【創(chuàng)新設(shè)計】2021高考數(shù)學(xué)(四川專用-理科)二輪專題整合：1-2-3平面向量

第3講平面對量一、選擇題1．(2022·重慶卷)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，則實數(shù)k＝ A．－eq\f(9,2) B．0C．3 D．eq\f(15,2)解析由于2a－3b＝(2k－3，－6)，且(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3，選C.答案C2．(2022·河南十所名校聯(lián)考)在△ABC中，M是AB邊所在直線上任意一點，若eq\o(CM,\s\up8(→))＝－2eq\o(CA,\s\up8(→))＋λeq\o(CB,\s\up8(→))，則λ＝ ()．A．1 B．2C．3 D．4解析由點A，B，M三點共線知：－2＋λ＝1，所以λ＝3.答案C3．(2022·吉林省試驗中學(xué)模擬)在△ABC中，D是AB中點，E是AC中點，CD與BE交于點F，設(shè)eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AC,\s\up8(→))＝b，eq\o(AF,\s\up8(→))＝xa＋yb，則(x，y)為 ()．A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(1,2)))解析由題意知點F為△ABC的重心，設(shè)H為BC中點，則eq\o(AF,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AH,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→)))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b，所以x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(1,3).答案C4．(2022·龍巖期末考試)在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的兩個頂點為O(0,0)，A(1,1)，且eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OC,\s\up8(→))＝1，則eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))等于 ()．A．－1 B．1C.eq\r(2) D．eq\r(3)解析依題意，|eq\o(OA,\s\up8(→))|＝|eq\o(OC,\s\up8(→))|＝|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝eq\r(2)，eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OC,\s\up8(→))＝|eq\o(OA,\s\up8(→))||eq\o(OC,\s\up8(→))|cos∠AOC＝1，cos∠AOC＝eq\f(1,2)，∠AOC＝eq\f(π,3)，則|eq\o(AC,\s\up8(→))|＝|eq\o(OA,\s\up8(→))|＝|eq\o(OC,\s\up8(→))|＝eq\r(2)，∠BAC＝eq\f(π,3)，eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝|eq\o(AB,\s\up8(→))||eq\o(AC,\s\up8(→))|cos∠BAC＝1.答案B5．(2022·浙江卷)記max{x，y}＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x≥y，,y，x<y，))min{x，y}＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y，x≥y，,x，x<y，))設(shè)a，b為平面對量，則 ()．A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2解析對于min{|a＋b|，|a－b|}與min{|a|，|b|}，相當(dāng)于平行四邊形的對角線長度的較小者與兩鄰邊長的較小者比較，它們的大小關(guān)系不定，因此A、B均錯；而|a＋b|，|a－b|中的較大者與|a|，|b|可構(gòu)成非銳角三角形的三邊，因此有max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2，因此選D.答案D二、填空題6．(2022·山東卷)在△ABC中，已知eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝tanA，當(dāng)A＝eq\f(π,6)時，△ABC的面積為________．解析由A＝eq\f(π,6)，eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝tanA，得|eq\o(AB,\s\up8(→))|·|eq\o(AC,\s\up8(→))|·cosA＝tanA，即|eq\o(AB,\s\up8(→))|·|eq\o(AC,\s\up8(→))|×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),3)，∴|eq\o(AB,\s\up8(→))|·|eq\o(AC,\s\up8(→))|＝eq\f(2,3)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up8(→))|·|eq\o(AC,\s\up8(→))|·sinA＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6).答案eq\f(1,6)7.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，且AC＝BC＝3，點M滿足eq\o(BM,\s\up8(→))＝2eq\o(MA,\s\up8(→))，則eq\o(CM,\s\up8(→))·eq\o(CB,\s\up8(→))＝________.解析法一如圖建立平面直角坐標(biāo)系．由題意知：A(3,0)，B(0,3)，設(shè)M(x，y)，由eq\o(BM,\s\up8(→))＝2eq\o(MA,\s\up8(→))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝23－x，,y－3＝－2y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1，))即M點坐標(biāo)為(2,1)，所以eq\o(CM,\s\up8(→))·eq\o(CB,\s\up8(→))＝(2,1)·(0,3)＝3.法二eq\o(CM,\s\up8(→))·eq\o(CB,\s\up8(→))＝(eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\o(BM,\s\up8(→)))·eq\o(CB,\s\up8(→))＝eq\o(CB,\s\up8(→))2＋eq\o(CB,\s\up8(→))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(BA,\s\up8(→))))＝eq\o(CB,\s\up8(→))2＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up8(→))·(eq\o(CA,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up8(→))2＝3.答案38．(2022·杭州質(zhì)量檢測)在△AOB中，G為△AOB的重心，且∠AOB＝60°，若eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→))＝6，則|eq\o(OG,\s\up8(→))|的最小值是________．解析如圖，在△AOB中，eq\o(OG,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OE,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→)))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→)))，又eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→))＝|eq\o(OA,\s\up8(→))||eq\o(OB,\s\up8(→))|·cos60°＝6，∴|eq\o(OA,\s\up8(→))||eq\o(OB,\s\up8(→))|＝12，∴|eq\o(OG,\s\up8(→))|2＝eq\f(1,9)(eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→)))2＝eq\f(1,9)(|eq\o(OA,\s\up8(→))|2＋|eq\o(OB,\s\up8(→))|2＋2eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→)))＝eq\f(1,9)(|eq\o(OA,\s\up8(→))|2＋|eq\o(OB,\s\up8(→))|2＋12)≥eq\f(1,9)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2|\o(OA,\s\up8(→))||\o(OB,\s\up8(→))|＋12))＝eq\f(1,9)×36＝4(當(dāng)且僅當(dāng)|eq\o(OA,\s\up8(→))|＝|Oeq\o(B,\s\up8(→))|時取等號)．∴|eq\o(OG,\s\up8(→))|≥2，故|eq\o(OG,\s\up8(→))|的最小值是2.答案2三、解答題9．(2021·江蘇卷)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0<β<α<π.(1)若|a－b|＝eq\r(2)，求證：a⊥b；(2)設(shè)c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．(1)證明由|a－b|＝eq\r(2)，即(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2，整理得cosαcosβ＋sinαsinβ＝0，即a·b＝0，因此a⊥b.(2)解由已知條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosα＋cosβ＝0，,sinα＋sinβ＝1，))cosβ＝－cosα＝cos(π－α)，由0<α<π，得0<π－α<π，又0<β<π，故β＝π－α.則sinα＋sin(π－α)＝1，即sinα＝eq\f(1,2)，故α＝eq\f(π,6)或α＝eq\f(5π,6).當(dāng)α＝eq\f(π,6)時，β＝eq\f(5π,6)(舍去)，當(dāng)α＝eq\f(5π,6)時，β＝eq\f(π,6).所以，α，β的值分別為eq\f(5π,6)，eq\f(π,6).10．已知向量m＝(sinx，－1)，n＝(cosx,3)．(1)當(dāng)m∥n時，求eq\f(sinx＋cosx,3sinx－2cosx)的值；(2)已知在銳角△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，eq\r(3)c＝2asin(A＋B)，函數(shù)f(x)＝(m＋n)·m，求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,8)))的取值范圍．解(1)由m∥n，可得3sinx＝－cosx，于是tanx＝－eq\f(1,3)，∴eq\f(sinx＋cosx,3sinx－2cosx)＝eq\f(tanx＋1,3tanx－2)＝eq\f(－\f(1,3)＋1,3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))－2)＝－eq\f(2,9).(2)在△ABC中A＋B＝π－C，于是sin(A＋B)＝sinC，由正弦定理，得eq\r(3)sinC＝2sinAsinC，∵sinC≠0，∴sinA＝eq\f(\r(3),2).又△ABC為銳角三角形，∴A＝eq\f(π,3)，于是eq\f(π,6)<B<eq\f(π,2).∵f(x)＝(m＋n)·m＝(sinx＋cosx,2)·(sinx，－1)＝sin2x＋sinxcosx－2＝eq\f(1－cos2x,2)＋eq\f(1,2)sin2x－2＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))－eq\f(3,2)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,8)))＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,8)))－\f(π,4)))－eq\f(3,2)＝eq\f(\r(2),2)sin2B－eq\f(3,2).由eq\f(π,6)<B<eq\f(π,2)，得eq\f(π,3)<2B<π，∴0<sin2B≤1，－eq\f(3,2)<eq\f(\r(2),2)sin2B－eq\f(3,2)≤eq\f(\r(2),2)－eq\f(3,2)，即f(B＋eq\f(π,8))∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(\r(2),2)－\f(3,2))).11．(2022·陜西卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，點P(x，y)在△ABC三邊圍成的區(qū)域(含邊界)上．(1)若eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→))＝0，求|eq\o(OP,\s\up8(→))|；(2)設(shè)eq\o(OP,\s\up8(→))＝meq\o(AB,\s\up8(→))＋neq\o(AC,\s\up8(→))(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．解(1)法一∵eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→))＝0，又eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→))＝(1－x,1－y)＋(2－x,3－y)＋(3－x,2－y)＝(6－3x,6－3y)，∴eq\b\lc\{\