【八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)滬科版】19.4 綜合與實(shí)踐多邊形的鑲嵌

19.4綜合與實(shí)踐多邊形的鑲嵌（限時(shí)60分鐘滿分120分）一、選擇（本題共計(jì)6小題，每題5分，共計(jì)30分）1．能夠鋪滿地面的正多邊形組合是()A．正五邊形和正方形 B．正八邊形和正方形C．正六邊形和正方形 D．正十邊形和正方形2．正方形和下列邊長(zhǎng)相同的正多邊形地磚組合中，不能夠鋪滿地面的是（）A．正三角形 B．正六邊形C．正八邊形 D．正三角形和正六邊形3．用三塊正多邊形的木塊鋪地，拼在一起后，相交于一點(diǎn)的各邊完全吻合，設(shè)其邊數(shù)為4，6，m，則m的值是（）A．3 B．5 C．8 D．124．用正三角形和正六邊形鑲嵌，若每一個(gè)頂點(diǎn)周?chē)衜個(gè)正三角形、n個(gè)正六邊形，則m,n滿足的關(guān)系式是()A．2m+2n=12 B．m+n=8 C．2m+n D．m+2n=65．某市為了迎接世界大學(xué)生冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)，正在進(jìn)行城區(qū)人行道路翻新，準(zhǔn)備選用同一種正多邊形地磚鋪設(shè)地面．下列正多邊形的地磚中，不能使用的是（）A． B．C． D．6．如圖是某廣場(chǎng)用地板鋪設(shè)的部分圖案，中央是一塊正六邊形的地板磚，周?chē)钦切魏驼叫蔚牡匕宕u．從里向外的第1層包括6個(gè)正方形和6個(gè)正三角形，第2層包括6個(gè)正方形和18個(gè)正三角形，依此遞推，第10層中含有正三角形個(gè)數(shù)是（）A．102個(gè) B．114個(gè) C．126個(gè) D．138個(gè)二、填空（本題共計(jì)5小題，每空5分，共計(jì)35分）7．用邊長(zhǎng)相等的正三角形與正方形能夠密鋪，設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周?chē)衳個(gè)正三角形的角，有y個(gè)正方形的角，則x=，y=．8．商店出售下列形狀的地磚：①長(zhǎng)方形；②正方形；③正五邊形；④正六邊形．若只選購(gòu)其中某一種地磚鑲嵌地面，可供選擇的地磚有．（只填序號(hào)）9．設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周?chē)衋個(gè)正四邊形，b個(gè)正八邊形，進(jìn)行平面鑲嵌，則a=，b=．10．一幅圖案在某個(gè)頂點(diǎn)處由三個(gè)邊長(zhǎng)相等的正多邊形鑲嵌而成.其中的兩個(gè)正六邊形和正十二邊形，則第三個(gè)多邊形的邊數(shù)是.11．用4個(gè)全等的正八邊形拼接，使相鄰的兩個(gè)正八邊形有一條公共邊，圍成一圈后中間形成一個(gè)正方形，如圖1，用n個(gè)全等的正六邊形按這種方式拼接，如圖2，若圍成一圈后中間也形成一個(gè)正多邊形，則n的值為．三、解答（本題共計(jì)6小題，共55分）12．（5分）正八邊形地板磚，能鋪滿地面，既不留下一絲空白，又不相互重疊嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．13．（10分）如圖，它是地板廠家加工地板時(shí)剩的邊角余料，問(wèn)用同一種任意四邊形的木板可以進(jìn)行鑲嵌嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．14．（10分）試說(shuō)明：用15塊大小是4×1的矩形地磚和一塊大小是2×2的正方形地磚能不能恰好鋪蓋一塊大小是8×8的正方形地面．15．（10分）一底角為60°的等腰梯形的腰長(zhǎng)和一個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)相等，同時(shí)使用這兩種圖形能否鋪滿平面？若能，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)圖案；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．16．（10分）①用同一種特殊的多邊形（如三個(gè)角都相等的等邊三角，四個(gè)角都相等的正方形等）能否鋪滿平面？有哪幾種情況？②用同一種一般四邊形能否鋪滿平面？說(shuō)明理由．17．（10分）現(xiàn)實(shí)生活中，鑲嵌圖案在地面、墻面乃至于服裝面料設(shè)計(jì)中隨處可見(jiàn)．在八年級(jí)課題學(xué)習(xí)“平面圖形的鑲嵌”中，對(duì)于單種多邊形的鑲嵌，主要研究了三角形、四邊形、正六邊形的鑲嵌問(wèn)題．今天我們把正多邊形的鑲嵌作為研究問(wèn)題的切入點(diǎn)，提出其中幾個(gè)問(wèn)題，共同來(lái)探究.

我們知道，可以單獨(dú)用正三角形、正方形或正六邊形鑲嵌平面．如圖，用正方形鑲嵌平面，可以發(fā)現(xiàn)在一個(gè)頂點(diǎn)O周?chē)鷩@著4個(gè)正方形的內(nèi)角.

試想：如果用正六邊形鑲嵌平面，在一個(gè)頂點(diǎn)周?chē)鷳?yīng)該圍繞個(gè)正六邊形內(nèi)角．

問(wèn)題提出

如果我們要同時(shí)用兩種不同的正多邊形鑲嵌平面，可能設(shè)計(jì)出幾種不同的組合方案？

問(wèn)題解決

猜想1：是否可以同時(shí)用正方形、正八邊形兩種正多邊形組合進(jìn)行平面鑲嵌？

分析：我們可以將此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)解決．從平面圖形的鑲嵌中可以發(fā)現(xiàn)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于分析能同時(shí)用于完整鑲嵌平面的兩種正多邊形的內(nèi)角特點(diǎn)．具體地說(shuō)，就是在鑲嵌平面時(shí)，一個(gè)頂點(diǎn)周?chē)鷩@的各個(gè)正多邊形的內(nèi)角恰好拼成一個(gè)周角．

驗(yàn)證1：在鑲嵌平面時(shí)，設(shè)圍繞某一點(diǎn)有x個(gè)正方形和y個(gè)正八邊形的內(nèi)角可以拼成一個(gè)周角．根據(jù)題意，可得方程：90x+8?2×1808·y=360，整理得：2x+3y=8，

我們可以找到惟一一組適合方程的正整數(shù)解為x=1y=2．

結(jié)論1：鑲嵌平面時(shí)，在一個(gè)頂點(diǎn)周?chē)鷩@著1個(gè)正方形和2個(gè)正八邊形的內(nèi)角可以拼成一個(gè)周角，所以同時(shí)用正方形和正八邊形兩種正多邊形組合可以進(jìn)行平面鑲嵌．

猜想2：是否可以同時(shí)用正三角形和正六邊形兩種正多邊形組合進(jìn)行平面鑲嵌？若能，請(qǐng)按照上述方法進(jìn)行驗(yàn)證，并寫(xiě)出所有可能的方案；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

答案部分1．B2．B3．D4．D5．C6．B7．3；28．①②④9．1；210．411．612．解：不能．∵正八邊形每個(gè)內(nèi)角是(8?2)×180°8∴不能密鋪．13．解：能進(jìn)行鑲嵌；理由：由鑲嵌的條件知，在一個(gè)頂點(diǎn)處各個(gè)內(nèi)角的和為360°時(shí)，就能鑲嵌．而任意四邊形的內(nèi)角和是360°，只要放在同一頂點(diǎn)的4個(gè)內(nèi)角和為360°，故能進(jìn)行鑲嵌．14．解：如圖，在大小是8×8的正方形地面上畫(huà)出64個(gè)小方格，并按如圖所示的方法涂上黑，白兩種顏色，黑，白小方格各有32個(gè)，每一橫行或每一縱行都分別有4個(gè)黑方格和4個(gè)白方格，用一塊大小是4×1的矩形地磚無(wú)論鋪在橫行，還是縱行上，總是蓋住2個(gè)黑方格和2個(gè)白方格，鋪下15塊后，共能蓋住30個(gè)黑方格和30個(gè)白方格，地面上，一定剩下2個(gè)黑方格和2個(gè)白方格必須用2×2的正方形地磚，但從圖中可以發(fā)現(xiàn)，2×2的正方形地磚無(wú)論鋪在地面上的什么位置，都不能蓋住2個(gè)黑方格和2個(gè)白方格，蓋住的方格是3黑1白或1黑3白，因此不能恰好鋪蓋成功．15．解：如圖所示：一底角為60°的等腰梯形的腰長(zhǎng)和一個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)相等，不能同時(shí)使用這兩種圖形能否鋪滿平面，因?yàn)橹挥刑菪紊系椎扔谘L(zhǎng)，下底等于上底的2倍，才能同時(shí)使用這兩種圖形能否鋪滿平面．16．【解答】①用同一種正多邊形鑲嵌，能鋪滿平面，只有正方形，正六邊形，等邊三角形三種正多邊形能鑲嵌成一個(gè)平面圖案，有三種情況；②用同一種一般四邊形能鋪滿平面；理由：由鑲嵌的條件知，在一個(gè)頂點(diǎn)處各個(gè)內(nèi)角的和為360°時(shí)，就能鑲嵌．而任意四邊形的內(nèi)角和是360°，只要放在同一頂點(diǎn)的4個(gè)內(nèi)角和為360°即可，故能鋪滿平面．17．解：3個(gè)；

驗(yàn)證2：在鑲嵌平面時(shí)，設(shè)圍繞某一點(diǎn)有a個(gè)正三角形和b個(gè)正六邊形的內(nèi)角可以拼成一個(gè)周角．根據(jù)題意，可得方程：60a+120b=360．整理得：a+2b=6，

可以找到兩組適合方程的正整數(shù)解為a=2b=2和a=4b=1．

結(jié)論2：鑲嵌平面時(shí)，在一個(gè)頂點(diǎn)周?chē)鷩@著2個(gè)正三角形和2個(gè)正六邊形的內(nèi)角或者圍繞著4個(gè)正三角形和1個(gè)正六邊形的內(nèi)角可以拼成一個(gè)周角，所以同時(shí)用正三角形和正六邊形兩種正多邊形組合可以進(jìn)行平面鑲嵌．5分

猜想3：是否可