平截面假設(shè)資料

梁彎曲的平截面假設(shè)一、平截面假設(shè)的數(shù)學(xué)理論：（1）考慮梁的純彎曲問(wèn)題：（空間梁）XXZYMyMy（圖1）如（圖1）所示只作用彎矩My的純彎曲梁，將其換分為等大小的單元。（圖2）由于梁兩端作用荷載的對(duì)稱性，對(duì)于每個(gè)單元而言，其變形都是相同的。若要保證每個(gè)單元都具有相同的變形，則只有要求橫截面保持為平面才有可能。而且，圖（1）所示問(wèn)題的由彈性力學(xué)方法解得的位移函數(shù)為：(1)式中，u,v,w分別為沿x,y,z方向的位移，為泊松比，R為曲率半徑。現(xiàn)任取一個(gè)梁的橫截面,這個(gè)橫截面上的各點(diǎn)在梁變形以后的新坐標(biāo)是為：這里的表示u在處的位移值，將（1）式代入得：（2）顯然這是一個(gè)與Oy軸平行的平面方程，截面上的各點(diǎn)在梁變形以后仍然都落在這個(gè)平面上。（2）端部受集中力的懸臂梁?jiǎn)栴}：（平面問(wèn)題處理）ZXPZXPOLY1h/2h/2Y（圖3）該問(wèn)題的彈性力學(xué)解得的位移函數(shù)為：（3）式中E為彈性模量，I為截面慣性矩。再取變形前某個(gè)橫截面的方程為，變形后，對(duì)于截面上某點(diǎn)的坐標(biāo)為即可見這是一個(gè)三次曲面，那么變形后橫截面不在保持為平面了。二、數(shù)值分析：從前面的數(shù)學(xué)推導(dǎo)來(lái)看，判定一個(gè)截面在變形后是否保持為平面，是通過(guò)考察面沿軸向方向位移函數(shù)來(lái)確定的，只考察了一個(gè)方向。這樣就給我們留下了一個(gè)疑問(wèn)，即垂直于軸向方向的位移函數(shù)會(huì)影響平面的形式嗎？于是我們跟蹤變形前的一系列點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)的分布情況，進(jìn)行數(shù)值擬合，然后來(lái)確定變形后的平面形式。1、不妨考慮問(wèn)題2，取平面上的一系列點(diǎn)，變形后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為：距離越來(lái)越近，兩截面也越來(lái)越趨近。截面上述幾何形狀和荷載條件下表現(xiàn)為小變形，線彈性，近似為平截面。2、再考慮一種情況：取梁長(zhǎng)L=10，梁高h(yuǎn)=10，考察x=0處的截面：（圖10）從圖上可以看出截面的水平位移的數(shù)量級(jí)為，遠(yuǎn)小于L=100，h=10的情況。而截面形式不再是斜直線而是曲線，截面不再是平截面。3、考慮（圖5）到（圖10）中的黑色數(shù)據(jù)點(diǎn)，算出相鄰兩點(diǎn)之間的斜率，然后統(tǒng)計(jì)所有斜率的均方差，數(shù)據(jù)如下表。X=0X=10X=20X=50X=90均方差（S2）0.575940.587680.625151.0267316.52316L=10，h=101.93676e+0046.8768e+004（表1）易知如果數(shù)據(jù)點(diǎn)完全滿足線性分布的話，那么這些數(shù)據(jù)的均方差S2=0，所以可知數(shù)據(jù)的均方差越小，則數(shù)據(jù)的線性性質(zhì)越好：1、通過(guò)比較數(shù)據(jù)可以看出離懸臂梁的固支端越遠(yuǎn)，梁的截面曲線的線性性質(zhì)越好，即平截面性質(zhì)越好。而截面的彎曲性質(zhì)隨著離固支端距離越來(lái)越近而增強(qiáng)，剪切力對(duì)截面的影響增強(qiáng)。2、同時(shí)，當(dāng)梁的高跨比h/L=1時(shí)，曲線的斜率方差的數(shù)量級(jí)達(dá)到之大，可見截面的彎曲性質(zhì)更明顯了，剪切力的影響就不能忽略了。三、結(jié)論：對(duì)于梁彎曲問(wèn)題，在線彈性范圍內(nèi)，純彎曲問(wèn)題一定滿足平截面假設(shè)，即變形后截面一定為平面。而對(duì)于受集中荷載作用的懸臂梁，即截面上還有剪應(yīng)力作用的梁的截面會(huì)發(fā)生彎曲，這種彎曲隨著高跨比