經(jīng)濟數(shù)學課件：概率計算與成果因素分析

概率計算與成果因素分析名言安東尼?羅賓成功呈概率分布，關鍵是你能不能堅持到成功開始呈現(xiàn)的那一刻。故事美國的“樂透”彩票上印有1-54的數(shù)字，由買者任意選擇6個數(shù)字涂黑，經(jīng)電腦記錄后就算成交。開獎時，6個數(shù)字全部填對為第一大獎，5個數(shù)字猜對為二等獎，……。未中獎的獎金則挪到下一次作為累積獎金，越積越多，據(jù)計算，獲第一大獎的概率為2580萬分之一。到目前為止，獲得最高獎金的是1988年佛羅里達州的一位63歲的女士，她得了5500萬美元的巨額獎金。當時，她拿出一份報紙，從第一頁到第六頁各找出一個新聞記事上的數(shù)字來；然后，按序涂在彩票上，她就是這樣發(fā)了大財。這真可謂是“點數(shù)成金”了。目錄彩票設計問題及解決方案1.使用Excel進行概率計算2.可能性與機遇問題典型案例3.進一步學習的數(shù)學知識：概率初步4.第一節(jié)彩票設計問題及解決方案一、問題引入引例：近年來，“彩票颶風”席卷中華大地，巨額獎金的誘惑使越來越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“傳統(tǒng)型”和“樂透型”兩種類型。“傳統(tǒng)型”彩票采用“10選6+1”方案：先從6組0～9號球中搖出6個基本號碼，每組搖出一個，然后從0～4號球中搖出一個特別號碼，構成中獎號碼。投注者從0～9中任選6個基本號碼（可重復），從0～4中任選1個特別號碼，構成一注。根據(jù)單注號碼與中獎號碼相符的個數(shù)多少及順序確定中獎等級。以中獎號碼“abcdef+g”為例說明中獎等級，如表11-1所示（X表示未選中的號碼）。第一節(jié)彩票設計問題及解決方案中獎等級10選6+1（6+1/10）基本號碼特別號碼說明一等獎abcdefg選7中6+1二等獎abcdef選7中6三等獎abcdeXXbcdef選7中5四等獎abcdXXXbcdeXXXcdef選7中4五等獎abcXXXXbcdXXXXcdeXXXXdef選7中3六等獎abXXXXXbcXXXXXcdXXXXXdeXXXXXef選7中2表11-1傳統(tǒng)型中獎等級情況表第一節(jié)彩票設計問題及解決方案

“樂透型”有多種不同的玩法，比如“33選7”的方案：先從01～33號碼球中一個一個地搖出7個基本號，再從剩余的26個號碼球中搖出一個特別號碼。投注者從01～33號碼中任選7個組成一注（不可重復），根據(jù)單注號碼與中獎號碼相符的個數(shù)多少確定相應的中獎等級，不考慮號碼順序。又如“36選6+1”的方案：先從01～36號碼球中一個一個地搖出6個基本號，再從剩下的30個號碼球中搖出一個特別號碼。從01～36號碼中任選7個組成一注（不可重復），根據(jù)單注號碼與中獎號碼相符的個數(shù)多少確定相應的中獎等級，不考慮號碼順序。這兩種方案的中獎等級如表11-2所示。第一節(jié)彩票設計問題及解決方案中獎33選7（7/33）36選6+1（6+1/36）等級基本號碼特別號碼說明基本號碼特別號碼說明一等獎●●●●●●●選7中7●●●●●●★選7中6+1二等獎●●●●●●○★選7中6+1●●●●●●選7中6三等獎●●●●●●○選7中6●●●●●○★選7中5+1四等獎●●●●●○○★選7中5+1●●●●●○選7中5五等獎●●●●●○○選7中5●●●●○○★選7中4+1六等獎●●●●○○○★選7中4+1●●●●○○選7中4七等獎●●●●○○○選7中4●●●○○○★選7中3+1表11-2樂透型中獎等級情況表第一節(jié)彩票設計問題及解決方案問題分析與假設：

（1）“傳統(tǒng)型”要求基本號碼是連號，如‘xbcdxf’表示與基本號碼相符合的是‘bcd’，首尾相連的情況視為不連續(xù)，如‘a(chǎn)xxxxf’視為無獎；（2）“傳統(tǒng)型”的抽獎號碼可以重復，而“樂透型”中不管是“7/33”還是“6+1/36”的形式，投注者的抽取號碼不允許重復；（3）單注投注金額為兩元，總獎金為當期銷售總額的50％，且此比例固定不變；（4）低項獎單注獎金固定，高項獎金額按比例分配為浮動值，但一等獎單注保底金額60萬元，封頂金額500萬元；（5）假定各個不同方案均是在公正公平的原則下實施，而且彩民購買和對獎的方便程度相同。第一節(jié)彩票設計問題及解決方案

解決方案：“傳統(tǒng)型”彩票中獎概率：記為各個獎項的中獎概率，經(jīng)過對表11-1的分析，利用古典概率的相關知識，很容易就可以求出各獎項出現(xiàn)的概率，見表11-4。第一節(jié)彩票設計問題及解決方案第一節(jié)彩票設計問題及解決方案

“樂透型”彩票中獎概率：記為各個獎項的中獎概率，經(jīng)過對表11-2的分析（這里只計算“33選7”及“36選6+1”兩種情形），利用古典概率的相關知識，可以求出各獎項出現(xiàn)的概率，見表11-5。第一節(jié)彩票設計問題及解決方案第一節(jié)彩票設計問題及解決方案第一節(jié)彩票設計問題及解決方案進一步，表11-3中各方案獎項獲獎概率及獲獎總概率的計算如表11-6。我們不難發(fā)現(xiàn)：對所列的29種彩票獎金設置方案，方案23獲獎總概率最大，對彩民最具吸引力。第一節(jié)彩票設計問題及解決方案第二節(jié)使用Excel進行概率計算一、彩票的中獎概率

典型案例：某地發(fā)行福利彩票，每張彩票的號碼是7個數(shù)字的無序數(shù)組，開獎時，用一個搖獎機，里面裝有分別寫上01,02,…，35的35個小球。充分攪拌這些小球一分鐘，從出口處掉出一個小球，記下小球上的數(shù)字。搖出的小球不放回搖獎機中，重復剛才的做法，一直到產(chǎn)生一個7個數(shù)字的無序數(shù)組，記作a，設有一、二、三等獎。規(guī)定：彩票號碼與a完全一樣時，得一等獎；彩票號碼與a有6個數(shù)字一樣時，得二等獎；有5個數(shù)字一樣時，得三等獎。試問：買一張彩票，中一、二、三等獎的概率各是多少?第二節(jié)使用Excel進行概率計算

2.解決方案：根據(jù)題意，將問題轉化為一個袋子中有35個彩球，其中紅球7個，白球28個，每次隨機的取出一只，第一次取到的球不放回袋中，第二次從剩余的球中再取一球，共取7次，求取到7球中全是紅球、有6個紅球和有5個紅球的概率。經(jīng)過轉換，問題變?yōu)闊o放回的隨機抽樣(超幾何分布)，根據(jù)其概率分布（詳見本章第四節(jié)）即可計算出相應的概率值。

3.解決辦法：利用Excel中的超幾何分布函數(shù)(HYPGEOMDIST函數(shù))可計算出相應參數(shù)下超幾何分布的概率。第二節(jié)使用Excel進行概率計算4.使用Excel的求解步驟

第一步：新建一個工作表，輸入表頭“應用超幾何分布函數(shù)HYPGEOMDIST求概率”。第二步：分別單擊C2、E2、C3和E3單元格，輸入已知參數(shù):N=35，M=7，n=7，x=7。

第三步：運用HYPGEOMDIST求7個球中全為紅球的概率，在B5單元格輸入“=HYPGEOMDIST(E3，C3，E2，C2)”，結果如圖所示。第二節(jié)使用Excel進行概率計算二、保險賠付概率

典型案例：某保險公司在一天內(nèi)承保了5000張相同年齡，為期一年的壽險保單，每人一份。在合同有效期內(nèi)若投保人死亡，則公司需賠付3萬元。設在一年內(nèi)，該年齡段的死亡率為0.0015，且各投保人是否死亡相互獨立。求該公司對于這批投保人的賠付總額不超過30萬元的概率。第二節(jié)使用Excel進行概率計算

2.解決方案：死亡人數(shù)X服從的二項分布（詳見本章第四節(jié)），根據(jù)泊松定理，當n很大、p很小時，二項分布的概率值可由參數(shù)為的泊松分布的概率值近似，此案例中，通過泊松分布（詳見本章第四節(jié)）的概率分布函數(shù)可求得相應的概率值。

3.解決辦法：利用Excel中的泊松分布函數(shù)(POISSON函數(shù))可計算出相應參數(shù)下的概率。第二節(jié)使用Excel進行概率計算4.使用Excel的求解步驟

第一步：新建Excel工作表，輸入表頭“應用泊松分布函數(shù)POISSON求概率值”。

第二步：分別單擊C2、E2單元格，輸入己知參數(shù)。第三步：求該公司對于這批投保人的賠付總額等于30萬元的概率（即死亡人數(shù)為10個），單擊C4單元格，輸入“=POISSON（E2,C2,0）”。第四步：求該公司對于這批投保人的賠付總額小于30萬元的概率。單擊C4單元格，輸入“=POISSON（E2,C2,1）”，結果如圖所示。第二節(jié)使用Excel進行概率計算

應用POISSON分布函數(shù)求概率值

第三節(jié)可能性與機遇問題典型案例案例1車床故障維修問題

某車間有160臺同型號的自動車床獨立工作，每臺車床發(fā)生故障的概率都是0.01，假設發(fā)生故障時每臺車床必須由一名技師處理。若由一名技師負責維修20臺車床，求車床發(fā)生故障時不能及時維修的概率。若由3名技師共同負責維修80臺，求車床發(fā)生故障時不能及時維修的概率。第三節(jié)可能性與機遇問題典型案例1.問題分析

用X表示同一時刻發(fā)生故障的車床數(shù)。第一種情形，X服從的二項分布，車床發(fā)生故障時不能及時維修即同時有2臺或2臺以上發(fā)生故障；第二種情形，X服從的二項分布，車床發(fā)生故障時不能及時維修即同時有4臺或4臺以上發(fā)生故障。根據(jù)二項分布的概率分布，可分別計算兩種情況下車床發(fā)生故障時不能及時維修的概率。第三節(jié)可能性與機遇問題典型案例2.解決方案

第一步：新建Excel工作表，輸入標題“應用二項分布BINOMDIST函數(shù)求概率”；第二步：分別單擊C2，C3，C4，輸入已知參數(shù)值：，，；

第三步：車床發(fā)生故障時不能及時維修的概率。先求同時出現(xiàn)故障臺數(shù)小于等于1的概率，在C5中輸入“=BINOMDIST(C4,C2,C3,1)”，再求1個技師時發(fā)生故障不能及時維修的概率，單擊C6，輸入“=1-C5”即可求得，用同樣的方法可求得3個技師時發(fā)生故障不能及時維修的概率，計算結果如圖所示。第三節(jié)可能性與機遇問題典型案例應用二項分布求概率第三節(jié)可能性與機遇問題典型案例案例2排隊等候問題顧客在某銀行窗口等待服務的時間（min）服從指數(shù)分布，平均等待時間為5min。某顧客在窗口等待服務，若超過10min，他就離開，該顧客一個月要到銀行5次，以Y表示該顧客一個月內(nèi)未等到服務而離開窗口的次數(shù)，寫出Y的分布情況，求出的概率。1.問題分析：等待時間X服從的指數(shù)分布，則X的分布函數(shù)為：

先求出的概率p，則Y服從的二項分布。第三節(jié)可能性與機遇問題典型案例第三節(jié)可能性與機遇問題典型案例第三節(jié)可能性與機遇問題典型案例圖11-7應用指數(shù)分布函數(shù)求概率圖11-8二項分布函數(shù)求概率分布

第三節(jié)可能性與機遇問題典型案例案例3合理的訂貨量問題

一個零售商銷售和計算機有關的產(chǎn)品。他最熱賣的一種商品就是惠普激光打印機，平均每周需要200臺，從向廠家訂貨到貨物運抵所需時間為1周，因為每周的需求是隨機變量，且以往的數(shù)據(jù)表明周需求標準差為30臺。如果商品缺貨，那么他會失去這筆生意以及其他可能相關的買賣，他希望每周缺貨的概率不超過6%，那么每次應該訂多少貨?1.問題分析根據(jù)題意，打印機每周的銷售量服從的正態(tài)分布，問題需要求出每周的缺貨概率不超過6%對應的訂貨量臨界值，即94%概率下對應的臨界值。第三節(jié)可能性與機遇問題典型案例2.解決方案第一步：新建Excel工作表，輸入標題“正態(tài)分布函數(shù)”；第二步：分別單擊單元格C2、E2，輸入己知數(shù)，；第三步：計算不超過6%對應的訂貨量臨界值（即94%概率下對應的臨界值），在單元格C3中輸入“=NORMINV(0.94,C2,E2)”，結果如圖11-9所示。圖11-9正態(tài)分布臨界值第四節(jié)進一步學習的數(shù)學知識：概率初步1.隨機試驗：一般地，稱滿足下述三個條件的實驗為一個隨機試驗，記作E。（1）試驗可以在相同的情形下重復進行；（2）試驗的所有可能結果是明確可知的，并且不止一個；（3）每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結果。一、隨機事件及其概率第四節(jié)進一步學習的數(shù)學知識：概率初步2.基本事件和樣本空間：隨機試驗的每一個可能結果，稱為基本事件（樣本點）。它們的全體，稱作基本空間（樣本空間），常用表示基本事件，用表示樣本空間。從集合角度看，基本事件又是樣本空間的一個元素，可記作。

w

W由若干個基本事件組成的事件稱為復雜事件。無論基本事件還是復雜事件，它們在試驗中發(fā)生與否，都帶有隨機性，所以都叫做隨機事件或簡稱為事件，記作大寫字母A，B…。

{}wW=第四節(jié)進一步學習的數(shù)學知識：概率初步例如：一個盒子中有十個完全相同的球，分別標以號碼1，2，…10，從中任取一球，令，則。第四節(jié)進一步學習的數(shù)學知識：概率初步第四節(jié)進一步學習的數(shù)學知識：概率初步第四節(jié)進一步學習的數(shù)學知識：概率初步5.概率：事件A的概率是描述事件A在試驗中出現(xiàn)的可能性大小的一種度量，記事件A出現(xiàn)的可能性大小為，稱為事件A的概率。概率的統(tǒng)計定義：在相同的條件下，重復進行n次試驗，當試驗次數(shù)n很大時，事件A發(fā)生頻率穩(wěn)定地在一個常數(shù)P附近擺動，通常n越大，擺動幅度越小，則稱常數(shù)P為事件A的概率.記為。第四節(jié)進一步學習的數(shù)學知識：概率初步6.古典概型:若隨機試驗E具有下述特征：⑴樣本空間的基本事件數(shù)只有有限個，不妨設為n個，并記它們?yōu)?⑵每個基本事件出現(xiàn)的可能性是相等的，即有

.則稱這種等可能性的數(shù)學模型稱為古典概型。第四節(jié)進一步學習的數(shù)學知識：概率初步第四節(jié)進一步學習的數(shù)學知識：概率初步3.條件概率與獨立事件⑴條件概率

引例

某個班級有學生40人，其中有共青團員15人，全班分成四個小組，第一小組有學生10人，其中共青團員4人，如果要在班里任選一人當學生代表，那么這個代表恰好在第一小組的概率是多少？，現(xiàn)在要在班級任選一個共青團員當團員代表，問這個代表恰好在第一組內(nèi)的概率是多少？分析：如果設A={在班內(nèi)任選一個學生，該學生屬于第一組},B={在班內(nèi)任選一個學生,該學生是共青團員}，可以看到，在第一個問題里求得的是，而在第二個問題里，是在“已知事件B發(fā)生”的附加條件下，求A發(fā)生的概率，記作.于是有

稱為在已知事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的條件概率

第四節(jié)進一步學習的數(shù)學知識：概率初步第四節(jié)進一步學習的數(shù)學知識：概率初步第四節(jié)進一步學習的數(shù)學知識：概率初步第四節(jié)進一步學習的數(shù)學知識：概率初步

如果隨機變量X的所有可能取值都可以逐個列舉出來，則稱X為離散型隨機變量。例如，在一批產(chǎn)品中取到次品的個數(shù)、一家餐館營業(yè)一天的顧客人數(shù)等。如果隨機變量X的所有可能取值都不可以逐個列舉出來，而是取數(shù)軸上某一區(qū)間內(nèi)的任一點，則稱X為連續(xù)型隨機變量。例如一批電子元件的壽命，某班期末考試的及格率等。三、離散型隨機變量及其分布

第四節(jié)進一步學習的數(shù)學知識：概率初步兩點分布可用來描述一切只有兩種可能結