福建省南平市第五中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

/福建省南平市第五中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)P為內(nèi)一點(diǎn)，且，則的面積與面積之比為（

）

A.

B.

C.

D.

參考答案：C2.若且，則的最小值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D3.函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分圖象如圖所示，則下列命題中的真命題是（）①將函數(shù)f（x）的圖象向左平移個(gè)單位，則所得函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②將函數(shù)f（x）的圖象向左平移個(gè)單位，則所得函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；③當(dāng)x∈[，π]時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為；④當(dāng)x∈[，π]時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為．A．①③ B．①④ C．②④ D．②③參考答案：C【考點(diǎn)】HJ：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】根據(jù)已知函數(shù)的圖象，可分析出函數(shù)的最值，確定A的值，分析出函數(shù)的周期，確定ω的值，將（，0）代入解析式，可求出φ值，進(jìn)而求出函數(shù)的解析式．利用三角函數(shù)圖象變換及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐一分析各個(gè)選項(xiàng)即可得解．【解答】解：由函數(shù)圖象可得：A=，周期T=﹣（﹣），可得：T=，可得：ω=2，由點(diǎn)（，）在函數(shù)的圖象上，可得：sin（2×+φ）=，解得：φ=2kπ﹣，k∈Z，由于|φ|＜，當(dāng)k=0時(shí)，可得φ=﹣，從而得解析式可為：f（x）=sin（2x﹣），對(duì)于①，將函數(shù)f（x）的圖象向左平移個(gè)單位，可得：f（x+）=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+），將（0，0）代入不成立，故錯(cuò)誤；對(duì)于②，將函數(shù)f（x）的圖象向左平移個(gè)單位，可得：f（x+）=sin[2（x+）﹣]=sin2x，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知正確；當(dāng)x∈[，π]時(shí)，可得：2x﹣∈[，]，故函數(shù)f（x）的最大值為f（x）max=sin=，故C錯(cuò)誤，D正確．故選：C．4.下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）（A）（B）（C）（D）參考答案：B略5.設(shè)a1=2，數(shù)列{1+an}是以3為公比的等比數(shù)列，則a4=（）A．80 B．81 C．54 D．53參考答案：A【考點(diǎn)】8G：等比數(shù)列的性質(zhì)；8H：數(shù)列遞推式．【分析】先利用數(shù)列{1+an}是以3為公比的等比數(shù)列以及a1=2，求出數(shù)列{1+an}的通項(xiàng)，再把n=4代入即可求出結(jié)論．【解答】解：因?yàn)閿?shù)列{1+an}是以3為公比的等比數(shù)列，且a1=2所以其首項(xiàng)為1+a1=3．其通項(xiàng)為：1+an=（1+a1）×3n﹣1=3n．當(dāng)n=4時(shí)，1+a4=34=81．∴a4=80．故選A．6.已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：﹣=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1=，則E的離心率為（）A． B． C． D．2參考答案：A【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】設(shè)|MF1|=x，則|MF2|=2a+x，利用勾股定理，求出x=，利用sin∠MF2F1=，求得x=a，可得=a，求出a=b，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)|MF1|=x，則|MF2|=2a+x，∵M(jìn)F1與x軸垂直，∴（2a+x）2=x2+4c2，∴x=∵sin∠MF2F1=，∴3x=2a+x，∴x=a，∴=a，∴a=b，∴c=a，∴e==．故選：A．7.若在區(qū)間[0，e]內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則代表數(shù)x的點(diǎn)到區(qū)間兩端點(diǎn)距離均大于的概率為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】幾何概型．【分析】根據(jù)幾何概型計(jì)算公式，用區(qū)間[e，e]的長(zhǎng)度除以區(qū)間[0，e]的長(zhǎng)度，即可得到本題的概率．【解答】解：解：∵區(qū)間[0，e]的長(zhǎng)度為e﹣0=e，x的點(diǎn)到區(qū)間兩端點(diǎn)距離均大于，長(zhǎng)度為，∴在區(qū)間[0，e]內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則代表數(shù)x的點(diǎn)到區(qū)間兩端點(diǎn)距離均大于的概率為P=故選：C8.(5)已知雙曲線的兩條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線分別交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).若雙曲線的離心率為2,△AOB的面積為,則p= (A)1 (B) (C)2 (D)3參考答案：C9.已知，，為三條不同的直線，，為兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（

）A.⊥，⊥，且，則⊥B．若平面內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等，則C．若，，則D．若，，則參考答案：D10.已知三棱錐P﹣ABC，在底面△ABC中，∠A=60°，BC=，PA⊥面ABC，PA=2，則此三棱錐的外接球的表面積為（）A．π B．4π C．π D．16π參考答案：D【考點(diǎn)】LG：球的體積和表面積．【分析】根據(jù)正弦定理得出截面圓的半徑為1，利用球的幾何性質(zhì)把空間轉(zhuǎn)化為平面為梯形PANO，利用平圖形的幾何性質(zhì)求解．【解答】解：根據(jù)題意得出圖形如下；O為球心，N為底面△ABC截面圓的圓心，ON⊥面ABC∵，在底面△ABC中，∠A=60°，BC=，∴根據(jù)正弦定理得出：=2r，即r=1，∵PA⊥面ABC，∴PA∥ON，∵PA=2，AN=1，ON=d，∴OA=OP=R，∴根據(jù)等腰三角形得出：PAO中PA=2d=2，d=∵R2=12+（）=4，∴三棱錐的外接球的表面積為4πR2=16π故選：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)的圖像與直線有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，那么=_____________.參考答案：略12.已知直線l1與直線垂直，且與圓相切，則直線l1的一般方程為

．參考答案：或13.如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)D在BC邊上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，則BD的長(zhǎng)為．參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理．【分析】由∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAC=90°，得到∠BAC=∠BAD+90°，代入并利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)sin∠BAC，求出cos∠BAD的值，在三角形ABD中，由AB，AD及cos∠BAD的值，利用余弦定理即可求出BD的長(zhǎng)．【解答】解：∵AD⊥AC，∴∠DAC=90°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+90°，∴sin∠BAC=sin（∠BAD+90°）=cos∠BAD=，在△ABD中，AB=3，AD=3，根據(jù)余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB?AD?cos∠BAD=18+9﹣24=3，則BD=．故答案為：14.已知雙曲線的離心率為，則實(shí)數(shù)m的值為

．參考答案：2【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】判斷雙曲線的m＞0，求出a，b，c，由離心率公式e=，建立方程，解方程可得m的值．【解答】解：雙曲線（m＞0），的a=，b=2，c==，由題意可得e===，解得m=2．故答案為：2．15.已知函數(shù)在時(shí)取得最小值,則__________.

參考答案：3616.（幾何證明選講選做題）如圖2，⊙的兩條割線與⊙交于、、、，圓心在上，若，，，則

．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】與圓有關(guān)的比例線段．N116

解析：設(shè)圓半徑為r，∵⊙O的兩條割線與⊙O交于A、B、C、D，圓心O在PAB上，∴PC?PD=PA?PB，∵PC=6，CD=7，PO=12，∴6（6+）=（12﹣r）（12+r），解得r=8，∴AB=2r=16．故答案為：16．【思路點(diǎn)撥】由切割線定理得PC?PD=PA?PB，設(shè)圓半徑為r，則6（6+）=（12﹣r）（12+r），由此能求出AB的長(zhǎng)．17.已知球是棱長(zhǎng)為12的正四面體的外接球，分別是棱的中點(diǎn)，則平面截球所得截面的面積是

。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.某公司計(jì)劃投資A、B兩種金融產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，A產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資量成正比例，其關(guān)系如圖(1)，B產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資量的算術(shù)平方根成正比例，其關(guān)系如圖(2)(注：利潤(rùn)與投資量的單位均為萬(wàn)元)．(1)分別將A、B兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資量的函數(shù)關(guān)系式；(2)該公司有10萬(wàn)元資金，并全部投入A、B兩種產(chǎn)品中，問(wèn)：怎樣分配這10萬(wàn)元資金，才能使公司獲得最大利潤(rùn)？其最大利潤(rùn)為多少萬(wàn)元？

參考答案：解：(1)設(shè)投資x萬(wàn)元，A產(chǎn)品的利潤(rùn)為f(x)萬(wàn)元，B產(chǎn)品的利潤(rùn)為g(x)萬(wàn)元．依題意可設(shè)f(x)＝k1x，g(x)＝k2，由圖(1)，得f(1)＝0.2，即k1＝0.2＝.由圖(2)，得g(4)＝1.6，即k2×＝1.6.∴k2＝，故f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．(2)設(shè)B產(chǎn)品投入x萬(wàn)元，則A產(chǎn)品投入10－x萬(wàn)元，設(shè)公司利潤(rùn)為y萬(wàn)元，由(1)得y＝f(10－x)＋g(x)＝－x＋＋2(0≤x≤10)．∵y＝－x＋＋2＝－(－2)2＋，0≤≤，∴當(dāng)＝2，即x＝4時(shí)，ymax＝＝2.8，因此當(dāng)A產(chǎn)品投入6萬(wàn)元，B產(chǎn)品投入4萬(wàn)元時(shí)，該公司獲得最大利潤(rùn)，為2.8萬(wàn)元．

19.（本小題滿分12分，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分）如圖，直三棱柱中，,.（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）求二面角的大小.參考答案：解：（1），..…3分設(shè)點(diǎn)到平面距離為，由.點(diǎn)到平面距離為.

……6分（2）設(shè)的中點(diǎn)為，連結(jié)..是二面角的平面角.………8分二面角的大小為.………………12分

略20.質(zhì)檢部門從某超市銷售的甲、乙兩種食用油中分劃隨機(jī)抽取100桶檢測(cè)某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)，由檢測(cè)結(jié)果得到如圖的頻率分布直方圖：（I）寫出頻率分布直方圖（甲）中a的值；記甲、乙兩種食用油100桶樣本的質(zhì)量指標(biāo)的方差分別為s12，s22，試比較s12，s22的大?。ㄖ灰髮懗龃鸢福唬á颍┕烙?jì)在甲、乙兩種食用油中隨機(jī)抽取1捅，恰有一個(gè)桶的質(zhì)量指標(biāo)大于20，且另一個(gè)不大于20的概率；（Ⅲ）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，乙種食用油的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N（μ，δ2）．其中μ近似為樣本平均數(shù)，δ2近似為樣本方差s22，設(shè)X表示從乙種食用油中隨機(jī)抽取lO桶，其質(zhì)量指標(biāo)值位于（14.55，38.45）的桶數(shù)，求X的散學(xué)期望．注：①同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)問(wèn)的中點(diǎn)值作代表，計(jì)算得s2=≈11.95；②若Z﹣N（μ，δ2），則P（μ﹣δ＜Z＜μ+δ）=0.6826，P（μ﹣2δ＜Z＜μ+2δ）=0.9544．參考答案：【考點(diǎn)】極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差；頻率分布直方圖．【分析】（Ⅰ）按照題目要求想結(jié)果即可．（Ⅱ）設(shè)事件A，事件B，事件C，求出P（A），P（B），P（C）即可；（Ⅲ）求出從乙種食用油中隨機(jī)抽取lO桶，其質(zhì)量指標(biāo)值位于（14.55，38.45）的概率是0.6826，得到X～B（10，0.6826），求出EX即可．【解答】解：（Ⅰ）a=0.015，s12＞s22；（Ⅱ）設(shè)事件A：在甲種食用油中隨機(jī)抽取1捅，其質(zhì)量指標(biāo)不大于20，事件B：在乙種食用油中隨機(jī)抽取1捅，其質(zhì)量指標(biāo)不大于20，事件C：在甲、乙兩種食用油中隨機(jī)抽取1捅，恰有一個(gè)桶的質(zhì)量指標(biāo)大于20，且另一個(gè)不大于20，則P（A）=0.20+0.10=0.3，P（B）=0.10+0.20=0.3，∴P（C）=P（）P（B）+P（A）P（）=0.42；（Ⅲ）計(jì)算得：=26.5，由條件得Z～N（26.5，142.75），從而P（26.5﹣11.95＜Z＜26.5+11.95）=0.6826，∴從乙種食用油中隨機(jī)抽取lO桶，其質(zhì)量指標(biāo)值位于（14.55，38.45）的概率是0.6826，依題意得X～B（10，0.6826），∴EX=10×0.6826=6.826．21.（本小題滿分14分）已知函數(shù)是奇函數(shù)，是偶函數(shù)。（1）求的值；（2）設(shè)若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。參考答案：解：（1）由于為奇函數(shù)，且定義域?yàn)镽，，即，………3分由于，，是偶函數(shù)，，得到，所以：；………………6分（2），，………………………8分又在區(qū)間上是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，……………11分由題意得到，即的取值范圍是：?！?4分22.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為？若存在，取實(shí)數(shù)a的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案：（1）見(jiàn)解析（2）.試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，列表分析導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律，確定極值（2）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)情況分類討論，根據(jù)函數(shù)取最大值情況研究實(shí)數(shù)的取值范圍：當(dāng)時(shí)，函數(shù)先增后減，最大值為；當(dāng)時(shí)，再根據(jù)兩根大小進(jìn)行討論，結(jié)合函數(shù)圖像確定滿足題意的限制條件，解出實(shí)數(shù)的取值范