中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)考情分類專項(xiàng)復(fù)習(xí)重難點(diǎn)突破12 與圓相關(guān)的6種模型（四點(diǎn)共圓、圓冪定理、垂徑定理、定弦定角、定角定高、阿基米德折弦定理）解析

重難點(diǎn)12與圓有關(guān)的6種模型

（四點(diǎn)共圓、圓幕定理、垂徑定理、定弦定角、定角定高、

阿基米德折弦定理）

錄

重難點(diǎn)題型突破

題型01四點(diǎn)共圓

題型02圓帚定理

題型03垂徑定理

題型04定弦定角

題型05定角定高模型（探照燈模型）

題型06阿基米德折弦定理

重難點(diǎn)題型突破

四點(diǎn)共圖

與

圓

有

關(guān)

的

6

種

模

型

題型01四點(diǎn)共圓

1.四點(diǎn)共圓的判定

判定方法圖形證明過程

若四個(gè)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的距離相等，到定點(diǎn)的距圈等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在同一個(gè)圓上

（圓的定義）

則這四個(gè)點(diǎn)共圓（圓的定義）.

適用范圍：題目出現(xiàn)共端點(diǎn)，等

線段時(shí)，可利用圓的定義構(gòu)造輔助0

圓.

若一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，則反證法

這個(gè)四邊形的四個(gè)點(diǎn)共圓.

若一個(gè)四邊形的外角等于它的內(nèi)反證法

對(duì)角，則這個(gè)四邊形的四個(gè)點(diǎn)共

圓.

同側(cè)共邊三角形且公共邊所對(duì)角反證法

相等的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.0

連接、

共斜邊的兩個(gè)直角三角形的四個(gè)AO0D

頂點(diǎn)共圓.根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半

可得A0二B0二CO二DO

適用范圍：雙直角三角形共斜邊

卜等，點(diǎn)A、B、C、D四點(diǎn)共圓

模型.

彳生Z\APB和4CPD中

在。0中，若弦AB、CD相交于點(diǎn)

AP?DP=BP?CP

P,且AP?DP=BP?CP,則A,B.C.D

四點(diǎn)共圓（相交弦定理的逆定理）-Z3=Z4

*'.△APB^ACPDAZ1=Z2

1MA.B、C、D四點(diǎn)共圓

彳生/XAPC和4DPB中

在。0中，若AB、CD兩線段延長(zhǎng)

AP?BP=CP?DP

后相交于點(diǎn)P,且AP?BP=DP?CP,

△

則ABC,D四點(diǎn)共圓（割線定理）ZP=ZP.*.APC^ADPB

I)**.Z1=Z3而N2+N3=180°

**.Zl+Z2=180°

WA、B、C、D四點(diǎn)共圓

若四邊形兩組對(duì)邊乘積的和等于

對(duì)角線的乘積，則四邊形的四個(gè)頂

點(diǎn)共圓（托勒密定理的逆定理）.?

【擴(kuò)展】

托勒密定理：圓的內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘枳.

證明：過點(diǎn)C作CP交BD于P,使又N3=N4,

AAACD^ABCP.,貝AC-BP=AD?BC①.

BCBP

VZ1=Z2.??N1+/ACP=N2+NACP則NACB=NI)CP而N5=N6

AAACB^ADCP.=康貝ijAC-DP=AB?CD②.

①+②得AC(BP+DP)=AB?CD+AD?BC.即AC-BD=AB-CD+AD-BC

1）共圓的四個(gè)點(diǎn)所連成同側(cè)共底的兩個(gè)三角形的頂角相等（如下圖1,NBAC=NBDC）；

2）圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)（如下圖2,Z1=Z2）;

3）圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角（如下圖3,Z1=Z3）.

1.（2020?山東東營(yíng)?東營(yíng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？既＃┤鐖D放置的兩個(gè)正方形，大正方形ABCD邊長(zhǎng)為a,小正方

形CEFG邊長(zhǎng)為b（a>b）,M在BC邊上，且BM=b,連接AM,MF,MF交CG于點(diǎn)P,將△ABM繞點(diǎn)

A旋轉(zhuǎn)至△ADN,將^MEF繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)至△NGF.給出以下五個(gè)結(jié)論：①NAND=ZMPC：②CP=b-三;

③△ABMgZXNGF；0S四邊形AMFN=吩+b2?,⑤A,M,P,D四點(diǎn)共圓.其中正確的個(gè)數(shù)是'：）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】①根據(jù)正方形的性質(zhì)得到/BAD=/ADC=NB=90。，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到NNAD=NBAM,

NAND二NAMB,根據(jù)余角的性質(zhì)得到NDAM+/NAD=/NAD+NAND=NAND+NNAD=9()c,等量代換

得到NDAM二/AND,故①正確：

②根據(jù)正方形的性質(zhì)得到VC//EF,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到=b-Q；故②正確；

a

③根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到GN=ME,等量代換得到AB=ME=NG,艱據(jù)全等三角形的判定定理得到

△ABMgANGF；故③正確；

④由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AM二AN,NF二MF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AM=NF,推出四邊形AMFN是矩形，

根據(jù)余角的想知道的NNAM=90。，推出四邊形AMFN是正方形，于是得至US四邊形AMFN=AM2=a?+b2；故④正

確；

⑤根據(jù)正方形的性質(zhì)得到NAMP=90。，NADP=90。，得到/ABP+NADP=180。，于是推出A,M,P,D四

點(diǎn)共圓，故⑤正確.

【詳解】解：①???四邊形ABCD是正方形，

,ZBAD=ZADC=ZB=90°,

/.ZBAM+ZDAM=90°,

,??將△ABM繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至△ADN,

N

：.ZDAM+NNAD=NNAD+ZAND=ZAND+ZNAD=90°,

AZDAM=ZAND,故①正確；

②;?四邊形CEFG是正方形，

APC/7EF,

/.△MPC-AEMF,

.PC_CM

**EF~ME'

???大正方形ABCD邊長(zhǎng)為a,小正方形CEFG邊長(zhǎng)為b(a>b),BM=b,

/.EF=b,CM=a-b,ME=(a-b)+b=a,

.PCa-b

■「丁

:.CP=b-彳;故②正確；

③1?將△MEF繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)至△NGF,

VAB=a,ME=a,

AAB=ME=NG,

在△ABM與△NGF中，

(AB=NG=a

NB=乙NGF=90°,

(GN=BM=b

/.△ABM^ANGF：故③正確；

④*?將,△ABM繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至△ADN,

JAM二AN,

???將△MEF繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)至△NGF,

???NF=MF,

VAABM^ANGF,

AAM=NF,

???四邊形AMFN是矩形，

VZBAM=ZNAD,

，ZBAM+DAM=ZNAD+ZDAN=90°,

AZNAM=90°,

???四邊形AMFN是正方形，

???在RSABM中,a2+b2=AM2,

**.Spnifi?AMFN=AM2=a2+b2：故④正確；

⑤???四邊形AMFN是正方形，

.\ZAMP=90°,

?IZADP=90°,

AZAMP+ZADP=180°,

AA,M,P,D四點(diǎn)共圓，故⑤正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了四點(diǎn)共圓，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)旋轉(zhuǎn)

的性質(zhì)，勾股定理，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?浙江宇波??？家荒＃┤鐖D，RtA/lBC中，AB=AC=12^2,Rta/WE中，AD=AE=672,直

線BD與CE交于P,當(dāng)4E4D繞點(diǎn)A任意旋轉(zhuǎn)的過程中，P到直線距離的最大值是.

【答案】3乃+3V2/3V2+3V6

【分析】數(shù)形結(jié)合，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況判斷點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)凱跡，再根據(jù)角度以及勾股定理求解最大值.

【詳解】解：如圖旋轉(zhuǎn)，連接DE,BC

以8c為直徑作O。，以力￡1為半徑作。力

過點(diǎn)B作O力的切線交。。r點(diǎn)M,N

在△A80和△ACE中

(AB=AC

AD=AE

(/.BAD=Z.CAE

ABD=△ACE

，Z.PBC+乙PBA+Z,ACB=乙PBC+Z.PCA+乙ACB=90°

:.BD1CE

???ABAC=乙BPC=90°,^.EAD=乙EPD=90°

???點(diǎn)4B&P共圓，點(diǎn)AE,0,P共圓,

???點(diǎn)P在MTtN上運(yùn)動(dòng)

-AB=12衣，OA的半徑為6或

工乙ABN=30°

:.CMBN=60°

???Z.M0N=120°

^*：Z.BAC=Z.EAD=90°,Z.CAD=/.CAD

???當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí)，到直線距離的最大，

:.Z.NCA=乙ABN=30°

過點(diǎn)。作OH1BN,過點(diǎn)N作NQ_AC,NR1AB,

???四邊形NQ4R是矩形，

1

NR=-BN

2

,:。是圓心，

1

???BH=5BN

：.BH=NR=AQ

設(shè)NQ=x

???CQ=y/3x,CN=2x

AQ=12&-限

vBH=AQ

:.BO2-OH2=BH2=AQ2

???AB=12V2

:.BC=42AB=V2x12V2=24

1

???BO=12,OH=-CN=x

乙

2

???122-x2=（12企-V3x）

解得：%=-3&+3遍，4=3魚+3傷（舍去）

：.AQ=12V2-V3-（3V6_3?=372+376

故答案為：3V6+3V2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓動(dòng)點(diǎn)的最值問題。熟練運(yùn)用四點(diǎn)共圓性質(zhì)以及勾股定理解直角三角形是解決本題

的關(guān)鍵.

3.（2019?浙江嘉興?統(tǒng)考二模）如圖，四邊形A8CO中，NA8C=N8CO=90。，A8=l,AEVAD,交BC于

點(diǎn)E,EA平分/BED.

（1）CQ的長(zhǎng)是；

（2）當(dāng)點(diǎn)尸是AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形4BC。的周長(zhǎng)是.

【答案】25+V3

【分析】（1）延長(zhǎng)D4，CB交于點(diǎn)H,由“ASA”可證可得A〃=』。，由平行得相似，依據(jù)

相似的性質(zhì)即可求解；

（2）先證明A,D,C,E四點(diǎn)共圓，因?yàn)槭茿C中點(diǎn)，依據(jù)垂徑定理，得到?！笔茿C的中垂線，依據(jù)線

段的垂直平分線的性質(zhì)可求得AQ的長(zhǎng)度，作4H_LCD于從可證四邊形A8C”是矩形，依據(jù)矩形的性質(zhì)，

結(jié)合線段長(zhǎng)度，可得4”是CD的中垂線，由此可得AC的長(zhǎng)度，在三角形A8C中，依據(jù)勾股定理可求得8c

的長(zhǎng)度，只需把各邊相加即可得到四邊形A8C。的周長(zhǎng).

【詳解】解：（1）如圖1中，延長(zhǎng)DA,CB交于點(diǎn)H,

/.ZAEH=ZAED,5.AE=AE,NE4D=90。,

:.、ADE9XAHE(ASA)

：,AH=AD,

,/N4BC=NBCO=90。，

：,AB//CD,

:.△ARHs△口CH、

且A8=l,AH=AD=-HD,

CDDH2

:.CD=2,

(2)如圖2中，作A”_LCO于凡

圖2

???ND4E=NOCE=90。,

???4,D,C,石四點(diǎn)共圓，設(shè)圓心為O,則點(diǎn)。是線段。石的中點(diǎn)，

又，：AF=CF,

：.DEYAC.

：,DA=DC,

ZABC=ZBCH=NA”C=90°,

J四邊形ABC”是矩形，

；.CH=AB=1,

VCD=2,

：.CH=HD=\,

又?:AH上CD,

：,AD=AC,

:?AD=C￡)=AC=2,

：.BC=>JAC2-AB2=V22-I2=V3,

???四邊形ABCD的周長(zhǎng)為2+2+1+75=5+VI

故答案為：(1)2；(2)5+V3.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，垂徑定理，線段的垂直平分線的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)等

知識(shí)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造中垂線、相似三角形、直角三角形，建立.未知線段與已知線段之間等

量的關(guān)系.

4.(2021上.山東煙臺(tái).九年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4、6坐標(biāo)分別為(3,0)、(0,4),

點(diǎn)C是x軸正半軸上一點(diǎn)，連接BC.過點(diǎn)A垂直于A8的直線與過點(diǎn)。垂直于8C的直線交于點(diǎn)。，連接

BD,則s加N8OC的值是.

【分析】根據(jù)圖形的特點(diǎn)證明NBQC=//M。，故可出s加N4QC的值.

【詳解】*：BAVAD,BCVCD

ZBAD=ZBCD=90°

??"、B、C、。四點(diǎn)共圓

，NBDA=NBCA

,/NBDA+NDBA=/BCA+ZCBO=90°

：.ZDBA=ZCBO

，ZDBA-ZCBA=ZCBO-ZCBA

即NDBG/AB。

乂NDBC+NBDC=NAB0+ZBA0=90。

:.NBDC=NBAO

???點(diǎn)A、8坐標(biāo)分別為(3,0)、(0,4),

?Mg,OA=3,A3W42+32=5

sinZBAO=^'=-

AB5

：.sinZBDC=^

【點(diǎn)睛】此題主要考杳三角函數(shù)的求解，解題的關(guān)鍵是熟知四點(diǎn)共圓的性質(zhì)、勾股定理及三角函數(shù)的求解

方法.

5.（2023下?湖北武漢?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）問題提出如圖1,點(diǎn)E為等腰△力內(nèi)一點(diǎn)，=AC^BAC=

a,將力￡繞著點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到力￡）,求證：△ABEWA4CD.

嘗試應(yīng)用如圖2,點(diǎn)。為等腰RtaABC外一點(diǎn)，AB=AC,BD1.CD,過點(diǎn)A的直線分別交DR的延長(zhǎng)線和

。。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,M,求證：S^ABN+ShACM=^AN-AM.

問題拓展如圖3,△ABC中，=點(diǎn)Q,E分別在邊AC,BC上,^BDA=LBEA=60°,AE,BD交

于點(diǎn)兒若CE=Q,AH=b,宜接寫出BE的長(zhǎng)度(用含小〃的式子).

【答案】見解析

【分析】問題提出：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證得4E=4D,/.BAC=LEAD=a,進(jìn)而得證NB4E=/&4D,即可

利用SAS證明△ABE三4ACD.

嘗試應(yīng)用：延長(zhǎng)MC,使CE=BN,連接4E,由題意可知4、B、C、。四點(diǎn)共圓，可得乙480二41。0,進(jìn)

而可得N/BN=AACE,利用SAS可證得△ABNACE,根據(jù)其性質(zhì)得/IN=AE,/BAN=/.CAE,S&ABN=

SA/ICE，進(jìn)而可證得￡4J-MN,SMME==；4N?AM=SMMC+S&ACE，即可得證S^ABN+S—CM=

-AN-AM.

2

問題拓展：將AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。至F,則△力為等邊三角形，由48n4=々BEA=60。，可知力、D、

E、B、/五點(diǎn)共圓，可得Nl=z3,Z2=44,乙BEF=Z-AEB=60°,根據(jù)NHEB=60°=zC+乙2,/.ABF=

60°=Z-ABC+Z3,可得N2=Z3=Z1=z4,進(jìn)而得證4AEF=△AEC,△BEH=△BFE可得EH=CE=a,

貝=/，+E"=a+b,作4M1BC交BC于M,貝ijBM=CM,可求得ME=AE-cos60°=:(a+b),CM=

ME+CE=：(a+b)+Q=|Q+=8M,即可求得BE的長(zhǎng)度.

【詳解】解：?jiǎn)栴}提出：

證明：'：AB=ACt4BAC=a，將4E繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到力。,

?\AE=AD,Z.BAC=LEAD=a,

C.LBAC-Z-AEC=LEAD-^AEC,BP：Z-BAE=Z.CAD,

AB=AC

在AABE^￡^4CD中，z_BAE=ACAD,

.AE=AD

J.LABE三△HCC(SAS).

嘗試應(yīng)用：延長(zhǎng)MC,使CE=BN,連接AE,

??NABC為等腰直角三角形，

：,AB=AC,Z-BAC=90°,

又,：RDLCD,即：Z.BDC=90%

.馬、B、C、。四點(diǎn)共圓，

:?乙ABD=Z.ACD,

：.LABN=Z.ACE,

AB=AC

在4/1BN與△4CE中，1/.ABN=LACE,

BN=CE

:“ABNZAACE(SAS).

：,AN=AE,4BAN=cCAE,

：,z.BAN+/.BAE=Z,CAE+/.BAE=Z.BAC=90°,即：EA1MN,

,?SMME=$力E?/M=-AN-AM=S^AMC+S^ACE

■:公ABN=^ACE

??S&ABN=S—CE，

：《AN-AM=S^AMC+S4ACE-S&AMC+^^ABN

即：S^ABN+S&ACM=^AN-AM.

問題拓展：將48繞點(diǎn)力逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。至F,則△48F為等邊三角形,

V/.BDA=LBEA=60°,

???力、D、E、B、F五點(diǎn)共圓，

則：zl=Z3,42=44,^BEF=Z-AEB=60°,

LAEB=60°=4C+42,4ABF=60°=/-ABC+43,

又=AC,

/.ABC=乙C,

.*.z2=z3=z.1=z.4,

*：AE=AE,41=42,AF=AC,

：.AAEF三△AEC(SAS)

：.CE=EF,

Vz3=乙4,BE=BE,乙BEF=/-AEB=60°,

:MBEH三△BFE(ASA)

：,EF=EH,

:,EH=CE=a,則4E=AH+EH=a+b,

作_LBC交8C于M,則BM=CM,

'：LAEB=60°,

：.ME=AE?cos60°=1(a+b),

ACM=ME+CE=g(a+b)+Q=|a+gb=BM,

則：BE=BM+ME=-a+-b+-(.a+b)=2a+b.

【點(diǎn)睛】本題屬于幾何綜合，考查全等三角的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，圓周角定理，

解直角三角形，添加輔助線構(gòu)造全等三角形和利用圓周角定理轉(zhuǎn)化角是解決問題的關(guān)鍵，屬于中考?jí)狠S題.

6.（2022上?江蘇鹽城?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，以點(diǎn)P（-l,0）為圓心的圓，交x軸于8、C兩點(diǎn)（8在C的左

側(cè)），交），軸于A、。兩點(diǎn)（A在。的下方），AD=2,將（ABC繞點(diǎn)尸旋轉(zhuǎn)180。，得到△MCB.

（1）求8、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）請(qǐng)?jiān)趫D中畫出線段M3、MC,并判斷四邊形ACM3的形狀（不必證明），求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）動(dòng)直線/從與8M重合的位置開始繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，到與BC重合時(shí)停止，設(shè)直線/與CM交點(diǎn)為E,點(diǎn)Q

為BE的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EG1BC于G,連接MQ、QG.請(qǐng)問在旋轉(zhuǎn)過程中zMQG的大小是否變化？若不變，

求出ZMQG的度數(shù)；若變化，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴。（-1-企,0）,C（-l+V2,0）

（2）圖見解析，四邊形/1CM8是矩形，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（一2,1）

（3）在旋轉(zhuǎn)過程中/MQG的大小不變，始終等于135。

【分析】（1）連接4P,結(jié)合題意：根據(jù)圓的對(duì)稱性，得4。=。。=：/1。=1；再根據(jù)勾股定理計(jì)算得AP,

再根據(jù)圓的性質(zhì)，得8P=CP=4P,從而得到8、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）結(jié)合題意，根據(jù)圓周角的性質(zhì)，得4B4C=90。；再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得Z8MC=^BAC=90°,BM=AC,

CM=4B,從而推導(dǎo)得出四邊形ACM8是矩形;過點(diǎn)M作MN1BC交BC于點(diǎn)、N,證明△AOP訃MNP（AAS）,

可得點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）結(jié)合題意，得乙BMC=乙BGE=90。；再結(jié)合點(diǎn)。是BE的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊中線性質(zhì)，得QM=

QE=QB=QG,從而推導(dǎo)得點(diǎn)￡M、B、G在以點(diǎn)。為圓心、QB為半徑的圓上，故得/MQG=24M8G；

再根據(jù)4M8G=NPG4,NPC4=*180。一乙。4P）,即可求解.

【詳解】（1）解：如圖，連接4P.

由睡意知，BC是以點(diǎn)P(—1,0)為國(guó)心的圓的直徑，AD=2,BCLAD,

AO=DO=-2AD=1,OP=L

:.AP=70P2+0。2=71+12=企，

:.BP=CP=AP=V2,

又???P(T0),8在。的左側(cè)，

???F(-l-V2,0),C(-l+V2,0)；

(2)解：如圖，四邊形4CMB是矩形，

?.?以點(diǎn)P(-l,0)為圓心的圓，交x軸于反。兩點(diǎn)(8在。的左側(cè)),

BC是圓的直徑，

???LBAC=90°,

???將△ABC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180。得到△MCB,

二LBMC=Z-BAC=90%BM=AC,CM=AB,

.?.四邊形力CMB是矩形.

過點(diǎn)、M作MNJ.BC交BC于點(diǎn)、N.

MNP中，

Z-AOP=乙MNP

乙APO=乙MPN，

,AP=MP

:.^AOP三△MNP(AAS),

:.MN=OA=1,NP=OP=1,

又；P(-1,0),

???點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-2,1)；

(3)解：如圖，

結(jié)合(2)的結(jié)論，四邊形4CM8是矩形，LBMC=90°,

*?,EG1BO,

???LBGE=90°,

:.LBMC=Z-BGE=90°,

?:點(diǎn)Q是BE的中點(diǎn)，

:.QM=QE=QB=QG,

.?.點(diǎn)￡、M、B、G在以點(diǎn)。為圓心、Q4為半徑的圓上，

ALMQG=2乙MBG.

???OP=OA,LAOP=90°,

:.LOPA=Z.OAP=45°,

又???PA=PC,

LPCA=1(180°-Z.OAP)=67.5°,

?.?四邊形ACMB是矩形，

???ACWMB,

???乙MBG=Z.PCA=67.5。

乙MQG=2乙MBG=135°.

二在旋轉(zhuǎn)過程中乙MQG的大小不變，始終等于135。.

【點(diǎn)睛】本題屬于圓內(nèi)綜合題，考查圓的基本知識(shí)，垂徑定理，圓周角定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形斜

邊中線的性質(zhì)，平面直角坐標(biāo)系，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理

等，綜合性較強(qiáng)，有一定難度，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用上述知識(shí)，逐步推導(dǎo)論證.

7.(2022?遼寧葫蘆島?統(tǒng)考一模)射線AB與直線CO交于點(diǎn)E,NAEO=60。，點(diǎn)尸在直線上運(yùn)動(dòng)，連

接AF,線段"繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到AG,連接尸G,EG,過點(diǎn)G作GH，48于點(diǎn)從

圖1

(1)如圖1,點(diǎn)尸和點(diǎn)G都在射線A8的同側(cè)時(shí)，EG與G"的數(shù)量關(guān)系是；

(2)如圖2,點(diǎn)”和點(diǎn)G在射線A3的兩側(cè)時(shí)，線段E”，AE,GH之間有怎么樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)

論；

(3)若點(diǎn)尸和點(diǎn)G都在射線的同側(cè)，AE=1,EF=2,請(qǐng)直接寫出，G的長(zhǎng).

【答案】⑴HG=9G；

(2)GH=^(AE-EF),證明見解析；

⑶黑苧

【分析】（I）先證明△G力尸是等邊三角形得匕力GF=60°,再證明點(diǎn)A、E、G、尸四點(diǎn)共圓，得4GE尸=^GAF=

60°,從而計(jì)算得到NGEH=180°-LAED-乙GEF=60°,最后在直角三角形GE”中，求出空=tan^GEH=

EG

tan60o=￥即可得到答案；

（2）在射線ED上截取EN=4E,連接AN,如圖3,先證△4EN是等邊三角形，得/￡=4N,^EAN=60°,

再證/G4E=/凡4N,從而得到三△凡4N,進(jìn)而得sin60。=瞿=鳥從而求得結(jié)論；

（3）分兩種情況討論求解G”的長(zhǎng)，①當(dāng)點(diǎn)/和點(diǎn)G都在射線A8的右側(cè)時(shí)，在射線E。上取一點(diǎn)M,使

得EM=EG,連接MG,如圖4；②當(dāng)點(diǎn)尸和點(diǎn)G都在射線AB的左測(cè)時(shí),在線段GE上取一點(diǎn)N,使得NE=EF,

如圖5,通過構(gòu)造三角形全等，利用三角函數(shù)求解即可.

【詳解】（1）解：?.?線段Ab繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到4G,

:.LGAF=60°,AG=AF,

△GA尸是等邊二角形，

LAGF=AAFG=60°,AG=AF=GF,

???NAEO=60。，

???LAGF=Z.AED,

.?.點(diǎn)A、E、G、尸四點(diǎn)共圓，

:.LGEF=Z.GAF=60°,

:.LGEH=180°-乙AED-Z,GEF=60°,

vGHLAB,

???保=tan乙GEH=tan60°=

???HG=?EG,

2

故答案為："G=/EG；

A

D

(2)解：在射線E。上截取EN=4E,連接4V,如圖3,

*：LAED=60°,

???AHEN是等邊三角形，

：.AE=AN,乙EAN=60。

VAf=AG,4FAG=60°,

：.LGAE=乙FAN

：,LGAE"FAN,

：,LGEA=Z.FNA=60°,GE=FN

AE-EF=FN=GE,

*：GH1AB

..,?GHW

??51116o0=獲=3'

：

.CH=-2GE,

??.G”=^(4E-EF)；

(3)①當(dāng)點(diǎn)尸和點(diǎn)G都在射線的右側(cè)時(shí)，在射線EO上取一點(diǎn)使得FM=EG,連接MG,如圖4,

???線段AF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到AG,

???LGAF=60°,AG=AF,

是等邊三角形，

???LAGF=Z.AFG=Z.FAG=60°,AG=AF=GF,

???NAED=60。，

???LAGF=Z.AED,

.?.點(diǎn)A、E、G、尸四點(diǎn)共圓，

A乙GEH=AGFA=60°,乙GEF=乙GAF=60。，

???EM=EG,

:，△GEM是等邊三角形，

EM=GM=EG/EGM=60°，

:.LEGM=/.EGA+Z.MGA=60°=乙EGM=Z.MGF+Z-MGA,

LEGA=AMGF,

???△EGA=△MGF,

:.MF=AE=1,

GE=EM=EF-MF=2-1=1,

???GHLAB,

???HG=sin乙GEH-EG=sin60°EG=-,

2

②當(dāng)點(diǎn)”和點(diǎn)G都在射線AB的左側(cè)時(shí)，在線段GE上取一點(diǎn)N,使得NE=EF,如圖5,

???LAGF=Z.AED=60°,

.??點(diǎn)A、E、G、尸四點(diǎn)共圓，Z-AEF=180°-LAED=120°

???LNGF=^.EAD,乙GEF=Z.GAF=60°,4AEG=乙AFG=60°,

?:NE=EF,

:.ANEF是等邊三角形,

NE=EF=NF=\,乙ENF=60°,

:.LGNF=180°-乙ENF=120°,

LGNF=44EF,

:.△GNF=△AEF>

GN=AE=2,

???0￡=GN+NE=2+l=3,

???Gil1AB,^AEG=60°,

(;/7=G￡'-sin60o=1>/3,

【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)以及旋

轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵.

8.（2021.福建?校聯(lián)考二模）如圖，四邊形48CD內(nèi)接于。0,對(duì)角線4cl8D,垂足為E,CF_AB于點(diǎn)、F,

直線CF與直線8D于點(diǎn)G.

D

（1）若點(diǎn)G在O。內(nèi)，如圖1,求證：G和D關(guān)于直線4c對(duì)稱；

（2）連接/1G,若/G=8C,且/1G與。。相切，如圖2,求418c的度數(shù).

【答案】（1）見解析；（2）Z/1BC=112.5°

【分析】（1）根據(jù)垂直及同弧所對(duì)圓周角相等性質(zhì)，可得乙4CG可證4CEG與4CE。全等，得到0E=

GE,進(jìn)一步即可證點(diǎn)G和。關(guān)于直線力C成軸對(duì)稱；

⑵作出相應(yīng)輔助線如解析圖，可得ZL4Gr與4CGF全等，利用全等三角形的性質(zhì)及切線的性質(zhì)，可得BC〃。4

根據(jù)平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和即可得出答案.

【詳解】解：（1）證明：?.?CF1.4B,BELAC,

:?乙CEG=乙AFC=90°,

*：LEGC=Z.FGB,

：.2.ABD=/.ACF,

又???同弧所對(duì)圓周角相等,

：.LABD=Z.ACD,

：.LACG=Z-ACD,

S.6CEG^ACED^P，

（乙GEC=乙DEC

CE=CE

\LACG=乙ACD

ACEG=△GED,

：.DE=GE,

又CE1GD,

:.點(diǎn)G和。關(guān)于直線力。成軸對(duì)稱；

（2）如圖，延長(zhǎng)C8交力G于點(diǎn)H,連接04,OB,OC,EF,

D

?：BE1AC,AF1CG,

???4、G、F、E四點(diǎn)共圓，B、F、C、E四點(diǎn)共圓，

：,LGAF=Z.GEF=乙BCF,Z.AHB=乙BFC=90°,

在NAGF與"8F中，

(/.AFG=乙BFC

1/.GAF=乙BCF,

(AG=CB

AAGF=△CBF,

：.AF=CF,

???A/1FC為等腰直角三角形，

：.LBAC=45°,

：.LBOC=90°,

又OB=OC,

：,LOBC=45°,

??MG與。0相切，

JO41AG,

：.BC//OA,

，乙4OB=乙OBC=45°,

C.LACB=-Z-AOB=22.5°,

2

：,LABC=180°-Z.BAC-Z-ACB=112.5°,

???乙48c=112.5°.

【點(diǎn)睛】題目主要考杳圓的有關(guān)性質(zhì)、三角形全等、成軸對(duì)稱、平行線性質(zhì)等，作出相應(yīng)輔助線及對(duì)各知

識(shí)點(diǎn)的熟練運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

9.(2021上?上海徐匯?九年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖，已知IAGABC和4△COE,^ACB=^CDE=90°,乙CAB

ZCED,216=8,夙？=6,點(diǎn)。在邊力B上，射線CE交射線ZM于點(diǎn)F.

E

(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)尸在邊AB上時(shí)，聯(lián)結(jié)4E.

①求證：AE||BC；

②若E/7=gCF,求8。的長(zhǎng)；

(2)設(shè)直線AE與直線。。交于點(diǎn)P,若為等腰三角形，求BF的長(zhǎng).

【答案】⑴①見解析：②!：(2)8尸的長(zhǎng)為詈或30

【分析】(1)①先證明△/BCs/kEC。，再證明△CAF-ZkDE凡&AFE八CFD,推導(dǎo)出，R4E=zB,得

AEIIBC；

②由B%,得襄=裝=笑=：,依次求出力8、4￡、"、的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出CE的長(zhǎng)，

BCnrCr2

再求出80的長(zhǎng)；

(2)分三種情況討論，一是PE=CE,可證明△P/1D三△C80,求出AP的長(zhǎng)，在Rt△瓦4c中根據(jù)勾股定理

求出A￡的長(zhǎng)，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出8”的長(zhǎng)；二是PC=EC,可證明3D=BC=6,則4f=HP=

AD=4,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出8"的長(zhǎng)；三是PE=PC,可證明CE//AB,此時(shí)射線CE與射線BA沒

有交點(diǎn).

【詳解】(1)①證明：如圖1,???乙4c8=4CDE=90°,乙CAB=“ED,

2ABeECD(AA),

Z.B=Z.ECD,

vZ.CAF=Z.DEF,乙AFC=LEFD,

:.&CAF-△DEF(44),

：AF.DF=EF-CF,泮器

.?Z.AFE=乙EFD,

:心AFEfCFD(SAS),

???Z.FAE=乙ECD,

???Z.FAE=乙B,AE||BC.

②如圖1,???EF=\CF,

'：AE||BC

/.NBAE:NCBA

又「NAFE=NBFC

:AAFE八BFC(A4),

AEAFEF1

??-----,

BCBFCF2

v24c=8,BC=6,

:.AB=W+62=io,

1IIIin2220

.-.AE=-BC=-x6=3,AF=-AB=ix10=-,BF=-AB=-x10=-

22333333

'：AE||BC

：.LEAC=180°-Z-ACB=90°,

CE=V82+32=V73,

EF=-CE=—,CF=-CE=—,

3333

VZEAC=ZCDE=90°

:?C、4、E、。四點(diǎn)共圓，

：,ZCEA=ZCDA

A^AEF^/XDCF(AA)

.AF_CF

**EF~OF"

：.AF-DF=CF-EF,即又。尸=皿乂源,

333

解得OF=9

JIo

：.BD=BF-DF=史一々=2.

3155

(2)如圖2,PE=CE,

:.PD=CD,

vAP||BC,

二ZP=乙BCD,/.PAD=Z.B?

??.△PADmaCBD(AAS),

???AP=BC=6,

CE=PE=AE+6,

?：LCAB=乙CED

???C、E、4、。四點(diǎn)共圓

又1?/CDE=90°

???/CAE=90°

：.AE2+AC2=CE2,

AE2+82=(4￡+6)2,

???AE=

VAE\\BC,

AAFEs△BFC

7

.竺_竺_3_二

"'BF='BC=~6=18

-B-F--1-0=一7,

BF18

，吁五180

如圖3,PC=EC,

c

/.AP=AE,/.ACE=Z/1CP,

設(shè)DE交AC于點(diǎn)G,

vZ.CEG=Z.DAGtZ.CGE=Z-DGAt

CEGDAG,

???Z.ACE=Z.ADE=Z.ACP,

v乙BDC+Z.ADE=90。，乙BCD+Z.ACP=90°,

Z.BDC=乙BCD,

???BD=BC=6,

vZ.ADP=Z.BDC,Z.P=/.BCD,

:.Z.ADP=乙P,

:.AE=AP=AD=10-6=4,

FAEFBC,

A-AF=-AE=-4=—2

BFBC63

BP-10_2

BF~3

BF=30；

如圖4,PE=PC,則心力EC=4DCE,

vZ.CAE=乙EDC=90。，CE=EC,

???△ACE=△DEC,

???/.ACE=乙DEC=Z.BAC,

???CEIIAB,

???射線CE與射線BA沒有交點(diǎn)，

綜上所述，8戶的長(zhǎng)為詈或30.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理的應(yīng)用，分類討論等腰三角形PCE邊的關(guān)系式解

決本題的關(guān)鍵.

10.（2022.河南安陽(yáng).統(tǒng)考一模）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

西姆松定理是一個(gè)平面幾何定理，其表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊或其延

長(zhǎng)線的垂線，則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）.

某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們嘗試證明該定理.

如圖（1）,已知△/AC內(nèi)接于點(diǎn)P在。。上（不與點(diǎn)八，B,。重合），過點(diǎn)P分別作/IB，BC,/C的

垂線，垂足分別為.點(diǎn)。，E,尸求證：點(diǎn)。，E,尸在同一條直線上.

如下是他們的證明過程（不完整）:

圖⑴

如圖（1）,連接PB,PC,DE,EF,取PC的中點(diǎn)Q,連接QE,QF,則EQ="Q=1PC=PQ=CQ,（依據(jù)

1）

:?點(diǎn)、E,F,P,C四點(diǎn)共圓，.?.NFCP+NFEP=180。.（依據(jù)2）

又,：/AC.P+/ARP=1R0°,

:?乙FEP=乙ABP.

同上可得點(diǎn)B,D,P,￡四點(diǎn)共圓，

任務(wù)：

⑴填空：

①依據(jù)1指的是中點(diǎn)的定義及:

②依據(jù)2指的是.

⑵請(qǐng)將證明過程補(bǔ)充完整.

（3）善于思考的小虎發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)P是跑的中點(diǎn)時(shí)、BD=CF,請(qǐng)你利用圖（2）證明該結(jié)論的正確性.

【答案】（1）①直角三角形斜邊上的中線等丁斜邊的半；②圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)

(2)見解析

(3)見解析

【分析】(1)利用直角直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)和圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)即可；

(2)利用直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)證明點(diǎn)E,F,P,C和點(diǎn)、B,D,P,E四點(diǎn)分別共圓，再說明

ZFEP+ZDEP=\SO0,可證明結(jié)論；

(3)連接以，PB,PC,利用HL證明即△PBDgRAPC凡從而得出結(jié)論.

【詳解】(1)①依據(jù)1指的是中點(diǎn)的定義及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，

②依據(jù)2指的是圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，

故答案為：①直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；②圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；

(2)如圖(1),連接P8,PC,DE,EF,取PC的中點(diǎn)Q,連接QE、QF,

圖⑴

則EQ=FQ=：PC=PQ=CQ,

:.點(diǎn)、E,F,P,C四點(diǎn)共圓,

AZFCP+ZFEP=180°,

又?「ZACP+ZABP=\S00,

?"FEP=/ABP,

向上可得點(diǎn)8,D,P,E四點(diǎn)共圓,

/DBP=NDEP,

,/NABP+NQBP=I8O0,

:?NFEP+NDEP=180°,

???點(diǎn)。，E,尸在同一直線上;

(3)如圖，連接PA,PB,PC.

A

'9o

一

P

???點(diǎn)尸是"的中點(diǎn)，

：.RP=此，

：.BP=PC,/.PAD=乙PAC.

又,：PDLAD,PFLAC,

:?PD=PF,

A△PBD=^PCF,

??.BZ）=CF.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了四點(diǎn)共圓，以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性

質(zhì)等知識(shí)，證明即尸是解題的關(guān)鍵.

11.（2023?山東日照?統(tǒng)考中考真題）在探究“四點(diǎn)共圓的條件”的數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小霞小組通過探究得出：在

平面內(nèi)，一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.請(qǐng)應(yīng)用此結(jié)論.解決以下問題：

如圖I,△48C中，AB=AC,4C=a（60。Va<180。）.點(diǎn)。是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)。不與。重

合），將線段4。繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a到線段AE,連接8E.

圖2著用圖

（1）求證：A,E,B,。四點(diǎn)共圓；

（2）如圖2,當(dāng)｛0=CD時(shí)，00是四邊形4E8。的外接圓，求證:4C是。。的切線；

（3）已知a=120。，8c=6,點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，此時(shí)OP是四邊形AEBD的外接圓，直接寫四圓心P與點(diǎn)

M距離的最小值.

【答案】（1）證明見解析

⑵證明見解析?

【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到4E=40，匕04E=a,證明4=4&4D,進(jìn)而證明△4BE三△4CD,

可以得至IJ乙4E8=乙4DC,由乙4DC+=180°,可得乙4EB+乙4DB=180°,即可證明48、。、E

四點(diǎn)共圓；

(2)如圖所示，連接040D,根據(jù)等邊對(duì)等角得到乙4"=乙4c8=〃MC,由圓周角定理得到乙4。。=

2Z.ABC=ZZ.DAC,再由CM=0。，得至ij4O4〃=Z.ODA,木ij用二角形內(nèi)角和定理證明4LMC+Z.0AD=90",

即/。4C=90°,由此即可證明4C是O。的切線；

(3)如圖所示，作線段48的垂直平分線，分別交AB、BC于G、F,連接力M,先求出48=4C=30。，再

由三線合一定理得到BM=CM=；BC=3,AM1BC,解直角三角形求出/W=2百，則=

再解Rtz\8G/得到BF=2,則FM=1：由0P是四邊形力的外接圓，可得點(diǎn)P-定在48的垂直平分線

上，故當(dāng)MPJLG"時(shí)，PM有最小值，據(jù)此求解即可.

【詳解】(1)證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得力K=4。，LDAE=a.

C.LBAC=Z.DAE,

：,LBAC-/.BAD=Z-DAE-/-BAD,即NBAE=ACAD,

又FB=AC,

：.LABE=△zlCD(SAS),

2.AEB=Z.ADC,

*：LADC+LADB=180°,

：.LAEB+Z.ADB=180°,

?"、B、。、E四點(diǎn)共圓;

(2)證明：如圖所示，連接040D,

?Z8=AC,AD=CD,

：.￡ABC=/.ACB="AC,

。是四邊形AEBD的外接圓，

：,LAOD=2/.ABC,

：.LAOD=2Z.ABC=2/.DAC,

*：0A=00,

/.LOAD=LODA,

LOAD+Z,ODA+Z.AOD=180°,

：.2z.DAC+2Z.OAD=180°,

???乙DAC+4OAD=90。，BPzO/lC=90°,

：,0ALAC,

又704是O。的半徑，

??/C是。。的切線；

圖2

（3）解：如圖所示，作線段A8的垂直平分線，分別交48、BC于G、F,連接4M,

'：AB=AC,^.BAC=120°,

：,LB=zC=30°,

???點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，

IBM=CM=-BC=3,AM1BC,

2

'.AB==2A/3,

cosB

：.BG=-AB=V3,

2

在RtABGF中，BF