高 階 導(dǎo) 數(shù)課件

高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)

當(dāng)x變化時(shí)，f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)仍是一個(gè)關(guān)于x的函數(shù)，對(duì)于這個(gè)新的函數(shù)，如果可導(dǎo)，就可以將f′(x)繼續(xù)對(duì)x進(jìn)行求導(dǎo)，從而得到“導(dǎo)了再導(dǎo)”的函數(shù)，這就是高階導(dǎo)數(shù).一、高階導(dǎo)數(shù)的定義引列求變速直線運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)加速度.

一、高階導(dǎo)數(shù)的定義分析如果物體的運(yùn)動(dòng)方程為s=s(t)，則變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度v是路程s對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，即而加速度a又是速度v對(duì)時(shí)間t的變化率，也就是速度v對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，即

于是這種導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)

或(s′)′稱為s對(duì)t的二階導(dǎo)數(shù)，記為s″(t).所以，物體運(yùn)動(dòng)的加速度就是路程s對(duì)時(shí)間t的二階導(dǎo)數(shù).一、高階導(dǎo)數(shù)的定義一般地，如果函數(shù)y=fx的導(dǎo)數(shù)y′=f′x仍是x的可導(dǎo)函數(shù)，就稱y′=f′x的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)y=fx的二階導(dǎo)數(shù)，記為相應(yīng)地，把y=fx的導(dǎo)數(shù)f′(x)稱為函數(shù)y=fx的一階導(dǎo)數(shù).

類似地,二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),記為

三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù),記為

一般地，fx的n－1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為fx的n階導(dǎo)數(shù)，記為一、高階導(dǎo)數(shù)的定義二階或二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).

由高階導(dǎo)數(shù)的定義知，求函數(shù)y=fx的高階導(dǎo)數(shù)，只需連續(xù)多次求導(dǎo)數(shù)即可，因此仍可應(yīng)用前面的求導(dǎo)方法進(jìn)行計(jì)算.一、高階導(dǎo)數(shù)的定義【例27】一、高階導(dǎo)數(shù)的定義【例28】求指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)的n階導(dǎo)數(shù).

解y′=axlna,y″=axln2a,y“=axln3a,…,y(n)=axlnna,即ax(n)

=axlnna.

特別地，ex(n)=ex.

一、高階導(dǎo)數(shù)的定義【例29】求正弦函數(shù)y=sinx的n階導(dǎo)數(shù).一、高階導(dǎo)數(shù)的定義【例30】求冪函數(shù)y=xα(α∈R)的n階導(dǎo)數(shù).解y′=αxα－1，y″=α(α－1)xα－2，y″=α(α－1)(α－2)xα－3，y(4)=α(α－1)(α－2)(α－3)xα－4.一般地，可得y(n)=α(α－1)(α－2)…(α－n+1)xα－n，即xα(n)=α(α－1)(α－2)…(α－n+1)xα－n.當(dāng)α=n時(shí)，得xn(n)=n?(n－1)?(n－2)?…?3?2?1=n!,而xn(n+1)=0.一、高階導(dǎo)數(shù)的定義【例31】設(shè)y=ln(1+x)，求y(n).一、高階導(dǎo)數(shù)的定義【例32】一、高階導(dǎo)數(shù)的定義【例33】設(shè)f(x)具有任意階導(dǎo)數(shù)，且f′(x)=f2(x)，求證：f(x)的n階導(dǎo)數(shù)f(n)

(x)=n!fn+1(x).

證由f′(x)=f2(x)，得f″(x)=2f(x)f′(x)=2!f3(x)，f

(x)=2!×3f

2(x)f′(x)=3!f4(x).

假設(shè)f(n－1)(x)=(n－1)!fn(x)，則f(n)(x)=(n－1)!·nfn－1(x)f′(x)=n!fn+1(x),

所以原命題成立.

二、萊布尼茲公式如果函數(shù)u=ux與v=vx都在點(diǎn)x處具有n階導(dǎo)數(shù)，那么u(x)+v(x)與u(x)-v(x)在點(diǎn)x處都具有n階導(dǎo)數(shù)，且u(x)±v(x)(n)=u(x)(n)±v(x)(n),

但乘積u(x)·v(x)的n階導(dǎo)數(shù)卻并不如此簡(jiǎn)單.由

［u(x)v(x)］′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)

首先得出［u(x)v(x)］″=u″(x)v(x)+2u′(x)v′(x)+u(x)v″(x)，［u(x)v(x)］″=u″(x)v(x)+3u″(x)v′(x)+3u′(x)v″(x)+u(x)v″(x).二、萊布尼茲公式用數(shù)學(xué)歸納法可以證明上式稱為萊布尼茲公式.

二、萊布尼茲公式【例34】設(shè)y=x2sinx,求y

(20).

解設(shè)u(x)=sinx,vx=x2,則由萊布尼茲公式知二、萊布尼茲公式【例35】年齡在0至36個(gè)月之間的男嬰的平均體重可以表示成函數(shù)ω(t)=8.15+1.82t－0.0596t2+0.000758t3，其中t用月來度量，而ω用磅(1磅=0.454千克)來度量，求一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)男嬰體重增長(zhǎng)的加速度.解對(duì)ω(t)=8.15+1.82t－0.0596t2+0.000758t3求