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文檔簡介
第二章應(yīng)力狀態(tài)分析一.內(nèi)容介紹彈性力學(xué)的研究對象為三維彈性體,因此分析從微分單元體入手,本章的任務(wù)就是從靜力學(xué)觀點(diǎn)出發(fā),討論一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),建立平衡微分方程和面力邊界條件。
應(yīng)力狀態(tài)是本章討論的首要問題。由于應(yīng)力矢量與內(nèi)力和作用截面方位均有關(guān)。因此,一點(diǎn)各個截面的應(yīng)力是不同的。確定一點(diǎn)不同截面的應(yīng)力變化規(guī)律稱為應(yīng)力狀態(tài)分析。首先是確定應(yīng)力狀態(tài)的描述方法,這包括應(yīng)力矢量定義,及其分解為主應(yīng)力、切應(yīng)力和應(yīng)力分量;其次是任意截面的應(yīng)力分量的確定—轉(zhuǎn)軸公式;最后是一點(diǎn)的特殊應(yīng)力確定,主應(yīng)力和主平面、最大切應(yīng)力和應(yīng)力圓等。
應(yīng)力狀態(tài)分析表明應(yīng)力分量為二階對稱張量。本課程分析中使用張量符號描述物理量和基本方程,如果你沒有學(xué)習(xí)過張量概念,請進(jìn)入附錄一,或者查閱參考資料。
本章的另一個任務(wù)是討論彈性體內(nèi)一點(diǎn)-微分單元體的平衡。彈性體內(nèi)部單元體的平衡條件為平衡微分方程和切應(yīng)力互等定理;邊界單元體的平衡條件為面力邊界條件。二.重點(diǎn)
1.應(yīng)力狀態(tài)的定義:應(yīng)力矢量;正應(yīng)力與切應(yīng)力;應(yīng)力分量;
2.平衡微分方程與切應(yīng)力互等定理;
3.面力邊界條件;
4.應(yīng)力分量的轉(zhuǎn)軸公式;
5.應(yīng)力狀態(tài)特征方程和應(yīng)力不變量三.知識點(diǎn)體力、應(yīng)力矢量、應(yīng)力分量、平衡微分方程、面力邊界條件、主平面與主應(yīng)力、主應(yīng)力性質(zhì)、截面正應(yīng)力與切應(yīng)力、三向應(yīng)力圓、八面體單元、偏應(yīng)力張量不變量、面力、正應(yīng)力與切應(yīng)力、應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量、切應(yīng)力互等定理、應(yīng)力分量轉(zhuǎn)軸公式、平面問題的轉(zhuǎn)軸公式、應(yīng)力狀態(tài)特征方程、應(yīng)力不變量、最大切應(yīng)力、球應(yīng)力張量和偏應(yīng)力張量§2.1體力和面力學(xué)習(xí)思路:
本節(jié)介紹彈性力學(xué)的基本概念——體力和面力,體力Fb和面力Fs的概念均不難理解。
應(yīng)該注意的問題是,在彈性力學(xué)中,雖然體力和面力都是矢量,但是它們均為作用于一點(diǎn)的力,而且體力是指單位體積的力;面力為單位面積的作用力。
體力矢量用Fb表示,其沿三個坐標(biāo)軸的分量用Fbi(i=1,2,3)或者Fbx、Fby和Fbz表示,稱為體力分量。
面力矢量用Fs表示,其分量用Fsi(i=1,2,3)或者Fsx、Fsy和Fsz表示。
體力和面力分量的方向均規(guī)定與坐標(biāo)軸方向一致為正,反之為負(fù)。
學(xué)習(xí)要點(diǎn):體力;2.面力。體力:作用于物體的外力可以分為兩種類型:體力和面力。
所謂體力就是分布在物體整個體積內(nèi)部各個質(zhì)點(diǎn)上的力,又稱為質(zhì)量力。例如物體的重力,慣性力,電磁力等等。面力是分布在物體表面上的力,例如風(fēng)力,靜水壓力,物體之間的接觸力等。為了表明物體在xyz坐標(biāo)系內(nèi)任意一點(diǎn)P所受體力的大小和方向,在P點(diǎn)的鄰
應(yīng)力矢量不僅隨點(diǎn)的位置改變而變化,而且即使在同一點(diǎn),也由于截面的法線方向n的方向改變而變化。這種性質(zhì)稱為應(yīng)力狀態(tài)。因此凡是應(yīng)力均必須說明是物體內(nèi)哪一點(diǎn),并且通過該點(diǎn)哪一個微分面的應(yīng)力。
一點(diǎn)所有截面的應(yīng)力矢量的集合稱為一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。應(yīng)力狀態(tài)對于研究物體的強(qiáng)度是十分重要的。顯然,作為彈性體內(nèi)部一個確定點(diǎn)的各個截面的應(yīng)力矢量,就是應(yīng)力狀態(tài)必然存在一定的關(guān)系。不可能也不必要寫出一點(diǎn)所有截面的應(yīng)力。為了準(zhǔn)確、明了地描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),必須使用合理的應(yīng)力參數(shù)。正應(yīng)力與切應(yīng)力:討論一點(diǎn)各個截面的應(yīng)力變化趨勢稱為應(yīng)力狀態(tài)分析。為了探討各個截面應(yīng)力的變化趨勢,確定可以描述應(yīng)力狀態(tài)的參數(shù),通常將應(yīng)力矢量分解。
應(yīng)力矢量的一種分解方法是將應(yīng)力矢量pn在給定的坐標(biāo)系下沿三個坐標(biāo)軸方向分解,如用px,py,pz表示其分量,則pn=pxi+pyj+pzk這種形式的分解并沒有工程實(shí)際應(yīng)用的價值。它的主要用途在于作為工具用于推導(dǎo)彈性力學(xué)基本方程。
另一種分解方法,是將應(yīng)力矢量pn沿微分面ΔS的法線和切線方向分解。與微分面ΔS法線n方向的投影稱為正應(yīng)力,用n表示;平行于微分面ΔS的投影稱為切應(yīng)力或剪應(yīng)力,切應(yīng)力作用于截面內(nèi),用n表示。
彈性體的強(qiáng)度與正應(yīng)力和切應(yīng)力息息相關(guān),因此這是工程結(jié)構(gòu)分析中經(jīng)常使用的應(yīng)力分解形式。
由于微分面法線n的方向只有一個,因此說明截面方位就確定了正應(yīng)力n的方向。但是平行于微分面的方向有無窮多,因此切應(yīng)力n不僅需要確定截面方位,還必須指明方向。應(yīng)力分量:為了表達(dá)彈性體內(nèi)部任意一點(diǎn)M的應(yīng)力狀態(tài),利用三個與坐標(biāo)軸方向一致的微分面,通過M點(diǎn)截取一個平行六面體單元。將六面體單元各個截面上的應(yīng)力矢量分別向3個坐標(biāo)軸投影,可以得到應(yīng)力分量ij。
應(yīng)力分量的第一腳標(biāo)i表示該應(yīng)力所在微分面的方向,即微分面外法線的方向;
第二腳標(biāo)j表示應(yīng)力的方向。如果應(yīng)力分量與j坐標(biāo)軸方向一致為正,反之為負(fù)。
如果兩個腳標(biāo)相同,i=j(luò),則應(yīng)力分量方向與作用平面法線方向一致,這是正應(yīng)力,可以并寫為一個腳標(biāo),例如x。
如果兩腳標(biāo)不同,i≠j,則應(yīng)力分量方向與作用平面法線方向不同,這是切應(yīng)力,例如xy。
六面體單元的3對截面共有九個應(yīng)力分量ij。
應(yīng)該注意:應(yīng)力分量是應(yīng)力矢量在坐標(biāo)軸上的投影,因此是標(biāo)量,而不是矢量。
在已知的坐標(biāo)系中應(yīng)力狀態(tài)通常用應(yīng)力張量表示。使用應(yīng)力張量可以完整地描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)?!?.3應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量學(xué)習(xí)思路:
應(yīng)力矢量不僅隨點(diǎn)的位置改變而變化,而且也由于截面的法線方向n的方向改變而變化,研究這一變化規(guī)律稱為應(yīng)力狀態(tài)分析。如果應(yīng)力分量能夠描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),那么應(yīng)力分量與其它應(yīng)力參數(shù)必然有內(nèi)在聯(lián)系。
本節(jié)分析應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量之間的關(guān)系,為深入討論應(yīng)力狀態(tài)作準(zhǔn)備。
利用三個坐標(biāo)平面和一個任意斜截面構(gòu)造微分四面體單元,通過四面體單元探討坐標(biāo)平面的應(yīng)力分量和斜截面上的應(yīng)力矢量的關(guān)系。
根據(jù)平衡關(guān)系,推導(dǎo)任意斜截面的應(yīng)力矢量、法線方向余弦和各個應(yīng)力分量之間的關(guān)系。
分析表明:一點(diǎn)的應(yīng)力分量確定后,任意斜截面的應(yīng)力矢量是確定的。學(xué)習(xí)要點(diǎn):
1.微分四面體單元;
2.應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量。一點(diǎn)的九個應(yīng)力分量如果能夠完全確定一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),則其必須能夠表達(dá)通過該點(diǎn)的任意斜截面上的應(yīng)力矢量。為了說明這一問題,在O點(diǎn)用三個坐標(biāo)面和一任意斜截面截取一個微分四面體單元。斜截面的法線方向矢量為n,它的三個方向余弦分別為l,m和n。設(shè)斜截面上的應(yīng)力為pn,i,j和k分別為三個坐標(biāo)軸方向的單位矢量,pn在坐標(biāo)軸上的投影分別為px,py,pz。則應(yīng)力矢量可以表示為pn=pxi+pyj+pzk同樣,把單位體積的質(zhì)量所受的體積力Fb沿坐標(biāo)軸分解,有Fb=Fbxi+Fbyj+Fbzk設(shè)S為ΔABC的面積,則ΔOBC=lS,
ΔOCA=mS,
ΔOAB=nSΔABC的法線方向的單位矢量可表示為n=li+lj+mk微分四面體在應(yīng)力矢量和體積力作用下應(yīng)滿足平衡條件,設(shè)h為O點(diǎn)至斜面ABC的高,由x方向的平衡,可得將公式代入上式,則
對于微分四面體單元,h與單元體棱邊相關(guān),因此與1相比為小量,趨近于零,因此同理
如果采用張量記號,則上述公式可以表示為上式給出了物體內(nèi)一點(diǎn)的9個應(yīng)力分量和通過同一點(diǎn)的各個微分面上的應(yīng)力之間的關(guān)系。這一關(guān)系式表明,只要有了應(yīng)力分量,就能夠確定一點(diǎn)任意截面的應(yīng)力矢量,或者正應(yīng)力和切應(yīng)力。因此應(yīng)力分量可以確定一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)?!?.4平衡微分方程學(xué)習(xí)思路:
物體在外力作用下產(chǎn)生變形,最后達(dá)到平衡位置。平衡不僅是指整個物體,而且彈性體的任何部分也是平衡的。
本節(jié)通過微分平行六面體單元討論彈性體內(nèi)部任意一點(diǎn)的平衡。
應(yīng)該注意:在討論微分單元體平衡時,考慮到坐標(biāo)的微小變化將導(dǎo)致應(yīng)力分量的相應(yīng)改變。即坐標(biāo)有增量時,應(yīng)力分量也有對應(yīng)的增量。這個增量作為高階小量,如果不涉及微分單元體平衡時是可以不考慮的。
微分平衡方程描述了彈性體內(nèi)部任意一點(diǎn)的平衡,確定了應(yīng)力分量與體力之間的關(guān)系。又稱為納維(Navier)方程。
平衡微分方程描述彈性體內(nèi)部應(yīng)力分量與體力之間的微分關(guān)系,是彈性力學(xué)的第一個基本方程。
切應(yīng)力互等定理是彈性體力矩平衡的結(jié)果。學(xué)習(xí)要點(diǎn):
1.微分單元體及平衡關(guān)系;2.平衡微分方程與切應(yīng)力互等定理。平衡方程物體在外力作用下產(chǎn)生變形,最后達(dá)到平衡位置。不僅整個物體是平衡的,而且彈性體的任何部分也都是平衡的。為了考察彈性體內(nèi)部的平衡,通過微分平行六面體單元討論任意一點(diǎn)M的平衡。在物體內(nèi),通過任意點(diǎn)M,用三組與坐標(biāo)軸平行的平面截取一正六面體單元,單元的棱邊分別與x,y,z軸平行,棱邊分別長dx,dy,dz。討論微分平行六面體單元的平衡。
在x面上有應(yīng)力分量x,xy和xz;在x+dx面上,應(yīng)力分量相對x截面有一個增量,取一階增量,則。對y,z方向的應(yīng)力分量作同樣處理。
根據(jù)微分單元體x方向平衡,∑Fx=0,則
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