)發(fā)現(xiàn)，不等腰的三角形也可得到手拉手模型，例如，在AABC中AB>AC,DE〃BC,將三

角形ADE旋轉(zhuǎn)一定的角度（如圖3）,連接CE和BD,證明△ABDs/SACE.

學(xué)以致用：

（3）如圖4,四邊形ABCD中，ZCAB=90°,ZADC=ZACB=a,lana=-,CD=5,AD=I2.請(qǐng)?jiān)趫D

4

中構(gòu)造小剛發(fā)現(xiàn)的手拉手模型求BD的長(zhǎng).

17.（2023.黑龍江大慶?統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，將46繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a至4B',能4。繞點(diǎn)A逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)口至4c<0。<a<180°,0°<p<180°）,得到△AB'C',使cBAC+乙B'AU=180°,我們稱△AB'C

是AABC的“旋補(bǔ)三角形”,△48C的中線AD叫做△ABC的“旋補(bǔ)中線”，點(diǎn)A叫做“旋補(bǔ)中心”.下列結(jié)論正

確的有.

①乙AB'C'面積相同;

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?BC=2AD；

③若＜8=AC,連接88'和CC',則乙夕8c+乙CC舊=180°；

?^AB=AC,AB=4,BC=6,則8'C'=10.

18.(2022?江蘇淮安?統(tǒng)考二模)在學(xué)習(xí)全等三角形知識(shí)時(shí)，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)模型：模型是由兩

個(gè)頂角相等且有公共頂角頂點(diǎn)的等腰三角形組成的圖形，如果把它們的底角頂點(diǎn)連接起來(lái)，則在相對(duì)位置

變化的過(guò)程中，始終存在一對(duì)全等三角形，我們把這種模型稱為“手拉手模型這個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行了如

下操作:

(1)如圖1、兩個(gè)等腰直角三角形/ABC和AAOE中，AB=AC,AE=AD,ZBAC=^DAE=90°,連接8Q,

CE,兩線交于點(diǎn)P,和aABD全等的三角形是,8。和CE的數(shù)量關(guān)系是.

(2)如圖2,點(diǎn)P是線段回上的動(dòng)點(diǎn)，分別以人尸，BP為邊在A8的同側(cè)作正方形APCO與正方形尸跖尸，

連接OE分別交線段AC,PC于點(diǎn)M,M

①求ZQMC的度數(shù)；

②連接八C交。石于點(diǎn)從直接寫(xiě)出器的值.

bC

(3)如圖3,已知點(diǎn)C為線段AE上一點(diǎn)，AE=8cm,△A3C和△CDS為AE同側(cè)的兩個(gè)等邊三角形，連接8E

交CD于N,連接A。交8。于M,連接線段MN的最大值是.

19.(2020?吉林長(zhǎng)春?統(tǒng)考一模)［問(wèn)題提出］

(1)如圖①，△48C、△ACE均為等邊三角形，點(diǎn)。、E分別在邊48、AC上.將△?!￡)￡l繞點(diǎn)A沿順時(shí)針?lè)较?/p>

旋轉(zhuǎn)，連結(jié)80、CE.仕圖②中證明△408三△AEC.

［學(xué)以致用］

第14頁(yè)共189頁(yè)

（2）在（1）的條件下，當(dāng)點(diǎn)D、E.C在同一條直線上時(shí)，4ED8的大小為一度.

［拓展延伸］

（3）在（1）的條件下，連結(jié)CO.若8。=6,4。=4,直接寫(xiě)出^。慶?的面積5的取值范圍.

20.（2022?山東煙臺(tái)?統(tǒng)考中考真題）

圖1圖2圖3

⑴【問(wèn)題呈現(xiàn)】如圖1,△ABC和△A3E都是等邊三角形，連接3。，CE.求證：BD=CE.

（2）【類比探究】如圖2,△A8C和△AOE都是等腰直角三角形，ZABC=ZADE=90°.連接BO,CE.請(qǐng)

直接寫(xiě)出差的值.

CC

（3）【拓展提升】如圖3,△A8C和△AOE都是直角三角形，ZABC=ZADE=90°,且患=器=*連接8。，

CE.

①求嘗的值;

Ch

②延長(zhǎng)CE交8。于點(diǎn)凡交人8于點(diǎn)G.求sin/BFC的值.

21.（2020?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）背景：一次小組合作探究課上，小明將兩個(gè)正方形按背景圖位置擺放

（點(diǎn)E,A,。在同一條直線上），發(fā)現(xiàn)8E=OG且8￡_LOG.小組討論后，提出了三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你幫助解答：

（1）將正方形4EFG繞點(diǎn)4按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，（如圖1）還能得到嗎？如果能，請(qǐng)給出證明.如

若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由：

（2）把背景中的正方形分別改為菱形AEFG和菱形A8C。，將菱形AEFG繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，（如圖

2）試問(wèn)當(dāng)N￡AG與NBA。的大小滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，背景中的結(jié)論仍成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形A4CQ,且裝=梟=泉AE=4,A8=8,將矩形繞點(diǎn)A

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按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（如圖3）,連接QE,6G.小組發(fā)現(xiàn)：在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，/32+?！?是定值，請(qǐng)求出這個(gè)定

值.

22.（2022?浙江湖州?統(tǒng)考中考真題）已知在公aA8C中，NAC8=90。,."分別表示的對(duì)邊,a>b.記

△48C的面積為S.

（1）如圖1，分別以AC,C8為邊向形外作正方形ACOE和正方形8GFC.記正方形ACDE的面根為S1，正方

形BGPC的面積為$2.

①若&=9,S2=16,求S的值；

②延長(zhǎng)￡4交G8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N.連結(jié)FN,交BC于點(diǎn)M,交AB于點(diǎn)H.若/77_LAB（如圖2所示），求

證：52—Si=2S.

（2）如圖3,分別以AC,CB為邊向形外作等邊三角形4CD和等邊三角形CBE,記等邊三角形ACT）的面積

為工，等邊三角形CBE的面積為S?.以A8為邊向上作等邊三角形/W/Y點(diǎn)。在AAB廠內(nèi)），連結(jié)E凡CF.若

EFLCF,試探索Sz-Si與S之間的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

?題型03倍長(zhǎng)中線模型

【模型介紹】當(dāng)遇見(jiàn)中線或者中點(diǎn)的時(shí)候，可以嘗試倍長(zhǎng)中線或類中線，使得延長(zhǎng)后的線段是原中線的二

倍,從而構(gòu)造一對(duì)全等三角形（SA5）,并將已知條件中的線段和角進(jìn)行轉(zhuǎn)移.

已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）

已知點(diǎn)D為AABC中BC邊中點(diǎn)，A

1）連接EC,貝IJAABD要AECD,AB〃CE

延長(zhǎng)線段AD到點(diǎn)E使AD=DE

2）連接BE,則AAD3AEDB,AC〃BE

E

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24.（2020上?北京朝陽(yáng)?八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀下面材料：

數(shù)學(xué)課上，老師給出了如下問(wèn)題：

如圖，A。為△ABC中線，點(diǎn)E在AC上，BE交AD于點(diǎn)、F,AE=EF.求證：AC=BF.

經(jīng)過(guò)討論，同學(xué)們得到以下兩種思路:

思路一如圖①，添加輔助線后依據(jù)SAS可證得思路二如圖②，添加輔助線后并利用4E=E尸可證

△ADC^^GDB,再利用可以進(jìn)一步證得得NG=NBFG=NAFE=NFAE,再依據(jù)A4S可

NG=NFAE=NAFE=NBFG,從而證明結(jié)論.以進(jìn)一步證得△AOC之△GDB,從而證明結(jié)論.

第17頁(yè)共189頁(yè)

(1)①思路一的輔助線的作法是：;

②思路二的輔助線的作法是：.

(2)請(qǐng)你給出一種不同于以上兩種思路的證明方法(要求：只寫(xiě)出輔助線的作法，并畫(huà)出相應(yīng)的圖形，不

需要寫(xiě)出證明過(guò)程).

25.(2020上?河北邢臺(tái)?八年級(jí)?？计谥?某數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動(dòng)中進(jìn)行了探究試驗(yàn)活動(dòng)，請(qǐng)你來(lái)加入.

圖1圖2圖3

【探究與發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖1,AO是△力8c的中線，延長(zhǎng)A。至點(diǎn)E,使連接8E,證明：△4CD三AEBD.

【理解與應(yīng)用】

(2)如圖2,是ADEF的中線，若￡尸=5,DE=3,設(shè)￡P(guān)=x,則x的取值范圍是.

(3)如圖3,A。是△力8c的中線，E、尸分別在AB、AC上，LDELDF,求證：BE+CF>EF.

26.(202。江蘇徐州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))(1)閱讀理解:

如圖①，在中，若AB=8,4C=5,求8c邊上的中線AD的取值范圍.可以用如下方法：將△4CD繞著

點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180。得到AEB。,在△力BE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線4D的取值范圍是

(2)問(wèn)題解決：

如圖②，在△43。中，。是3c邊上的中點(diǎn)，OEL9F于點(diǎn)Q,DE交AB于前E,DF交AC于點(diǎn)F,連接E凡求

證：BE+CF>EF；

(3)問(wèn)題拓展:

第18頁(yè)共189頁(yè)

如圖③，在四邊形力BCO中，48+乙。=180。，CB=CD,Z5CD=100°,以C為頂點(diǎn)作一個(gè)50。的角，角的兩

邊分別交48、40于￡尸兩點(diǎn)，連接ER探索線段BE,OF,E尸之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

圖①

27.（2016.貴州貴陽(yáng)?中考真題）閱讀

（1）閱讀理解：

圖③

如圖①，在△ABC中，若AB=10,AC=6,求BC邊上的中線AD的取值范圍.

解決此問(wèn)題可以用如下方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E使DE=AD,再連接BE（或?qū)ⅰ鰽CD繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

180。得到AEBD）,把AB,AC,2AD集中在AARE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷.

中線AD的取值范圍是

（2）問(wèn)題解決:

如圖②，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE_LDF于點(diǎn)D,DE交AB于點(diǎn)E,DF交AC于點(diǎn)F,連接

EF,求證：BE+CF>EF：

（3）問(wèn)題拓展:

如圖③，在四邊形ABCD中，ZB+ZD=I8O°,CB=CD,ZBCD=I4O°,以C為頂點(diǎn)作一個(gè)70。角，角的兩

邊分別交AB,AD于E,F兩點(diǎn)，連接EF,探索線段BE,DF,EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

28.（2020上.山西呂梁?八年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù).

數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師提出了如卜.問(wèn)題:

如圖1,已知2L4BC中,AO是BC邊上的中線.

求證：AB+AO2AD.

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智慧小組的證法如下:

證明：如圖2,延長(zhǎng)4。至E,使OE=AO,

丁力。是8c邊上的中線???8D=CD

(BD=CD

在Z80E和4C04中｛4BDE=Z.CDA

(DE=DA

：,LBDEACDA(依據(jù)一)：.BE=CA

在Z48E中，AB+BE>AE（依據(jù)二）

：,AB-\-AC>2AD.

任務(wù)一：上述證明過(guò)程中的“依據(jù)1”和“依據(jù)2”分別是指：

依據(jù)1：;

依據(jù)2：.

歸納總結(jié)：上述方法是通過(guò)延長(zhǎng)中線A。，使。2=40,構(gòu)造了一對(duì)全等二角形，將H3,AC,A。轉(zhuǎn)化到一

個(gè)三角形中，進(jìn)而解決問(wèn)題，這種方法叫做“倍長(zhǎng)中線法“倍長(zhǎng)中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之

間的關(guān)系.

任務(wù)二：如圖3,AB=3,4c=4,貝必。的取值范圍是；

D

圖3

任務(wù)三：如圖4,在圖3的基礎(chǔ)匕分別以AB和/1C為邊作等腰直角三角形，在RSABE中，4B4?=90。,

AB=AE；RtA4c尸中，LCAF=90°,AC=AF.連接EE試探究E尸與4。的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

D

圖4

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題型04平行線中點(diǎn)模型與雨傘模型

【平行線中點(diǎn)模型介紹】平行線之間夾中點(diǎn)，通過(guò)延長(zhǎng)過(guò)中點(diǎn)的線段與平行線相交，從而構(gòu)造一對(duì)全等三

角形，并將已知條件中的線段和角進(jìn)行轉(zhuǎn)移。

已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）

已知AB/7CD,點(diǎn)E,F分別

PEAPOEAQOF

在直線AB、CD上，點(diǎn)0為線A?一、-----7~*笈

.X

段EF的t點(diǎn)，延長(zhǎng)PO交CD

于點(diǎn)Q

C^----------

FQ

如圖AP平分NBAC,BD1AP,

AAABD2AACD,AB=AC,BD=CD

垂足為點(diǎn)D,延長(zhǎng)BD交AC于

點(diǎn)C

/P\

P

29.（2021上?江蘇蘇州?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，ZkABC中，AC=BC,NAC8=90。，AZ）平分NBAC交8c

于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)B作BE_LA。，交4）延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,尸為4B的中點(diǎn)，連接CR交A。于點(diǎn)G,連接BG.

（1）線段8E與線段4。有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；

（2）判斷△3EG的形狀，并說(shuō)明理由.

30.（2021上?江蘇南京?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，△中，A8=4C,ZBAC=90°,CO平分N4CB,BE_LC7）,

垂足E在C。的延長(zhǎng)線上.求證：BE=^CD.

第21頁(yè)共189頁(yè)

D.

31.（2018下?四川成都?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1,點(diǎn)4是直線MN上一點(diǎn)，點(diǎn)8是直線PQ上一點(diǎn)，且

MN//PQ.NM4B和N4BQ的平分線交于點(diǎn)C.

（1）求證：BC1AC；

（2）過(guò)點(diǎn)C作直線交MN于點(diǎn)。（不與點(diǎn)4重合），交PQ于點(diǎn)E,

①若點(diǎn)⑦在點(diǎn)4的右側(cè)，如圖2,求證：AD+BE=AB；

②若點(diǎn)。在點(diǎn)4的左側(cè)，則線段A。、BE、力8有何數(shù)量關(guān)系？直接寫(xiě)出結(jié)論，不說(shuō)理由.

圖1圖2

32.（2020?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，己知等腰直角三角形4BC中，4B=90。，8尸平分N/BC,

CD_LBO交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，試說(shuō)明：BF=2CD.

題型05截長(zhǎng)補(bǔ)短模型

模型的概述：該模型適用于求證線段的和差倍分關(guān)系，該類題目中常出現(xiàn)等腰三角形、角平分線等關(guān)鍵詞，

可以采用截長(zhǎng)補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形來(lái)完成證明。其中截長(zhǎng)指在長(zhǎng)線段中截取一段等于已知線段，補(bǔ)短指

將短線段延長(zhǎng)，使短線段加上延長(zhǎng)線段長(zhǎng)度等于長(zhǎng)線段。

圖解：已知線段AB、CD、EF,簡(jiǎn)述利用截長(zhǎng)補(bǔ)短法證明AB=CD+EF的方法

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ABAGBAB

CDCDCDH

?■????

EFEFEF

截長(zhǎng)法補(bǔ)短法

截長(zhǎng)法：在線段AB上，截取AG=CD,判斷線段GB和線段EF長(zhǎng)度是否相等

補(bǔ)短法：延長(zhǎng)線段CD至點(diǎn)H,使DH=EF,判斷線段AB和線段GH長(zhǎng)度是否相等

33.(2020上?山東濟(jì)南?八年級(jí)統(tǒng)考期末)【閱讀理解】截長(zhǎng)補(bǔ)短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加

方法.截長(zhǎng)就是在長(zhǎng)邊上截取一條線段與某一短邊相等，補(bǔ)短是通過(guò)在一條短邊上延長(zhǎng)一條線段與另一短

邊相等，從而解決問(wèn)題.

數(shù)量關(guān)系.

解題思路：延長(zhǎng)。。到點(diǎn)￡,使CE=BD,連接4E,ZBAC+ZBDC=180°,可證NA8D=NACE易證

得AABDgaACE,得出△AO￡是等邊三角形，所以從而探尋線段D4、DB、0c之間的數(shù)量關(guān)

系.根據(jù)上述解題思路，請(qǐng)直接寫(xiě)出。A、DB、QC之間的數(shù)量關(guān)系是：

【拓展延伸】

(2)如圖2,在RAABC中，ZBAC=90°,AB=AC.若點(diǎn)。是邊BC下方一點(diǎn)，ZBDC=90°,探索線段。4、

DB、OC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

【知識(shí)應(yīng)用】

(3)如圖3,兩塊斜邊長(zhǎng)都為4cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的直角頂點(diǎn)之間的距離

PQ的長(zhǎng)為cm.

34.(2022上?湖北孝感?八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖，在五邊形力8CDE中MB=4E,S平分"CO,乙以。=-^BAE.

2

第23頁(yè)共189頁(yè)

B

E

(1)求證：CD=BC+DE；

(2)若48二75。，求NE的度數(shù).

35.(2022上?湖北孝感?八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖，在四邊形4BCD中，4c與交于點(diǎn)0,4C平分BO平

分/CB4,^ADC+乙BCD=240°.

⑴求乙40B的度數(shù)；

(2)求證：0