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其他類型的二次型及矩陣其他類型的二次型及矩陣

與正定二次型和正定矩陣相對應，有下面的定義.定義7-10c設(shè)f(x1,x2,…,xn)=XTAX是一個實二次型.（1）如果對于任意一個非零實向量α=(a1,a2,…,an)T，均有αTAα≥0，但至少存在某一個α0，使得αT0Aα0=0，則稱f(x1,x2,…,xn)是一個半正定二次型，此時相應的實對稱矩陣A稱為半正定矩陣.（2）如果對于任意一個非零實向量α=(a1,a2,…,an)T，均有αTAα<0，則稱f(x1,x2,…,xn)是一個負定二次型，此時相應的實對稱矩陣A稱為負定矩陣.（3）如果對于任意一個非零實向量α=(a1,a2,…,an)

T，均有αTAα≤0，但至少存在某一個α0，使得αT0Aα0=0，則稱f(x1,x2,…,xn)是一個半負定二次型，此時相應的實對稱矩陣A稱為半負定矩陣.將正定、半正定、負定和半負定二次型（或矩陣）稱為有定二次型（或有定矩陣），否則，稱為不定二次型（或不定矩陣）.顯然，如果f(x1,x2,…,xn)=XTAX是一個正定二次型（或A是一個正定矩陣）當且僅當－f(x1,x2,…,xn)=XT(-A)X是一個負定二次型（或-A是一個負定矩陣）；如果f(x1,x2,…,xn)=XTAX是一個半正定二次型（或A是一個半正定矩陣）當且僅當－f(x1,x2,…,xn)=XT(-A)X是一個半負定二次型（或-A是一個半負定矩陣）.并且，一個標準形式的實二次型f(x1,x2,…,xn)=d1x21+d2x22+…+dnx2n

或者說一個對角矩陣（1)半正定的，當且僅當di≥0,i=1,2,…,n，但至少存在某一個dj=0.（2)負定的，當且僅當di<0,i=1,2,…,n.（3)半負定的，當且僅當di≤0,i=1,2,…,n，但至少存在某一個dj=0.于是，類似于正定情形的證明，可以不加證明地給出其他類型二次型和矩陣的判別方法.定理7-12設(shè)A是一個n階實對稱矩陣，則下列命題是等價的：（1)A是負定的.（2)二次型XTAX是負定的.（3)A合同于-E，即A

-E.（4)存在可逆矩陣P，使得A=－PTP.（5)A的特征值λ1,λ2,…,λn全小于0.（6)A的奇數(shù)階順序主子式均小于0，偶數(shù)階順序主子式均大于0.定理7-13設(shè)A是一個n階實對稱矩陣，則下列命題是等價的：（1)A是半正定的.（2)二次型XTAX是半正定的.（3)A合同于diag{1,…,1,0,…,0}，其中總共r=R(A)個1.（4)存在不可逆矩陣C，使得A=CTC.（5)A的特征值λ1,λ2,…,λn全大于等于0，但至少有一個為0.（6)A的所有主子式

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