中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)訓(xùn)練第03講 截長補短模型（原卷版）

第03講截長補短模型【應(yīng)對方法與策略】截長補短法在初中幾何教學(xué)中有著十分重要的作用,它主要是用來證線段的和差問題,而且這種方法一直貫穿著整個幾何教學(xué)的始終.那么什么是截長補短法呢?所謂截長補短其實包含兩層意思,即截長和補短.截長就是在較長的線段上截取一段等于要證的兩段較短的線段中的一段,證剩下的那一段等于另外一段較短的線段.當(dāng)條件或結(jié)論中出現(xiàn)a+b=c時，用截長補短．1、補短法：通過添加輔助線“構(gòu)造”一條線段使其為求證中的兩條線段之和，在證所構(gòu)造的線段和求證中那一條線段相等；2、截長法：通過添加輔助線先在求證中長線段上截取與線段中的某一段相等的線段，在證明截剩部分與線段中的另一段相等。3、截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明，這種做法一般遇到證明三條線段之間關(guān)系是常用.如圖1，若證明線段AB,CD,EF之間存在EF=AB+CD,可以考慮截長補短法.截長法：如圖2，在EF上截取EG=AB,在證明GF=CD即可；補短法：如圖3，延長AB至H點，使BH=CD,再證明AH=EF即可.【多題一解】1．（2021·內(nèi)蒙古·呼和浩特市敬業(yè)學(xué)校九年級期中）如圖，在正方形ABCD中，AB＝2，點M為正方形ABCD的邊CD上的動點（與點C，D重合）連接BM，作MF⊥BM，與正方形ABCD的外角∠ADE的平分線交點F，設(shè)CM＝x，△DFM的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．2．（2022·江蘇徐州·模擬預(yù)測）（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF＝∠BAD，線段EF、BE、FD之間的關(guān)系是；（不需要證明）（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明．若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明．若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．3．（2022·貴州遵義·一模）已知：如圖所示△ABC．(1)請在圖中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：作∠BAC的平分線和BC的垂直平分線，它們的交點為D．（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)若AB＝15，AC＝9，過點D畫DE⊥AB，則BE的長為．4．（2020·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，A、P、B、C是⊙O上四點，∠APC=∠CPB=60°．（1）判斷△ABC的形狀并證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)點P位于什么位置時，四邊形PBOA是菱形？并說明理由．（3）求證：PA+PB=PC．5．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）通過類比聯(lián)想、引申拓展典型題目，可達到解一題知一類的目的．下面是一個案例，請補充完整．【解決問題】如圖，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，，連接EF，則，試說明理由．證明：延長CD到G，使，在與中，∴理由：（SAS）進而證出：___________，理由：（__________）進而得．【變式探究】如圖，四邊形ABCD中，，點E、F分別在邊BC、CD上，．若、都不是直角，則當(dāng)與滿足等量關(guān)系________________時，仍有．請證明你的猜想．【拓展延伸】如圖，若，，，但，，連接EF，請直接寫出EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系．6．（2021·北京·九年級專題練習(xí)）在四邊形中，是邊的中點．

（1）如圖（1），若平分，，則線段、、的長度滿足的數(shù)量關(guān)系為______；（直接寫出答案）（2）如圖（2），平分，平分，若，則線段、、、的長度滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論并證明．7．（2020·北京市第一零一中學(xué)溫泉校區(qū)三模）在中，，，點在直線上(除外)，分別經(jīng)過點和點作和的垂線，兩條垂線交于點，研究和的數(shù)量關(guān)系．（1）某數(shù)學(xué)興趣小組在探究的關(guān)系時，運用“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想，他們發(fā)現(xiàn)當(dāng)點是的中點時，只需要取邊的中點(如圖1)，通過推理證明就可以得到和的數(shù)量關(guān)系，請你按照這種思路直接寫出和的數(shù)量關(guān)系；（2）那么當(dāng)點是直線上(除外)(其它條件不變)，上面得到的結(jié)論是否仍然成立呢？請你從“點在線段上”，“點在線段的延長線”，“點在線段的反向延長線上”三種情況中，任選一種情況，在圖2中畫出圖形，并證明你的結(jié)論；（3）當(dāng)點在線段的延長線上時，若()，請直接寫出的值．8．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）例：截長補短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的一種策略．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短就是通過延長或旋轉(zhuǎn)等方式使兩條短邊拼合到一起，從而解決問題．（1）如圖1，△ABC是等邊三角形，點D是邊BC下方一點，∠BDC=120°，探索線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系．解題思路：將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACE，可得AE=AD，CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=60°，根據(jù)∠BAC+∠BDC=180°，可知∠ABD+∠ACD=180°，則∠ACE+∠ACD=180°，易知△ADE是等邊三角形，所以AD=DE，從而解決問題．根據(jù)上述解題思路，三條線段DA、DB、DC之間的等量關(guān)系是___________；（2）如圖2，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．點D是邊BC下方一點，∠BDC=90°，探索三條線段DA、DB、DC之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．9．（2020·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，四邊形為矩形，為對角線上一點，過點作交于點，交的延長線于點，連接，當(dāng)時，求證：．10．（2020·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在正方形中，點、均為中點，連接、交于點，連接，證明：．11．（2021·北京·清華附中九年級階段練習(xí)）已知，A為射線上一定點，B為射線上動點（不與點O重合）連接，取的中點C，連接．在射線上取一點D，使得．（1）若，①如圖1，當(dāng)時，在圖1中補全圖形，并寫出的值；②如圖2，當(dāng)時，猜想的值是否為定值．若是，求出該定值；若不是，說明理由；（2）如圖3，若，直接寫出的值．12．（2022·安徽合肥·一模）已知：如圖1，△ABC中，∠CAB=120°，AC=AB，點D是BC上一點，其中∠ADC=α（30°＜α＜90°），將△ABD沿AD所在的直線折疊得到△AED，AE交CB于F，連接CE(1)求∠CDE與∠AEC的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）；(2)如圖2，當(dāng)α=45°時，解決以下問題：①已知AD=2，求CE的值；②證明：DC-DE=AD；13．（2021·四川成都·九年級期末）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，將點C繞點B順時針旋轉(zhuǎn)105°得到點D，連接BD，過點D作DE⊥BC交CB延長線于點E，點F為線段DE上的一點，且∠DBF＝45°，作∠BFD的角平分線FG交AB于點G．（1）求∠BFD的度數(shù)；（2）求BF，DF，GF三條線段之間的等量關(guān)系式；（3）如圖2，設(shè)H是直線DE上的一個動點，連接HG，HC，若AB＝，求線段HG+HC的最小值（結(jié)果保留根號）．14．（2021·四川成都·二模）如圖，點C在以AB為直徑的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于點D，過D作BC的垂線，垂足為E．（1）求證：DE與⊙O相切；（2）若AB＝6，tanA＝，求BE的長；（3）線段AB，BE，CE之間有何數(shù)量關(guān)系？寫出你的結(jié)論并證明．15．（2020·黑龍江哈爾濱·九年級期中）如圖，中，點D在邊上，且．

（1）求證：；（2）點E在邊上，連接交于點F，且，，求的度數(shù)．（3）在（2）的條件下，若，的周長等于30，求的長．16．（2020·全國·九年級專題練習(xí)）如圖①，直線與⊙O相交于，兩點，是⊙O的直徑，是圓上一點，于點，連接，且平分．（1）求證：是⊙O的切線；（2）若，，求⊙O的半徑；（3）如圖②，在（2）的條件下，點是劣弧上一點，連接，，，問：線段、、之間存在什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由．17．（2022·福建三明·九年級期末）在菱形ABCD中，，點E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上，且AE＝DF，BF與DE交于點G．(1)如圖①，連接BD．求證：△ADE≌△DBF；(2)如圖②，連接CG．求證：BG＋DG＝CG．18．（2021·黑龍江·哈爾濱市第一一三中學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，點D是弧AC上一點，連接BD交AC于E．（1）如圖1，求證∠ADB＝∠CDB；（2）如圖2，點F為線段BD上一點，連接CF，若∠BCF＝2∠ABD時，求證：BF＝DE+AD；（3）在（2）的條件下，作∠BCF的平分線交⊙O于M，在CM上取點R，連接AR交CF于點T，若TR＝1，MR＝5，∠CAT＝3∠ACD，求AT的長．19．（2022·浙江湖州·一模）我們把有一個直角，而且其中一條對角線平分一個內(nèi)角的四邊形叫做直分四邊形．（1）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，矩形的四個頂點都在格點上，請僅用無刻度的直尺分別在圖1和圖2的邊上找出不同的點E，使得四邊形是一個直分四邊形．（2）如圖3，在直分四邊形中，和互補，且，請求出的長度．（3）如圖4，在邊長為2的正方形中，點E為的中點，F(xiàn)為上一點，使得，點G在的延長線上，連結(jié)交于點H，且．①請證明四邊形為直分四邊形．②求證：．20．（2021·重慶八中一模）如圖1，在四邊形ABCD中，AC交BD于點E，△ADE為等邊三角形．（1）若點E為BD的中點，AD＝4，CD＝5，求△BCE的面積；（2）如圖2，若BC＝CD，點F為CD的中點，求證：AB＝2AF；（3）如圖3，若AB∥CD，∠BAD＝90°，點P為四邊形ABCD內(nèi)一點，且∠APD＝90°，連接BP，取BP的中點Q，連接CQ．當(dāng)AB＝6，AD＝4，tan∠ABC＝2時，求CQ＋BQ的最小值．21．（2021·江蘇淮安·一模）問題提出，如圖1所示，等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，點P是上的任意一點，連結(jié)PA，PB，PC．線段PA、PB、PC滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?【嘗試解決】為了解決這個問題，小明給出這樣種解題思路：發(fā)現(xiàn)存在條件CA=CB，∠ACB=60°，從而將CP繞點逆時針旋轉(zhuǎn)60°交PB延長線于點M，從而證明△PAC≌△MBC，請你完成余下思考，并直接寫出答案：PA、PB、PC的數(shù)量關(guān)系是；【自主探索】如圖2所示，把原問題中的“等邊△ABC”改成“正方形ABCD”，其余條件不變，①PC與PA，PB有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請說明理由：②PC+PD與PA，PB的數(shù)量關(guān)系是．（直接寫出結(jié)果）【靈活應(yīng)用】把原問題中的“等邊△ABC”改成“正五邊形ABCDE”，其余條件不變，則PC+PD+PE與PA+PB的數(shù)量關(guān)系是．（直接寫出結(jié)果）【一題多解】包括兩個方面。一是一題多種解法。二是一題多個解。下面對多種解法進行分析【類型】一、截長“截長”是指在較長的線段上截取另外兩條較短的線段，截取的作法不同，涉及四種方法。方法一：如圖2所示，在BF上截取BM=DF，易證△BMC≌△DFC（SAS），則MC=FC=FG，∠BCM=∠DCF，可得△MCF為等腰直角三角形，又可證∠CFE=45°，∠CFG=90°，∠CFG=∠MCF，F(xiàn)G∥CM，可得四邊形CGFM為平行四邊形，則CG=MF，于是BF=BM+MF=DF+CG.圖2方法二：如圖2所示，在BF上截取FM=GC，可證四邊形GCFM為平行四邊形，可得CM=FG=CF；可得∠BFC=∠BDC=45°，得∠MCF=90°；又得∠BMC=∠DFC=135°，于是△BMC≌△DFC（AAS），BM=DF，于是BF=FM+BM=CG+DF.上述兩種方法中都利用了兩個共頂點的等腰Rt△BCD和△MCF。方法三：如圖3所示，在BF上截取FK=FD，得等腰Rt△DFK，可證得∠DFC=∠KFG=135°，所以△DFC≌△KFG（SAS），所以KG=DC=BC，∠FKG=∠FDC=∠CBF，KG∥BC，得四邊形BCGK為平行四邊形，BK=CG，于是BF=BK+KF=CG+DF.圖3方法四：如圖3所示，在BF上截取BK=CG，可得四邊形BCGK為平行四邊形，BC=GK=DC，BC∥KG，∠GKF=∠CBF=∠CDF，根據(jù)四邊形BCFD為圓的內(nèi)接四邊形，可證得∠BFC=45°，∠DFC=∠KFG，于是△DCF≌△KGF（AAS），DF=KF，于是BF=BK+KF=CG+DF.上述兩種方法中都利用了兩個共頂點的等腰Rt△BDC和△KDF?！绢愋汀慷?、補短“補短”指的是選取兩條較短線段中的一條進行延長，使得較短的兩條線段共線并尋求解題突破，根據(jù)輔助線作法的不同也涉及四種不同的方法。方法五：如圖4所示，延長GC至N，使CN=DF，易證△CDF≌△BCN（SAS），可得CF=FG=BN，∠DFC=∠BNC=135°，又知∠FGC=45°，可證BN∥FG，于是四邊形BFGN為平行四邊形，得BF=NG，所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.圖4方法六：如圖4所示，延長GC至N，使NG=BF，得四邊形BFGN為平行四邊形，所以BN=GF=CF，又∠DCF+∠CDF=∠CBN+∠BCN=45°，得∠DCF=∠CBN，又CD=BC，可證△CDF≌△BCN（SAS），DF=CN，以下從略.方法七：如圖5所示，延長CG至P，使CP=BF，連接PF，則四邊形CPFB為平行四邊形，PF=BC=DC，又∠BFC=45°，∠PFE=∠DEC，因為∠PFG=∠FGC－∠P=45°－∠P，∠DCF=∠CFE－∠CDF=45°－∠CDF，又可證∠P=∠CBF=∠CDF，于是∠PFG=∠DCF，所以△PFG≌△DCF（SAS），PG=DF，于是BF=CP=CG+PG=CG+DF.圖5方法八：如圖5所示，延長CG至P，使GP=DF，連接PF，可證∠DFC=∠PGF=135°，F(xiàn)C=CF，所以△DFC≌△PGF（SAS），所以DC=PF=BC，∠P=∠CDF=∠CBF=∠PCE，BC∥FP，所以四邊形BCPF為平行四邊形，所以BF=CP=CG+PG=CG+DF.方法九：如圖6所示，延長DE至Q，使DQ=BF，連接CQ，GQ，可證△BCF≌△DCQ（SAS），CF=CQ，∠BCF=∠DCQ，于是可得∠FCQ=∠BCD=90°，所以△FCQ為等腰直角三角形，可得四邊形FCQG為正方形，F(xiàn)Q=CG，所以BF=DQ=DF+FQ=DF+CG.圖6方法十：如圖6所示，延長FE至Q，使FQ=CG，通過證明四邊形FCQG為正方形，△BCF≌△DCQ，同樣可以證明結(jié)論成立。感興趣的讀者可以自行證明，詳細思路從略。方法十一：如圖7所示，延長FD至H，使DH=CG，可證得∠BDF=∠BDC+∠CDF，∠ECF=∠FCG+∠CEG，于是∠BDF=∠ECF，則∠BDH=∠BCF，所以△BDH∽△BCF（SAS），得∠H=∠BFC=45°，所以△BFH為等腰直角三角形，于是BF=HF=