高考重難點題型歸納32講下冊（學(xué)生版）

高考重難點題型32講（下冊）第17講數(shù)列遞推求通項15類 5【題型一】通過“累加法”學(xué)通項思想1：基礎(chǔ)型 5【題型二】通過“累加法”學(xué)通項思想2：換元型與同除型 5【題型三】通過“累加法”學(xué)通項思想3：復(fù)雜“同除換元型” 6【題型四】累積法 6【題型五】周期數(shù)列 7【題型六】構(gòu)造二階等比數(shù)列型（待定系數(shù)型） 7【題型七】分式遞推 8【題型八】構(gòu)造二階等差數(shù)列 8【題型九】前n項積型 9【題型十】特殊通項1：“和”型求通項 9【題型十一】特殊數(shù)列2：正負(fù)相間討論型 10【題型十二】特殊數(shù)列3：奇偶討論型 10【題型十三】特殊數(shù)列4：“求和公式換元”型 11【題型十四】特殊數(shù)列5：因式分解型求通項 12【題型十五】特殊數(shù)列6：其他幾類特殊數(shù)列求通項 12【題型十六】壓軸小題 13【題型一】求和思維基礎(chǔ)：由sn求an的關(guān)系 16【題型二】錯位相消法三種思維求法 16【題型三】分組求和法 17【題型四】求和難點1：裂項相消基礎(chǔ)思維 17【題型五】求和難點2：函數(shù)型裂項相消 18【題型六】求和難點3：指數(shù)型裂項相消 19【題型七】求和難點4：指數(shù)等差型裂項相消 19【題型八】求和難點5：奇偶正負(fù)型裂項相消 20【題型九】求和難點6：裂項為“和”型以相消 21【題型十】求和難點7：指數(shù)型裂項為“和”以相消 21【題型十一】求和難點8：無理根式型裂項 22【題型十二】求和難點9：三項積式裂項相消 23【題型十三】求和難點10：先放縮后裂項 23【題型十四】求和難點11：利用組合數(shù)公式裂項求和 24【題型十五】求和難點12：分段數(shù)列求和 24第19講基本不等式16類 27【題型一】基礎(chǔ)型 27【題型二】“1”的代換型 28【題型三】“和”與“積”互消型 28【題型四】以分母為主元構(gòu)造型 29【題型五】構(gòu)造分母：待定系數(shù) 29【題型六】分子含參型：分離分子型 30【題型七】反解代入型:消元法 30【題型八】因式分解型 31【題型九】均值用兩次 31【題型十】換元型 32【題型十一】“和”與所求和系數(shù)不一致型 32【題型十二】“均值裂項”湊配型 33【題型十三】整體化同乘方程型 33【題型十四】三元最值型 34【題型十五】恒成立求參數(shù)型 34【題型十六】超難壓軸小題 35第20講立體幾何中的軌跡問題6類 37【題型一】由動點保持平行性求軌跡 37【題型二】動點保持垂直性求軌跡 38【題型三】由動點保持等距（或者定距）求軌跡 39【題型四】由動點保持等角（或定角）求軌跡 41【題型五】投影求軌跡 42【題型六】翻折與動點求軌跡（難點） 43第21講立體幾何截面問題10類 48【題型一】做截面的基本功：補(bǔ)全截面方法 48【題型二】截面形狀的判斷 50【題型三】平行關(guān)系確定截面 51【題型四】垂直關(guān)系確定的截面 52【題型五】求截面周長 53【題型六】求截面面積 53【題型七】球截面 54【題型八】截面分體積 55【題型九】不規(guī)則截面（曲線形截面） 55【題型十】截面最值 57第22講外接球10類 62【題型一】長方體模板1：三線垂直型 62【題型二】長方體模板2：構(gòu)造長方體3個模型 63【題型三】直棱柱模板：線面垂直（重點） 64【題型四】垂面型 64【題型五】萬能模板：外心垂線相交型（難點） 65【題型六】特殊幾何體：正三棱錐和正四面體 66【題型七】四棱錐 67【題型八】組合體外接球 67【題型九】球定義法 68【題型十】圓錐與圓柱外接球 69第23講立體幾何求角度、距離9類 72【題型一】求異面直線所成的角 72【題型二】求直線和平面所成角 73【題型三】求二面角的平面角 74【題型四】翻折中的角度 76【題型五】三種角度之間的相互關(guān)系 77【題型六】三種角度比大小 78【題型七】球中的角度 79【題型八】壓軸小題中的角度題型 80【題型九】距離 82第24講立體幾何大題15類 85【題型一】平行1：四邊形法證線面平行 85【題型二】平行2：中位線法證線面平行 86【題型三】平行3：做平行平面法證線面平行 88【題型四】平行4：難題--線面探索型 89【題型五】平行5：證面面平行 90【題型六】平行6：難題--面面平行探索性題型 91【題型七】垂直1：線面垂直 92【題型八】垂直2：面面垂直 94【題型九】垂直3：難題--垂直探索性題型 95【題型十】垂直4：難題--翻折中的垂直 96【題型十一】體積1：常規(guī)求法和等體積轉(zhuǎn)化型 98【題型十二】體積2：難題--多面體割補(bǔ)型 98【題型十三】體積3：難題兩部分體積比 100【題型十四】體積4：難題動點型 101【題型十五】體積5：難題--最值型 103第25講圓錐小題壓軸9類 109【題型一】第一定義及其應(yīng)用 110【題型二】第二定義及應(yīng)用 110【題型三】第三定義及其應(yīng)用 111【題型四】焦點三角形與離心率 112【題型五】定比分點 113【題型六】焦點三角形與四心 114【題型七】共焦點的橢圓雙曲線性質(zhì) 114【題型八】切線與切點弦 115【題型九】多曲線 116第26講軌跡求法8類 119【題型一】直接法求軌跡 119【題型二】相關(guān)點代入法 120【題型三】定義法 120【題型四】交軌法 121【題型五】參數(shù)法 122【題型六】立體幾何中的軌跡 122【題型七】向量與軌跡 124【題型八】復(fù)數(shù)中的軌跡（新高考） 125第27講圓錐曲線壓軸大題10類 128【題型一】五個方程題型框架 128【題型二】直線設(shè)法 129【題型三】雙變量直線核心理解 130【題型四】直線過定點 132【題型五】圓過定點 133【題型六】面積的幾種求法 134【題型七】面積最值 135【題型八】定值 136【題型九】最值與范圍 137【題型十】第六個方程的積累 138第28講圓錐曲線點代入和非對稱9類 142【題型一】基礎(chǔ)型：韋達(dá)定理+點帶入法 142【題型二】定比分點型：a=b 143【題型三】點帶入型：拋物線獨有的代入方法 144【題型四】非對稱型：利用韋達(dá)定理構(gòu)造“和積消去”型 145【題型五】切線 147【題型六】暴力計算型：求根公式 148【題型七】無韋達(dá)定理：點代入法 150【題型八】坐標(biāo)運算 152【題型九】綜合題 153第29講離心率14類 158【題型一】判斷橫放豎放求參 158【題型二】直接法 159【題型三】補(bǔ)連另一焦點利用定義 160【題型四】余弦定理1：基礎(chǔ)型 160【題型五】余弦定理2：勾股定理用兩次 161【題型六】余弦定理3：余弦定理用兩次 162【題型七】中點型 163【題型八】多曲線交點1：和拋物線 164【題型九】多曲線交點2：與圓 165【題型十】多曲線交點3：雙曲線和橢圓 166【題型十一】雙曲線特性1：漸近線 167【題型十二】雙曲線特性2：內(nèi)心 168【題型十三】難點1：借助向量構(gòu)造 169【題型十四】難點2：小題大做型 170第30講排列組合12類 174【題型一】人坐座位模型1：捆綁與插空 174【題型二】人坐座位模型2：染色（平面） 174【題型三】人坐座位模型3：染色（空間）: 175【題型四】書架插書模型 177【題型五】球放盒子模型1：球不同，盒子也不同 177【題型六】球放盒子模型2：球相同，盒子不同 178【題型七】相同元素排列模型1：數(shù)字化法 178【題型八】相同元素排列模型2：空車位停車等 180【題型九】相同元素排列模型3：上樓梯等 181【題型十】多事件限制重疊型 181【題型十一】多重限制分類討論 182【題型十二】綜合應(yīng)用 183第31講線性和非線性回歸7類 188【題型一】線性回歸 188【題型二】殘差 190【題型三】剔除數(shù)據(jù)重新計算 192【題型四】非線性回歸1：指數(shù)型 194【題型五】非線性回歸2：反比例型 197【題型六】非線性回歸3：對數(shù)型 200【題型七】非線性回歸4：其他函數(shù)型 202第32講概率壓軸大題8類 212【題型一】馬爾科夫鏈基礎(chǔ)模型 212【題型二】馬爾科夫鏈之傳球模型 213【題型三】游走模式 215【題型四】藥物試驗?zāi)Ｊ?217【題型五】商場促銷 219【題型六】證明概率、期望等不等式 221【題型七】摸球與射擊模型 222【題型八】模擬壓軸題選講 224第17講 數(shù)列遞推求通項15類【題型一】通過“累加法”學(xué)通項思想1：基礎(chǔ)型【典例分析】已知數(shù)列an中，已知a12，，則a50等于（）A．2451B．2452C．2449D．2450【變式演練】1.已知數(shù)列a滿足a2，an1a2n，則a（）n1n9A．510B．512C．1022D．10242.已知數(shù)列{an}滿足a11，an1an+1nn11，n∈N*，求數(shù)列的通項公式an.3.數(shù)列中，1=0,+1? =+1+1且 =9，則=_________【題型二】通過“累加法”學(xué)通項思想2：換元型與同除型【典例分析】已知數(shù)列an滿足：a113，(n1)an1nan2n1，nN*，則下列說法正確的是（）A．a(chǎn)n1anB．a(chǎn)n1anC．?dāng)?shù)列an的最小項為a3和a4D．?dāng)?shù)列an的最大項為a3和a4【變式演練】1.在數(shù)列a中，a12，an1anln11，則a（）n1nnA．a(chǎn)8B．2n1lnnC．1nlnnD．2nnlnn2.已知數(shù)列an滿足a132，annn1an12nn.（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，求滿足Sn12的所有正整數(shù)n的取值集合.anan1*3.已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an﹣an+1＝nN，則a10的值是（）n(n1)A．2B．1C．10D．532192【題型三】通過“累加法”學(xué)通項思想3：復(fù)雜“同除換元型”【典例分析】已知數(shù)列a滿足a1，n(n1)an1aaa，則數(shù)列a的通項公式a____．n12nn1nnn【變式演練】1.已知數(shù)列{a}滿足nan1(n1)a1(nN*),a2，則a______.nn320212.已知數(shù)列an中，a12，nan1anan1，nN*，則ann的取值范圍是_____________．【題型四】累積法【典例分析】已知數(shù)列an滿足(n1)an1ann，a12，則a31的值為___，a2021的值為_____.【變式演練】1.已知數(shù)列{an}滿足an0,a11,n(an12an)2an.a（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）求數(shù)列3n5的前n項和Sn.n2.已知數(shù)列an的前n項和為Sn,a11,Snn2annN*，則數(shù)列an的通項公式為___________.3.數(shù)列a滿足：a1，aaan2a，則數(shù)列a的通項公式a___________.n1212nnnn【題型五】周期數(shù)列【典例分析】已知數(shù)列{a}滿足a0,aan3，則an1n13an120173A．0B．3C．3D．2【變式演練】1.數(shù)列{a}中，a1，a3，an1aan1(n2,nN*)，那么a2019n12nA．1B．2C．3D．-32.在數(shù)列an中，若a11,a22，并有an=an1an1對n1且nN*恒成立；則a2020a2021_______________．3.設(shè)數(shù)列an滿足a12，且對任意正整數(shù)n，總有an111an2an成立，則數(shù)列an的前2019項的乘積為A．1B．1C．2D．.32【題型六】構(gòu)造二階等比數(shù)列型（待定系數(shù)型）【典例分析】已知數(shù)列{an}滿足：an12ann1(nN*)，a13.（1）證明數(shù)列bnann(nN*)是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項；2 c an1an {c} n {S} S 1.（）設(shè)n aa，數(shù)列n的前項和為n，求證：nnn1【變式演練】1.數(shù)列{an}滿足a12,an12an1則a6A．33

B．32

C．31

D．342.已知數(shù)列an中，a11，an3an14（nN且n2），則數(shù)列an通項公式an為（

）A．3n1 B．3n12 C．3n2 D．3n【題型七】分式遞推【典例分析】2an*2在數(shù)列{a}中，a1，an1(nN)，則是這個數(shù)列的第________________項．n1an22019【變式演練】1.數(shù)列an滿足：a11，且n2an1n1(nN*,n2)，則數(shù)列an的通項公式是an=_____．a(chǎn)nan132.已知在數(shù)列a中，a1，an1an，則數(shù)列a的通項公式為a______.n132annn3.已知數(shù)列an滿足a12,12an1(n2)．3an1an11（1）求數(shù)列an的通項公式;（2）設(shè)數(shù)列a的前n項和為S,用數(shù)學(xué)歸納法證明:Sn1lnn3.22【題型八】構(gòu)造二階等差數(shù)列【典例分析】1n1an*數(shù)列an滿足：a1，且an1nN，則數(shù)列an的前n項和sn__________.33ann【變式演練】1.數(shù)列an滿足a11，an1(an1)an0（nN*），則a2018__________．2.數(shù)列{an}中，a1，an12a2n，則a1n17A．15216B．15217C．16216D．162173.如果數(shù)列an滿足a12，a21，且an1ananan1n2,nN*，則a12（）an1an1A．1B．1C．1D．1126111222【題型九】前n項積型【典例分析】已知數(shù)列an的前n項積為Tn，若對n2，nN，都有Tn1Tn12Tn2成立，且a11，a22，則數(shù)列an的前10項和為____．【變式演練】1.若數(shù)列an的前n項的積為1，則an_____________.n12.設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，其前n項和為Sn，前n項積為Tn，并滿足條件a11，且a2020a20211，a20201a202110，下列結(jié)論正確的是（多選題）A．S2020S2021B．a(chǎn)2020a202210C．?dāng)?shù)列Tn無最大值D．T2020是數(shù)列Tn中的最大值3.已知各項均不為零的數(shù)列an的前n項積Tn滿足Tn1anan1an1，則Tn________，數(shù)列n的前Tnn項和Sn________．【題型十】特殊通項1：“和”型求通項【典例分析】已知數(shù)列{an}滿足an＋an＋1＝1(n∈N*)，a2＝2，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，則S21為()2A．5B．7C．9D．13222【變式演練】1.知數(shù)列{an}滿足：an1an4n3(nN*)，且a1=2，則an________________．2.已知數(shù)列an的前n項和為Sn，若Sn1Sn2n2nN*，且a1028，則a2A．－5B．－10C．12D．163.若數(shù)列an滿足an2an1k（k為常數(shù)），則稱數(shù)列an為等比和數(shù)列，k稱為公比和，已知數(shù)列an是以3為an1an公比和的等比和數(shù)列，其中a11，a22，則a2019______.【題型十一】特殊數(shù)列2：正負(fù)相間討論型【典例分析】已知數(shù)列an中，a11，an1an(1)nnnN*，則a20___________.【變式演練】1.已知數(shù)列an滿足a11，anan1(1)nn2n?2，nN*，則a100___________.2.數(shù)列{a}滿足a(1)na3n1，前16項和為540，則a.nn2n13.已知數(shù)列an滿足an11nann，則an的前40項和為__________．【題型十二】特殊數(shù)列3：奇偶討論型【典例分析】已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且a11，2Snan1an，則S20A．200B．210C．400D．410【變式演練】1.已知數(shù)列an的首項a12，且滿足anan12nnN*，則a20=________．1a,若a2.在數(shù)列an中，a1aaN*，an1為偶數(shù)nN*，則下列結(jié)論成立的是（2nn）2019an,若an為奇數(shù)A．存在正整數(shù)a，使得an為常數(shù)列B．存在正整數(shù)a，使得an為單調(diào)數(shù)列C．對任意的正整數(shù)a，集合annN*為有限集D．存在正整數(shù)a，使得任意的m、nN*，當(dāng)mn時，aman3.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，an≠0，a1＝1，且2anan＋1＝4Sn－3(n∈N*)．(1)求a2的值并證明：an＋2－an＝2；(2)求數(shù)列{an}的通項公式．【題型十三】特殊數(shù)列4：“求和公式換元”型【典例分析】已知數(shù)列an滿足a12a23a3...nann2nnN*.求數(shù)列an的通項公式.2【變式演練】1.若數(shù)列an滿足a112,a12a23a3nann2an,則a2017______．2.已知數(shù)列an滿足a12a23a3 nan2n13n，nN，則an_________________．3.在數(shù)列an中，a11,a12a23a3nann21an1nN*.則數(shù)列an的通項公式an_____．【題型十四】特殊數(shù)列5：因式分解型求通項【典例分析】已知正項數(shù)列an的前n項和Sn滿足Sn2n2n1Snn2n=0nN,(1)求數(shù)列an的通項公式;【變式演練】1.設(shè)a是首項為1的正項數(shù)列，且n1a21na2a 1a0n1,2,3, ，則a____，n n n n n 4an_____.2.已知數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且滿足an2n1an2n2n0.（1）求a1，a2及an的通項公式；（2）求數(shù)列2an的前n項和Sn.【題型十五】特殊數(shù)列6：其他幾類特殊數(shù)列求通項【典例分析】已知正項數(shù)列an滿足a11，4an22anan21an1nN.1n（）證明：數(shù)列a1是等比數(shù)列；11112（2）證明：nN.a2aa4a33n1【變式演練】1.在數(shù)列an中，a11，a23，an23an12ann1.（1）證明an1ann為等比數(shù)列；（2）求an.2.已知an和bn滿足a11，b10，4an13anbn4，4bn13bnan4．（1）證明：anbn是等比數(shù)列，anbn是等差數(shù)列；（2）求an和bn的通項公式；3.設(shè)正數(shù)數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn11nN*，試求an，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)an2an論.【題型十六】壓軸小題【典例分析】1.已如數(shù)列an，a11，且anan1nn2，則a1a2a3 a2n2a2n1a2n_____，an______.2.已知數(shù)列an與bn滿足b aba 2n1,b31n1nN*，且a12，則n1n n n1 n 2a2n__________．3.已知數(shù)列a是共有k個項的有限數(shù)列，且滿足an1an1n(n2,…,k-1)，若a24，a51，anak0，則k_.4.已知數(shù)列{a}滿足a2，且an2nan1(n2,nN*)，則a__________.n1an1n1n5.已知數(shù)列an滿足an0,2an1an12an11ananan1anan1，且a113，則數(shù)列an的通項公式an__________．【課后練習(xí)】11.在數(shù)列{an}中，a1=1，an1an1(n≥2)，求數(shù)列{an}的通項公式.n2.已知數(shù)列{a}中，a5，nan1(n1)an，則該數(shù)列的通項a_______.n112nn3n3.已知數(shù)列a中，a1，an11ann1，則a（）n121an2020A．3B．2C．1D．1234.已知數(shù)列{an}中，a11，an12an3．（1）若bnan3，證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的通項公式；（3）若cnnbn，求數(shù)列cn的前n項和Sn．a(chǎn)n*ana1an1(nN)a5.已知數(shù)列2a1__________．滿足1，n，則206.已知數(shù)列an中，a11,a22且an22an12，則an__________．a(chǎn)n12an7.若是正項遞增等比數(shù)列， 表示其前n項之積，且，則當(dāng)取最小值時，n的值為_________.8.數(shù)列{an}滿足an1(1)nan2n1，則{an}的前60項和為9.已知數(shù)列an滿足3a132a233a33nan2n1，則an的通項公式______．a(chǎn)a2b2,b14.10.數(shù)列an,bn滿足n1nn,且a1bn16an6bn(1)證明:an12an為等比數(shù)列;(2)求an,bn的通項.11.已知數(shù)列an滿足a12,a210,an2an12an,nN.(1)證明:數(shù)列an1an是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列an的通項公式;第18講 數(shù)列求和15類【題型一】求和思維基礎(chǔ)：由sn求an的關(guān)系【典例分析】已知數(shù)列{an}的前n項和Sn2n12．（1）求{an}的通項公式；（2）記bnna1，求{bn}的前n項和Tn．n【變式演練】1.數(shù)列an的前n項和為Snn2n1（nN*），求an2.已知數(shù)列a的前n項和為S ，且滿足Sn2n.n n n 2（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列bn滿足bn1，求數(shù)列bn的前n項和Tn.anan1【題型二】錯位相消法三種思維求法【典例分析】（新課標(biāo)1理數(shù)17題）設(shè){an}是公比不為1的等比數(shù)列，a1為a2，a3的等差中項．（1）求{an}的公比；（2）若a11，求數(shù)列{nan}的前n項和．【變式演練】1.已知數(shù)列an中，a11，an0，前n項和為Sn，若anSnSn1（nN*，且n2）.（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）記c 3an，求數(shù)列c的前n項和T.n 2n1 n n2.（系數(shù)為負(fù)的，增加了計算難度）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且an13Sn.（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）若bnlog2an1，求數(shù)列anbn的前n項和Tn.【題型三】分組求和法【典例分析】已知數(shù)列an的前n項和Sn2n2n，數(shù)列bn滿足4log2bnan3.（1）求數(shù)列an、bn的通項公式；（2）設(shè)cnbn4，求數(shù)列cn的前n項和Tn.anan1【變式演練】1.設(shè)數(shù)列an滿足a12，an1an34nnN*；（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）令bnnan，求數(shù)列bn的前n項和Sn.2.已知數(shù)列an的前n項和為Sn，an13annN*，且-3，S4，9a3成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）設(shè)bn1nan1，求數(shù)列bn的前n項和Tn.nn1【題型四】求和難點1：裂項相消基礎(chǔ)思維【典例分析】設(shè)數(shù)列an滿足：a11，且2anan1an1（n2），a3a412.（1）求an的通項公式：（2）求數(shù)列1的前n項和.anan2【變式演練】11n*n*1.數(shù)列an中，a1，an2an1nN，數(shù)列bn滿足bn2annN．22（1）求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列，并求數(shù)列an的通項公式；（2）設(shè)cnlog2n2，求數(shù)列的前n項和Tn．a(chǎn)nccnn12.在等差數(shù)列an中，a18，a23a4．（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）設(shè)bnn124annN*，Tn為數(shù)列bn的前n項和，若Tn95，求n的值．3.已知an 是公差不為零的等差數(shù)列，a37，且a2,a4,a9成等比數(shù)列．（1）求an的通項公式；1（2）設(shè)bn anan1，求數(shù)列bn的前n項和Sn.f（n）【題型五】求和難點2：形如 pq 型函數(shù)型裂項相消【典例分析】等差數(shù)列an滿足a13，a21，a51，a95成等比數(shù)列，數(shù)列bn滿足b11，bn1bnan.（Ⅰ）求數(shù)列an，bn的通項公式；an（Ⅱ）數(shù)列的前n項和為Tn，證明Tn1.bnbn1【變式演練】an22an1an*1.數(shù)列an滿足a11，a23且nN.an2an1an1an（1）設(shè)bnan，證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列；an1an（2）設(shè)c an12，求數(shù)列c的前n項和為S.n anan1 n n2、已知各項均為正數(shù)的數(shù)列an前n項和為Sn，且a11,an1SnSn1(nN).（Ⅰ）求數(shù)列an的通項公式；（Ⅱ）設(shè)bna23，求數(shù)列bn的前n項和Tn.a21n1【題型六】求和難點3：指數(shù)型裂項相消【典例分析】設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a11，an12Sn1，nN*.（1）求通項公式an；（2）設(shè)bnannN*，數(shù)列b的前n項和為T，求證：T1.an1an114nnn【變式演練】1.已知數(shù)列an的前n項和為Sn,且an12Sn對一切正整數(shù)n恒成立.（1）求當(dāng)a1為何值時,數(shù)列an是等比數(shù)列,并求出它的通項公式；（2）在（1）的條件下，記數(shù)列bnan的前n項和為Tn，求Tn.(an11)(an1)2、已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，且S430，a2，a4的等差中項為10.（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）求T2222n.nS1S2S2S3SnSn1【題型七】求和難點4：指數(shù)等差型裂項相消【典例分析】已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且Snn2,nN*，數(shù)列bn滿足：b11,b21，且33bn24bn1bn0, nN*．（1）求證：數(shù)列bn1bn是等比數(shù)列；【變式演練】1.已知數(shù)列an滿足：a11，an1n；數(shù)列bn是等比數(shù)列，并滿足b12，且b11，b4，b1ann15成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列an，bn的通項公式；（2）若數(shù)列b的前n項和是S，數(shù)列c滿足cnanan1，求證：ccc1.an2Sn2nnn12n3、設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，公比大于0．已知b11，b22b31，(a2a6)b41，a4b2a5a3．（Ⅰ）求數(shù)列{a}，的通項公式；（Ⅱ）設(shè)cn11，Scccc(nN*)．nnnn(n2)123nnbb11（ⅰ）求Sn；（ⅱ）證明(nN*)．kSk2(n1)2n1k1【題型八】求和難點5：奇偶正負(fù)型裂項相消【典例分析】已知正項等差數(shù)列an滿足：Sn2a13a23 an3，其中Sn是數(shù)列an的前n項和.（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）令bn1n12an14n2an1，證明：b1b2L bn22nn12.【變式演練】1.設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn12anSnnN*.（1）求S1、S2、S3的值；（2）求出Sn及數(shù)列an的通項公式；（3）設(shè)bn1n1n12anan1nN*，求數(shù)列bn的前n項和為Tn.2、已知數(shù)列an滿足a11，nN*，a112a21nanan11.（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）若b1n12n1，記數(shù)列b的前n項和S，求S.n nnnanan1【題型九】求和難點6：裂項為“和”型以相消【典例分析】已知數(shù)列an中，an0，a11，前n項和為Sn，且(Sn2Sn12)(SnSn1)2SnSn1(n2).（1）求證：數(shù)列an是等差數(shù)列；（2）設(shè)bn1n2n1，求數(shù)列bn的前2n項和T2n.anan1【變式演練】1.已知正項數(shù)列{a}的前n項和為S，且S1a21a.nnn2n2n（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）若數(shù)列滿足bn(1)n2n1，求數(shù)列的前n項和T.n2Snnn2、已知遞增的等差數(shù)列an的前n項和為Sn，S11，S2，S31，S4成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）已知bn(1)n(4n4)，求數(shù)列bn的前2n項和T2n.an1an2【題型十】求和難點7：指數(shù)型裂項為“和”以相消【典例分析】已知數(shù)列{an}滿足an12an20，且a18.（1）證明：數(shù)列{an2}為等比數(shù)列；（2）設(shè)b(1)nan，記數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，若對任意的nN*，mTn恒成立，求m的(2n1)(2n11)n取值范圍.【變式演練】1.已知數(shù)列an滿足a12,an12an2n1.（1）設(shè)bn2ann，求數(shù)列bn的通項公式；（2）求數(shù)列an的前n項和Sn；1nn24n22n（3）記c，求數(shù)列cn的前n項和Tn.nanan1【題型十一】求和難點8：無理根式型裂項【典例分析】已知數(shù)列an的前項和滿足2SnnannnN，且a23.a1n2是常數(shù)數(shù)列；（1）求證：數(shù)列n1（2）設(shè)bn1，Tn為數(shù)列bn的前n項和，求使Tn9成立的最小正整數(shù)n的值.anan1an1an20【變式演練】1.如圖所示，在fxx的圖像下有一系列正三角形△AnAn1BnnN*，記AnAn1Bn的邊長為an，32anbn.（1）求數(shù)列an，bn的通項公式；11.（2）若數(shù)列c滿足cn，證明：2bn1bnbn1bn1bnbn1c2c3cn2n2、在①a2，a3，a44成等差數(shù)列；②S1，S22，S3成等差數(shù)列；③an1Sn2中任選一個，補(bǔ)充在下列問題中，并解答.在各項均為正數(shù)等比數(shù)列an中，前n項和為Sn，已知a12，且______.（1）求數(shù)列an通項公式；（2）數(shù)列bn的通項公式bn2n，nN*，求數(shù)列bn的前n項和Tn.an1an11【題型十二】求和難點9：三項積式裂項相消【典例分析】已知數(shù)列a滿足a1，an1an，nN.21an（1）若1.①求數(shù)列an的通項公式；②證明：對nN，a1a2a3a2a3a4 anan1an2【題型十三】求和難點10：先放縮后裂項

n(n5).【典例分析】已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a12，且對任意正整數(shù)n，都有an13Sn2，數(shù)列bn滿足bnlog2an．（1）求數(shù)列an，bn的通項公式；（2）求證：1115n1．b2b2b24n12n【變式演練】1.已知數(shù)列a的前n項和為S，a1，且當(dāng)n2時，SnSn1.nn122Sn11（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）若bn21nan，證明：b22b32b42 bn2123.1an1n1*2、數(shù)列an中，a11，a2，且nN,n2.annan411*1令fnnN,n2，將fn用n表示，并求an通項公式；na(n1)an1n2令Tna12a22an2，求證：Tn76.【題型十四】求和難點11：利用組合數(shù)公式裂項求和【典例分析】已知Sn為數(shù)列an的前n項和，S210，Snnn11an12nN*.（1）求數(shù)列an的通項公式；an*1（2）設(shè)bnnN，數(shù)列bn的前n項和為Tn，求證：Tn1.2n(n1)!2【題型十五】求和難點12：分段數(shù)列求和【典例分析】已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{bn}為正項等比數(shù)列，且a13，b11，b3S212，a5a32b2.（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；2(n為奇數(shù)），設(shè){cn}的前n項和為Tn，求T2n.（2）若cnSnb(n為偶數(shù))n【變式演練】1.已知an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，a1b11,a55a4a3,b54b4b3．（Ⅰ）求an和bn的通項公式；（Ⅱ）記a的前n項和為S，求證：SS 2S21nN*； n n n3an2bn,n為奇數(shù),anan2求數(shù)列cn的前2n項和．（Ⅲ）對任意的正整數(shù)n，設(shè)cnan1,n為偶數(shù).bn12.設(shè)an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列.已知a11，b12，b22a2，b32a32.（1）求an和bn的通項公式；n2k(kN)，設(shè)數(shù)列cn的前n項和為Sn，求S2.（2）數(shù)列cn滿足cna,n2kn【課后練習(xí)】1.已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4.（1）求{an}的通項公式；（2）設(shè)cn=an+bn，求數(shù)列{cn}的前n項和.2.已知等差數(shù)列an中，2a1a312，a12a21a4.（1）求數(shù)列an的通項公式；1112（2）記數(shù)列an的前n項和為Sn，證明：L.S1S2Sn312n3.正項數(shù)列a的前n項和Sn滿足：S2(n2n1)S(n2n)0(1)求數(shù)列a的通項公式a；nnnnn(2)n(n2)2an2{bn}nTnnN*Tn64.令b，數(shù)列的前項和為，證明：對于任意的∈，都有＜54.已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn（Sn0），滿足S1，S2，S3成等差數(shù)列，且a1a2a3.（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）設(shè)bn3an，求數(shù)列bn的前n項和Tn.an1an115.已知正項數(shù)列an滿足：a11，an21Sn1Sn，其中Sn是數(shù)列an的前n項和．（1）求數(shù)列an的通項公式；（）設(shè)ban1，證明：bbb1．a(chǎn)2an12an143n12n（1）求數(shù)列{},,46.已知等差數(shù)列的公差為2，前項和為，且12成等比數(shù)列．{}的通項公式；2（）令，求數(shù)列的前項和．17.已知an是各項都為正數(shù)的數(shù)列，其前n項和為Sn，且Sn為an與an的等差中項．（1）求證：數(shù)列Sn2為等差數(shù)列；（2）設(shè)b (1)n，求b的前100項和T ．n an n 1008.已知an是公比q1的等比數(shù)列，且滿足a2a312，a1a432，數(shù)列bn滿足：abab...ab32n14n6.n1n121n（1）求數(shù)列an和bn的通項公式；bn21...cn11（2）令cn，求證：c1c2.bbabann1nn1n9.已知數(shù)列an是首項為a1，公比為q的等比數(shù)列．（1）求和：a1C20a2C21a3C22，a1C30a2C31a3C32a4C33；（2）由（1）的結(jié)果歸納概括出關(guān)于正整數(shù)n的一個結(jié)論，并加以證明；（3）設(shè)q1，Sn是等比數(shù)列an的前n項和，求：S1Cn0S2Cn1S3Cn2S4Cn3 (1)nSn1Cnn．10.已知正項等比數(shù)列an滿足a12，a3a7322，數(shù)列bn的前n項和為Snn2n，（Ⅰ）求an與bn的通項公式；an,n2k1,kN（Ⅱ）設(shè)cnb,n2k,kN，求數(shù)列cn的前2n項和T2n．n第19講 基本不等式16類【題型一】基礎(chǔ)型【典例分析】在下列函數(shù)中,最小值是2的是x2B.yx2(x0)πA.yC.ysinxcosx,x0,D.y7x7x2xx12【變式演練】1.已知關(guān)于x的不等式x25ax2a20a0的解集為x1,x2，則x1x2a的最小值是______．x1x2b4a2.若a、b都是正數(shù)，則11的最小值為().abA.5B.7C.9D.133.在區(qū)間[﹣2，4]上隨機(jī)地取一個數(shù)x，使a21x恒成立的概率是（）a21A．1B．1C．2D．33234【題型二】“1”的代換型【典例分析】2xy7，則x+3y的最小值為__________已知x，y均為正實數(shù)，且6xy2【變式演練】1.已知a0，b0，321，則2a3b的最小值為（）baA．20B．24C．25D．282.已知a0，b0，3a41，則13b的最小值為（）baA．13B．19C．21D．273.已知正實數(shù)a，b滿足a＋b＝1，則2a212b24的最小值為_____a b【題型三】“和”與“積”互消型【典例分析】xy都是正數(shù)，且滿足x2yxy30，則xy_________已知、的最大值為．【變式演練】1.x0，y0，且4x2yxy0，則2xy的最小值為（已知）A．16B．84C．12D．64222.已知x0,y0，且2x9y6xy9，則2x9y的最小值為___________．3.已知x，y0，x2yxy60，則（多選題）A．xy的最大值為2B．x2y的最小值為4C．xy的最小值為3D．xy的最小值為432【題型四】以分母為主元構(gòu)造型【典例分析】已知非負(fù)數(shù)x,y滿足xy1，則19的最小值是（）x1y2A．3B．4C．10D．16【變式演練】1.121已知x>1,y>0，且，則x2y1的最小值為（）x1yA．9B．10C．11D．7262.bab14ab已知正數(shù)a、滿足，則的最小值是（）1a1bA．1B．2C．4D．83.41設(shè)xy0，則x的最小值為（）xyxy3A．3B．2C．4D．10232【題型五】構(gòu)造分母：待定系數(shù)【典例分析】已知正實數(shù)x，y滿足4x3y4，則11的最小值為（）2x13y231C．11A．2B．22D．284232322【變式演練】1.x、y滿足111，則xy的最小值為（知正實數(shù)）x3y2xy32332222232A．2B．C．D．55552.已知a0，b0，a2b1，則11取到最小值為．3a4ba3b【題型六】分子含參型：分離分子型【典例分析】若4xy0，則yx的最小值為___________.4xyy【變式演練】1.a2b2ab1已知正實數(shù)a,b滿足，則a212b2的最小值是（）13A．9B．7C．17D．43342.x,yR，且x2y1，則x22y2_________若x1y2的最小值為3.若正實數(shù)x，y滿足2x+y=2，則4x2y2的最小值是_____．y12x2【題型七】反解代入型:消元法【典例分析】113已知正數(shù)a，b滿足2，則a的最大值為______．a(chǎn)bb1【變式演練】1.m1m2n3m2m已知＞，n＞0，且2，則的最小值為（）m14nA．9B．9C．3D．24222.若正數(shù)a，b滿足ab2ab，則a31b11的最小值是______，此時b______.3.若正實數(shù)x,y滿足1x1yyx4，則x1x1y的最小值為___________.【題型八】因式分解型【典例分析】非負(fù)實數(shù)x,y滿足2xyx6y60，則x2y的最小值為___________.【變式演練】1.已知a,bR，且(ab)(a2b)ab9，則3a4b的最小值等于_______．2.已知x0,y0，且2x4yxy1，則x2y的最小值是___．3.已知, ∈ +，且(+)(+2)+ + =9，則3+4的最小值等于_______．【題型九】均值用兩次【典例分析】a,b,c是不同時為0的實數(shù)，則abbc的最大值為（）a22b2c21A．1B．C．2D．34222【變式演練】1.x2,y1y12x1mA8設(shè)正實數(shù)x,y滿足1，不等式4x2y2恒成立，則m的最大值為（）．B．16C．2D．4222.已知a0，b0，則a2b23的最小值為___________.a2b3.已知正實數(shù)a，b，c滿足a24b23c2，則ac2cb的最小值為______.【題型十】換元型【典例分析】已知實數(shù)x,y滿足方程x2+y2+2x2y=0，則|x|+|y|的最大值為A.2B.4C.32D.22【變,式演∈練R】2+2?321.若，且

=1 2，則

+2

的最小值為

_____2.已知2?2 3+52=1，, ∈ ，則2

+2的最小值為

____.3.已知x，y為正實數(shù)，則x2xy的最小值為_________.x2yx【題型十一】“和”與所求和系數(shù)不一致型【典例分析】1、已知a0，b0，且2abab1，則a2b的最小值為A．52B．8C．5D．962【變式演練】1.若正實數(shù)x，y滿足2xy2，則4x2y2的最小值是__________．y12x22.已知正實數(shù)x，y，滿足x2+y2+1x+1y274,求p15x43y的最小值3.已知正實數(shù)x，y，滿足x+y+2x+6y8,求px2y的最小值【題型十二】“均值裂項”湊配型【典例分析】已知實數(shù)x，y，z不全為0，則wy22xz的最小值是___，最大值是___．x2y2z2【變式演練】1.不等式xyyz≤11aa2對任意正數(shù)x，y，z恒成立，則a的最大值是__________．x22y2z222.a8abc70,bcbc6a60，則實數(shù)a的取值范圍是_________已知實數(shù)a,b,c滿足222．a(chǎn)ccc3.已知a0，b0，c4，且ab2，則5的最小值為___________．a(chǎn)bc2b2【題型十三】整體化同乘方程型【典例分析】已知實數(shù)x，y滿足x1，y0且x4y1111.則11的最大值為．x1yx1y_____【變式演練】1.已知正數(shù)滿足，則的最大值為________．2.已知x,y為正數(shù)，且x13y310，則x3y的最大值為．xy【題型十四】三元最值型【典例分析】已知實數(shù)a,b,c滿足1a21b2c21，則的取值范圍是44A．(,4]B．[4,4]C．[2,4]D．[1,4]【變式演練】1.bcRabacbc26a2abc若實數(shù)a、、，且2，則的最小值為A．1B．1C．22D．2255552.abc10abacbc_______abac2bc________已知a,b,c0，且222，則的最大值是，的最大值是．3.________.若正實數(shù)a,b,c滿足aba2b,abca2bc，則c的最大值為【題型十五】恒成立求參數(shù)型【典例分析】對任意正實數(shù)a,b不等式ab2ab(1)ab恒成立，則（）ab2A．實數(shù)有最小值1B．實數(shù)有最大值1CD22【變式演練】1.x2,y1y12x1m設(shè)正實數(shù)x,y滿足1，不等式4x2y2恒成立，則m的最大值為（）A．8B．16C．2D．422正數(shù)a,b滿足ab1,若不等式1424x3對，恒成立，則實數(shù)m的取值范圍2.xmx[3,0]a,bRab是（）A．3,B．,3C．,6D．6,3.設(shè)x,y都是正數(shù)，且使xykxy，求實數(shù)k的最大值.【題型十六】超難壓軸小題【典例分析】設(shè)x,y為正實數(shù)，若4x2y2xy1則4x2y的取值范圍是__________．11xy5y20x【變式演練】若x，y均為正實數(shù)，則x2y21的最小值為_______.1.(x2)y2.已知,∈[0,1]，則(,)=1++1++(1?)(1?)的最小值為________．已知a1,b2，則(ab)2的最小值為．3.__________a21b24【課后練習(xí)】1.bab1ab已知正實數(shù)a，滿足4，則1的最小值為（）A．4B．6C．9D．102.已知a0，b0，且a2b3ab，則ab的最小值為（）842A．1B．C．D．29933.abab3ab已知a0,b0，且，則的最小值為（）A．4B．8C．7D．64.ab0ab2，則a21、設(shè)，且的最小值是（）a(ab)A．1 B．2 C．3 D．45.若實數(shù)x，y滿足x＞y＞0，且＋＝1，則x＋y的最小值為______．6.已知x,y(0,),122,則2xy的最小值為y1x7.已知正數(shù)a,b滿足ab2，則a4b的最大值是（a1b1A．9B．11C．124若實數(shù)，滿足x2y，且xy1，則x24y2的最小值是8.xyx2y

。）D．73_______________.9.已知>0,>0,>0,?+2=0，則y2的()xz8888A．最大值為1B．最小值為1C．最大值為D．最小值為10.知a0，b0，a(1a)(ab)2a3b3，則2a2＋2b2的最小值為____．a(chǎn)3b3ab1ab的最小值為____________．11.若a0,b0，則ab212.已知實數(shù)x,y滿足4x9y1，則2x13y1的取值范圍是___13.已知a2,b1，且滿足aba2b1，則2ab的最小值為14.已如c2ab,ca,a0，則2abc的最小值為______.cax2y15.若實數(shù)x,y滿足2x2xyy21，則5x22xy2y2的最大值為________.第20講 立體幾何中的軌跡問題6類【題型一】由動點保持平行性求軌跡【典例分析】如圖，在邊長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、N分別是CC1、C1D1、DD1、CD、BC的中點，M在四邊形EFGH邊上及其內(nèi)部運動，若MN∥面A1BD，則點M軌跡的長度是（ ）A．a(chǎn)B．a(chǎn)C．3aD．2a3222【變式演練】1.在三棱臺A1B1C1ABC中，點D在A1B1上，且AA1//BD，點M是三角形A1B1C1內(nèi)（含邊界）的一個動點，且有平面BDM//平面A1ACC1，則動點M的軌跡是（）A．三角形A1B1C1邊界的一部分B．一個點C．線段的一部分D．圓的一部分2.已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，E、F分別是棱AA1、A1D1的中點，點P為底面ABCD內(nèi)（包括邊界）的一動點，若直線D1P與平面BEF無公共點，則點P的軌跡長度為（ ）A．1B．C．3D．252623.在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別是棱C1D1，B1C1的中點，P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一點（含邊界），若AP//平面BDEF，則Р點的軌跡長為（）A．1B．C．2D．222【題型二】動點保持垂直性求軌跡【典例分析】在正方體ABCDA1B1C1D1中，Q是正方形B1BCC1內(nèi)的動點，A1QBC1，則Q點的軌跡是（）A．點B1B．線段B1CC．線段B1C1D．平面B1BCC1【變式演練】1.在正方體ABCDA1B1C1D1中，點P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運動，且保持APBD1，則動點P的軌跡為A．線段CB1B．線段BC1C．BB1的中點與CC1的中點連成的線段D．BC的中點與B1C1的中點連成的線段2.在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別為BD1，B1C1的中點，點P在正方體的表面上運動，且滿足MPCN．給出下列說法：①點P可以是棱BB1的中點；3②線段MP的最大值為4；③點P的軌跡是正方形；④點P軌跡的長度為25．其中所有正確說法的序號是________．3.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱CC1的中點，F(xiàn)是側(cè)面BCC1B1內(nèi)的動點，且A1F與平面D1AE的垂線垂直，則下列說法不正確的是（ ）A．A1F與D1E不可能平行B．A1F與BE是異面直線C．點F的軌跡是一條線段D．三棱錐FABD1的體積為定值【題型三】由動點保持等距（或者定距）求軌跡【典例分析】已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，P為底面ABCD內(nèi)一點，若P到棱CD，A1D1距離相等的點，則點P的軌跡是（

）A．直線

B．橢圓

C．拋物線

D．雙曲線【變式演練】1.如圖，在四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD為正三角形，底面ABCD為正方形，側(cè)面PAD底面ABCD，M為正方形ABCD內(nèi)（包括邊界）的一個動點，且滿足MPMC．則點M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為（ ）A． B．C． D．2.如圖，在棱長為4的正方體ABCDABCD中，E、F分別是AD、AD的中點，長為2的線段MN的一個端點M在線段EF上運動，另一個端點N在底面ABCD上運動，則線段MN的中點P的軌跡（曲面）與正方體（各個面）所圍成的幾何體的體積為（ ）A．43 B．23 C．6 D．33.四棱錐P﹣OABC中，底面OABC是正方形，OP⊥OA，OA＝OP＝a．D是棱OP上的一動點，E是正方形OABC內(nèi)一動點，DE的中點為Q，當(dāng)DE＝a時，Q的軌跡是球面的一部分，其表面積為3π，則a的值是（ ）A．23 B．26 C．336 D．6【題型四】由動點保持等角（或定角）求軌跡【典例分析】正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別為AB，A1B1的中點，P是邊C1D1上的一個點（包括端點），Q是平面PMB1上一動點，滿足直線MN 與直線AN夾角與直線MN與直線NQ的夾角相等，則點Q所在軌跡為（ ）A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．拋物線或雙曲線【變式演練】1.如圖，斜線段AB與平面所成的角為60，B為斜足，平面上的動點P滿足PAB30，則點P的軌跡是（ ）A．直線B．拋物線C．橢圓D．雙曲線的一支2.如圖所示，ABCDA1B1C1D1為長方體，且AB=BC=2，AA1=4，點P為平面A1B1C1D1上一動點，若PBC1BC1C，則P點的軌跡為（）A．拋物線 B．橢圓 C．雙曲線 D．圓3.在長方體ABCDA1B1C1D1中，ABAD6，AA12，M為棱BC的中點，動點P滿足APDCPM，則點P的軌跡與長方體的側(cè)面DCC1D1的交線長等于___________.【題型五】投影求軌跡【典例分析】1822年，比利時數(shù)學(xué)家Dandelin利用圓錐曲線的兩個內(nèi)切球，證明了用一個平面去截圓錐，可以得到橢圓（其中兩球與截面的切點即為橢圓的焦點），實現(xiàn)了橢圓截線定義與軌跡定義的統(tǒng)一性．在生活中，有一個常見的現(xiàn)象：用手電筒斜照地面上的籃球，留下的影子會形成橢圓．這是由于光線形成的圓錐被地面所截產(chǎn)生了橢圓的截面．如圖，在地面的某個占A1正上方有一個點光源，將小球放置在地面，使得AA1與小球相切．若A1A5，小球半徑為2，則小球在地面的影子形成的橢圓的離心率為（ ）A．2B．4C．1D．23535【變式演練】1.如圖，已知水平地面上有一半徑為3的球，球心為O，在平行光線的照射下，其投影的邊緣軌跡為橢圓C．如圖，橢圓中心為O，球與地面的接觸點為E，OE4．若光線與地面所成角為，橢圓的離心率e__________．【題型六】翻折與動點求軌跡（難點）【典例分析】如圖，將四邊形ABCD中， ADC沿著AC翻折到AD1C，則翻折過程中線段DB中點M的軌跡是（ ）A．橢圓的一段

B．拋物線的一段C．雙曲線的一段

D．一段圓弧【變式演練】1.已知△ABC的邊長都為2，在邊AB上任取一點D，沿CD將△BCD折起，使平面BCD⊥平面ACD．在平面BCD內(nèi)過點B作BP⊥平面ACD，垂足為P，那么隨著點D的變化，點P的軌跡長度為（ ）A．6 B．3 C．23 D．π2.如圖，等腰梯形ABCD中，AB//CD，AB2，ADBC1，ABCD，沿著AC把△ACD折起至△ACD1，使D1在平面ABC上的射影恰好落在AB上．當(dāng)邊長CD變化時，點D1的軌跡長度為（ ）A．B．C．D．23463.已知矩形ABCD中，AB1，AE2，如圖，將△ABE沿著BE進(jìn)行翻折，使得點A與點S重合，若點S在平面BCDE上的射影在四邊形BCDE內(nèi)部（包含邊界），則動點S的軌跡長度是（ ）A．B．6πC．6πD．3π3π6186【課后練習(xí)】1．（多選題）（海南省?？谑斜本煼洞髮W(xué)?？诟綄賹W(xué)校12月月考）如圖，已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2,M1,DD1的中點，N為正方形ABCD所在平面內(nèi)一動點，則下列結(jié)論正確的是( )A．若N到直線BB1與直線DC的距離相等，則N的軌跡為拋物線B．若MN2，則MN的中點的軌跡所圍成圖形的面積為C．若D1N與AB所成的角為60，則N的軌跡為雙曲線D．若MN與平面ABCD所成的角為60，則N的軌跡為橢圓2.（多選題）（廣東省六校高三上學(xué)期第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）如圖的正方體ABCDA1B1C1D1中，棱長為2，點E是棱DD1的中點，點F在正方體表面上運動.以下命題正確的有（ ）A．側(cè)面CDD1C1上不存在點F，使得B1FCD1B．點D到面A1BE的距離與點C1到面A1BE的距離之比為13C．若點F滿足B1F//平面A1BE，則動點F的軌跡長度為25D．若點F到點A的距離為2321，則動點F的軌跡長度為23π3.（多選題）（全國著名重點中學(xué)領(lǐng)航高考沖刺試卷（六））如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為AA1的中點，點F在線段AD1上運動，G為底面ABCD內(nèi)一動點，則下列說法正確的是（ ）A．C1FCB1B．若FG//CD1，則點G在線段AC上C．當(dāng)點F從A向D1運動時，三棱錐DBFC1的體積由小變大D．若GD1，GE與底面ABCD所成角相等，則動點G的軌跡為圓的一部分4.（吉林省梅河口市第五中學(xué)第一次月考）在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別為AA1，CC1的中點，O為底面ABCD的中心，點P在正方體的表面上運動，且滿足NPMO，則下列說法正確的是（ ）A．點P可以是棱BB1的中點B．線段NP的最大值為22C．點P的軌跡是平行四邊形 D．點P軌跡的長度為125（.廣東省深圳市平岡高級中學(xué)高三上學(xué)期9月第一次月考）如圖所示，在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點，F(xiàn)是側(cè)面CDD1C1上的動點，且B1F∥平面A1BE，則F在側(cè)面CDD1C1上的軌跡的長度是（ ）aaA．a(chǎn)B．C．a(chǎn)D．22226.（湖南省永州市高三上學(xué)期第一次適應(yīng)性考試）已知在三棱錐SABC中，D為線段AB的中點，點E在SBC()內(nèi)，則滿足DE//平面SAC的點E的軌跡為（）△含邊界位置A．線段SB，BC的中點連接而成的線段B．線段SB的中點與線段BC靠近點B的三等分點連接而成的線段C．線段BC的中點與線段SB靠近點B的三等分點連接而成的線段D．線段BC靠近點B的三等分點與線段SB靠近點B的三等分點連接而成的線段7.（遼寧省實驗中學(xué)上學(xué)期聯(lián)考）已知正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的棱長均為3，點P在棱AA1上運動，點Q在底面ABCDEF內(nèi)運動，PQ2，R為PQ的中點，則動點R的軌跡與正六棱柱的側(cè)面和底面圍成的較小部分的體積為（ ）A．2B．2C．2D．224181238.四棱錐POABC中，底面OABC是正方形，OPOA，OAOPa．D是棱OP上的一動點，E是正方OABC內(nèi)一動點，DE的中點為Q，當(dāng)DEa時，Q的軌跡是球面的一部分，其表面積為3，則a的值是（）A．23 B．26 C．336 D．69.棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，點P在平面A1B1C1D1內(nèi)運動，點B1到直線DP的距離為定值，若動．．點P的軌跡為橢圓，則此定值可能為（ ）．．A．3aB．a(chǎn)C．a(chǎn)D．6a362210.（上海市建平中學(xué)期中）已知菱形ABCD邊長為2，ABC60，沿對角線AC折疊成三棱錐BACD，使得二面角BACD為60°，設(shè)E為BC的中點，F(xiàn)為三棱錐BACD