【優(yōu)化方案】2021屆高中數(shù)學(xué)人教版高考復(fù)習(xí)知能演練輕松闖關(guān)-第九章第5課時(shí)

[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．高三(4)班有4個(gè)學(xué)習(xí)小組，從中抽取2個(gè)小組進(jìn)行作業(yè)檢查．在這個(gè)試驗(yàn)中，基本大事的個(gè)數(shù)為()A．2 B．4C．6 D．8解析：選C．設(shè)這4個(gè)學(xué)習(xí)小組為A、B、C、D，“從中任抽取兩個(gè)小組”的基本大事有AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6個(gè)．2．已知某車(chē)間在三天內(nèi)，每天生產(chǎn)10件某產(chǎn)品，其中第一天，其次天分別生產(chǎn)出了1件，n件次品，而質(zhì)檢部每天要從生產(chǎn)的10件產(chǎn)品中任憑抽取4件進(jìn)行檢查，若發(fā)覺(jué)有次品，則當(dāng)天的產(chǎn)品不能通過(guò)．則第一天通過(guò)檢查的概率為()A．eq\f(2,5) B．eq\f(3,5)C．eq\f(2,3) D．eq\f(6,7)解析：選B．由于任憑抽取4件產(chǎn)品檢查是隨機(jī)大事，而第一天有1件次品，所以第一天通過(guò)檢查的概率P＝eq\f(Ceq\o\al(4,9),Ceq\o\al(4,10))＝eq\f(3,5).3．(2022·湖北武漢市調(diào)研測(cè)試)已知等比數(shù)列{an}滿足：a1＝2，an＋1＝－2an(n∈N*)．若從數(shù)列{an}的前10項(xiàng)中隨機(jī)抽取一項(xiàng)，則該項(xiàng)不小于8的概率是()A．eq\f(3,10) B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(7,10)解析：選B．依題意可知an＝2·(－2)n－1，由計(jì)算可知，前10項(xiàng)中，不小于8的只有8，32，128，512，4個(gè)數(shù)，故所求概率是eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).4．(2021·高考課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)從1，2，3，4中任取2個(gè)不同的數(shù)，則取出的2個(gè)數(shù)之差的確定值為2的概率是()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,6)解析：選B．從1，2，3，4中任取2個(gè)不同的數(shù)，有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，共12種情形，而滿足條件“2個(gè)數(shù)之差的確定值為2”的只有(1，3)，(2，4)，(3，1)，(4，2)，共4種情形，所以取出的2個(gè)數(shù)之差的確定值為2的概率為eq\f(4,12)＝eq\f(1,3).5．(2022·北京西城區(qū)質(zhì)檢)將正整數(shù)1，2，3，4，5，6，7隨機(jī)分成兩組，使得每組至少有一個(gè)數(shù)，則兩組中各數(shù)之和相等的概率是()A．eq\f(2,21) B．eq\f(4,63)C．eq\f(1,21) D．eq\f(2,63)解析：選B．將正整數(shù)1，2，3，4，5，6，7隨機(jī)分成兩組，使得每組至少有一個(gè)數(shù)，則有Ceq\o\al(1,7)＋Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(5,7)＋Ceq\o\al(6,7)＝27－2＝126(種)．由于1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，所以要使兩組中各數(shù)之和相等，則有各組數(shù)之和為14.則有7＋6＋1＝5＋4＋3＋2；7＋5＋2＝6＋4＋3＋1；7＋4＋3＝6＋5＋2＋1；7＋4＋2＋1＝6＋5＋3；5＋4＋3＋2＝7＋6＋1；6＋4＋3＋1＝7＋5＋2；6＋5＋2＋1＝7＋4＋3；6＋5＋3＝7＋4＋2＋1共8種，所以兩組中各數(shù)之和相等的概率是eq\f(8,126)＝eq\f(4,63).6．(2021·高考重慶卷)若甲、乙、丙三人隨機(jī)地站成一排，則甲、乙兩人相鄰而站的概率為_(kāi)_______．解析：甲、乙、丙三人隨機(jī)地站成一排有(甲乙丙)、(甲丙乙)、(乙甲丙)、(乙丙甲)、(丙甲乙)、(丙乙甲)共6種排法，甲、乙相鄰而站有(甲乙丙)、(乙甲丙)、(丙甲乙)、(丙乙甲)共4種排法，由概率計(jì)算公式得甲、乙兩人相鄰而站的概率為eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)7．(2021·高考課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)從n個(gè)正整數(shù)1，2，…，n中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，若取出的兩數(shù)之和等于5的概率為eq\f(1,14)，則n＝________.解析：由題意知n>4，取出的兩數(shù)之和等于5的有兩種狀況：1，4和2，3，所以P＝eq\f(2,Ceq\o\al(2,n))＝eq\f(1,14)，即n2－n－56＝0，解得n＝－7(舍去)或n＝8.答案：88．(2022·浙江省名校聯(lián)盟)一個(gè)袋子中裝有六個(gè)大小外形完全相同的小球，其中一個(gè)編號(hào)為1，兩個(gè)編號(hào)為2，三個(gè)編號(hào)為3.現(xiàn)從中任取一球，登記編號(hào)后放回，再任取一球，則兩次取出的球的編號(hào)之和等于4的概率是________．解析：列舉可知，共有36種狀況，和為4的狀況有10種，所以所求概率P＝eq\f(10,36)＝eq\f(5,18).答案：eq\f(5,18)9．(2022·河南洛陽(yáng)質(zhì)檢)袋子中放有大小和外形相同的小球若干個(gè)，其中標(biāo)號(hào)為0的小球1個(gè)，標(biāo)號(hào)為1的小球1個(gè)，標(biāo)號(hào)為2的小球n個(gè)．已知從袋子中隨機(jī)抽取1個(gè)小球，取到標(biāo)號(hào)是2的小球的概率是eq\f(1,2).(1)求n的值；(2)從袋子中不放回地隨機(jī)抽取2個(gè)小球，記第一次取出的小球標(biāo)號(hào)為a，其次次取出的小球標(biāo)號(hào)為B．記大事A表示“a＋b＝2”，求大事A的概率．解：(1)由題意可知：eq\f(n,1＋1＋n)＝eq\f(1,2)，解得n＝2.(2)不放回地隨機(jī)抽取2個(gè)小球的全部基本大事為：(0，1)，(0，21)，(0，22)，(1，0)，(1，21)，(1，22)，(21，0)，(21，1)，(21，22)，(22，0)，(22，1)，(22，21)，共12個(gè)，大事A包含的基本大事為：(0，21)，(0，22)，(21，0)，(22，0)，共4個(gè)．∴P(A)＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3).10．(2022·高考山東卷)袋中有五張卡片，其中紅色卡片三張，標(biāo)號(hào)分別為1，2，3；藍(lán)色卡片兩張，標(biāo)號(hào)分別為1，2.(1)從以上五張卡片中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于4的概率；(2)向袋中再放入一張標(biāo)號(hào)為0的綠色卡片，從這六張卡片中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于4的概率．解：(1)標(biāo)號(hào)為1，2，3的三張紅色卡片分別記為A，B，C，標(biāo)號(hào)為1，2的兩張藍(lán)色卡片分別記為D，E，從五張卡片中任取兩張的全部可能的結(jié)果為(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10種．由于每一張卡片被取到的機(jī)會(huì)均等，因此這些基本大事的毀滅是等可能的．從五張卡片中任取兩張，這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號(hào)之和小于4的結(jié)果為(A，D)，(A，E)，(B，D)，共3種．所以這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號(hào)之和小于4的概率為eq\f(3,10).(2)記F是標(biāo)號(hào)為0的綠色卡片，從六張卡片中任取兩張的全部可能的結(jié)果為(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共15種．由于每一張卡片被取到的機(jī)會(huì)均等，因此這些基本大事的毀滅是等可能的．從六張卡片中任取兩張，這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號(hào)之和小于4的結(jié)果為(A，D)，(A，E)，(B，D)，(A，F(xiàn))，(B，F(xiàn))，(C，F(xiàn))，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共8種．所以這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號(hào)之和小于4的概率為eq\f(8,15).[力氣提升]1．(2021·高考安徽卷)若某公司從五位高校畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人，這五人被錄用的機(jī)會(huì)均等，則甲或乙被錄用的概率為()A．eq\f(2,3) B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(9,10)解析：選D．由題意，從五位高校畢業(yè)生中錄用三人，全部不同的可能結(jié)果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10種，其中“甲與乙均未被錄用”的全部不同的可能結(jié)果只有(丙、丁、戊)這1種，故其對(duì)立大事“甲或乙被錄用”的可能結(jié)果有9種，所求概率P＝eq\f(9,10).2．設(shè)a∈{1，2，3，4}，b∈{2，4，8，12}，則函數(shù)f(x)＝x3＋ax－b在區(qū)間[1，2]上有零點(diǎn)的概率為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(5,8)C．eq\f(11,16) D．eq\f(3,4)解析：選C．由于f(x)＝x3＋ax－b，所以f′(x)＝3x2＋A．由于a∈{1，2，3，4}，因此f′(x)>0，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上為增函數(shù)．若存在零點(diǎn)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（1）≤0，,f（2）≥0，))解得a＋1≤b≤8＋2A．因此可使函數(shù)在區(qū)間[1，2]上有零點(diǎn)的有a＝1，2≤b≤10，故b＝2，b＝4，b＝8；a＝2，3≤b≤12，故b＝4，b＝8，b＝12；a＝3，4≤b≤14，故b＝4，b＝8，b＝12；a＝4；5≤b≤16，故b＝8，b＝12.依據(jù)古典概型可得有零點(diǎn)的概率為eq\f(11,16).3．(2022·高考重慶卷)某藝校在一天的6節(jié)課中隨機(jī)支配語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門(mén)文化課和其他三門(mén)藝術(shù)課各1節(jié)，則在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間至少間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為_(kāi)_______(用數(shù)字作答)．解析：法一：6節(jié)課的全排列為Aeq\o\al(6,6)種，相鄰兩節(jié)文化課之間至少間隔1節(jié)藝術(shù)課的排法是：先排三節(jié)文化課，再利用插空法排藝術(shù)課，即為(Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＋2Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3))種，由古典概型概率公式得P(A)＝eq\f(Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＋2Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3),Aeq\o\al(6,6))＝eq\f(1,5).法二：6節(jié)課的全排列為Aeq\o\al(6,6)種，先排三節(jié)藝術(shù)課有Aeq\o\al(3,3)種不同方法，同時(shí)產(chǎn)生四個(gè)空，再利用插空法排文化課共有Aeq\o\al(3,4)種不同方法，故由古典概型概率公式得P(A)＝eq\f(Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,4),Aeq\o\al(6,6))＝eq\f(1,5).答案：eq\f(1,5)4.如圖，在平行四邊形ABCD中，O是AC與BD的交點(diǎn)，P，Q，M，N分別是線段OA，OB，OC，OD的中點(diǎn)．在A，P，M，C中任取一點(diǎn)記為E，在B，Q，N，D中任取一點(diǎn)記為F.設(shè)G為滿足向量eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OF,\s\up6(→))的點(diǎn)，則在上述的點(diǎn)G組成的集合中的點(diǎn)，落在平行四邊形ABCD外(不含邊界)的概率為_(kāi)_______．解析：基本大事的總數(shù)是4×4＝16，在eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OF,\s\up6(→))中，當(dāng)eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→))，eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))，eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))，eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→))時(shí)，點(diǎn)G分別為該平行四邊形的各邊的中點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)G在平行四邊形的邊界上，而其余狀況的點(diǎn)G都在平行四邊形外，故所求的概率是1－eq\f(4,16)＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)5．(2022·高考江西卷)如圖，從A1(1，0，0)，A2(2，0，0)，B1(0，1，0)，B2(0，2，0)，C1(0，0，1)，C2(0，0，2)這6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)．(1)求這3點(diǎn)與原點(diǎn)O恰好是正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)的概率；(2)求這3點(diǎn)與原點(diǎn)O共面的概率．解：從這6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)的全部可能結(jié)果是：x軸上取2個(gè)點(diǎn)的有A1A2B1，A1A2B2，A1A2C1，A1A2C2，共4種；y軸上取2個(gè)點(diǎn)的有B1B2A1，B1B2A2，B1B2C1，B1B2C2，共4種；z軸上取2個(gè)點(diǎn)的有C1C2A1，C1C2A2，C1C2B1，C1C2B2，共4種．所選取的3個(gè)點(diǎn)在不同坐標(biāo)軸上有A1B1C1，A1B1C2，A1B2C1，A1B2C2，A2B1C1，A2B1C2，A2B2C1，A2B2C2，共8種．因此，從這6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)的全部可能結(jié)果共20種．(1)選取的這3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)O恰好是正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)的全部可能結(jié)果有：A1B1C1，A2B2C2，共2種，因此，這3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)O恰好是正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)的概率為P1＝eq\f(2,20)＝eq\f(1,10).(2)選取的這3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)O共面的全部可能結(jié)果有：A1A2B1，A1A2B2，A1A2C1，A1A2C2，B1B2A1，B1B2A2，B1B2C1，B1B2C2，C1C2A1，C1C2A2，C1C2B1，C1C2B2，共12種，因此，這3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)O共面的概率為P2＝eq\f(12,20)＝eq\f(3,5).6．(選做題)(2022·江西九江一模)一個(gè)口袋里有2個(gè)紅球和4個(gè)黃球，從中隨機(jī)地連取3個(gè)球，每次取一個(gè)，記大事A＝“恰有一個(gè)紅球”，大事B＝“第3個(gè)是紅球”．求：(1)不放回時(shí)，大事A，B的概率；(2)每次取后放回時(shí)