2021年江蘇省高考數(shù)學(xué)考前壓軸沖刺03 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題（解答題）（解析版）

專題03函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題

考點(diǎn)預(yù)測(cè)

考察函數(shù)的性質(zhì)有單調(diào)性，極值，最值，函數(shù)的零點(diǎn)等，而研究這些問題的切入點(diǎn)通常要研究

函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性的重要工具，近幾年常以壓軸題型出現(xiàn).常用的結(jié)論如

下：

1.函數(shù)單調(diào)性：

⑴函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)y=/（x）在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果/'（x）＞0,則為增函數(shù)；如果

則y=/（x）為減函數(shù).

⑵常數(shù)的判定方法；

如果函數(shù)y=/（x）在區(qū)間/內(nèi)恒有/（幻=0,則y=f（x）為常數(shù).

注：①人%）＞0是"X）遞增的充分條件，但不是必要條件，如y=2/在（YVH功上并不是都有小工）＞0,

有一個(gè)點(diǎn)例外即x=O時(shí)/（X）=0,同樣/（X）V。是f（X）遞減的充分非必要條件.

②一般地，如果f在某區(qū)間內(nèi)有限個(gè)點(diǎn)處為零，在其余各點(diǎn)均為正（或負(fù)），那么/（x）在該區(qū)間上仍

舊是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的.

2.極值的判別方法：（極值是在/附近所有的點(diǎn)，都有/（幻〈/（瓶），則/（兩）是函數(shù)/（%）的極大值，極

小值同理）當(dāng)函數(shù)f（x）在點(diǎn)/處連續(xù)時(shí)，

①如果在與附近的左側(cè)/（幻＞0,右側(cè)/（x）V0,那么〃與）是極大值；

②如果在.飛附近的左側(cè)/‘（幻＜0,右側(cè)f'（x）＞0,那么/（而）是極小值.

3.當(dāng)無之0時(shí)，e'2+%+12％+1＞ex＞x2+1

4.當(dāng)尤NO時(shí)，x-<ln(x+1)<x

5.當(dāng)％>0時(shí)，W;當(dāng)％=e時(shí)取等號(hào)，lnx<x2-x,當(dāng)％=1時(shí)取等號(hào).

e

典型例題：

例1.已知函數(shù)=jr+nvc-xbix(z/zeR).

(1)若函數(shù)，(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

(2)若函數(shù)尸(工)=/(x)+6在(1,6)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為小21-Ix+lnx.記g(x)=1-根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出

〃，的范圍即可；

(2)分離參數(shù)得：〃?=-%-旦+/nx,記〃(x)=-x-—+//u,(.r€[l,6]),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性

XX

求出，〃的范圍即可.

【解答】解：(1)函數(shù)/(X)的定義域是(0,+8),

fr(x)=2x+m~1-Inx,

由f(x)20可得小21-2x+//tt,

記g(x)=1-2JI+//LV?

則g'(尤)=?2+2=上至，

XX

顯然，當(dāng)XW(0,時(shí)，g'(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，

f

當(dāng)XW(我，+8)時(shí)，gQ)<0,gG)單調(diào)遞減，

故g(JC)Wg(―)=1-2X—+///--=-M2,

故m2■齒2,記實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是[-"2,+8)；

(2)由方程尸(x)=0得：F+MX-X阮i+6=0,

Vx>0?；?方程可化為x+m-lnx+—=0,

分離參數(shù)得：，〃=-X-@+/〃力

X

記力(x)=-x-(xG[l,6]),

x

則/(e=-(x+2)(x-3),

X乙

令〃'(X)>0,解得：XV3,令(X)<0,解得：x>3,

故〃(x)在(1,3)遞增，在(3,6)遞減，

故力(x)mux—h(3)=-5+Z〃3,而〃(1)=-7,h(6)=-7+加6,

顯然-7<-7+仇6,

故要使函數(shù)尸(4)=f(x)+6在(1,6)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，

則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-7+加6,-5+/〃3).

【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

例2.已知f(%)=ln(x+1)-a(x+2)(d€R).

(I)若y=f(x)在x=0處的切線恰好與曲線丁=射相切，求f(%)的極值；

O

(II)若對(duì)VxG(-1,1],不等式/(x)V0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【分析】(I)先確定函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)，得到y(tǒng)=/(x)在x=0處的切線方程，聯(lián)立拋物線的方程，

由判別式為0,可得a得到和導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而得到f(x)的單調(diào)性，可得極值；

(II)由/(%)<0,結(jié)合x+2>0,運(yùn)用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性、最值，即

可得到所求范圍.

【解答】解：(I)由題意可得=/〃G+l)-a(x+2)的定義域?yàn)?-1,+8),

f(x)=—^7?小則，(0)=1-a,/(0)=-2a,

x+1

所以y=f(x)在x=0處的場(chǎng)線的方程為y=(1-a)x-2a,

y=(l-a)x-2a

2

Ftl-a2消去y，可得小-(1-A)x+2a=0,

F8

由題意可得a#0,且4=(?-1)2-a2=0,解得a=￡,

所以f(x)=ln(x+1)-(x+2),

乙

所以/（X）=-^T->

x+122（x+l）

令，（x）=0,可得x=l,

當(dāng)?1VxV1時(shí)，，（x）>0,/（x）在（-1,1）遞增;

當(dāng)￡>1時(shí)，/（%）<0,/（x）在（1,+8）遞減，

所以/（X）在x=l處取得極大值，

即/（工）的極大值為/（I）=ln2-沒有極小值：

乙

(II)對(duì)VxW(-1,1],不等式f(x)V0恒成立,

即為/〃(x+1)<a(x+2)在VxG(-1,1]恒成立,

在?。?1,1］恒成立,

可得ln（x?）

x+2

ln(x+l)詈-1）

設(shè)g(x)

x+2(x+2)2

x+2

設(shè)函數(shù)〃(x)=三■告-/〃("1),XE(-1,1],

x+1

]__x+2J。

則力'(%)=22

(x+1)x+1(x+l)'

即函數(shù)〃（%）在（-1,I］上遞減，

故〃（x）2人（1）-M2>0,

所以g'（x）>0在（-1,1］上恒成立，

故g（X）在（-1,1］上遞增，

ln2

所以g（%）在（7,1］上的最大值為g（1）

3

故只需a>煤，/(x)VO恒成立，

所以a的取值范圍是(煤，+8).

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專項(xiàng)突破

1.設(shè)f(x)=xex-ax1-2ax.

(I)若y=f(x)的圖象在I=-1處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求〃的值；

(II)若/(%)存在極大值，且極大值小于0,求a的取值范圍.

【分析】(I)先求導(dǎo)，求出x=-1時(shí)的導(dǎo)數(shù)值，既是在工=-1處的切線的斜率，再求x=-1的縱坐標(biāo),

又過原點(diǎn)，由兩點(diǎn)求出斜率，使它們相等，求出。的值；

(II)求導(dǎo)，分。的不同情況求出函數(shù)的極大值，使極大值小于零，求出。的范圍.

【解答】解：(I)/(%)-2ax-2a=(x+1)(/-2a),/(-1)=0,/(-1)=-La,

e

1

~+a-I

所以由題意得：0=-^，???a=2；

-1e

(II)由(I)得，當(dāng)2aW0時(shí)，即aWO時(shí)，爐-2a20,

：.x<-I,/(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

x>-L/(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

所以f(x)有極小值，無極大值；

a>0>f(x)=0,x=-1或勿，

當(dāng)ln2a>-I時(shí)，即???x€(-?>,-1)和(加2a,+~),/(x)>0,/(x)單調(diào)遞

2e

增，

當(dāng)?1VXV/〃2a時(shí)，f(x)<0,/(x)單調(diào)遞減,

所以7?(-1)為極大值，且/(-1)=-』+〃，由題意得：f(-1)<0,??.?:<a<』；

e2ee

當(dāng)ln2a<-1時(shí)，即0〈a<《，：,xE(-8,加2a)和(?1,+8),/(外>o,f(%)單

2e

調(diào)遞增，

xEUn2a,-1),/(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

所以/(Irila)是極大值，且『(Inla)=2aln2a-aln22a-2aln2a=-〃/〃匕〃VO恒成立；

當(dāng)/〃2。=-1時(shí)，即/(x)=(x+l)220恒成立，/(x)單調(diào)遞增，無極值，舍去；

2e

綜上所述：符合條件的〃的取值范圍：(0,金)U(4,2).

2e2ee

【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

2.已知函數(shù)/(x)=aelx+(1-2a)ex-x.

(1)當(dāng)aVO時(shí)，討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若/(X)有兩個(gè)不同零點(diǎn)汨，X2>證明：4>1且31+工2<0.

【分析】(1)對(duì)/(%)求導(dǎo)，根據(jù)。對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行討論；

(2)根據(jù)(1)的/(x)在d<o的單調(diào)性，根據(jù)題意得令F(X)=/(X)?/(7),

(x>0),利用極值點(diǎn)偏移的方法證明即可.

【解答】解：(1)/(x)=2^^+(1-2。)8?1=(ev-1)(2a，+l),

因?yàn)椤╒0,由/(x)=0得，n=0或x=ln(-4)，

力ln(-4)<0即a<Y時(shí)，/(“)在(一8，ln(J))單調(diào)遞減，在(1“(-上)，0)單

調(diào)遞增，在(0,+8)單調(diào)遞減：

ii)ln(-4)=0即a=金時(shí)，/CO在(?8,+8)單調(diào)遞減；

2a2

沆)ln(-4)>0即A<a〈O時(shí)，f(x)在(?8,0)單調(diào)遞減，在(0,ln(-4))單調(diào)

2a22a

遞增，在(ln(-4」)，+8)單調(diào)遞減:

(2)由(1)知，a<^■時(shí)，f(x)的極小值為f))=1T--)>l>0；

22a4a2a

q<a〈O時(shí)，/(x)的極小值為/(O)=1-?>1>O；

a:弓■時(shí)，/(%)在(-8,4-00)單調(diào)遞減，故aVO時(shí)，/(X)至多有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)。20時(shí)，由/(x)=2〃/斗(1-2a)Q-1=(夕-1)(2a/+l),/(x)在(-8,0)單調(diào)

遞減，在(0,+8)單調(diào)遞增.

要使/(幻有兩個(gè)零點(diǎn)，M/(0)<0,得a+l?2〃V0,即。>1,

令尸Cx)=f(x)?/(?x)，(x>0),

則F(x)=f(x)+f(-x)=[2a^*+(1-勿)"-l]+[2ae2V+-2a)e'x-\\=2a(ex+e'x+1)

(eK+e'x-2)+(ev+ex)-220,

所以尸(x)在x>0時(shí)單調(diào)遞增，F(xiàn)(x)>F(0)=0,f(x)>/(-x),

不妨設(shè)Xl〈X2，則X|VO,X2>0,-X2<0,f(X1)=f(X2)>f(-X2),

由f(4)在(-8,0)單調(diào)遞減，得汨<-及，即為+X2<0，

故1且X1+K2V0，原命題得證.

【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

3.已知函數(shù)f(x)=lnx+1-a(?GR).

X

(I)討論函數(shù)f(x)的極值；

(II)若關(guān)于X的方程=0有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【分析】(I)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極值即可；

(II)通過討論。的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)確定a的范圍即可.

【解答】解：(I)V/(x)=比漢的定義域是(0,+8),

x

-px-(lnx+l)■,

?/,x_xInx

(”)--------------2--------------

XX

由/(X)<0,解得：x>l,由(X)>0,解得：OVxVl,

故函數(shù)f(x)在(0,1)單調(diào)遞增，在(1,+8)單調(diào)遞減,

故函數(shù)/(x)在4—1處取得極大值，且極大值/(I)-1-a,無極小值；

(II)令函數(shù)g(x)=xf(x)=lnx+\-ax(x>0),

則g1(x)=--a,

x

當(dāng)時(shí)，g'(x)>0對(duì)任意(0,+8)恒成立，

即函數(shù)g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

故關(guān)于x的方程4(x)=0不可能有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，不符合題意，

當(dāng)〃>0時(shí)，由g'(x)>0,得OVxV』，由g'(x)VO,解得：x>—,

aa

故函數(shù)g(x)在(0,-)單調(diào)遞增，在(工，+8)上單調(diào)遞減,

aa

此時(shí)g(x)max=g(―)=-lna>

a

若g(-)WO,則關(guān)于x的方程對(duì)'(x)=0至多有1個(gè)實(shí)根，不符合題意,

a

故-加a>0,解得：OVaVl,

當(dāng)OVaVl時(shí)，且g(―)=-1--+1=--<0,

eaeee

222

g(-7-)=2-2Ina-——+1=3-2Ina-——，

/aa

-9q

令h(a)=3-2lna--,則/?'(a)=>0,

aa&2a2；

故函數(shù)力(〃)在(0,I)上亙調(diào)遞增,

2

又當(dāng)a=l時(shí)，3-2/na--<0,

a

2

故當(dāng)OVaVl時(shí)，h(a)<O?即g(孑)<0,

a

又函數(shù)g(幻的圖象在(0,+8)上不間斷，

故OVaVl符合題意，

綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍是(0,1).

【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

4.已知函數(shù)/(x)=lnx+ax(a€R).

(I)當(dāng)。=?2時(shí)，求函數(shù)的極值；

(II)若g(x)=/(x),討論函數(shù)gG)的單調(diào)性.

x

【分析】(I)利用已知條件和導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，求出極值；

(II)由題意得出函數(shù)g(x)的解析式，求出屋(X),對(duì)。的取值分類討論，得出函數(shù)單調(diào)

性的幾種情況.

【解答】解：(I)當(dāng)。=-2時(shí)，/(x)=lnx-2x(x>0),

則/(x)=--2=-^^-.

XX

令/(x)=0,解得％=￡,

當(dāng)OVxvJ■時(shí)，f(x)>0,函數(shù)/(%)單調(diào)遞增，

當(dāng)心>￡時(shí)，/(x)<0,函數(shù)/(X)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)尸費(fèi)時(shí)，函數(shù)/(「取得極大值為八片)=-/?2-1,無極小值.

(II)由題得函數(shù)g(x)=/(x)+—=//tv+ar+—,

XX

rn.i,z_1a+l_ax+x-(a+l)_(ax+a+1)(x-l)(

則g(x)=—+a---------------------[--------2-------(x>0).

①當(dāng)。=0時(shí)，g'(x)

此時(shí)函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增;

②當(dāng)〃>0時(shí)，g’(%)

2~2

此時(shí)，函數(shù)g(x)在((0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增;

a(x+a+1)(x-1)

③當(dāng)°V0時(shí)，g1(%)______a

-2~

x

當(dāng)-史以=1,即。=?《時(shí)，/(x)=-d1-WO在(0,+8)上恒成立,

a22x2

所以函數(shù)g(x)在(()，+8)上單調(diào)遞減;

當(dāng)■史工VI,即aV-士"時(shí)，

a2

當(dāng)a=-l時(shí)，-電旦=0,

a

1N+1

當(dāng)-IVaV-士時(shí)，OV-^~^V1,

2a

此時(shí)g(x)在(-史2，1)上單調(diào)遞增，在(0,-----),(1,+8)上單調(diào)遞減;

aa

當(dāng)aW-1時(shí)，-1<--^<0,

a

此時(shí)，函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減:

夕+11

當(dāng)■曳3>1,即-《〈"VO時(shí)，

a2

此時(shí)，函數(shù)g(x)在(1,-----)上單調(diào)遞增，在(0,1)和(，+8)上單調(diào)遞減.

a----------------------------a

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(I,+8)上單調(diào)遞增;

-W"VaVO時(shí)，函數(shù)g(x)在(1,--~~—)上單調(diào)遞增，在(0,1)和(--~~—,+°°)上

2aa

單調(diào)遞減；

當(dāng)■時(shí)，函數(shù)g（X）在（0,+8）上單調(diào)遞減；

當(dāng)-1V〃V?5時(shí)，函數(shù)月（x）在（-史工，1）上單調(diào)遞增，在（0,-史工），（1,+8）上

2aa

單調(diào)遞減；

當(dāng)-1時(shí)，函數(shù)gQ）在（0,1）上單調(diào)遞增，在（1,+8）上單調(diào)遞減.

【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

5.已知函數(shù)/（x）=2ax-bix,aGR.

（I）討論/（x）的單調(diào)性；

（II）若?>0,求證：f（x）22cosx『

2ae2

【分析】（I）求出導(dǎo)函數(shù)/（X）,再根據(jù)4的取值范圍對(duì)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行討論即可；

（II）根據(jù)（I）中結(jié)論將原不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新函數(shù)gG）,對(duì)g（x）進(jìn)行分離參數(shù)，

再構(gòu)造〃（〃），求。（〃）的單調(diào)性和最小值，即可證得.

【解答】（I）解：由題意得/（x）=2"工=皿工（Q0）,

XX

若aWO,則/（x）<0?

所以了（%）在（0,+8）上單調(diào)遞減；

若a>0,則當(dāng)在（0,4二）時(shí)，f（x）<0,

2a

所以/（%）在（0,4）上單調(diào)遞減；

2a

當(dāng)XW（白，+8）時(shí)，f（x）>0,

2a

所以/（工）在（W—+8）上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)aWO時(shí)，fCx）在（0,+8）上單調(diào)遞減;

當(dāng)a>0時(shí)，（x）在（0,—7-）上單調(diào)遞減，在（1-，+°°）上單調(diào)遞增.

（II）證明：由（）的討論知，當(dāng)〃>0時(shí)，fix）（4）=l+b?2a,

令函數(shù)gCv）=在曳受，則g（J=駟岑w—=一，

2ae2ae2ae2ae

2c0SX3

所以要證f(x)^；,

2ae2

只需證1+/〃2。2———

2ae2

即證a+aln2a^----

2e

令函數(shù)〃(d)=a+aln2a,則〃'(a)=2+ln2a,

當(dāng)aW(0,—^r)時(shí)，h'(a)<0,

2e2

所以力（a）在（0,二■）上單調(diào)遞減;

2e2

當(dāng)十“）時(shí)，h'（〃）>0,

2e2

所以力（〃）在+8）上單調(diào)遞增,

2e2

故h(d)2。(」y)-4r=--

2e22e2e22e

所以1+/〃2心....-

2e2

綜上，/(x)>：2cosx-3.

2ae」

【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

6.設(shè)區(qū)數(shù)/(k)=ax-2-Inx(a€R).

(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)當(dāng)。=1時(shí)，試判斷了(%)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(in)當(dāng)°=1時(shí)，若對(duì)vxw(i,+8),都有(依?1?/,a)A/(X)-ivoawz)成立，求2的最大值.

【分析】(/)，(x)=a--,(x>0).對(duì)a分類討論，可得其單調(diào)區(qū)間.

x

(/Z)a=lW,/(x)=X-2-/ALV(X>0)./(x)=—.(x>0).根據(jù)單調(diào)性可得x=l時(shí)，

x

函數(shù)f(%)取得極小值即最小值，/(I)=-1.

進(jìn)而得出零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

(〃/)當(dāng)4=1時(shí)，對(duì)VxW(L+8),都有(4k-1-/心)-1<O(KZ)成立，化為：

軟V//LT+?iS=g(X),利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出.

X

【解答】解：(/)/(x)=a--,(x>0).

X

aWO時(shí)，f(x)<0,函數(shù)/Xx)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

a(x--)

。>0時(shí)，f(x)=--------,(Q0).

x

則f(%)在(0,-)上單調(diào)遞減，在(2，+8)上單調(diào)遞增.

aa

(〃)a=\時(shí)，f(x)=x-2-Inx(x>0).

f(x)=—,(x>0).

x

則f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增.

x=l時(shí)，函數(shù)/(x)取得極小值即最小值，/(1)=-1

x-0+時(shí)，f(x)xf+°°時(shí)，f(x)—+8.

???函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn).

(〃/)當(dāng)a=l時(shí)，對(duì)VxW(1,+8),都有(軟7-/心)x+f(x)-1<0(依Z)成立,

化為：軟V/〃x+lnx+3=gG),

X

，/、1l-(lnx+3)x-lnx-2

g(X)h丁-----2_———?

AXX

令14(x)=x-Inx-2fxG(1,+8),

u'(x)=1-->0,工函數(shù)〃(x)在xW(1,+8)單調(diào)遞增，

u(3)=1-加3,u(4)=2-2/〃2,

???存在唯一的xoW<3,4),使得〃(M)=0,即劭-加次-2=0,

函數(shù)g(%)在(1,刖)內(nèi)單調(diào)遞減，在(沏，+8)內(nèi)單調(diào)遞增.

lnxg+3XQ-2+3i7

?'?g(x)rnin=g(Xo)=/幾%+--------=X()-2+--------=M)+----1G(

X。XOXO3

V4jt<(xcJ--1)-,AGZ.

、0x0

，攵的最大值為0.

【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

7.己知函數(shù)f(x)=(x+a)/x(bWO)的最大值為l，且曲線y=f(x)在x=0處的切線與直線y=x-2

e

平行(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)求實(shí)數(shù)。，匕的值；

(2)如果0VjqVx2，且/(X|)—f(X2)>求證：3X|+X2>3.

【分析】(1)對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，然后利用在x=0處切線的斜率為1,函數(shù)的最大值為工列出關(guān)于mb的方

e

程組求解；

(2)利用f(汨)=/(X2)找到內(nèi)，及的關(guān)系式^=乂16々-%?然后引入，=及-加，構(gòu)造關(guān)

于，的函數(shù)，將3N+X2轉(zhuǎn)換成關(guān)于，的函數(shù)，求最值即可.

【解答】解：(1)由已知，(x)=Cbx+ab+i)*.

則易知/(0)=而+1=1,???h=(),又因?yàn)?#0,故。=0.

此時(shí)可得f(x)=xebx(0W0),/(x)=(加+1)戶.

①若b>0,則當(dāng)x<—W,/(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；X〉」時(shí)，f(x)>0,/(x)

bb

單調(diào)遞增.

此時(shí)，函數(shù)/(x)有最小值，無最大值.

②若bV0,則當(dāng)x<4時(shí)，f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞鬼；x

b

時(shí)，/(x)〈0,f(x)單調(diào)遞抗

b

此時(shí)f(x)=f(-4~)=[e解得b=-l.

maxbbe

所以a=0,b=-1即為所求.

X1x?

(2)由0VX1VX2，且/(XI)=f(X2>得：—!-=—

eXl產(chǎn)

xeXz

=-X：X1

Ax2-=Xje.設(shè)/=及-?(z>0),則dxi-X]=r,

e*

++ptq十+at、

§

可得X9=-T—所以要證3汨+為>3,即證一浮一>3.

e-1e-1e-1e-1

Vr>0,所以d-l>0,所以即證(f-3)d+3什3>0.

設(shè)g(r)=(r-3)-+3什3(r>0),則g'(r)=(r-2)-+3.

令h⑺=(r-2)d+3,則h'(/)=(/-1)

當(dāng)作(0,1)時(shí)，X(r)<0,h(r)單調(diào)遞減；止(1,+8)時(shí)，h1(r)>0,h(r)單調(diào)

遞增.

所以力(t)>h(1)=3-e>0,即g'(/)>0,所以g(r)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

所以g(?)>g(0)=0.

:.3XI+X2>3.

【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值

8.已知函數(shù)f(x)二呂(a>0).

Inx

(1)當(dāng)函數(shù)f(x)在x」處的切線斜率為-2時(shí)，求/(x)的單調(diào)減區(qū)間；

e

lrA

(2)當(dāng)時(shí)，?二""?求。的取值范圍.

exlnx

【分析】(1)求導(dǎo)，由/(￡>在x△處的切線斜率為-2可求得小再由導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可求解；

(2)法一：將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為￡必也+(/〃a+x)2i+而對(duì)任意在(1,+8)恒成立，

令g(x)=F+x,利用導(dǎo)數(shù)求得g(x)單調(diào)性，從而可得/也+工2加x,利用導(dǎo)數(shù)求得(/nx-x)

從而可得。的取值范；

法二：力(x)=aex-Inx+lna(x>1),利用導(dǎo)數(shù)即可求得〃(x)20時(shí)〃的取值范圍.

【解答】解：(1)f(x);獸定義域?yàn)?0,1)U(1，+8),

lnx

axsy_lnxT

因?yàn)閒'(x)=Clnx一2(lnx)2

所以/(x)在x△處的切線斜率為-2a,

e

所以4=1,

所以《)喘"6*),/臺(tái)

令，(x)=0,則x=e,

X(0,1)(1,e)e(e,+8)

'(x)--0+

/(x)極小值e7

由表可知：/(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,1)和(1,e).

lrr~

(2)由題f(x)>工-對(duì)任意.隹(1，+8)恒成立，

exlnx

所以ae^^lnx-Ina對(duì)任意xW(1,+°°)恒成立，

方法一：所以小0**+Una+x)，配什x對(duì)任意xW(1,+°°)恒成立，

所以“如斗(lna+x)》評(píng)斗/世對(duì)任意在(1,+8)恒成立，

令g(x)=ex+x,則g(Ina+x')2g(lnx)對(duì)任意(1,+°°)恒成立,

因?yàn)間'(x)=爐+1>0,

所以g(x)在R上單調(diào)增，

所以Ina+x^bix對(duì)任意(1?+°°)恒成立，

所以/〃。2ClflX-X)max(X>1)?

令h(x)=lnx-x(x>l),

因?yàn)閔'(x)」~-l=1」<0,

XX

所以％(工)在(i,+8)上亙調(diào)減，

所以〃(x)</:(1)=-1,

所以/〃a2-1>即a》L，

所以〃的取值范圍是［工，+8).

e

方法二：設(shè)力(x)=aeK-Inx^-lna(x>l)?

則h'(x)=ae'T，h"(x)=aex-^-y>0,

所以/?'(x)在(1,+8)單調(diào)遞增，又廳(1)=ae-1,

若a，，則力,(1)20,所以“(x)20恒成立，所以/?'(X)在(1,+8)單調(diào)遞增，

又〃(1)=ae+lna^\-1=0.所以人(x)20恒成立，符合題意.

若0<a<[*,則〃(1)=ae+lna<\-1=0,不符合題意，舍去.

綜上所述，a>1，

所以〃的取值范圍是[1,+oo).

e

【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

9.已知函數(shù)/(x)=x^-kx+k2.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若f(外有三個(gè)零點(diǎn)，求攵的取值范圍.

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論2的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值,得到關(guān)于〃的不等式組，解出即可.

【解答】解：(l)f(%)一2-履+M.f(x)-3A2

AW0時(shí)，f(x)20,/(x)在R遞增，

%>0時(shí)，令/(x)>0,解得：%>病或

令/(x)<0,解得：-

：.f(x)在(-8,-祗)遞增，在(-、除遞減，在(j與，+8)遞增，

綜上，女W0時(shí)，f(x)在火遞增,

)遞減，在(j與，+8)遞增:

A>0時(shí)，/(X)在(-8,)遞增，在(-

(2)由(1)得：Q>0,/(x)極小值=/(假)，/(x)&犬值=/(?

),

若/co有三個(gè)零點(diǎn),

(k>0

f噴)<°,解得:0<.<4

只需,

乙I

f(-

4

故左(°,工y，

【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

10.已知函數(shù)f(x)=lnx^-ax(a>4).

(1)當(dāng)a=5時(shí)，求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

1c

(2)若XI，X2是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，且川，不€(0,1],求證：f(Xi)-f(xD〉21n2-右.

14O

【分析】(1)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，把。=5代入，由/(x)>0,f(x)<0,可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)由于函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)和小則即，及是源-"+4=0的兩個(gè)不等實(shí)根，利用根

與系數(shù)的關(guān)系把。與及用含有用的代數(shù)式表示，可得/(汨)7g=2。兇-2x『+」g+2加2

Rx?

(OVxiWl).設(shè)尸(幻=2lnx-2jr+—^r+2ln2(OVxWl).利月導(dǎo)數(shù)求其最小值即可得證.

8x2

【解答】(1)解：由f(x)=lnx+2x1-ax,得/(x)=~+4x-a~-^—(x>0).

XX

當(dāng)a=5時(shí)，/(x)=4'-5x+.

x

由/(x)>0,解得OVxV3或X>1,由/(x)<0,得士■VxVl.

44

:3的單調(diào)增區(qū)間為(0,士)，(1,+8)；單調(diào)減區(qū)間為(g1).

44

(2)證明：由于函數(shù)/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)汨，處則為，照是4/-奴+1=0的兩個(gè)不等實(shí)根，

a11

.*.X1+X2=-?X1X2=—(OVXlWl),則4=4(X1+X2),X2=----?

444x1

.*./(xi)-/(X2)=lnx\+2x^-ax\-Inxi-Ix-^+axi

=2ltix\~2XI2+---z~+2/;z2(0<xi<l).

8xf

設(shè)/(x)=2lnx-2r+—^+2ln2(OVxWl).

8x2

-22

mil\—A1-(4X-1)

貝ij尸(x)=---4x-----7―------------0,

x4x34x3

:?F(x)在(0,1]上單調(diào)遞減，則尸(%)2尸(1)=2加2■號(hào)15.

O

【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

11.已知函數(shù)/(x)=(x-1)Inx.

(I)判斷，(x)的單調(diào)性；

(II)設(shè)g(%)=-OV2+(fl-1)x+l,?GR當(dāng)xE[-^r,/]時(shí)，討論函數(shù)f(X)與g(X)圖象的公共點(diǎn)個(gè)

e

數(shù).

【分析】(I)對(duì)函數(shù)/(x)兩次求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可求解：

(H)令〃(x)=/(x)-g(x)=(x-1)(//u+ar+1),x曰劣，e2],將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)h

e

(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，顯然工=1是函數(shù)力(x)的一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)xWl時(shí)，求方程Ev+ax+l=O

根的個(gè)數(shù)，常數(shù)分離，構(gòu)造fCO=-@iL,八曰±，e2],利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)[(x)的單調(diào)

x/

性與最值，即可。的取值范圍，進(jìn)而判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【解答】解：(I)函數(shù)—Q-1)6V的定義域?yàn)?0,+“).

f(x)=Z/tr+l--,f(x)=—+^7>0,

x