2024年北師大版高一數(shù)學(xué)上冊(cè)階段測試試卷含答案

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請(qǐng)※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2024年北師大版高一數(shù)學(xué)上冊(cè)階段測試試卷含答案考試試卷考試范圍：全部知識(shí)點(diǎn)；考試時(shí)間：120分鐘學(xué)校：______姓名：______班級(jí)：______考號(hào)：______總分欄題號(hào)一二三四五總分得分評(píng)卷人得分一、選擇題(共6題，共12分)1、如果那么下列不等式中正確的是（）A.B.C.D.2、設(shè)中，且則此三角形是（）A.等邊三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形3、函數(shù)f（x）=ex+x﹣2的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（）A.（﹣2，﹣1）B.（﹣1，0）C.（0，1）D.（1，2）4、如圖，在半徑為R的圓C中，已知弦AB的長為5，則?=（）A.B.C.RD.R5、（1+tan18°）（1+tan27°）的值是（）A.B.C.2D.2（tan18°+tan27°）6、下列各個(gè)對(duì)應(yīng)中，構(gòu)成A→B映射的是（）A.B.C.D.評(píng)卷人得分二、填空題(共9題，共18分)7、①設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量，若|a+b|=|a-b|，則a·b=0②若③在△ABC中，若則△ABC是等腰三角形④在中，邊長a,c分別為a=4,c=則只有一解。上面說法中正確的是．8、等腰頂角的余弦為則底角的正弦值為________.9、sin14°cos16°-cos166°sin16°的值是____．10、【題文】定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＋f(x＋5)＝16，當(dāng)x∈(－1,4]時(shí)，f(x)＝x2－2x，則函數(shù)f(x)在[0,2013]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是________．11、以點(diǎn)（1，3）和（5，﹣1）為端點(diǎn)的線段的中垂線的方程是____12、若冪函數(shù)y=的圖象不過原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為____13、函數(shù)f（x）=2sin2x+sin2x的最大值為______．14、在△ABC中，P為BC中點(diǎn)，若=m+n則m+n=______．15、在一次演講比賽中，10位評(píng)委對(duì)一名選手打分的莖葉圖如圖所示，若去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，得到一組數(shù)據(jù)xi（1≤i≤8），在如圖所示的程序框圖中，是這8個(gè)數(shù)據(jù)中的平均數(shù)，則輸出的S2的值為______．評(píng)卷人得分三、解答題(共6題，共12分)16、已知AD是△ABC邊BC的中線，用坐標(biāo)法證明：|AB|2+|AC|2=2（|AD|2+|DC|2）endarray

．

17、計(jì)算（1）（2）18、【題文】已知正方形的邊長為2，．將正方形沿對(duì)角線折起；

使得到三棱錐如圖所示．

（1）當(dāng)時(shí)，求證：

（2）當(dāng)二面角的大小為時(shí)，求二面角的正切值．19、已知0＜α＜sinα=．

（Ⅰ）求cosα的值；

（Ⅱ）求tan（α+）的值；

（Ⅲ）求的值．20、已知函數(shù)f(x)=Asin(婁脴x+婁脮)(A>0,婁脴>0,婁脮隆脢(0,婁脨2))

的圖象在y

軸上的截距為1

在相鄰兩個(gè)最值點(diǎn)(x0鈭?32,2)

和(x0,鈭?2)

上(x0>0)

函數(shù)f(x)

分別取最大值和最小值．

(1)

求函數(shù)f(x)

的解析式；

(2)

若f(x)=k+12

在區(qū)間[0,32]

內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；求k

的取值范圍；

(3)

求函數(shù)f(x)

在區(qū)間[134,234]

上的對(duì)稱軸方程．21、已知a鈫?b鈫?c鈫?

是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中a鈫?=(1,2)b鈫?=(鈭?2,3)c鈫?=(鈭?2,m)

(1)

若a鈫?隆脥(b鈫?+c鈫?)

求m

的值；

(2)

若ka鈫?+b鈫?

與2a鈫?鈭?b鈫?

共線，求k

的值．評(píng)卷人得分四、證明題(共2題，共18分)22、如圖；過圓O外一點(diǎn)D作圓O的割線DBA，DE與圓O切于點(diǎn)E，交AO的延長線于F，AF交圓O于C，且AD⊥DE．

（1）求證：E為的中點(diǎn)；

（2）若CF=3，DE?EF=，求EF的長．23、已知ABCD四點(diǎn)共圓，AB與DC相交于點(diǎn)E，AD與BC交于F，∠E的平分線EX與∠F的平分線FX交于X，M、N分別是AC與BD的中點(diǎn)，求證：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分別平分∠MFN與∠MEN．評(píng)卷人得分五、綜合題(共1題，共5分)24、已知拋物線y=ax2-2ax+c-1的頂點(diǎn)在直線y=-上，與x軸相交于B（α，0）、C（β，0）兩點(diǎn)，其中α＜β，且α2+β2=10．

（1）求這個(gè)拋物線的解析式；

（2）設(shè)這個(gè)拋物線與y軸的交點(diǎn)為P；H是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過H作HK∥PB，交PC于K，連接PH，記線段BH的長為t，△PHK的面積為S，試將S表示成t的函數(shù)；

（3）求S的最大值，以及S取最大值時(shí)過H、K兩點(diǎn)的直線的解析式．參考答案一、選擇題(共6題，共12分)1、D【分析】試題分析：與的關(guān)系不確定；時(shí)，若則C錯(cuò)；考點(diǎn)：不等式基本性質(zhì)的應(yīng)用【解析】【答案】D2、A【分析】得又當(dāng)時(shí)，(舍).當(dāng)時(shí)，此三角形是等邊三角形.應(yīng)選A.【解析】【答案】A.3、C【分析】【解答】解:因?yàn)閒（0）=﹣1＜0；f（1）=e﹣1＞0，所以零點(diǎn)在區(qū)間（0，1）上；

故選C．

【分析】將選項(xiàng)中各區(qū)間兩端點(diǎn)值代入f（x），滿足f（a）?f（b）＜0（a，b為區(qū)間兩端點(diǎn)）的為答案．4、B【分析】【解答】解：由于AC為半徑，C圓心，AB為弦，故在上的投影為||，∴?=||?||=×5×5=

故選：B．

【分析】根據(jù)AC為半徑，C圓心，AB為弦，可得在上的投影為||，再根據(jù)?=||?||，計(jì)算求得結(jié)果．5、C【分析】【解答】解：（1+tan18°）（1+tan27°）=1+tan18°+tan27°+tan18°tan27°=1+tan45°（1﹣tan18°tan27°）+tan18°tan27°=2；故選C．

【分析】要求的式子即1+tan18°+tan27°+tan18°tan27°，再把tan18°+tan27°=tan45°（1﹣tan18°tan27°）代入，化簡可得結(jié)果．6、D【分析】解：由映射的概念知；

對(duì)于A；A中的元素2在集合B中沒有“對(duì)象”且A中的元素1在集合B中有2個(gè)對(duì)應(yīng)元素，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B；A中的元素2在集合B中沒有“對(duì)象”，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C；A中的元素1在集合B中有2個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D；集合A中的任意一個(gè)元素在集合B中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)，正確．

故選：D．

利用映射的概念：集合A中的任意一個(gè)元素在集合B中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)；對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷即可得到答案．

本題考查映射的概念，理解“任意”與“唯一”是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．【解析】【答案】D二、填空題(共9題，共18分)7、略

【分析】試題分析：對(duì)于①中的式子，兩邊平方有：所以①正確；：對(duì)于②有：因此有所以②正確；對(duì)于③，根據(jù)余弦定理有所以或因此△ABC是等腰三角形或直角三角形，故③不正確；對(duì)于④，如圖：有所以④不正確.考點(diǎn)：數(shù)量積的運(yùn)算，余弦定理，勾股定理，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角判斷三角形解的個(gè)數(shù).【解析】【答案】①②.8、略

【分析】試題分析：不妨設(shè)中則頂角為底角為這兩個(gè)底角相等，依題意有即也就是即從而可得所以又因?yàn)樗钥键c(diǎn)：二倍解公式.【解析】【答案】9、略

【分析】

sin14°cos16°-cos166°sin16°=sin14°cos16°+cos14°sin16°=sin（14°+16°）=sin30°=

故答案為．

【解析】【答案】首先利用誘導(dǎo)公式得出cos166°=（180°-14°）=-cos14°；然后利用兩角和與差的正弦公式得出所求的式子為sin（14°+16°）=sin30°，進(jìn)而根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得出答案．

10、略

【分析】【解析】由f(x)＋f(x＋5)＝16，可知f(x－5)＋f(x)＝16，則f(x＋5)－f(x－5)＝0，所以f(x)是以10為周期的周期函數(shù)．在一個(gè)周期(－1,9]上，函數(shù)f(x)＝x2－2x在(－1，4]區(qū)間內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn)，由于區(qū)間(3,2013]中包含201個(gè)周期，且在區(qū)間[0,3]內(nèi)也存在一個(gè)零點(diǎn)x＝2，故f(x)在[0,2013]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3×201＋1＝604．【解析】【答案】60411、x﹣y﹣2=0【分析】【解答】解：直線AB的斜率kAB=﹣1；所以線段AB的中垂線得斜率k=1，又線段AB的中點(diǎn)為（3，1）；

所以線段AB的中垂線得方程為y﹣1=x﹣3即x﹣y﹣2=0；

故答案為x﹣y﹣2=0．

【分析】先求出線段AB的中垂線的斜率，再求出線段AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)斜式寫出AB的中垂線得方程，并化為一般式．12、m=1或m=2【分析】【解答】解：∵冪函數(shù)y=的圖象不過原點(diǎn)；

∴

解得m=1或m=2．

故答案為：m=1或m=2．

【分析】由冪函數(shù)y=的圖象不過原點(diǎn)，知由此能求出實(shí)數(shù)m的值．13、略

【分析】解：由三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=2sin2x+sin2x

=1-cos2x+sin2x=1+sin（2x-）；

∴當(dāng)sin（2x-）=1時(shí)，原式取到最大值1+

故答案為：1+．

由三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=1+sin（2x-）；易得函數(shù)的最值．

本題考查三角函數(shù)的最值，化為一角一函數(shù)是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．【解析】1+14、略

【分析】解：∵△ABC中；P為BC中點(diǎn)；

∴==（-）；

∴=+=+（-）=+

∴m=n=

∴m+n=1；

故答案為：1．

若△ABC中，P為BC中點(diǎn)，則==（-），再由=+可得m，n的值．

本題的知識(shí)點(diǎn)是向量在幾何中的應(yīng)用，向量加法和減法的三角形法則，難度中檔．【解析】115、略

【分析】解：若去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后得到的8個(gè)數(shù)據(jù)為78；80，82，82，86，86，88，90；

則

．

故答案為15．

根據(jù)題意去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后得到的8個(gè)數(shù)據(jù)；把這八個(gè)數(shù)據(jù)寫出來然后求其平均值，再根據(jù)方差公式求出其方差．

此題主要考查數(shù)據(jù)平均值和方差的求法，計(jì)算比較復(fù)雜，計(jì)算時(shí)要仔細(xì)．【解析】15三、解答題(共6題，共12分)16、略

【分析】

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)；BC所在直線為x軸建立如圖坐標(biāo)系。

設(shè)C（c，0），B（-c，0），A（a，b）

∴|AB|2=（a+c）2+b2，|AC|2=（a-c）2+b2

可得：|AB|2+|AC|2=[（a+c）2+b2]+[（a-c）2+b2]=2（a2+b2+c2）

∵|AD|2=a2+b2，|AC|2=c2．

∴2（|AD|2+|AC|2）=2（a2+b2+c2）

因此，|AB|2+|AC|2=2（|AD|2+|AC|2）；原命題得證。

【解析】【答案】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)、BC所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)C（c，0），B（-c，0），A（a，b），分別計(jì)算出|AB|2；

|AC|2、|AD|2和|DC|2關(guān)于a、b；c的式子；再進(jìn)行比較即可證出原等式成立．

17、略

【分析】試題分析：（1）由對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，利用將其化簡有（2）由指數(shù)的運(yùn)算法則，利用將其化簡有試題解析：（1）原式6分（2）原式12分考點(diǎn):1、有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)；2、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).【解析】【答案】（1）（2）18、略

【分析】【解析】本試題主要是考察了立體幾何中線面垂直的證明；以及二面角的求解的綜合運(yùn)用。

（1）利用折疊前后的不變量；得到線面垂直的證明。

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，然后表示平面的法向量，利用向量與向量的夾角，求解二面角的平面角。【解析】【答案】（1）證明略。

（2）二面角的正切值為．19、略

【分析】

（Ⅰ）由α的范圍及sinα的值；利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosα的值即可；

（Ⅱ）由sinα與cosα的值；求出tanα的值，原式利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡后，把tanα的值代入計(jì)算即可求出值；

（Ⅲ）原式利用誘導(dǎo)公式化簡；把cosα的值代入計(jì)算即可求出值．

此題考查了運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值，以及同角三角函數(shù)間基本關(guān)系的運(yùn)用，熟練掌握誘導(dǎo)公式是解本題的關(guān)鍵．【解析】解：（I）∵0＜α＜sinα=

∴cosα==

（II）∵sinα=cosα=

∴tanα==

則原式===-7；

（III）∵cosα=

∴原式==-sinαcotα=-cosα=-．20、略

【分析】

(1)

由題意得f(0)=1f(x)

的最大值等于2

周期的一半等于32

列出方程組解出A婁脴婁脮

(2)x隆脢[0,32]?2婁脨3x+婁脨6隆脢[婁脨6,7婁脨6]?1鈮?k+12<2

即可求k

的取值范圍；

(3)2婁脨3x+婁脨6=婁脨2+k婁脨,k隆脢Z?x=12+32k,k隆脢Z

即可求函數(shù)f(x)

在區(qū)間[134,234]

上的對(duì)稱軸方程．

本題考查三角函數(shù)解析式的確定，考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．【解析】解：(1)A=2,T2=x0鈭?(x0鈭?32)=32?T=3?婁脴=2婁脨3

隆脿f(x)=2sin(2婁脨3x+婁脮)

代入(0,1)

點(diǎn)；2sin婁脮=1

隆脽婁脮隆脢(0,婁脨2)隆脿婁脮=婁脨6隆脿f(x)=2sin(2婁脨3x+婁脨6)

(2)x隆脢[0,32]?2婁脨3x+婁脨6隆脢[婁脨6,7婁脨6]?1鈮?k+12<2?1鈮?k<3

(3)2婁脨3x+婁脨6=婁脨2+k婁脨,k隆脢Z?x=12+32k,k隆脢Z

?

函數(shù)f(x)

在區(qū)間[134,234]

上的對(duì)稱軸方程為x=72x=5

．21、略

【分析】

(1)

利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可得出；

(2)

利用向量共線定理即可得出．

本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、向量共線定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．【解析】解：(1)b鈫?+c鈫?=(鈭?4,3+m)(2

分)

a鈫?=(1,2)

隆脽a鈫?隆脥(b鈫?+c鈫?)

隆脿a鈫?鈰?(b鈫?+c鈫?)=鈭?4+2(3+m)=0(4

分)

解得m=鈭?1.(15

分)

(2)

由已知：ka鈫?+b鈫?=(k鈭?2,2k+3)2a鈫?鈭?b鈫?=(4,1)(6

分)

隆脽(ka鈫?+b鈫?)//(ka鈫?+b鈫?)

隆脿k鈭?2=4(2k+3)(9

分)

隆脿k=鈭?2.(10

分)

四、證明題(共2題，共18分)22、略

【分析】【分析】要證E為中點(diǎn)，可證∠EAD=∠OEA，利用輔助線OE可以證明，求EF的長需要借助相似，得出比例式，之間的關(guān)系可以求出．【解析】【解答】（1）證明：連接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圓O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

?OE∥AD

=＞E為的中點(diǎn)．

（2）解：連CE；則∠AEC=90°，設(shè)圓O的半徑為x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽R(shí)t△AEC=＞

DE切圓O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE?EF=AD?CF

DE?EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC?FA=3x（3+2）=15

∴EF=23、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性質(zhì)知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四邊形ABCD內(nèi)接于圓，則∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，聯(lián)立①②，即可證得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分別是∠AFB和∠AED的角平分線，等量代換后可證得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可連接AX，此時(shí)發(fā)現(xiàn)∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可證得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲證∠MFX=∠NFX，必須先證得∠AFM=∠BFN，可通過相似三角形來實(shí)現(xiàn)；首先連接FM、FN，易證得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通過等量代換，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圓周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可證得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，進(jìn)一步可證得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可證得EX是∠MEN的角平分線．【解析】【解答】證明：（1）連接AX；

由圖知：∠FDC是△ACD的一個(gè)外角；

則有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分別是∠AFB、∠AED的角平分線；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性質(zhì)知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）連接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可證得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分別平分∠MFN與∠MEN．五、綜合題(共1題，共5分)24、略

【分析】【分析】（1）把頂點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線的解析式得出c=a+；根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出c=1-3a，得出方程組，求出方程組的解即可；

（2）求出P、B、C的坐標(biāo)，BC=4，根據(jù)sin∠BCP==，和HK∥BP，得出=，求出PK=t；過H作HG⊥PC于G，根據(jù)三角形的面積公式即可求出答案；

（3）根據(jù)S=-（t-2）2+2求出S取最大值，作KK′⊥HC于K′，求出KK′和OK′，得到點(diǎn)K的坐標(biāo)，設(shè)所求直線的解析式為y=kx+b，代入得到方程組求出即可．【解析】【解答】解：（1）由y=ax2-2ax+c-1=a（