2021屆湖南省長郡中學(xué)高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

2020-2021學(xué)年湖南省長郡中學(xué)高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題時量：120分鐘滿分：100分一、選擇題：本題共12小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求．1．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對應(yīng)的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限2．為了解某地區(qū)的中小學(xué)生的視力情況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進行調(diào)查，事先已了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大．在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是（）A．簡單隨機抽樣 B．按性別分層隨機抽樣C．按學(xué)段分層隨機抽樣 D．其他抽樣方法3．已知直線，兩個不同的平面，，下列命題正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，/，則 D．若，，則4．下列說法正確的是（）A．投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣1000次，一定有500次“正面朝上”B．若甲組數(shù)據(jù)的方差是0.03，乙組數(shù)據(jù)的方差是0.1，則甲組數(shù)據(jù)比乙組數(shù)據(jù)穩(wěn)定C．為了解我國中學(xué)生的視力情況，應(yīng)采取全面調(diào)查的方式D．一組數(shù)據(jù)1、2、5、5、5、3、3的中位數(shù)和眾數(shù)都是55．若在中，角，，的對邊分別為，，，，，，則（）A．45° B．135° C．45°或135° D．以上都不對6．如圖，若一個水平放置的圖形用斜二測畫法作出的直觀圖是一個底角為45°且腰和上底均為1的等腰梯形，則原平面圖形的面積是（）A． B． C． D．7．已知圓錐的頂點為，底面圓心為，若過直線的平面截圓錐所得的截面是面積為8的等腰直角三角形，則該圓錐的側(cè)面積為（）A． B． C． D．8．若數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為4，標(biāo)準(zhǔn)差為1，則，，…，的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為（）A．4，1 B．17，8 C．17，9 D．17，39．從長度為3，5，7，9，11的5條線段中任取3條，這3條線段能構(gòu)成鈍角三角形的概率為（）A． B． C． D．10．已知正三角形的邊長為3，，，，則（）A． B． C． D．11．已知三棱錐中，底面是邊長為的正三角形，側(cè)面底面，且，則該幾何體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．12．中，，，，點為的外心，若，則實數(shù)的值為（）A．7 B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題3分，共9分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得3分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．13．在一個口袋中裝有5個白球和3個黑球．這些球除顏色外完全相同．從中摸出3個球，下列事件是互斥事件的是（）A．“恰有2個白球”和“恰有2個黑球”B．“恰有1個黑球”和“至少1個白球”C．“至少1個黑球”和“至多1個白球”D．“至少1個黑球”和“全是白球”14．設(shè)，是復(fù)數(shù)，則下列命題中的真命題是（）A．若|，則 B．若，則C．若，則 D．若，則15．如圖1，在邊長為2的正方形中，，，分別為，，的中點，沿、及把這個正方形折成一個四面體，使得、、三點重合于，得到四面體（如圖2）．下列結(jié)論正確的是（）A．四面體的外接球體積為B，頂點在面上的射影為的重心C．與面所成角的正切值為D．過點的平面截四面體的外接球所得截面圓的面積的取值范圍是三、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分．16．已知復(fù)數(shù)，，（為虛數(shù)單位），且，則______。17．甲、乙兩名同學(xué)進行籃球投籃練習(xí)，甲同學(xué)投籃一次命中的概率為，乙同學(xué)投籃一次命中的概率為，假設(shè)兩人投籃命中與否互不影響，則甲、乙兩人各投籃一次，至少有一人命中的概率是______。18．如圖所示是-一個樣本容量為100的頻率分布直方圖，則由圖形中的數(shù)據(jù)，可知其25%分位數(shù)為______。19．若平面向量，，兩兩夾角相等，且，，，則______．20．已知，，分別為的三個內(nèi)角，，的對邊，且，點在邊上，且，，則的面積最大值為______．四、解答題：本題共5小題，共40分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．21．（本小題滿分8分）現(xiàn)有某城市100戶居民的月平均用電量（單位：度）的數(shù)據(jù)，根據(jù)這些數(shù)據(jù)，以，，，，，，分組的頻率分布直方圖如圖所示．（1）確定直方圖中的值，并求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；（2）在月平均用電量為，，，的四組用戶中，用分層隨機抽樣的方法抽取11戶居民，則月平均用電量在內(nèi)的用戶中應(yīng)抽取多少戶？22．（本小題滿分8分）如圖，已知三棱錐，，，，，為的中點，且為正三角形．（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積．23．（本小題滿分8分）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，向量與垂直．（1）求的值；（2）若，求的面積的最大值．24．（本小題滿分8分）近年來，在新高考改革中，打破文理分科的“”模式初露端倪，其中語、數(shù)、外三門課為必考科目，剩下三門為選考科目．選考科目成績采用“賦分制”，即原始分?jǐn)?shù)不直接用，而是按照學(xué)生分?jǐn)?shù)在本科目考試的排名來劃分等級，并以此打分得到最后得分．假定某省規(guī)定：選考科目按考生原始分?jǐn)?shù)從高到低排列，按照占總體15%、35%、35%、13%和2%劃定、、、、五個等級，并分別賦分為90分、80分、70分、60分和50分，為了讓學(xué)生們體驗“賦分制”計算成績的方法，該省某高中高一（1）班（共40人）舉行了一次摸底考試（選考科目全考，單科全班排名），已知這次摸底考試中的歷史成績（滿分100分）頻率分布直方圖、地理成績（滿分100分）莖葉圖如圖所示，小明同學(xué)在這次考試中歷史82分，地理70多分．（1）采用賦分制后，求小明歷史成績的最后得分；（2）若小明的地理成績最后得分為80分，求小明的原始成績的可能值；（3）若小張必選歷史，其它兩科從地理、政治、物理、化學(xué)、生物五科中任選，求小張考試選考科目包含地理的概率．25．（本小題滿分8分）如圖，在四棱錐中，為正三角形，底面為直角梯形，，，，，點，分別在線段和上，且．（1）求證：平面；（2）設(shè)二面角的大小為，若，求直線和平面所成角的正弦值．長郡中學(xué)2020—2021學(xué)年度高一第二學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)參考答案題號123456789101112131415答案BCABCCDDCABAADABCACD一、二、選擇題5．C【解析】由正弦定理可得，∴．∵，∴．∵，∴或135°．故選C．6．C【解析】因為水平放置的圖形的直觀圖是一個底角為45°且腰和上底均為1的等腰梯形，如圖所示：其中，，由斜二測畫法知，原平面圖形是一個直角梯形，如圖所示：則，，，所以原平面圖形的面積是，故選C．7．D【解析】設(shè)圓錐的母線長為，則，得，即母線長為4，設(shè)圓錐的底面半徑為，，解得，即圓錐底面圓的半徑為，則圓錐的側(cè)面積為．故選D．8．D【解析】∵，，…，的平均數(shù)為，方差為，標(biāo)準(zhǔn)差為，∴，，…，的平均數(shù)為，即為17．方差，∴標(biāo)準(zhǔn)差．故選D．9．C【解析】窮舉法，取出3條線段的情況有，，，，，，，，，，共10種，可構(gòu)成三角形的有，，，，，，，共7種，只有不構(gòu)成鈍角三角形，故概率．10．A【解析】：正三角形的邊長為3，，，，∴，，，，，，∵，，∴．故選A．．11．B【解析】如圖，設(shè)底面正三角形的外心為，側(cè)面三角形的外心為，外接球的半徑為，過作底面垂線，過作側(cè)面的垂線，相交于，則為三棱錐的外接球的球心，由已知可得，，設(shè)三角形的外接圓的半徑為，則，即．在中，可得，∴該幾何體的外接球的表面積為．故選B，12．A【解析】中，，，，則，∵，∴又∵，同理可得：，代入上式，∴解得：．故選A．13．AD【解析】從口袋中摸出3個球，對于A項，“恰有2個白球”和“恰有2個黑球”，不可同時發(fā)生，是互斥事件．對于B項，“恰有1個黑球”和“至少1個白球”，若恰好1個黑球和2個白球，則兩個事件同時發(fā)生，所以不是互斥事件．對于C項，“至少1個黑球”和“至多1個白球”，若恰好2個黑球和1個白球，則兩個事件同時發(fā)生，所以不是互斥事件．對于D項，“至少1個黑球”和“全是白球”，不可同時發(fā)生，是互斥事件．故選AD．．14．ABC【解析】對于A，若，則，，所以為真；對于B，若，則和互為共軛復(fù)數(shù)，所以為真；對于C，設(shè)，，，，，，若，則，即，所以，所以為真；對于D，若，，則，而，，所以為假．故選ABC．15．ACD【解析】對于A項，易知、、兩兩垂直，故可以補成長方體，其體對角線長，外接球半徑，故外接球體積為，故A項正確；對于B項，由于、、兩兩垂直，故在面上的射影為的垂心，故B項錯誤；對于C項，設(shè)為中點，則，，，故平面，故平面平面，所以在平面上的射影為，與平面所成角為，，，，，故C項正確；對于D項，設(shè)為四面體的外接球球心，平面，連接，，當(dāng)過點的截面經(jīng)過球心時截面圓面積最大，面積為；當(dāng)垂直截面圓時，截面圓面積最小，此時，，，，截面圓面積為，得截面圓面積取值范圍是，D正確．故選ACD．三、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分．16．【解析】，故．17．【解析】兩個都不命中的概率為，故至少有一人命中的概率是．18．10.5【解析】由圖可知第一組的頻率為，前兩組的頻率之和為，則可知其25%分位數(shù)在內(nèi)，設(shè)為，則，解得．19．2或5【解析】當(dāng)，，兩兩夾角為時，；當(dāng)，，兩兩夾角為0時，．20．【解析】因為，所以，即，所以．因為，解得．因為，故，所以，由基本不等式可得，，當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立，即的最大值為，所以．四、解答題：本題共5小題，共40分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．21．【解析】（1）因為，所以；由頻率分布直方圖可知：對應(yīng)的頻數(shù)最大，所以眾數(shù)為230度；因為前三組頻率之和為，第四組頻率為，且，所以中位數(shù)在第四組數(shù)據(jù)中，設(shè)中位數(shù)為度，所以．（2）因為，，，的頻率之比為，所以月平均用電量在內(nèi)的用戶中應(yīng)抽取：戶，答：月平均用電量在內(nèi)的用戶中應(yīng)抽取5戶．22．【解析】（1）∵為的中點且為正三角形，∴，又∵，，∴平面，∴，又，且，∴平面．（2）由（1）得，，平面，且，,由為的中點，所以．23．【解析】（1）∵與垂直，∴，即，根據(jù)正弦定理得，由余弦定理得．∵是的內(nèi)角，∴．（2）由（1）知，∴．又∵，∴．∵的面積，∴的面積的最大值為4．24．【解析】（1）∵此次考試歷史成績落在，內(nèi)的頻率依次為0.1，0.05，頻率之和為0.15，且小明的歷史成績?yōu)?2分，大于80分，處于前15%，∴小明歷史成績的最后得分為90分，（2）40名學(xué)生中，地理賦分為90分有人，這六人的原始成績分別為96，93，93，92，91，89；賦分為80分有人，其中包含原始成績?yōu)?0多分的共10人，70多分的有4人，分別為76，76，77，78，∵小明的地理成績最后得分為80分，且原始成績?yōu)?0多分，∴小明的原始成績的可能值為76，77，78．（3）記地理、政治、物理、化學(xué)、生物依次為、、、、，∴小張從這五科中任選兩科的所有可能選法有，，，，，，，，，共10種，而其中包含地理的有，，，共4種，∴小張選考科目包含地理的概率為：．25．【解析】（1）證明：連接，交于點，連接，