《互換性與幾何量測(cè)量技術(shù)》課件第11章

11.1

尺寸鏈的基本概念

11.2

尺寸鏈的解算

第11章尺寸鏈基礎(chǔ)

11.1尺寸鏈的基本概念

11.1.1尺寸鏈的定義

在設(shè)計(jì)各類(lèi)機(jī)器及其零、部件時(shí)，除了對(duì)其進(jìn)行運(yùn)動(dòng)、剛度、強(qiáng)度等分析與計(jì)算以外，還要進(jìn)行幾何精度的分析與計(jì)算。所謂幾何精度的分析與計(jì)算，是指決定機(jī)器零件最終或工序間的合理的幾何參數(shù)公差與極限偏差，使機(jī)器零件能順利地加工和正確地進(jìn)行裝配，并保證在工作時(shí)滿(mǎn)足精度方面的要求。本章將集中討論幾何精度的分析與計(jì)算，其根據(jù)是機(jī)械產(chǎn)品的技術(shù)規(guī)范(也稱(chēng)技術(shù)條件)，并由此合理地規(guī)定各零件最終或工序間的尺寸公差、形位公差。這對(duì)于保證產(chǎn)品質(zhì)量，使產(chǎn)品獲得最佳技術(shù)經(jīng)濟(jì)效益具有重要意義。幾何精度的分析與計(jì)算可以運(yùn)用尺寸鏈的理論與方法。

在設(shè)計(jì)機(jī)器和零、部件時(shí)，設(shè)計(jì)圖上形成的封閉尺寸的組合叫設(shè)計(jì)尺寸鏈。設(shè)計(jì)尺寸鏈可分為零件尺寸鏈、部件尺寸鏈和總體尺寸鏈。

在加工工藝過(guò)程中，各工序的加工尺寸構(gòu)成封閉的尺寸組合，或在某工序中工件、夾具、刀具、機(jī)床的有關(guān)尺寸形成了封閉的尺寸組合，這兩種尺寸組合統(tǒng)稱(chēng)為加工工藝尺寸鏈。

在機(jī)器或零、部件裝配的過(guò)程中，零件和部件間有關(guān)尺寸構(gòu)成的互相有聯(lián)系的封閉尺寸組合稱(chēng)為裝配尺寸鏈。裝配尺寸鏈有時(shí)和結(jié)構(gòu)尺寸鏈一致，但有時(shí)因裝配工藝方法不同，裝配工藝尺寸鏈和總體結(jié)構(gòu)尺寸鏈不一致，有時(shí)還由于采用不同的測(cè)量工具，使測(cè)量基準(zhǔn)不一致，形成測(cè)量尺寸鏈，亦稱(chēng)檢驗(yàn)尺寸鏈。

一般來(lái)說(shuō)，在機(jī)器裝配或零件加工過(guò)程中，由相互連接的尺寸形成封閉的尺寸組，稱(chēng)為尺寸鏈。在圖11－1中，孔和軸的裝配形成尺寸鏈；臺(tái)階軸的加工也形成尺寸鏈；設(shè)計(jì)彎臂圖樣時(shí)形成尺寸鏈；標(biāo)注支架的形位公差時(shí)形成角度尺寸鏈；另外，復(fù)雜的零件也形成平面或空間尺寸鏈。

圖11－1尺寸鏈11.1.2尺寸鏈的構(gòu)成

1.尺寸鏈由環(huán)組成

列入尺寸鏈中的每一個(gè)尺寸稱(chēng)為環(huán)。例如，將臺(tái)階軸的加工尺寸抽象出來(lái)，如圖11－2所示，就形成了尺寸鏈。其中，A0、A1、A2稱(chēng)做環(huán)。在圖11－1所示的封閉尺寸組中，每一個(gè)尺寸都可稱(chēng)做環(huán)。環(huán)按幾何特征可分為長(zhǎng)度環(huán)和角度環(huán)，也稱(chēng)為線(xiàn)環(huán)和角環(huán)。如孔和軸的裝配、臺(tái)階軸的加工，都屬于線(xiàn)環(huán)；支架形位公差的標(biāo)注形成角度環(huán)。按環(huán)的變動(dòng)性質(zhì)又可分為標(biāo)量環(huán)和矢量環(huán)。標(biāo)量環(huán)只有大小的變動(dòng)，矢量環(huán)兼有大小與方向的變動(dòng)。

圖11－2抽象的尺寸鏈

2.封閉環(huán)

在裝配和加工過(guò)程中，最后自然形成的環(huán)稱(chēng)為封閉環(huán)，亦稱(chēng)終結(jié)環(huán)。在零、部件的裝配中，封閉環(huán)通常是對(duì)有關(guān)要素間的聯(lián)系所提出的技術(shù)要求，如間隙、過(guò)盈、位置精度等。在圖11－1中，孔、軸裝配后，形成的間隙A0即為封閉環(huán)。在加工或設(shè)計(jì)過(guò)程中，封閉環(huán)通常是零件設(shè)計(jì)圖樣上未標(biāo)注的尺寸或加工中最后形成的尺寸，即最不重要的尺寸。如在圖11－1中，臺(tái)階軸A0的尺寸是最后自然形成的，是封閉環(huán)，加工者只需測(cè)量和保證A1、A2尺寸；彎臂A0在圖樣上不需要進(jìn)行標(biāo)注，是封閉環(huán)。在尺寸鏈的解算中，一定要正確確定封閉環(huán)，它是正確解算的第一步。

3.組成環(huán)

對(duì)封閉環(huán)有影響的全部環(huán)稱(chēng)為組成環(huán)。組成環(huán)中任一環(huán)的變動(dòng)必然引起封閉環(huán)的變動(dòng)。組成環(huán)是尺寸鏈中除封閉環(huán)以外的所有的環(huán)。圖11－1中所有A1和A2尺寸，α1和α2均為組成環(huán)。依據(jù)組成環(huán)對(duì)封閉環(huán)的影響不同，可以進(jìn)一步把組成環(huán)分為增環(huán)和減環(huán)。事實(shí)上，組成環(huán)的概念正是通過(guò)增環(huán)和減環(huán)來(lái)表示的。正確確定增環(huán)和減環(huán)也是解算尺寸鏈的關(guān)鍵步驟。

(1）增環(huán)：亦稱(chēng)正環(huán)，該環(huán)的變動(dòng)引起的封閉環(huán)同向變動(dòng)稱(chēng)為正變，這是確定增環(huán)的準(zhǔn)則。在圖11－2中，A1是增環(huán)。若其他環(huán)保持不變，A1增加，則封閉環(huán)亦增加；A1減少，則封閉環(huán)亦減少。這里規(guī)定,增環(huán)用Az來(lái)表示。

（2）減環(huán):亦稱(chēng)負(fù)環(huán),該環(huán)的變動(dòng)引起的封閉環(huán)反向變動(dòng)稱(chēng)為反變，這是確定減環(huán)的準(zhǔn)則。同理，在圖11－2中，A2是減環(huán)。若其他環(huán)保持不變，A2增加，則封閉環(huán)減少；A2減少，則封閉環(huán)增加。這里規(guī)定，減環(huán)用Aj來(lái)表示。

在尺寸鏈的解算中，為了得出正確的解算關(guān)系，往往選出某一組成環(huán)作為可調(diào)整的環(huán)，這個(gè)可調(diào)整的環(huán)稱(chēng)為補(bǔ)償環(huán)，亦稱(chēng)協(xié)調(diào)環(huán)。補(bǔ)償環(huán)可以是增環(huán)也可以是減環(huán)。

（3）補(bǔ)償環(huán)：預(yù)先選定的某一組成環(huán)，通過(guò)改變它的大小或位置，可使封閉環(huán)達(dá)到規(guī)定的要求。

在尺寸鏈中，封閉環(huán)與組成環(huán)的關(guān)系表現(xiàn)為函數(shù)關(guān)系。封閉環(huán)是所有組成環(huán)的函數(shù)，用式子來(lái)表示，即

A0=f（A1，A2，…，Am）

（11－1）

式中:A0為封閉環(huán)；A1，A2，…，Am為組成環(huán)；m為組成環(huán)數(shù)。所有組成環(huán)的變動(dòng)都將在封閉環(huán)上顯示其影響。一般來(lái)說(shuō)，各組成環(huán)彼此之間是互相獨(dú)立的，即這一組成環(huán)的變動(dòng)與其余組成環(huán)無(wú)關(guān)。顯然，封閉環(huán)與組成環(huán)的性質(zhì)是不同的，事實(shí)上，它們構(gòu)成了尺寸鏈中的兩個(gè)對(duì)立面。分析尺寸鏈就是分析所有組成環(huán)的變動(dòng)對(duì)封閉環(huán)的影響，以及分析組成環(huán)的公差或極限偏差與封閉環(huán)的公差或極限偏差的關(guān)系。進(jìn)一步地說(shuō)，組成環(huán)變動(dòng)對(duì)封閉環(huán)的影響可用傳遞系數(shù)來(lái)表示。

(4）傳遞系數(shù)ξi：第i個(gè)組成環(huán)對(duì)封閉環(huán)的影響大小的系數(shù)。

傳遞系數(shù)是組成環(huán)在封閉環(huán)上引起的變動(dòng)量與該組成環(huán)本身變動(dòng)量之比，即（11－2）

例如，在圖11-2中，有函數(shù)關(guān)系A(chǔ)0=A1－A2，依據(jù)式11-2，則有：ξ1=1，ξ2=－1。在彎臂尺寸鏈中，也有函數(shù)關(guān)系A(chǔ)0=A1+A2COSα，同理，依據(jù)式11-2，又有：ξ1=1，ξ2=COSα。其中，ξi

為正值是增環(huán)；ξi

為負(fù)值是減環(huán)。11.1.3尺寸鏈的特征

尺寸鏈具有以下四個(gè)特征。

(1)封閉性：各環(huán)必須依次連接封閉，不封閉不成為尺寸鏈，如圖11－1所示的各尺寸鏈。

(2)關(guān)聯(lián)性（函數(shù)性）：任一組成環(huán)尺寸或公差的變化都必然引起封閉環(huán)尺寸或公差的變化。例如，增環(huán)或減環(huán)的變動(dòng)都將引起封閉環(huán)的相應(yīng)的變動(dòng)。

(3)惟一性：一個(gè)尺寸鏈只有一個(gè)封閉環(huán)，不能沒(méi)有也不能出現(xiàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上的封閉環(huán)。例如，在圖11－3中，同一個(gè)零件的加工順序不同，不能增加或減少封閉環(huán)數(shù)，只能改變封閉環(huán)A0的位置。

(4)最少三環(huán)：一個(gè)尺寸鏈最少有三環(huán)，少于三環(huán)的尺寸鏈不存在。圖11－3加工順序不同

11.1.4尺寸鏈的種類(lèi)

1.按功能要求分類(lèi)

尺寸鏈有各種不同的形式，按功能要求可分為設(shè)計(jì)尺寸鏈、裝配尺寸鏈和工藝尺寸鏈。

(1）設(shè)計(jì)尺寸鏈：全部組成環(huán)為同一零件設(shè)計(jì)尺寸所形成的尺寸鏈，如圖11－1(c)所示的彎臂尺寸鏈。

(2）裝配尺寸鏈：全部組成環(huán)為不同零件設(shè)計(jì)尺寸所形成的尺寸鏈，如圖11－1(a)所示的孔、軸裝配尺寸鏈。

(3）工藝尺寸鏈：全部組成環(huán)為同一零件工藝尺寸所形成的尺寸鏈，如圖11－4所示。

圖11－4工藝尺寸鏈

2.按相互位置分類(lèi)

尺寸鏈按相互位置可分為直線(xiàn)尺寸鏈、平面尺寸鏈和空間尺寸鏈。

(1）直線(xiàn)尺寸鏈：全部組成環(huán)平行于封閉環(huán)的尺寸鏈，如圖11－1(a)所示的裝配和加工工藝尺寸鏈。

(2）平面尺寸鏈：全部組成環(huán)位于一個(gè)或幾個(gè)平行平面內(nèi)，如圖11－1(e)所示的彎臂尺寸鏈。

(3）空間尺寸鏈：組成環(huán)位于幾個(gè)不平行平面內(nèi)的尺寸鏈，如用于飛機(jī)起落架中的空間連桿機(jī)構(gòu)，建筑業(yè)中的金屬結(jié)構(gòu)桁架等。

3.按幾何特征分類(lèi)

尺寸鏈按幾何特征可分為長(zhǎng)度尺寸鏈、角度尺寸鏈。

(1）長(zhǎng)度尺寸鏈：全部環(huán)為長(zhǎng)度尺寸的尺寸鏈，如圖11－4所示的工藝尺寸鏈。

(2）角度尺寸鏈：全部環(huán)為角度尺寸的尺寸鏈，如圖11－1所示的支架尺寸鏈。

4.按環(huán)的變動(dòng)性質(zhì)分類(lèi)

尺寸鏈按環(huán)的變動(dòng)性質(zhì)可分為標(biāo)量尺寸鏈、矢量尺寸鏈。

(1）標(biāo)量尺寸鏈：全部組成環(huán)為標(biāo)量尺寸所形成的尺寸鏈，如圖11－4所示的尺寸鏈。

(2）矢量尺寸鏈：全部組成環(huán)為矢量尺寸所形成的尺寸鏈，如圖11－5所示的偏心機(jī)構(gòu)。偏心機(jī)構(gòu)用矢量尺寸鏈來(lái)表示最容易解算。

圖11－5偏心機(jī)構(gòu)

5.按鏈與鏈間的包容關(guān)系分類(lèi)

尺寸鏈按鏈與鏈間的包容關(guān)系可分為基本尺寸鏈和派生尺寸鏈。

(1）基本尺寸鏈：全部組成環(huán)(即直接影響封閉環(huán))的尺寸，如圖11－6所示的基本尺寸鏈A。

(2）派生尺寸鏈：一個(gè)尺寸鏈的封閉環(huán)為另一個(gè)尺寸鏈組成環(huán)的尺寸鏈，如圖11－6所示的派生尺寸鏈L。

圖11－6派生尺寸鏈

11.1.5尺寸鏈圖

要進(jìn)行尺寸鏈的解算，首先必須畫(huà)出尺寸鏈圖。所謂尺寸鏈圖，就是從具體的零件或部件裝配關(guān)系中，抽象出由封閉環(huán)和組成環(huán)構(gòu)成的一個(gè)封閉回路。具體可分以下兩步：

(1)繪制尺寸鏈圖。從加工（裝配）某一基準(zhǔn)出發(fā)，按加工（裝配）順序，依次畫(huà)出各環(huán)，環(huán)與環(huán)之間不得間斷，最后用封閉環(huán)構(gòu)成一個(gè)封閉回路，如圖11－7所示。

(2)判斷增、減環(huán)。用尺寸鏈圖很容易確定封閉環(huán)并斷定組成環(huán)中的增環(huán)或減環(huán)。首先，可按定義判斷，對(duì)組成環(huán)逐個(gè)分析其尺寸的增減對(duì)封閉環(huán)尺寸的影響，以判斷其為增環(huán)還是減環(huán)。此法比較麻煩，在環(huán)數(shù)較多，鏈的結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜時(shí)，容易出錯(cuò)。但這是一種基本方法。其次，按箭頭方向來(lái)判斷。生產(chǎn)實(shí)踐中常用此法。先在封閉環(huán)上，按任意指向畫(huà)一箭頭，如圖11－7所示的A0箭頭，然后沿A0箭頭的相反方向依次在各組成環(huán)上畫(huà)一箭頭，使所畫(huà)各箭頭彼此頭尾相連，與封閉環(huán)形成一封閉回路。同向變動(dòng)者，為增環(huán)；反向變動(dòng)者，為減環(huán)。圖11－7所示為尺寸鏈圖。

圖11－7尺寸鏈圖

【例11－1】加工一帶鍵槽的內(nèi)孔，其加工順序?yàn)椋虹M內(nèi)孔得尺寸A1，插鍵槽得尺寸A2，磨內(nèi)孔得尺寸A3。畫(huà)出尺寸鏈圖，并確定增減環(huán)。

解：首先確定封閉環(huán)。因?yàn)殒I槽尺寸A0是加工后自然形成的，所以A0為封閉環(huán)。鏜內(nèi)孔和磨外圓時(shí)，圓心位置不變，故取它為基準(zhǔn)。從基準(zhǔn)開(kāi)始，按加工順序分別畫(huà)出A1/2、A2和A3/2，把它們與A0連接成封閉回路，形成尺寸鏈圖，如圖11－7所示。然后再畫(huà)箭頭。先按任意方向畫(huà)封閉環(huán)的箭頭，再?gòu)南喾吹姆较虺霭l(fā)，依次畫(huà)完各環(huán)所有的箭頭，所有與封閉環(huán)同向者，皆為增環(huán)，反向者，為減環(huán)。從而得出，A2和A3/2為增環(huán)，而A1/2為減環(huán)。依據(jù)同樣的道理，可以畫(huà)出在軸上銑一鍵槽的尺寸鏈圖。加工順序?yàn)椋很?chē)外圓A1，銑鍵槽深A(yù)2，磨外圓A3，得鍵槽深A(yù)0。同理，A2和A3/2為增環(huán)，而A1/2為減環(huán)。

11.1.6尺寸鏈的作用

在機(jī)械設(shè)計(jì)制造中，通過(guò)尺寸鏈的分析計(jì)算可以解決以下問(wèn)題。

(1)合理地分配公差。按封閉環(huán)的公差與極限偏差，可合理地分配各組成環(huán)的公差與極限偏差。

(2)分析結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的合理性。在機(jī)器、機(jī)構(gòu)和部件設(shè)計(jì)中，通過(guò)對(duì)各種方案的裝配尺寸鏈的分析比較，可確定較合理的結(jié)構(gòu)。

(3)檢校圖樣。在生產(chǎn)實(shí)踐中，常用尺寸鏈來(lái)檢查、校核零件圖上的尺寸、公差與極限偏差是否合理。

(4)合理地標(biāo)注尺寸。裝配圖上的尺寸標(biāo)注反映零、部件的裝配關(guān)系及要求，應(yīng)按裝配尺寸鏈分析標(biāo)注封閉環(huán)公差及各組成環(huán)的基本尺寸（封閉環(huán)公差通常為裝配技術(shù)要求）。零件圖上的尺寸標(biāo)注反映零件的加工要求，應(yīng)按零件尺寸鏈分析。一般按最短尺寸鏈的原則，選用最不重要的環(huán)作為封閉環(huán)，且不需注出其公差與極限偏差。而對(duì)零件上屬于裝配尺寸鏈組成環(huán)的尺寸，原則上應(yīng)規(guī)定公差與極限偏差。

(5)基面換算。當(dāng)按零件圖上的尺寸和公差標(biāo)注不便于加工和測(cè)量時(shí)，應(yīng)按零件尺寸鏈進(jìn)行基面換算。在機(jī)械加工中，當(dāng)定位基準(zhǔn)與設(shè)計(jì)基準(zhǔn)不重合時(shí)，為達(dá)到零件原設(shè)計(jì)的精度，也可進(jìn)行尺寸的換算。

(6)工序尺寸計(jì)算。若零件的某一表面需要經(jīng)過(guò)幾道工序加工才能完成，則在工藝規(guī)程設(shè)計(jì)中，每道工序都需要規(guī)定相應(yīng)的工序尺寸和公差。這些工序尺寸和公差的計(jì)算稱(chēng)做工序尺寸的計(jì)算。

尺寸鏈的分析計(jì)算在機(jī)器的精度設(shè)計(jì)中有重要的作用，我國(guó)已頒布了國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB5847—86《尺寸鏈

計(jì)算方法》，作為分析計(jì)算尺寸鏈的參考準(zhǔn)則。

11.2尺寸鏈的解算

11.2.1極值法解尺寸鏈

極值法又稱(chēng)完全互換法，指在全部產(chǎn)品中，裝配時(shí)各組成環(huán)不需要挑選或改變其大小、位置，裝入后即能達(dá)到封閉環(huán)的公差要求。極值法的出發(fā)點(diǎn)只考慮封閉環(huán)與組成環(huán)的極值關(guān)系，不考慮各環(huán)的實(shí)際尺寸的分布特性。

1.基本關(guān)系式

1）基本尺寸

在圖11-8中，封閉環(huán)是A0，增環(huán)為A1，減環(huán)為A2，于是有關(guān)系式：

式中A1為增環(huán)，A2為減環(huán)，對(duì)于直線(xiàn)尺寸鏈，推廣一下，又有關(guān)系式：

其中：m表示組成環(huán)數(shù)，n表示增環(huán)環(huán)數(shù)；增環(huán)用Az來(lái)表示，減環(huán)用Aj來(lái)表示；下標(biāo)0表示封閉環(huán)，z表示增環(huán)序號(hào)，j表示減環(huán)序號(hào)。

A0=A1－A2

(11－3)圖11-8尺寸鏈?zhǔn)聦?shí)上，封閉環(huán)與組成環(huán)之間有函數(shù)關(guān)系，即封閉環(huán)的基本尺寸為各組成環(huán)基本尺寸的代數(shù)和：

（11－4）

其中ξi為傳遞系數(shù)；Ai為組成環(huán)的基本尺寸。對(duì)于直線(xiàn)尺寸鏈，增環(huán)ξz=1；減環(huán)ξj=－1，同理可得出式11-3。

2）極限尺寸

極限尺寸的基本公式可由下列極限情況導(dǎo)出。

（1）所有增環(huán)皆為最大極限尺寸，而所有減環(huán)皆為最小極限尺寸；

（2）所有增環(huán)皆為最小極限尺寸，而所有減環(huán)皆為最大極限尺寸。

顯然，在第一種情況下，將得到封閉環(huán)的最大極限尺寸，而在第二種情況下，將得到封閉環(huán)的最小極限尺寸，可表示為

（11－5）

4）公差

將極限偏差公式(11－6)中ES0和EI0相減得：

對(duì)于直線(xiàn)尺寸鏈，

（11－7）

對(duì)于平面尺寸鏈,（11－8）

5）結(jié)論

（1）封閉環(huán)的公差比任何一個(gè)組成環(huán)的公差都大；

（2）為了減小封閉環(huán)的公差，應(yīng)使組成環(huán)的數(shù)目盡可能地減小，這叫做最短尺寸鏈原則。這一原則在設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)該遵守。尺寸鏈應(yīng)該以“短”為好。

例如，最短尺寸鏈原則用于齒輪軸X方向的尺寸標(biāo)注如圖11－9所示。

圖11－9齒輪軸X方向的尺寸標(biāo)注

圖11－9中，齒輪軸的左端面為X方向的尺寸基準(zhǔn)（設(shè)計(jì)基準(zhǔn)），標(biāo)注這個(gè)方向的尺寸時(shí)，可以從基準(zhǔn)出發(fā)，依次標(biāo)注尺寸。顯然，按此法標(biāo)注時(shí)，組成環(huán)有六個(gè)之多，不符合最短尺寸鏈原則。按圖11－9所示標(biāo)注時(shí)，分為兩個(gè)尺寸鏈：第一個(gè)尺寸鏈有兩個(gè)組成環(huán)和一個(gè)封閉環(huán)，共三環(huán)；而第二個(gè)尺寸鏈有三個(gè)組成環(huán)和一個(gè)封閉環(huán)，共四環(huán)。這樣標(biāo)注就有了X方向的輔助基準(zhǔn)，即從該基準(zhǔn)出發(fā)標(biāo)注其他尺寸。這個(gè)輔助基準(zhǔn)恰好就是安裝齒輪的定位面，第二個(gè)尺寸鏈實(shí)際上就是安裝齒輪在X方向的局部裝配尺寸鏈，不但滿(mǎn)足基準(zhǔn)重合的原則，而且滿(mǎn)足最短尺寸鏈原則。顯然，這個(gè)輔助基準(zhǔn)較為合理。

2.極值法解正計(jì)算問(wèn)題

解正計(jì)算問(wèn)題就是已知組成環(huán)的基本尺寸和極限偏差，求封閉環(huán)的基本尺寸和極限偏差。

【例11－2】加工一圓套，已知工序是先車(chē)外圓然后鏜內(nèi)孔 ，同時(shí)保證內(nèi)、外圓同軸度公差A(yù)3=?0.02，求壁厚,如圖11－10（a）所示。

圖11－10加工圓套

解：按加工順序，車(chē)外圓，鏜內(nèi)孔，最后自然形成壁厚，所以取壁厚為封閉環(huán)。依題意，要求封閉環(huán)的基本尺寸和偏差，屬于正計(jì)算問(wèn)題，可用極值法解，步驟如下：

（1）畫(huà)尺寸鏈圖。由于此例A1、A2尺寸相對(duì)于加工基準(zhǔn)具有對(duì)稱(chēng)性，因此應(yīng)取半值畫(huà)尺寸鏈圖，同軸度A3在此例中可作一個(gè)線(xiàn)性尺寸來(lái)處理，根據(jù)同軸度公差帶對(duì)實(shí)際被測(cè)要素的限定情況，可定A3為0±0.01。以外圓圓心為基準(zhǔn)，按加工順序分別畫(huà)出A1/2、A3、A2/2，并用A0把它們連接成封閉回路。

（2）確定封閉環(huán)。因壁厚A0為最后自然形成的尺寸，故為封閉環(huán)。

（3）確定增、減環(huán)。先畫(huà)出封閉環(huán)的箭頭，然后以相反的方向依次畫(huà)出各組成環(huán)的箭頭，根據(jù)箭頭的方向(同向?yàn)樵霏h(huán)，反向?yàn)闇p環(huán))可以判斷，A1/2、A3為增環(huán)，A2/2為減環(huán)。因?yàn)? 所以 如圖11－10（b）所示。

（4）計(jì)算壁厚的基本尺寸和極限偏差。

由式(11－3)得：

由式(11－6)得：

ES0=［（－0.02）+（+0.01）］－0=－0.01EI0=［（－0.04）+（－0.01）］－

（＋0.03）=－0.08則有：

（5）驗(yàn)算。因T0=ES0-EI0=（-0.01）-（-0.08）=0.07，由公式 得T0=［（-0.02）-（-0.04）］+［（+0.03）-0］+0.02=0.07，校核結(jié)果說(shuō)明計(jì)算無(wú)誤，所以壁厚為。

需指出的是，同軸度A3如放在另外一邊作為減環(huán)處理，結(jié)果仍然不變。

3.極值法解中間計(jì)算問(wèn)題

中間計(jì)算屬于正計(jì)算中的一種特殊情況，用來(lái)確定尺寸鏈中某一組成環(huán)的尺寸及極限偏差。

【例11－3】在上例中，仍有相同的加工順序，為了保證加工后壁厚為5-0.01-0.08，問(wèn)所鏜內(nèi)孔尺寸A2為多少？

解：已知封閉環(huán)A0及組成環(huán)A1/2、A3，求另一個(gè)未知的組成環(huán)A2，這屬于中間計(jì)算問(wèn)題。

（1）畫(huà)尺寸鏈圖。與上題相同。

（2）確定封閉環(huán)。與上題相同。

（3）確定增、減環(huán)：顯然，A1/2、A3為增環(huán)；A2/2為減環(huán)。

（4）計(jì)算基本尺寸和極限偏差：

所以

【例11－4】在軸上銑一鍵槽。加工順序?yàn)椋很?chē)外圓，銑鍵槽深A(yù)2，磨外圓 ,要求磨完外圓后，保證鍵槽深，求銑鍵槽深A(yù)2，如圖11－11所示。

解：

（1）畫(huà)尺寸鏈圖。選外圓圓心為基準(zhǔn)，按加工順序依次畫(huà)出A1/2、A2、A3/2，并用A0把它們連接成封閉回路，如圖11－11所示。圖11－11鍵槽工藝尺寸鏈

（2）確定封閉環(huán)。由于磨完外圓后形成的鍵槽深A(yù)0為最后自然形成的尺寸，因此可確定A0為封閉環(huán)。已知封閉環(huán)A0及組成環(huán)A1/2、A3/2，求另一個(gè)未知的組成環(huán)A2，這屬于中間計(jì)算問(wèn)題。

（3）確定增、減環(huán)。按箭頭方向給各環(huán)標(biāo)上箭頭，可以得知：增環(huán)是A3/2、A2

；減環(huán)是A1/2。

（4）計(jì)算銑鍵槽的深度A2的基本尺寸和上、下偏差。

尺寸換算：

由式(11－3)得：

則可得A2的基本尺寸：

由式(11－6)得：

ES0=(ESA2+ESA3/2)-EIA1/2

則A2的下偏差：

ESA2=ES0-ESA3/2+EIA1/2=0–0+(-0.05)=-0.05mm由式(11－6)得：

EI0=(EIA2+EIA3/2)-ESA1/2

則A2的下偏差：

EIA2=EI0-EIA3/2+ESA1/2=(-0.3)-(-0.03)=-0.27mm（5）驗(yàn)算。

由已知條件得：

T0=ES0–EI0=0–(-0.3)=0.3mm由計(jì)算結(jié)果得：

T0=TA2+TA3/2+TA1/2=(ESA2-EIA2)+(ESA3/2-EIA3/2)+(ESA1-EIA1)

=[(-0.05)-(-0.27)]+[0-(-0.03)]+[0-(-0.05)]=0.3mm校核結(jié)果無(wú)誤，所以銑鍵槽的深度為

4.極值法解反計(jì)算問(wèn)題（設(shè)計(jì)計(jì)算問(wèn)題）

解反計(jì)算問(wèn)題就是已知封閉環(huán)的基本尺寸和上、下偏差，要求確定各組成環(huán)的公差和上、下偏差。由于組成環(huán)較多，用前面的公式難以全部求解，因此必須應(yīng)用其他方法或原則確定其余組成環(huán)的公差和上、下偏差。反計(jì)算主要包括兩項(xiàng)內(nèi)容：確定各組成環(huán)的公差和合理分配各組成環(huán)的偏差。

1）組成環(huán)公差的確定

（1）平均公差法亦稱(chēng)等公差法，即各組成環(huán)公差近似相等的方法。當(dāng)零件的基本尺寸大小和制造的難易程度相近，對(duì)裝配精度的影響程度綜合起來(lái)考慮，平均分配公差值比較經(jīng)濟(jì)、合理時(shí)，可采用平均公差法。

首先，按平均分配法分配各組成環(huán)的公差T：

（11－9）

式中:T0為封閉環(huán)的公差;m為組成環(huán)的數(shù)目。

（2）平均公差等級(jí)法亦稱(chēng)等精度法，即各組成環(huán)精度近似相等的方法。在尺寸小于等于500mm的情況下，當(dāng)確認(rèn)全部組成環(huán)采取同一公差等級(jí)，各環(huán)公差值的大小只取決于其基本尺寸，而這樣計(jì)算又比較經(jīng)濟(jì)、合理或更切合生產(chǎn)實(shí)際時(shí)，可采用平均公差等級(jí)法。

因各組成環(huán)精度相等，故第i環(huán)的組成環(huán)的公差為

Ti=aii

式中：第i環(huán)的標(biāo)準(zhǔn)公差因子為

依據(jù)式(11－7)，有：

則平均公差等級(jí)系數(shù)為：

（11－10）

此外，還可按不同的基本尺寸查表11－1取得ii，然后依據(jù)，在標(biāo)準(zhǔn)公差表中取一個(gè)相近的公差等級(jí)，從而取得公差值。

表11－1尺寸小于等于500mm的公差因子值

2）組成環(huán)偏差的確定

確定各組成環(huán)的偏差有兩種方法:一是按“偏差向體內(nèi)原則”，也稱(chēng)為“入體法則”,二是采用對(duì)稱(chēng)分布的方法。

（1）按“入體法則”確定組成環(huán)上、下偏差。當(dāng)組成環(huán)為包容面時(shí)，即相當(dāng)于孔，其下偏差為零；當(dāng)組成環(huán)為被包容面時(shí)，相當(dāng)于軸，其上偏差為零。

（2）當(dāng)組成環(huán)的尺寸為調(diào)整尺寸時(shí)，如對(duì)刀、劃線(xiàn)等，采用對(duì)稱(chēng)分布。例如，在鏜床、數(shù)控機(jī)床、自動(dòng)機(jī)床上加工時(shí)采用對(duì)稱(chēng)分布。

一般來(lái)說(shuō)，采用對(duì)稱(chēng)分布較為合理。不但在封閉環(huán)上可以獲得較小的公差（從統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)來(lái)看），而且也符合當(dāng)今機(jī)械加工普遍采用數(shù)控機(jī)床的潮流。采用“入體法則”是相對(duì)于所采用的加工方法(例如“靠火花法”或“試切法”)而言的。這幾種方法相比，顯然，“入體法則”較為合理。但實(shí)際上，對(duì)熟練工人或數(shù)控機(jī)床機(jī)床來(lái)說(shuō)，其加工的零件尺寸是按正態(tài)分布的。從這個(gè)觀點(diǎn)來(lái)看，對(duì)稱(chēng)分布最為合理。從尺寸鏈的原理來(lái)看，由于尺寸的離散程度較小，采用對(duì)稱(chēng)分布，可用概率法計(jì)算封閉環(huán)，因而在封閉環(huán)上可以獲得較小的公差。

【例11－5】有一對(duì)開(kāi)齒輪箱，如圖11－12所示，根據(jù)使用要求，間隙A0=1～1.75mm,

已知A1=101mm，A2=50mm，A3=A5=5mm，A4=140mm，求各尺寸的極限偏差和公差。

解：依題意可知，這是一裝配尺寸鏈，A0為裝配后的技術(shù)要求，題目要求為根據(jù)這個(gè)技術(shù)要求求各零件的合理的公差和極限偏差。

(1)畫(huà)尺寸鏈圖，確定封閉環(huán)，增、減環(huán)。A0為間隙，是技術(shù)要求，所以A0為封閉環(huán)。如圖11－12中尺寸鏈所示，抽象出尺寸鏈后，畫(huà)上箭頭，可以得出：增環(huán)是A1、A2；減環(huán)是A3、A4、A5。

圖11-12齒輪箱裝配尺寸鏈

(2)封閉環(huán)的基本尺寸、極限偏差和公差。

由式(11－3)得：

(3)確定各組成環(huán)的上、下偏差。按等公差法，由式(11－9)可得：

如果完全分配，那么顯然不合理?？紤]A1、A2為箱體尺寸，按一般箱體公差等級(jí)，取IT12，再依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)公差表取公差：T1=0.35，T2=0.25。A3、A5為小尺寸，按非配合件公差處理,取IT10，則T3=T5=0.048，由于封閉環(huán)是固定的，因此確定一組成環(huán)為協(xié)調(diào)環(huán)，以保證分配公差后，仍然符合前面所確定的極值法公式?，F(xiàn)取A4為協(xié)調(diào)環(huán)，則有：

T4=T0

－T1

－T2

－T3

－T5

=0.75－0.35－0.25－0.048－0.048=0.054mm按“入體法則”標(biāo)注各項(xiàng)偏差，有：

按公式計(jì)算協(xié)調(diào)環(huán)A4的上、下偏差，由式(11－6)可得：

ES0=(ES1+ES2)－（EI3+EI4+EI5）

EI4=ES1+ES2―EI3―EI5―ES0

=（+0.35）+(+0.25)－(－0.048)－(－0.048)－(+0.75)=－0.054mmEI0=(EI1+EI2)－（ES3+ES4+ES5）

ES4=EI1+EI2―ES3―ES5―EI0=0+0―0―0―0=0校驗(yàn)計(jì)算結(jié)果：

T0=T1+T2+T3+T4+T5

=0.35+0.25+0.048+0.054+0.048=0.075mm按標(biāo)準(zhǔn)公差圓整，將T4取為0.040，這里仍取原結(jié)果。

需指出的是，其他組成環(huán)之一也可以選做協(xié)調(diào)環(huán)。用平均公差法較為簡(jiǎn)單，但要求有熟練的經(jīng)驗(yàn)，否則主觀隨意性太大。此法多用于環(huán)數(shù)不多的情況。用平均公差等級(jí)法解尺寸鏈的步驟與平均公差法完全相同。這里只介紹用相同等級(jí)法計(jì)算組成環(huán)公差，再確定上、下偏差的方法。

由式(11－10)可得：

由公差等級(jí)系數(shù)a查標(biāo)準(zhǔn)公差計(jì)算公式表，知公差為11級(jí)，再查標(biāo)準(zhǔn)公差表得：

T1=220μm，T2=160μm，T3=T3=75μm。

協(xié)調(diào)環(huán)的公差為

T4=T0-（T1+T2+T3+T5）=750-（220+160+75+75）=220μm

同樣，按“入體法則”確定各組成環(huán)的極限偏差為

除了個(gè)別組成環(huán)外，均為標(biāo)準(zhǔn)公差和極限偏差，方便合理。極值法可以保證完全互換，而且計(jì)算簡(jiǎn)單。但當(dāng)組成環(huán)較多時(shí)，用這種方法就不合適，因?yàn)檫@時(shí)各組成環(huán)公差很小，加工很不經(jīng)濟(jì)。對(duì)精度要求較高且環(huán)數(shù)較多的尺寸鏈，應(yīng)采用概率法。

11.2.2概率法解尺寸鏈

當(dāng)組成環(huán)環(huán)數(shù)較多時(shí)，不宜采用極值法。極值法一般應(yīng)用于3～4環(huán)的尺寸鏈，或環(huán)數(shù)雖多，但精度不高的場(chǎng)合。對(duì)精度要求較高且環(huán)數(shù)較多的尺寸鏈，采用概率法求解比較合理。

概率法解尺寸鏈的基本出發(fā)點(diǎn)是以保證大數(shù)互換為目的，根據(jù)各組成環(huán)的實(shí)際尺寸在其公差帶內(nèi)的分布情況，按某一置信概率求得封閉環(huán)的尺寸實(shí)際分布范圍，由此決定封閉環(huán)公差。顯然，概率法較為符合生產(chǎn)實(shí)際，在機(jī)械制造中經(jīng)常采用。事實(shí)上，概率法更為合理、科學(xué)。

表11－2極值法和概率法的比較

1．基本關(guān)系式

概率法基于以下假設(shè)：

（1）各組成環(huán)為一系列獨(dú)立的隨機(jī)變量；

（2）各組成環(huán)的尺寸都按正態(tài)分布，則封閉環(huán)亦按正態(tài)分布；

（3）各組成環(huán)分布中心與公差帶中心重合。

由于系統(tǒng)誤差按代數(shù)和法合成；而隨機(jī)誤差按方和根法合成，則有封閉環(huán)公差與組成環(huán)公差的關(guān)系：（置信概率為99.73%）

（11－11）

圖11－13所示為尺寸分布情況。在圖11－13中，令上偏差與下偏差的平均值為中間偏差，用Δ來(lái)表示，即：

（11－12）

當(dāng)各組成環(huán)對(duì)稱(chēng)分布時(shí)，封閉環(huán)中間偏差Δ0為各組成環(huán)中間偏差的代數(shù)和，即：

（11－13）同時(shí)原有的各組成環(huán)的基本尺寸和極限偏差需改寫(xiě)成：

（11－14）

圖11－13尺寸分布

但是在生產(chǎn)實(shí)踐中，各組成環(huán)往往呈偏態(tài)分布，或呈瑞利分布、三角分布、均勻分布，此時(shí)封閉環(huán)仍然是正態(tài)分布。例如，大批量生產(chǎn)時(shí)，為正態(tài)分布；按試切法加工時(shí)，為偏態(tài)分布。當(dāng)各組成環(huán)為不同于正態(tài)分布的其他分布時(shí)，需引入一個(gè)說(shuō)明分布特性的相對(duì)分布系數(shù)K和一個(gè)相對(duì)不對(duì)稱(chēng)系數(shù)e，如表11－3所示。

表11－3典型分布系數(shù)K與e值

這時(shí)中間偏差應(yīng)改寫(xiě)為

封閉環(huán)公差應(yīng)為

（11－15）

（11－16）

2.概率法解正計(jì)算問(wèn)題

【例11－6】仍然用圓套的例子，如圖11－14所示。

圖11－14圓套

解：（1）畫(huà)尺寸鏈圖。增環(huán)是A1/2，A3；減環(huán)是A2/2。

（2）計(jì)算壁厚的基本尺寸和上、下偏差。

①求增減環(huán)的中間偏差和公差：

故

同理,A3=0±0.01Δ3=0T3=0.02故

同理,故

②求封閉環(huán)的基本尺寸。按極值法由式(11－3)得：

③求封閉環(huán)的偏差量。由式(11－13)得：

Δ0=（Δ1+Δ3）－Δ2=〔（-0.03）+0〕－(+0.015)=－0.045④求封閉環(huán)公差，各組成環(huán)為正態(tài)分布。由式(11－11)得：

則有A0=5+（-0.045）±0.04/2,圓整后即重新?lián)Q回原來(lái)的極值法形式

（3）驗(yàn)算：

T0=ES0－EI0=（-0.025）－(-0.065)=0.04所以壁厚為

顯然，此公差與極值法求得的公差0.07相比要小得多，即壁厚的精度提高了。

3.概率法解反計(jì)算問(wèn)題

概率法的最基本公式是，當(dāng)已知封閉環(huán)公差T0，欲求各組成環(huán)的公差及偏差時(shí)，與極值法一樣，可用等公差法或等精度法。偏差分配時(shí)，仍然遵守入體法則或?qū)ΨQ(chēng)分布。用概率法進(jìn)行反計(jì)算在機(jī)械制造工藝中應(yīng)用較為廣泛。

(1）平均公差法亦稱(chēng)等公差法，即各組成環(huán)公差近似相等的方法。

由式(11－16)，得：

（各環(huán)具有相同的相對(duì)分布系數(shù)）

若所有的組成環(huán)都為正態(tài)分布，則：

（11－18）

由式(11－17)和式(11－18)可求得各組成環(huán)的平均公差。根據(jù)基本尺寸的大小和加工的難易等因素，可將各組成環(huán)的公差適當(dāng)調(diào)整，但應(yīng)滿(mǎn)足式(11－19)：

（11－19）

(2）平均公差等級(jí)法亦稱(chēng)等精度法，即各組成環(huán)精度近似相等的方法。

由Ti=aii和式（11－16）得：因此有：

若各組成環(huán)為正態(tài)分布，則

（11－20）

【例11－7】沿用例11－5。有一對(duì)開(kāi)齒輪箱，如圖11－15，根據(jù)使用要求，間隙A0=1～1.75mm。已知：A1=101mm，A2=50mm，A3=A5=5mm，A4=140mm，求各尺寸的極限偏差和公差。

解：畫(huà)尺寸鏈圖，確定封閉環(huán)，增環(huán)，減環(huán)，同例11－5。現(xiàn)用概率法計(jì)算各組成環(huán)的上、下偏差，選定A4為協(xié)調(diào)環(huán)。

圖11－15齒輪箱裝配尺寸鏈

（1）計(jì)算封閉環(huán)的基本尺寸、公差和極限偏差，同例11－5。

由式(11－3)得：

A0=（A1+A2）－（A3+A4+A5）=（101+50）－（5+140+5）=1由式(11－6)得：

ES0=Amax－A0=1.75－1=+0.75EI0=Amin－A0=1－1=0T0=Amax－Amin=1.75－1=0.75（2）用平均公差法確定各組成環(huán)公差。

設(shè)各組成環(huán)為正態(tài)分布，因式(11－18)中，ξi為+1和-1，

，故有：

以Ti=0.34mm為參考，按各組成環(huán)的難易程度調(diào)整各環(huán)的公差，并盡量考慮選用標(biāo)準(zhǔn)公差，按IT13選用箱體尺寸公差，按IT10選用軸套臺(tái)階公差：T1=0.54mm，T2=0.39mm，T3=T5=0.048mm。由式(11－11)得：

（3）確定除協(xié)調(diào)環(huán)以外所有組成環(huán)的極限偏差。

根據(jù)“入體法則”確定各組成環(huán)的極限偏差：

（4）將已確定的環(huán)寫(xiě)成對(duì)稱(chēng)偏差的形式，求中間偏差。

由式(11－12)得：

（5）確定協(xié)調(diào)環(huán)的中間偏差和極限偏差。

由式(11－13)得：

Δ0=（Δ1+Δ2）-（Δ3+Δ4+Δ5）

Δ4=Δ1+Δ2-Δ3-Δ5-Δ0

=（+0.27）+(+0.195)-(-0.024)-(-0.024)-(+0.375)=+0.138mmA4=140+(+0.138)±0.34/2=140.138±0.17=140（6）校驗(yàn)計(jì)算結(jié)果。已知T0=0.75mm，而

校驗(yàn)無(wú)誤,結(jié)果為

【例11－8】用平均公差等級(jí)法（等精度法）求上例各組成環(huán)的公差和極限偏差。

解：(11－20)得：

=196.56ii和a的意義與極值法相同

查標(biāo)準(zhǔn)公式計(jì)算公式表，a=196.56相當(dāng)于IT12-----IT13，T1，T2按IT13查表，T3，T5按IT12查表：T1=0.54mm，T2=0.39mm，T3=T5=0.12mm，則：

可查標(biāo)準(zhǔn)公差表，按IT12取T4=0.25mm。根據(jù)入體法則，各組成環(huán)的極限偏差：

由式(11－13)得：

Δ0=（Δ1+Δ2）-（Δ3+Δ4+Δ5）Δ4=Δ1+Δ2-Δ3-Δ5-Δ0=（+0.27）+(+0.195)-（-0.06）-（-0.06）-(+0.375)=+0.21mmA4=140+(+0.21)±0.25/2=140.21±0.125=140

mm

例11-9

圖11-16為車(chē)床主軸的裝配簡(jiǎn)圖。設(shè)普通車(chē)床徑向跳動(dòng)容許偏差為0.01mm，L1=500mm，L2=100mm，后軸承內(nèi)徑為80mm，前軸承內(nèi)徑為100mm。試確定軸承的公差等級(jí)。

解：應(yīng)分析前后軸承的徑向跳動(dòng)對(duì)主軸徑向跳動(dòng)的影響。再根據(jù)技術(shù)要求，求出前后軸承的內(nèi)圈跳動(dòng)公差，進(jìn)而選取前后軸承。

首先畫(huà)尺寸鏈圖。徑向跳動(dòng)是在任意方向上的，為計(jì)算方便，故考慮E1

和

E2

之間的投影夾角分別為0和π時(shí)的尺寸鏈圖，如圖11-16：

圖11－16機(jī)床主軸的裝配簡(jiǎn)圖

解：應(yīng)分析前、后軸承的徑向跳動(dòng)對(duì)主軸徑向跳動(dòng)的影響。再根據(jù)技術(shù)要求，求出前、后軸承的內(nèi)圈跳動(dòng)公差，進(jìn)而選取前、后軸承。

首先畫(huà)尺寸鏈圖。因徑向跳動(dòng)是在任意方向上的，為計(jì)算方便，故考慮E1和E2之間的投影夾角分別為0和π時(shí)的尺寸鏈圖，如圖11－16所示，則

故

由相似三角形計(jì)算得：

由尺寸鏈得：

故

由跳動(dòng)反映的偏心遵循瑞利分布，K1=K2=1.14。若用等公差法確定兩軸承跳動(dòng)公差T1與T2，即令：

ξ1K1T1=ξ2K2T2

由式(11－16)得：

所以

按內(nèi)圈跳動(dòng)公差為0.025mm，后軸承取0級(jí)精度，而前軸承按內(nèi)圈跳動(dòng)公差為0.005mm取4級(jí)精度。此題也可用矢量尺寸鏈來(lái)求解。概率法計(jì)算尺寸鏈公差的優(yōu)點(diǎn)是比較符合實(shí)際，能使組成環(huán)獲得較為經(jīng)濟(jì)合理的公差；缺點(diǎn)是只能保證大數(shù)互換，有極少數(shù)產(chǎn)品不合格。

【例11－10】有一連桿如圖11－17所示，要求加工完后，兩軸線(xiàn)的平行度小于0.05/100,試求精加工中車(chē)端面和鏜孔工序中應(yīng)保證