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文檔簡介

相似矩陣

定義4.3.1

設A，B都是階方陣，若有可逆方陣P，使則稱B是A的相似矩陣，或說矩陣A與矩陣B相似.對A進行運算稱為對A進行相似變換，可逆矩陣P稱為把A變成B的相似變換矩陣.一、相似矩陣的概念與性質定理4.3.1

若A與B相似，則A

的特征值與B的特征值相同.證明推論4.3.1

若階方陣A與對角陣利用上述結論可以很方便地計算矩陣A的多項式.

定理

4

.3.2

階方陣A與對角矩陣相似（即A能對角化）的充分必要條件是A有個線性無關的特征向量.證明二、方陣的對角化命題得證.

如果n階矩陣A的n個特征值互不相等，則A與對角陣相似.如果A的特征方程有重根，此時不一定有n個線性無關的特征向量，從而矩陣A不一定能對角化，但如果能找到n個線性無關的特征向量，A還是能對角化。推論4.3.2說明例1

判斷下列實矩陣能否化為對角陣？解所以基礎解系中必含有兩個線性無關的解向量.故必有3個線性無關的特征向量,因而可以對角化.又當時,故B不能化為對角矩陣.當時,顯然,故B

沒有3個線性無關的特征向量.A能否對角化？若能對角例2解解之得基礎解系所以A可對角化.注意即矩陣P的列向量和對角矩陣中特征值的位置要相互對應。例3問取何值時，能對角化？解：令，解得的特征值為：當時，因此，三、實對稱矩陣的對角化說明：本節(jié)所提到的對稱矩陣，除非特別說明，均指實對稱矩陣。定理4.3.3

對稱矩陣的特征值為實數.定理4.3.4

設是對稱矩陣的兩個特征值，是對應的特征向量，若，則與正交。

推論4.3.3定理4.3.5說明設A的互不相等的特征值為它們的重數依次為這樣的特征向量共可得n個.

由定理4.3.4知對應于不同特征值的特征向量正交，故這n個單位特征向量兩兩正交.以它們?yōu)榱邢蛄繕嫵烧痪仃嘝，則求A的特征值;將特征向量正交化;將特征向量單位化.

根據上述結論，利用正交矩陣將對稱矩陣化為對角矩陣，其具體步驟為：1234（1）解：第一步求A的特征值例4求出正交矩陣P，使

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