【北京特級教師】2020-2021學年人教A版數(shù)學必修二課后練習：點線面綜合問題-二

學科：數(shù)學專題：點線面綜合問題主講老師：紀榮強北京四中數(shù)學老師在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，點M是BC的中點，點N是AA1的中點(1)求證：MN∥平面A1CD；(2)過N，C，D三點的平面把長方體ABCD－A1B1C1D1已知a、b為不垂直的異面直線，α是一個平面，則a、b在α上的射影可能是：①兩條平行直線；②兩條相互垂直的直線；③同一條直線；④一條直線及其外一點．則在上面的結(jié)論中，正確結(jié)論的編號是________(寫出全部正確結(jié)論的編號)．設(shè)a，b為兩條直線，α，β為兩個平面，下列四個命題中，正確的命題是()．A．若a，b與α所成的角相等，則a∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，則a∥bC．若a?α，b?β，a∥b，則α∥βD．若a⊥b，a⊥α，b?α，則b∥α正三棱錐A-BCD，底面邊長為a，側(cè)棱為2a，過點B作與側(cè)棱AC、AD求(1)周長的最小值；(2)周長為最小時截面積的值；(3)用這周長最小時的截面截得的小三棱錐的體積與三棱錐體積之比．若四周體各棱長是1或2，且該四周體不是正四周體，則其體積的值是．(只須寫出一個可能的值)一個多面體的直觀圖、正視圖、側(cè)視圖如圖(1)和(2)所示，其中正視圖、側(cè)視圖均為邊長為a的正方形．(1)請在圖(2)指定的位置畫出多面體的俯視圖；(2)若多面體底面對角線AC、BD交于點O，E為線段AA1的中點，求證：OE∥平面A1C(3)求該多面體的表面積． （1）（2）如圖，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2，DD1＝AB＝1，P、Q分別是CC1、C1D1的中點．求證：AC∥平面BPQ如圖，在四棱錐E—ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，BE＝BC，AE⊥BE，M為CE上一點，且BM⊥平面ACE．(1)求證：AE⊥BC；(2)假如點N為線段AB的中點，求證：MN∥平面ADE．如圖，若Ω是長方體ABCD－A1B1C1D1被平面EFGH截去幾何體EFGHB1C1后得到的幾何體，其中E為線段A1B1上異于B1的點，F(xiàn)為線段BB1上異于B1的點，且EH∥A1DA．EH∥FGB．四邊形EFGH是矩形C．Ω是棱柱 D．Ω是棱臺

課后練習詳解答案：見詳解．詳解:(1)設(shè)點P為AD的中點，連結(jié)MP、NP，∵點M是BC的中點，∴MP∥CD．∵CD?平面A1CD，MP?平面A1CD，∴MP∥平面A1CD．∵點N是AA1的中點，∴NP∥A1D．∵A1D?平面A1CD，NP?平面A1CD，∴NP∥平面A1CD．∵MP∩NP＝P，MP?平面MNP，NP?平面MNP，∴平面MNP∥平面A1CD．∵MN?平面MNP，∴MN∥平面A1CD．(2)取BB1的中點Q，連結(jié)NQ、CQ、ND，∵點N是AA1的中點，∴NQ∥AB．∵AB∥CD，∴NQ∥CD，∴過N、C、D三點的平面NQCD把長方體ABCD－A1B1C1D1截成兩部分幾何體，其中一部分幾何體為直棱柱QBC－NAD，另一部分幾何體為直四棱柱B1QCC1－A1NDD1∴S△QBC＝eq\f(1,2)·QB·BC＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，∴直三棱柱QBC－NAD的體積V1＝S△QBC·AB＝eq\f(1,2)．∵長方體ABCD－A1B1C1D1的體積V＝1×1×2＝2∴直四棱柱B1QCC1－A1NDD1的體積V2＝V－V1＝eq\f(3,2)，∴eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(1,2),\f(3,2))＝eq\f(1,3)，∴所截成的兩部分幾何體的體積的比值為eq\f(1,3)．答案：①②④．詳解:①、②、④對應(yīng)的狀況如下：用反證法證明③不行能．答案：D．詳解:對于選項A，要留意直線a，b的方向相同時才平行；對于選項B，可用長方體驗證．如圖，設(shè)A1B1為a，平面AC為α，BC為b，平面A1C1為β，明顯有a∥α，b∥β，α∥β，但得不到a∥b；對于選項C，可設(shè)A1B1為a，平面AB1為α，CD為b，平面AC為β，滿足選項C的條件卻得不到α∥β，故C不正確；對于選項D答案：（1）a；（2）a2；（3）．詳解:(1)沿側(cè)棱AB把正三棱錐的側(cè)面剪開展成平面圖．如圖，當周長最小時，EF在直線BB′上，∵ΔABE≌ΔB′AF，∴AE＝AF，AC＝AD，∴B′B∥CD，∴∠1＝∠2＝∠3，∴BE＝BC＝a，同理B′F＝B′D＝a．∵ΔFDB′∽ΔADB′，∴＝，＝＝,∴DF＝a,AF＝a．又∵ΔAEF∽ΔACD，∴BB′＝a+a+a＝a,∴截面三角形的周長的最小值為a．(2)如圖，∵ΔBEF等腰，取EF中點G，連BG，則BG⊥EF．∴BG＝＝＝a∴SΔBEF＝·EF·BG＝·a·a＝a2．(3)∵VA-BCD＝VB-ACD，而三棱錐B—AEF，三棱錐B—ACD的兩個高相同，所以它們體積之比于它們的兩底面積之比，即＝＝＝答案：或．詳解：該題的顯著特點是結(jié)論發(fā)散而不惟一．本題表面上是考查錐體求體積公式這個學問點，實際上主要考查由所給條件構(gòu)造一個四周體的力量，首先得考慮每個面的三條棱是如何構(gòu)成的．排解｛1，1，2｝，可得｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝，然后由這三類面在空間構(gòu)造滿足條件的一個四周體，再求其體積．由平常所見的題目，至少可構(gòu)造出二類滿足條件的四周體，五條邊為2，另一邊為1，對棱相等的四周體．對于五條邊為2，另一邊為1的四周體，參看下圖所示，設(shè)AD=1，取AD的中點為M，平面BCM把三棱錐分成兩個三棱錐，由對稱性可知AD⊥面BCM，且VA—BCM=VD—BCM，所以VABCD=SΔBCM·AD．CM===．設(shè)N是BC的中點，則MN⊥BC，MN===，從而SΔBCM=×2×=，故VABCD=××1=．對于對棱相等的四周體，可參見圖2．其體積的計算可先將其置于一個長方體之中，再用長方體的體積減去四個小三棱錐的體積來進行．亦可套公式V=·，不妨令a=b=2，c=1，則V=·=·=．答案：(3)5a2詳解:(1)(2)如圖，連結(jié)AC、BD，交于O點．∵E為AA1的中點，O為AC的中點．∴在△AA1C中，OE為△AA1C的中位線，∴OE∥A∵OE?平面A1C1C，A1C?平面A1C1C，(3)多面體表面共包括10個面，SABCD＝a2，S＝eq\f(a2,2)，＝＝＝＝eq\f(a2,2)，＝＝＝＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2)a,2)×eq\f(3\r(2)a,4)＝eq\f(3a2,8)，所以該多面體的表面積S＝a2＋eq\f(a2,2)＋4×eq\f(a2,2)＋4×eq\f(3a2,8)＝5a2．答案：見詳解．詳解：連接CD1、AD1，∵P、Q分別是CC1、C1D1的中點，∴PQ∥CD1，又CD1?平面BPQ，PQ?平面BPQ，∴CD1∥平面BPQ．又D1Q＝AB＝1，D1Q∥DC∥AB，∴四邊形ABQD1是平行四邊形，∴AD1∥BQ，又∵AD1?平面BPQ，BQ?平面BPQ，∴AD1∥平面BPQ．又AD1∩CD1＝D1，∴平面ACD1∥平面BPQ．∵AC?平面ACD1，∴AC∥平面BPQ．證明：(1)由于BM⊥平面ACE，AE?平面ACE，所以BM⊥AE．由于AE⊥BE，且BE∩BM＝B，BE、BM?平面EBC，所以AE⊥平面EBC．由于BC?平面EBC，所以AE⊥BC．(2)法1：取DE中點H，連接MH、AH．由于BM⊥平面ACE，EC?平面ACE，所以BM⊥EC．由于BE＝BC，所以M為CE的中點．所以MH為△EDC的中位線，所以MH平行且等于eq\f(1,2)DC．由于四邊形ABCD為平行四邊形，所以DC平行且等于AB．故MH平行且等于AB．由于N為AB的中點，所以MH平行且等于AN．所以四邊形ANMH為平行四邊形，所以MN∥AH．由于MN?平面ADE，AH?平面ADE，所以MN∥平面ADE．法2：取EB的中點F，連接MF、NF．由于BM⊥平面ACE，EC?平面ACE，所以BM⊥EC．由于BE＝BC，所以M為CE的中點，所以MF∥BC．由于N為AB的中點，所以NF∥AE，由于四邊形ABCD為平行四邊形，所以AD∥BC．所以MF∥AD．由于NF、MF?平面ADE，AD、AE?平面ADE，所以NF∥平面ADE，MF∥平面ADE．由于MF∩NF＝F，MF、NF?平面MNF，所以平面MNF∥平面ADE．由于MN?平面MNF，所