【優(yōu)化方案】2021高考數(shù)學(xué)(人教版)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案36-基本不等式及其應(yīng)用

學(xué)案36基本不等式及其應(yīng)用導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.了解基本不等式的證明過(guò)程.2.會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)潔的最大(小)值問(wèn)題．自主梳理1．基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的條件：____________.(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)________時(shí)取等號(hào)．2．幾個(gè)重要的不等式(1)a2＋b2≥________(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥____(a，b同號(hào))．(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．(4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2____eq\f(a2＋b2,2).3．算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為_(kāi)_______，幾何平均數(shù)為_(kāi)_______，基本不等式可敘述為：________________________________________________.4．利用基本不等式求最值問(wèn)題已知x>0，y>0，則(1)假如積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)________時(shí)，x＋y有最____值是________(簡(jiǎn)記：積定和最小)．(2)假如和x＋y是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)________時(shí)，xy有最____值是__________(簡(jiǎn)記：和定積最大)．自我檢測(cè)1．“a>b>0”是“ab<eq\f(a2＋b2,2)”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．(2011·南平月考)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，a、b∈(0，＋∞)，A＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，B＝f(eq\r(ab))，C＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ab,a＋b)))，則A、B、C的大小關(guān)系是()A．A≤B≤C B．A≤C≤BC．B≤C≤A D．C≤B≤A3．下列函數(shù)中，最小值為4的函數(shù)是()A．y＝x＋eq\f(4,x)B．y＝sinx＋eq\f(4,sinx)(0<x<π)C．y＝ex＋4e－xD．y＝log3x＋logx814．(2011·大連月考)設(shè)函數(shù)f(x)＝2x＋eq\f(1,x)－1(x<0)，則f(x)有最________值為_(kāi)_______．5．(2010·山東)若對(duì)任意x>0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，則a的取值范圍為_(kāi)_______________．探究點(diǎn)一利用基本不等式求最值例1(1)已知x>0，y>0，且eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，求x＋y的最小值；(2)已知x<eq\f(5,4)，求函數(shù)y＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最大值；(3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值．變式遷移1(2011·重慶)已知a>0，b>0，a＋b＝2，則y＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值是()A.eq\f(7,2) B．4C.eq\f(9,2) D．5探究點(diǎn)二基本不等式在證明不等式中的應(yīng)用例2已知a>0，b>0，a＋b＝1，求證：(1＋eq\f(1,a))(1＋eq\f(1,b))≥9.變式遷移2已知x>0，y>0，z>0.求證：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＋\f(z,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)＋\f(z,y)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,z)＋\f(y,z)))≥8.探究點(diǎn)三基本不等式的實(shí)際應(yīng)用例3(2011·鎮(zhèn)江模擬)某單位用2160萬(wàn)元購(gòu)得一塊空地，方案在該空地上建筑一棟至少10層，每層2000平方米的樓房．經(jīng)測(cè)算，假如將樓房建為x(x≥10)層，則每平方米的平均建筑費(fèi)用為560＋48x(單位：元)．(1)寫(xiě)出樓房平均綜合費(fèi)用y關(guān)于建筑層數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式；(2)該樓房應(yīng)建筑多少層時(shí)，可使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少？最少值是多少？(注：平均綜合費(fèi)用＝平均建筑費(fèi)用＋平均購(gòu)地費(fèi)用，平均購(gòu)地費(fèi)用＝eq\f(購(gòu)地總費(fèi)用,建筑總面積))變式遷移3(2011·廣州月考)某國(guó)際化妝品生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場(chǎng)份額，擬在2022年英國(guó)倫敦奧運(yùn)會(huì)期間進(jìn)行一系列促銷(xiāo)活動(dòng)，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查和測(cè)算，化妝品的年銷(xiāo)量x萬(wàn)件與年促銷(xiāo)費(fèi)t萬(wàn)元之間滿足3－x與t＋1成反比例，假如不搞促銷(xiāo)活動(dòng)，化妝品的年銷(xiāo)量只能是1萬(wàn)件，已知2022年生產(chǎn)化妝品的設(shè)備折舊、修理等固定費(fèi)用為3萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件化妝品需再投入32萬(wàn)元的生產(chǎn)費(fèi)用，若將每件化妝品的售價(jià)定為其生產(chǎn)成本的150%與平均每件促銷(xiāo)費(fèi)的一半之和，則當(dāng)年生產(chǎn)的化妝品正好能銷(xiāo)完．(1)將2022年的利潤(rùn)y(萬(wàn)元)表示為促銷(xiāo)費(fèi)t(萬(wàn)元)的函數(shù)．(2)該企業(yè)2022年的促銷(xiāo)費(fèi)投入多少萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)的年利潤(rùn)最大？(注：利潤(rùn)＝銷(xiāo)售收入－生產(chǎn)成本－促銷(xiāo)費(fèi)，生產(chǎn)成本＝固定費(fèi)用＋生產(chǎn)費(fèi)用)1．a(chǎn)2＋b2≥2ab對(duì)a、b∈R都成立；eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)成立的條件是a，b∈R＋；eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2成立的條件是ab>0，即a，b同號(hào)．2．利用基本不等式求最值必需滿足一正、二定、三相等三個(gè)條件，并且和為定值時(shí)，積有最大值，積為定值時(shí)，和有最小值．3．使用基本不等式求最值時(shí)，若等號(hào)不成立，應(yīng)改用單調(diào)性法．一般地函數(shù)y＝ax＋eq\f(b,x)，當(dāng)a>0，b<0時(shí)，函數(shù)在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函數(shù)；當(dāng)a<0，b>0時(shí)，函數(shù)在(－∞，0)，(0，＋∞)上是減函數(shù)；當(dāng)a>0，b>0時(shí)函數(shù)在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(\f(b,a))，0))，eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\r(\f(b,a))))上是減函數(shù)，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\r(\f(b,a))))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(b,a))，＋∞))上是增函數(shù)；當(dāng)a<0，b<0時(shí)，可作如下變形：y＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－ax＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,x)))))來(lái)解決最值問(wèn)題．(滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．設(shè)a>0，b>0，若eq\r(3)是3a與3b的等比中項(xiàng)，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值為()A．8 B．4 C．1 D.eq\f(1,4)2．(2011·鞍山月考)已知不等式(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為()A．2 B．4 C．6 D．3．已知a>0，b>0，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋2eq\r(ab)的最小值是()A．2 B．2eq\r(2) C．4 D．54．一批貨物隨17列貨車(chē)從A市以akm/h的速度勻速直達(dá)B市，已知兩地鐵路線長(zhǎng)400km，為了平安，兩列車(chē)之間的距離不得小于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,20)))2km，那么這批貨物全部運(yùn)到B市，最快需要A．6h B．8h C．10h D．12h5．(2011·寧波月考)設(shè)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y－6≤0,x－y＋2≥0,x≥0，y≥0))，若目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值為12，則eq\f(2,a)＋eq\f(3,b)的最小值為()A.eq\f(25,6) B.eq\f(8,3) C.eq\f(11,3) D．4二、填空題(每小題4分，共12分)6．(2010·浙江)若正實(shí)數(shù)x，y滿足2x＋y＋6＝xy，則xy的最小值是________．7．(2011·江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的一條直線與函數(shù)f(x)＝eq\f(2,x)的圖象交于P，Q兩點(diǎn)，則線段PQ長(zhǎng)的最小值是________．8．已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)恒為正值，則k的取值范圍為_(kāi)_________________．三、解答題(共38分)9．(12分)(1)已知0<x<eq\f(4,3)，求x(4－3x)的最大值；(2)點(diǎn)(x，y)在直線x＋2y＝3上移動(dòng)，求2x＋4y的最小值．10．(12分)(2011·長(zhǎng)沙月考)經(jīng)觀測(cè)，某大路段在某時(shí)段內(nèi)的車(chē)流量y(千輛/小時(shí))與汽車(chē)的平均速度v(千米/小時(shí))之間有函數(shù)關(guān)系y＝eq\f(920v,v2＋3v＋1600)(v>0)．(1)在該時(shí)段內(nèi)，當(dāng)汽車(chē)的平均速度v為多少時(shí)車(chē)流量y最大？最大車(chē)流量為多少？(2)為保證在該時(shí)段內(nèi)車(chē)流量至少為10千輛/小時(shí)，則汽車(chē)的平均速度應(yīng)把握在什么范圍內(nèi)？11．(14分)某加工廠需定期購(gòu)買(mǎi)原材料，已知每千克原材料的價(jià)格為1.5元，每次購(gòu)買(mǎi)原材料需支付運(yùn)費(fèi)600元，每千克原材料每天的保管費(fèi)用為0.03元，該廠每天需要消耗原材料400千克，每次購(gòu)買(mǎi)的原材料當(dāng)天即開(kāi)頭使用(即有400千克不需要保管)．(1)設(shè)該廠每x天購(gòu)買(mǎi)一次原材料，試寫(xiě)出每次購(gòu)買(mǎi)的原材料在x天內(nèi)總的保管費(fèi)用y1關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)求該廠多少天購(gòu)買(mǎi)一次原材料才能使平均每天支付的總費(fèi)用y最小，并求出這個(gè)最小值．學(xué)案36基本不等式及其應(yīng)用自主梳理1．(1)a>0，b>0(2)a＝b2.(1)2ab(2)2(4)≤3.eq\f(a＋b,2)eq\r(ab)兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)4.(1)x＝y(tǒng)小2eq\r(p)(2)x＝y(tǒng)大eq\f(p2,4)自我檢測(cè)1．A2.A3.C4．大－2eq\r(2)－15.[eq\f(1,5)，＋∞)課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引基本不等式的功能在于“和與積”的相互轉(zhuǎn)化，使用基本不等式求最值時(shí)，給定的形式不愿定能直接適合基本不等式，往往需要拆添項(xiàng)或配湊因式(一般是湊和或積為定值的形式)，構(gòu)造出基本不等式的形式再進(jìn)行求解．基本不等式成立的條件是“一正、二定、三相等”，“三相等”就是必需驗(yàn)證等號(hào)成立的條件．解(1)∵x>0，y>0，eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，∴x＋y＝(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(9,y)))＝eq\f(y,x)＋eq\f(9x,y)＋10≥6＋10＝16.當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(y,x)＝eq\f(9x,y)時(shí)，上式等號(hào)成立，又eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，∴x＝4，y＝12時(shí)，(x＋y)min＝16.(2)∵x<eq\f(5,4)，∴5－4x>0.y＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－4x＋\f(1,5－4x)))＋3≤－2eq\r(5－4x·\f(1,5－4x))＋3＝1，當(dāng)且僅當(dāng)5－4x＝eq\f(1,5－4x)，即x＝1時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng)x＝1時(shí)，ymax＝1.(3)由2x＋8y－xy＝0，得2x＋8y＝xy，∴eq\f(2,y)＋eq\f(8,x)＝1.∴x＋y＝(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,x)＋\f(2,y)))＝10＋eq\f(8y,x)＋eq\f(2x,y)＝10＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4y,x)＋\f(x,y)))≥10＋2×2×eq\r(\f(4y,x)·\f(x,y))＝18，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(4y,x)＝eq\f(x,y)，即x＝2y時(shí)取等號(hào)．又2x＋8y－xy＝0，∴x＝12，y＝6.∴當(dāng)x＝12，y＝6時(shí)，x＋y取最小值18.變式遷移1C[∵a＋b＝2，∴eq\f(a＋b,2)＝1.∴eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)＝(eq\f(1,a)＋eq\f(4,b))(eq\f(a＋b,2))＝eq\f(5,2)＋(eq\f(2a,b)＋eq\f(b,2a))≥eq\f(5,2)＋2eq\r(\f(2a,b)·\f(b,2a))＝eq\f(9,2)(當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(2a,b)＝eq\f(b,2a)，即b＝2a時(shí)，“＝”成立)，故y＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值為eq\f(9,2).]例2解題導(dǎo)引“1”的奇異代換在不等式證明中經(jīng)常用到，也會(huì)給解決問(wèn)題供應(yīng)簡(jiǎn)捷的方法．在不等式證明時(shí)，列出等號(hào)成立的條件不僅是解題的必要步驟，而且也是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)化是否有誤的一種方法．證明方法一由于a>0，b>0，a＋b＝1，所以1＋eq\f(1,a)＝1＋eq\f(a＋b,a)＝2＋eq\f(b,a).同理1＋eq\f(1,b)＝2＋eq\f(a,b).所以(1＋eq\f(1,a))(1＋eq\f(1,b))＝(2＋eq\f(b,a))(2＋eq\f(a,b))＝5＋2(eq\f(b,a)＋eq\f(a,b))≥5＋4＝9.所以(1＋eq\f(1,a))(1＋eq\f(1,b))≥9(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝eq\f(1,2)時(shí)等號(hào)成立)．方法二(1＋eq\f(1,a))(1＋eq\f(1,b))＝1＋eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,ab)＝1＋eq\f(a＋b,ab)＋eq\f(1,ab)＝1＋eq\f(2,ab)，由于a，b為正數(shù)，a＋b＝1，所以ab≤(eq\f(a＋b,2))2＝eq\f(1,4)，于是eq\f(1,ab)≥4，eq\f(2,ab)≥8，因此(1＋eq\f(1,a))(1＋eq\f(1,b))≥1＋8＝9(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝eq\f(1,2)時(shí)等號(hào)成立)．變式遷移2證明∵x>0，y>0，z>0，∴eq\f(y,x)＋eq\f(z,x)≥eq\f(2\r(yz),x)>0，eq\f(x,y)＋eq\f(z,y)≥eq\f(2\r(xz),y)>0，eq\f(x,z)＋eq\f(y,z)≥eq\f(2\r(xy),z)>0.∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＋\f(z,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)＋\f(z,y)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,z)＋\f(y,z)))≥eq\f(8\r(yz)·\r(xz)·\r(xy),xyz)＝8.當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z時(shí)等號(hào)成立．所以(eq\f(y,x)＋eq\f(z,x))(eq\f(x,y)＋eq\f(z,y))(eq\f(x,z)＋eq\f(y,z))≥8.例3解題導(dǎo)引1.用基本不等式解應(yīng)用題的思維程序?yàn)椋篹q\x(\a\al(由題設(shè)寫(xiě),出函數(shù)))→eq\x(\a\al(變形,轉(zhuǎn)化))→eq\x(\a\al(利用基本,不等式))→eq\x(\a\al(求得,最值))→eq\x(結(jié)論)2．在應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要留意以下四點(diǎn)：(1)先理解題意，設(shè)變量，一般把要求最值的變量定為函數(shù)；(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問(wèn)題抽象為函數(shù)最值問(wèn)題；(3)在定義域內(nèi)求函數(shù)最值；(4)正確寫(xiě)出答案．解(1)依題意得y＝(560＋48x)＋eq\f(2160×10000,2000x)＝560＋48x＋eq\f(10800,x)(x≥10，x∈N*)．(2)∵x>0，∴48x＋eq\f(10800,x)≥2eq\r(48×10800)＝1440，當(dāng)且僅當(dāng)48x＝eq\f(10800,x)，即x＝15時(shí)取到“＝”，此時(shí)，平均綜合費(fèi)用的最小值為560＋1440＝2000(元)．答當(dāng)該樓房建筑15層時(shí)，可使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，最少值為2000元．變式遷移3解(1)由題意可設(shè)3－x＝eq\f(k,t＋1)，將t＝0，x＝1代入，得k＝2.∴x＝3－eq\f(2,t＋1).當(dāng)年生產(chǎn)x萬(wàn)件時(shí)，∵年生產(chǎn)成本＝年生產(chǎn)費(fèi)用＋固定費(fèi)用，∴年生產(chǎn)成本為32x＋3＝32eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(2,t＋1)))＋3.當(dāng)銷(xiāo)售x(萬(wàn)件)時(shí)，年銷(xiāo)售收入為150%eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(32\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(2,t＋1)))＋3))＋eq\f(1,2)t.由題意，生產(chǎn)x萬(wàn)件化妝品正好銷(xiāo)完，由年利潤(rùn)＝年銷(xiāo)售收入－年生產(chǎn)成本－促銷(xiāo)費(fèi)，得年利潤(rùn)y＝eq\f(－t2＋98t＋35,2t＋1)(t≥0)．(2)y＝eq\f(－t2＋98t＋35,2t＋1)＝50－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t＋1,2)＋\f(32,t＋1)))≤50－2eq\r(\f(t＋1,2)×\f(32,t＋1))＝50－2eq\r(16)＝42(萬(wàn)元)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(t＋1,2)＝eq\f(32,t＋1)，即t＝7時(shí)，ymax＝42，∴當(dāng)促銷(xiāo)費(fèi)投入7萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)的年利潤(rùn)最大．課后練習(xí)區(qū)1．B[由于3a·3b＝3，所以a＋beq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(b,a)＝eq\f(a,b)即a＝b＝eq\f(1,2)時(shí)，“＝”成立．]2．B[不等式(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則1＋a＋eq\f(y,x)＋eq\f(ax,y)≥a＋2eq\r(a)＋1≥9，∴eq\r(a)≥2或eq\r(a)≤－4(舍去)．∴正實(shí)數(shù)a的最小值為4.]3．C[由于eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋2eq\r(ab)≥2eq\r(\f(1,ab))＋2eq\r(ab)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(1,ab))＋\r(ab)))≥4，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1,a)＝eq\f(1,b)且eq\r(\f(1,ab))＝eq\r(ab)，即a＝b＝1時(shí)，取“＝”號(hào)．]4．B[第一列貨車(chē)到達(dá)B市的時(shí)間為eq\f(400,a)h，由于兩列貨車(chē)的間距不得小于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,20)))2km，所以第17列貨車(chē)到達(dá)時(shí)間為eq\f(400,a)＋eq\f(16·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,20)))2,a)＝eq\f(400,a)＋eq\f(16a,400)≥8，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(400,a)＝eq\f(16a,400)，即a＝100km/h時(shí)成立，所以最快需要8h．]5．A6．18解析由x>0，y>0,2x＋y＋6＝xy，得xy≥2eq\r(2xy)＋6(當(dāng)且僅當(dāng)2x＝y(tǒng)時(shí)，取“＝”)，即(eq\r(xy))2－2eq\r(2)eq\r(xy)－6≥0，∴(eq\r(xy)－3eq\r(2))·(eq\r(xy)＋eq\r(2))≥0.又∵eq\r(xy)>0，∴eq\r(xy)≥3eq\r(2)，即xy≥18.故xy的最小值為18.7．4解析過(guò)原點(diǎn)的直線與f(x)＝eq\f(2,x)交于P、Q兩點(diǎn)，則直線的斜率k>0，設(shè)直線方程為y＝kx，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx，,y＝\f(2,x)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(\f(2,k))，,y＝\r(2k)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\r(\f(2,k))，,y＝－\r(2k)，))∴P(eq\r(\f(2,k))，eq\r(2k))，Q(－eq\r(\f(2,k))，－eq\r(2k))或P(－eq\r(\f(2,k))，－eq\r(2k))，Q(eq\r(\f(2,k))，eq\r(2k))．∴|PQ|＝eq\r(\r(\f(2,k))＋\r(\f(2,k))2＋\r(2k)＋\r(2k)2)＝2eq\r(2)eq\r(k＋\f(1,k))≥4.8．(－∞，2eq\r(2)－1)解析由f(x)>0得32x－(k＋1)·3x＋2>0，解得k＋1<3x＋eq\f(2,3x)，而3x＋eq\f(2,3x)≥2eq\r(2)，∴k＋1<2eq\r(2)，k<2eq\r(2)－1.9．解(1)∵0<x<eq\f(4,3)，∴0<3x<4.∴x(4－3x)＝eq\f(1,3)(3x)(4－3x)≤eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x＋4－3x,2)))2＝eq\f(4,3)，(4分)當(dāng)且僅當(dāng)3x＝4－3x