研究生課件-能帶理論

1晶體的能帶一.電子共有化晶體具有大量分子、原子或離子有規(guī)則排列的點陣結(jié)構(gòu)。電子受到周期性勢場的作用。a按量子力學須解定態(tài)薛定諤方程。2

解定態(tài)薛定格方程(略），可以得出兩點重要結(jié)論：1.電子的能量是分立的能級;2.電子的運動有隧道效應。原子的外層電子(高能級)，勢壘穿透概率較大，電子可以在整個晶體中運動,稱為共有化電子。原子的內(nèi)層電子與原子核結(jié)合較緊,一般不是共有化電子。3二.能帶(energyband)

量子力學計算表明，晶體中若有N個原子，由于各原子間的相互作用，對應于原來孤立原子的每一個能級,在晶體中變成了N條靠得很近的能級,稱為能帶。晶體中的電子能級有什么特點？4能帶的寬度記作

E

，數(shù)量級為

E～eV。

若N~1023,則能帶中兩能級的間距約10-23eV。一般規(guī)律：

1.越是外層電子，能帶越寬，

E越大。

2.點陣間距越小，能帶越寬，

E越大。3.兩個能帶有可能重疊。5離子間距a2P2S1SE0能帶重疊示意圖6三.能帶中電子的排布

晶體中的一個電子只能處在某個能帶中的某一能級上。

排布原則：

1.服從泡里不相容原理（費米子）

2.服從能量最小原理設孤立原子的一個能級Enl，它最多能容納2(2+1)個電子。這一能級分裂成由N條能級組成的能帶后，能帶最多能容納2N(2l+1)個電子。7

電子排布時，應從最低的能級排起。

有關(guān)能帶被占據(jù)情況的幾個名詞：1．滿帶（排滿電子）2．價帶（能帶中一部分能級排滿電子）

亦稱導帶3．空帶（未排電子）

亦稱導帶4．禁帶（不能排電子）2ｐ、3ｐ能帶，最多容納6N個電子。例如，1ｓ、2ｓ能帶，最多容納2N個電子。2N(2l+1)8一.布洛赫定理一個在周期場中運動的電子的波函數(shù)應具有哪些基本特點？在量子力學建立以后，布洛赫（F.Bloch）和布里淵（Brillouin）等人就致力于研究周期場中電子的運動問題。他們的工作為晶體中電子的能帶理論奠定了基礎。布洛赫定理指出了在周期場中運動的電子波函數(shù)的特點。（補充）布洛赫定理空間9在一維情形下，周期場中運動的電子能量E(k)和波函數(shù)必須滿足定態(tài)薛定諤方程

k-------表示電子狀態(tài)的角波數(shù)V(x)----周期性的勢能函數(shù)，它滿足

V(x)=V(x+na)a----晶格常數(shù)

n-----任意整數(shù)10布洛赫定理：式中也是以a為周期的周期函數(shù)，即*

注*：關(guān)于布洛赫定理的證明，有興趣的讀者可以查閱《固體物理學》黃昆原著韓汝琦改編（1988）P154具有(2)式形式的波函數(shù)稱為布洛赫波函數(shù),或布洛赫函數(shù)。滿足（1）式的定態(tài)波函數(shù)必定具有如下的特殊形式11

布洛赫定理說明了一個在周期場中運動的電子波函數(shù)為：一個自由電子波函數(shù)與一個具有晶體結(jié)構(gòu)周期性的函數(shù)的乘積。

只有在等于常數(shù)時，在周期場中運動的電子的波函數(shù)才完全變?yōu)樽杂呻娮拥牟ê瘮?shù)。

這在物理上反映了晶體中的電子既有共有化的傾向，又有受到周期地排列的離子的束縛的特點。

因此，布洛赫函數(shù)是比自由電子波函數(shù)更接近實際情況的波函數(shù)。

它是按照晶格的周期a調(diào)幅的行波。12

實際的晶體體積總是有限的。因此必須考慮邊界條件。

設一維晶體的原子數(shù)為N,它的線度為L=Na,則布洛赫波函數(shù)應滿足如下條件此式稱為周期性邊界條件。二.周期性邊界條件采用周期性邊界條件以后，具有N

個晶格點的晶體就相當于首尾銜接起來的圓環(huán)：

在固體問題中，為了既考慮到晶體勢場的周期性，又考慮到晶體是有限的，我們經(jīng)常合理地采用周期性邊界條件：13由周期性邊界條件可以推出:布洛赫波函數(shù)的波數(shù)k只能取一些特定的分立值。aa周期性邊界條件對波函數(shù)中的波數(shù)是有影響的。圖2周期性邊界條件示意圖14左邊為右邊為所以由周期性邊界條件即周期性邊界條件使k

只能取分立值：證明如下:按照布洛赫定理：15k是代表電子狀態(tài)的角波數(shù),n是代表電子狀態(tài)的量子數(shù)。對于三維情形,電子狀態(tài)由一組量子數(shù)(nx、ny、nz)來代表。它對應一組狀態(tài)角波數(shù)（kx、

ky、

kz）。一個對應電子的一個狀態(tài)。16我們以為三個直角坐標軸，建立一個假想的空間。這個空間稱為波矢空間、

空間，或動量空間*。kx、ky、

kz由于德布洛意關(guān)系，即，所以空間也稱為動量空間。注：在空間中，電子的每個狀態(tài)可以用一個狀態(tài)點來表示，這個點的坐標是三.空間17kykx0-112-23-31-12-2-33上式告訴我們，沿空間的每個坐標軸方向，電子的相鄰兩個狀態(tài)點之間的距離都是。圖3表示二維空間每個點所占的面積是。因此，空間中每個狀態(tài)點所占的體積為。

圖3二維空間示意圖18克朗尼格-朋奈模型能帶中的能級數(shù)目

一.克朗尼格-朋奈模型

能帶理論是單電子近似理論。

布洛赫定理指出，一個在周期場中運動的電子，其波函數(shù)一定是布洛赫函數(shù)。

下面我們通過一個最簡單的一維周期場-------克朗尼格-朋奈（Kroning-Penney）模型來說明晶體中電子的能量特點。

周期性邊界條件的引入,說明了電子的狀態(tài)是分立的。

它把每個電子的運動看成是獨立地在一個等效勢場中的運動?，F(xiàn)在再來說明電子的能量有什么特點？回顧：19

克朗尼格-朋奈模型是把圖1的周期場簡化為圖4所示的周期性方勢阱。假設電子是在這樣的周期勢場中運動。在0<x<a一個周期的區(qū)域中，電子的勢能為0caU0U(x)xb圖4克朗尼格-朋奈模型20按照布洛赫定理，波函數(shù)應有以下形式式中即可得到滿足的方程將波函數(shù)代入定態(tài)薛定諤方程21利用波函數(shù)應滿足的有限、單值、連續(xù)等物理（自然）條件，進行一些必要的推導和簡化，最后可以得出下式注*：有興趣的讀者可參閱〈固體物理基礎〉蔡伯熏編（1990）P268。式中而是電子波的角波數(shù)*。（4）式就是電子的能量E應滿足的方程,也是電子能量E與角波數(shù)k

之間的關(guān)系式。22(4)式的左邊是能量E的一個較復雜的函數(shù)，記作

f(E)；由于，所以使的E值都不滿足方程。下圖5為給出了一定的a、b、U0

數(shù)值后的f(E)：右邊是角波數(shù)k的函數(shù)。23由圖看出，在允許取的E值（暫且稱為能級）之間，有一些不允許取的E值（暫且稱為能隙）。下面的圖6為E~k

曲線的某種表達圖式。圖5f(E)函數(shù)圖f(E)E24E2E3E5E4E6E7E10E圖6E~k

曲線的表達圖式25兩個相鄰能帶之間的能量區(qū)域稱為禁帶。晶體中電子的能量只能取能帶中的數(shù)值，而不能取禁帶中的數(shù)值。圖中為“許可的能量”，稱為能帶*。E2E3E5E4E6E7E10E圖6E~k

曲線的表達圖式26E~k

曲線與a有關(guān)、與U0b乘積有關(guān)。乘積U0b反映了勢壘的強弱。

由于原子的內(nèi)層電子受到原子核的束縛較大，與外層電子相比，它們的勢壘強度較大。

計算表明：

U0b的數(shù)值越大所得到的能帶越窄。所以，內(nèi)層電子的能帶較窄。外層電子的能帶較寬。27

從E~k

曲線還可以看出：

k值越大，相應的能帶越寬。

由于晶體點陣常數(shù)a越小，相應于k值越大。因此，晶體點陣常數(shù)a越小，能帶的寬度就越大。有的能帶甚至可能出現(xiàn)重疊的現(xiàn)象。E2E3E5E4E6E7E10E圖6E~k

曲線的表達圖式28二.能帶中的能級數(shù)

晶體中電子的能量不能取禁帶中的數(shù)值，只能取能帶中的數(shù)值。由圖5可以看出：第一能帶

k的取值范圍為

第二能帶k

的取值范圍為

第三能帶k

的取值范圍為

每個能帶所對應的k的取值范圍都是*

。注*

：我們把以原點為中心的第一能帶所處的k

值范圍稱為第一布里淵區(qū);第二、第三能帶所處的

k值范圍稱為第二、第三布里淵區(qū)，并以此類推。29所以，晶體中電子的能帶中有N

個能級。電子在晶體中按能級是如何排布的呢？電子是費密子，它的排布原則有以下兩條：（1）服從泡里不相容原理（2）服從能量最小原理而在空間每個狀態(tài)點所占有的長度為，因此，每一能帶中所包含的（狀態(tài)數(shù)）能級數(shù)為每個能帶所對應的k的取值范圍都是。30孤立原子的最外層電子能級可能填滿了電子也可能未填滿了電子。若原來填滿電子的，在形成固體時，其相應的能帶也填滿了電子。若孤立原子中較高的電子能級上沒有電子，在形成固體時，其相應的能帶上也沒有電子。若原來未填滿電子的，在形成固體時，其相應的能帶也未填滿電子。孤立原子的內(nèi)層電子能級一般都是填滿的，在形成固體時，其相應的能帶也填滿了電子。31排滿電子的能帶稱為滿帶；排了電子但未排滿的稱為未滿帶（或?qū)В?；未排電子的稱為空帶；（有時也稱為導帶）；兩個能帶之間的禁帶是不能排電子的。32導體和絕緣體（conductor．insulator）

它們的導電性能不同，是因為它們的能帶結(jié)構(gòu)不同。晶體按導電性能的高低可以分為導體半導體絕緣體33導體導體導體半導體絕緣體

Eg

Eg

Eg34

在外電場的作用下，大量共有化電子很易獲得能量，集體定向流動形成電流。從能級圖上來看，是因為其共有化電子很易從低能級躍遷到高能級上去。E導體35從能級圖上來看，是因