【同步備課】高中數(shù)學(xué)(北師大版)必修四教案：1.4-典型例題：正弦、余弦的誘導(dǎo)公式

正弦、余弦的誘導(dǎo)公式例題講析例1．求下列三角函數(shù)的值(1)sin240o； (2)；(3)cos(-252o)； (4)sin（-）解：（1）sin240o=sin(180o+60o)＝－sin60o=(2)=cos==；(3)cos(-252o)=cos252o=cos(180o+72o)=－cos72o=－0.3090；(4)sin（-）=－sin=－sin=sin=說(shuō)明：本題是誘導(dǎo)公式二、三的直接應(yīng)用．通過(guò)本題的求解，使同學(xué)在利用公式二、三求三角函數(shù)的值方面得到基本的、初步的訓(xùn)練．本例中的（3）可使用計(jì)算器或查三角函數(shù)表．例2．求下列三角函數(shù)的值(1)sin(-119o45′)； (2)cos；(3)cos(-150o)； (4)sin.解：(1)sin(－119o45′)=－sin119o45′=－sin(180o-60o15′)=－sin60o15′=－0.8682(2)cos=cos()=cos=(3)cos(-150o)=cos150o=cos(180o-30o)=－cos30o=；(4)sin=sin()=－sin=.說(shuō)明：本題是公式四、五的直接應(yīng)用，通過(guò)本題的求解，使同學(xué)在利用公式四、五求三角函數(shù)的值方面得到基本的、初步的訓(xùn)練．本題中的（1）可使用計(jì)算器或查三角函數(shù)表．例3．求值：sin－cos－sin略解：原式=-sin-cos-sin=-sin-cos+sin=sin+cos+sin=++0.3090 =1.3090.說(shuō)明：本題考查了誘導(dǎo)公式一、二、三的應(yīng)用，弧度制與角度制的換算，是一道比例1略難的小綜合題．利用公式求解時(shí)，應(yīng)留意符號(hào)．例4．求值：sin(-1200o)·cos1290o+cos(-1020o)·sin(-1050o)+tan855o.解：原式＝－sin(120o+3·360o)cos(210o+3·360o)+cos(300o+2·360o)[-sin(330o+2·360o)]+tan(135o+2·360o)＝－sin120o·cos210o－cos300o·sin330o+tan135o＝－sin(180o－60o)·cos(180o+30o)－cos(360o－60o)·sin(360o-30o)+=sin60o·cos30o+cos60o·sin30o－tan45o=·+·-1=0說(shuō)明：本題的求解涉及了誘導(dǎo)公式一、二、三、四、五以及同角三角函數(shù)的關(guān)系．與前面各例比較，更具有綜合性．通過(guò)本題的求解訓(xùn)練，可使同學(xué)進(jìn)一步嫻熟誘導(dǎo)公式在求值中的應(yīng)用．值得指出的是教材中的誘導(dǎo)公式未介紹正切，因此，計(jì)算tan135o的值時(shí)應(yīng)先用商數(shù)關(guān)系把tan135o改寫(xiě)成,再將分子分母分別用誘導(dǎo)公式進(jìn)而求出tan135o的值．例5．化簡(jiǎn)：.略解：原式===1.說(shuō)明：化簡(jiǎn)三角函數(shù)式是誘導(dǎo)公式的又一應(yīng)用，應(yīng)當(dāng)生疏這種題型．例6．化簡(jiǎn)：解：原式====.說(shuō)明：本題可視為例5的姐妹題，相比之下，難度略大于例5．求解時(shí)應(yīng)留意從所涉及的角中分別出2的整數(shù)倍才能利用誘導(dǎo)公式一．例7．求證：證明：左邊=====，右邊==，所以，原式成立．例8．求證證明：左邊＝＝＝tan3α＝右邊，所以，原式成立．說(shuō)明：例7和例8是誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式在證明三角恒等式中的又一應(yīng)用，具有肯定的綜合性．盡管問(wèn)題是以證明的形式消滅的，但其本質(zhì)是等號(hào)左、右兩邊三角式的化簡(jiǎn)．例9．已知．求：的值．解：已知條件即，又，所以：=說(shuō)明：本題是在約束條件下三角函數(shù)式的求值問(wèn)題．由于給出了角的范圍，因此，的三角函數(shù)的符號(hào)是肯定的，求解時(shí)既要留意誘導(dǎo)公式本身所涉及的符號(hào)，又要留意依據(jù)的范圍確定三角函數(shù)的符號(hào)．例10．已知,求:的值.解：由，得，所以故==1＋tan＋2tan2=1+.說(shuō)明：本題也是有約束條件的三角函數(shù)式的求值問(wèn)題，但比例9要簡(jiǎn)單一些．它對(duì)于同學(xué)嫻熟誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用．提高運(yùn)算力量等都能起到較好的作用．例11．已知的值．解：由于，所以：=＝－m由于所以于是：=，所以：tan(=.說(shuō)明：通過(guò)觀看，獲得角與角之間的關(guān)系式=-（），為順當(dāng)利用誘導(dǎo)公式求cos()的值奠定了基礎(chǔ)，這是求解本題的關(guān)鍵，我們應(yīng)當(dāng)擅長(zhǎng)引導(dǎo)同學(xué)觀看，充分挖掘的隱含條件，努力為解決問(wèn)題查找突破口，本題求解中一個(gè)鮮亮的特點(diǎn)是誘導(dǎo)公式中角的結(jié)構(gòu)要由我們通過(guò)對(duì)已知式和欲求之式中角的觀看分析后自己構(gòu)造出來(lái)，在思維和技能上明顯都有較高的要求，給我們?nèi)碌母杏X(jué)，它對(duì)于培育同學(xué)思維力量、創(chuàng)新意識(shí)，訓(xùn)練同學(xué)素養(yǎng)有著很好的作用．例12．已知cos，角的終邊在y軸的非負(fù)半軸上，求cos的值．解：由于角的終邊在y軸的非負(fù)半軸上，所以：=，于是2（）=從而所以===說(shuō)明：本題求解中，通過(guò)對(duì)角的終邊在y軸的非負(fù)半軸上的分析而得的=，還不能馬上將未知與已知溝通起來(lái)．然而，當(dāng)