【八年級下冊數(shù)學(xué)人教版】第十六章 二次根式（單元重點綜合測試）

第十六章二次根式（單元重點綜合測試）考試范圍：全章的內(nèi)容；考試時間：120分鐘；總分：120分一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．下列式子一定是二次根式的是（

）A． B． C． D．2．使二次根式有意義的的值為()A． B． C． D．3．已知二次根式，當時，此二次根式的值為（

）A．2 B． C．4 D．4．下列計算正確的是（

）A． B． C． D．5．已知最簡二次根式與是同類二次根式，則a的值是（）A．2 B．3 C．4 D．56．估計的值應(yīng)在（

）A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間7．下列語句中，正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若a為任意實數(shù)，則 D．若a為任意實數(shù)，則8．若，則化簡后的結(jié)果是（

）A．xy B． C． D．9．在長方形中無重疊地放入面積分別為和的兩張正方形紙片，則圖中空白部分的面積為（

）A． B．C． D．10．若，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11．計算：______．12．若是最簡二次根式，則的值可以是________．（寫出一個即可）13．比較大?。篲_______（填“>”“=”或“<”）．14．若有意義，則實數(shù)的取值范圍是________．15．定義關(guān)于“”的新運算：當時，；當時，，其他運算符號的意義不變．按上述定義，計算：___________．16．我國南宋著名的數(shù)學(xué)家秦九韶，曾提出利用三角形的三邊求面積的“秦九臨公式”：如果一個三角形的三邊長分別為，則三角形的面積．依據(jù)上述公式，若一個三角形的三邊長分別是5，6，7，則這個三角形的面積等于_______．三、（本大題共4小題，每小題6分，共24分）17．將下列二次根式化成最簡二次根式：(1)； (2)； (3)（，，）．18．計算：(1) (2)19．已知是最簡二次根式，且與可以合并．(1)求x的值；(2)求與的乘積．20．已知，，求下列各式的值．(1)．(2)．四、（本大題共3小題，每小題8分，共24分）21．定義：若兩個二次根式a，b滿足，且c是有理數(shù)，則稱a與b是關(guān)于c的共軛二次根式．(1)若a與是關(guān)于4的共軛二次根式，求a的值；(2)若與是關(guān)于2的共軛二次根式，求m的值．22．若，化簡，某同學(xué)的解答過程如下圖．(1)該同學(xué)的解答從第________步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是用錯了性質(zhì)：當時，________；當時，________；(2)寫出原題正確的解答過程；(3)若實數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，化簡：．23．觀察下列等式：第一個等式：；第二個等式：；第三個等式：；……根據(jù)上述規(guī)律解決下列問題：(1)寫出第四個等式：______；(2)寫出你猜想的第n個等式（用含n的式子表示），并給出證明．五、（本大題共2小題，每小題12分，共24分）24．像，……這樣的根式叫做復(fù)合二次根式．有一些復(fù)合二次根式可以借助構(gòu)造兩數(shù)和（差）的平方公式進行化簡：如：；再如：．請用上述方法探索并解決下列問題：(1)請你嘗試化簡：；(2)若，且，，均為正整數(shù)，則的值為______．25．觀察下列計算：；……則：(1)__________；__________；(2)從計算結(jié)果找出規(guī)律；____________；(3)利用這一規(guī)律計算：的值．

第十六章二次根式（單元重點綜合測試）答案全解全析一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．下列式子一定是二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了二次根式的定義，形如的式子叫二次根式，根據(jù)二次根式的定義，逐項判斷即可求解．【詳解】解：A、，x有可能小于0，故不一定是二次根式，不符合題意；B、是二次根式，符合題意；C、，若時，無意義，不符合題意；D、被開方數(shù)小于0，無意義，不符合題意；故選：B．2．使二次根式有意義的的值為()A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查的是二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式有意義的條件列出不等式，即可得出結(jié)論．【詳解】解：由題意得，，解得，，故x的值可以為，故選：D．3．已知二次根式，當時，此二次根式的值為（

）A．2 B． C．4 D．【答案】A【分析】把代入進行計算即可．【詳解】解：當時，，故選A．【點睛】本題考查的是二次根式的值，熟練代入并求值是解本題的關(guān)鍵．4．下列計算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了二次根式的混合運算：根據(jù)加減乘除法則逐項分析，即可作答．【詳解】解：A、，該選項是錯誤的；B、與不是同類項，故選項是錯誤的；C、，故選項是錯誤的；D、，故選項是正確的；故選：D5．已知最簡二次根式與是同類二次根式，則a的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】幾個二次根式化簡成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式叫做同類二次根式．所以根據(jù)題意得解出a的值即可．【詳解】解：最簡二次根式與是同類二次根式，故選B．【點睛】此題考查了同類二次根式的知識，解答本題需要掌握同類二次根式的被開方數(shù)相同這個知識點，屬于基礎(chǔ)題．6．估計的值應(yīng)在（

）A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間【答案】A【分析】本題考查了無理數(shù)的估算，掌握夾逼法，利用二次根式的混合運算將原式化簡，再進行無理數(shù)的估算即可．【詳解】解：，，，即，的值應(yīng)在4和5之間．故選：A．7．下列語句中，正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若a為任意實數(shù)，則 D．若a為任意實數(shù)，則【答案】A【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，，據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵，∴若，則，故A正確；若，則，∴，故B錯誤；，故C錯誤；，故D錯誤；故選：A8．若，則化簡后的結(jié)果是（

）A．xy B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，有意義可得，進而即可求解．【詳解】解：∵，有意義，∴，∴，故選：D．【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，得出是解題的關(guān)鍵．9．在長方形中無重疊地放入面積分別為和的兩張正方形紙片，則圖中空白部分的面積為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查二次根式的應(yīng)用，算術(shù)平方根的實際應(yīng)用，根據(jù)正方形的面積求出兩個正方形的邊長即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵兩張正方形紙片面積分別為和，∴它們的邊長分別為，，∴，，∴空白部分的面積故選：A．10．若，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別將a、b、c平方，利用完全平方公式和二次根式的性質(zhì)化簡后對平方進行比較得出結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，，∵，即，∵a、b、c都是大于0的實數(shù)，∴，故選：A．【點睛】本題考查了完全平方公式、二次根式大小的比較等知識點，利用完全平方公式計算出值，是解決本題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11．計算：______．【答案】【分析】本題考查二次根式的乘法，根據(jù)計算，再利用二次根式的性質(zhì)化簡即可．【詳解】解：，故答案為：．12．若是最簡二次根式，則的值可以是________．（寫出一個即可）【答案】3（答案不唯一）【分析】最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．【詳解】解：當時，是最簡二次根式，故答案為：3（答案不唯一）．【點睛】本題考查最簡二次根式，解題的關(guān)鍵是正確理解最簡二次根式的定義．13．比較大?。篲_______（填“>”“=”或“<”）．【答案】>【分析】本題考查了算術(shù)平方根和二次根式的大小比較，能選擇適當?shù)姆椒ū容^兩個數(shù)的大小是解此題的關(guān)鍵．先把根號外的因式移入根號內(nèi)，再比較即可．【詳解】解：，，∵，∴，∴，故答案為：．14．若有意義，則實數(shù)的取值范圍是________．【答案】且【分析】本題考查了分式有意義的條件和二次根式有意義的條件．根據(jù)分式有意義的條件“分母不為0”以及二次根式有意義的條件“被開方數(shù)不小于0”列不等式組，求解即可．【詳解】解：由題意得，，解得：且，故答案為：且．15．定義關(guān)于“”的新運算：當時，；當時，，其他運算符號的意義不變．按上述定義，計算：___________．【答案】3【分析】利用題中的新定義化簡，計算即可．【詳解】解：，，，，則原式，故答案為：3．【點睛】此題考查了實數(shù)的運算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．16．我國南宋著名的數(shù)學(xué)家秦九韶，曾提出利用三角形的三邊求面積的“秦九臨公式”：如果一個三角形的三邊長分別為，則三角形的面積．依據(jù)上述公式，若一個三角形的三邊長分別是5，6，7，則這個三角形的面積等于_______．【答案】【分析】本題考查了代數(shù)式求值，二次根式的應(yīng)用，理解題意將邊長代入正確求值是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)題中給出的“秦九臨公式”，把三邊長直接帶入進行求解即可．【詳解】解：根據(jù)，的三邊長分別為5，6，7，，故答案為：．三、（本大題共4小題，每小題6分，共24分）17．將下列二次根式化成最簡二次根式：(1)； (2)； (3)（，，）．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用二次根式的性質(zhì)化簡求解；（2）利用二次根式的性質(zhì)化簡求解；（3）利用二次根式的性質(zhì)化簡求解．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．【點睛】本題主要考查利用二次根式的性質(zhì)進行化簡，理解最簡二次根式并正確求解是關(guān)鍵．18．計算：(1) (2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查了二次根式的混合運算．（1）先化簡各二次根式，然后再進行合并即可；（2）先計算二次根式的乘法和除法，再算加法即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．19．已知是最簡二次根式，且與可以合并．(1)求x的值；(2)求與的乘積．【答案】(1)9；(2)5．【分析】（1）根據(jù)最簡根式和同類二次根式的定義可得，解方程即可得到答案；（2）根據(jù)（1）所求利用二次根式的乘法計算法則求解即可．【詳解】（1）解：∵是最簡二次根式，且與可以合并，∴，解得；（2）解：當時，．【點睛】本題主要考查了最簡二次根式和同類二次根式的定義，二次根式的乘法等等，熟知二次根式的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．20．已知，，求下列各式的值．(1)．(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用已知得出，的值，進而結(jié)合完全平方公式計算得出答案；（2）結(jié)合平方差公式計算得出答案．【詳解】（1）解：∵，，∴，，∴；（2）．【點睛】本題考查二次根式的化簡求值，完全平方公式，平方差公式，求代數(shù)式的值，運用了整體代入的思想．正確運用乘法公式進行因式分解是解題關(guān)鍵．四、（本大題共3小題，每小題8分，共24分）21．定義：若兩個二次根式a，b滿足，且c是有理數(shù)，則稱a與b是關(guān)于c的共軛二次根式．(1)若a與是關(guān)于4的共軛二次根式，求a的值；(2)若與是關(guān)于2的共軛二次根式，求m的值．【答案】(1)(2)-2【分析】（1）根據(jù)共軛二次根式的定義建立等式，即可得到答案；（2）根據(jù)共軛二次根式的定義建立等式，即可得到答案．【詳解】（1）∵a與是關(guān)于4的共軛二次根式，∴．∴．（2）∵與是關(guān)于2的共軛二次根式，∴．∴．∴．【點睛】此題主要考查了新定義共軛二次根式的理解和應(yīng)用，并會利用二次根式的性質(zhì)進行計算．22．若，化簡，某同學(xué)的解答過程如下圖．(1)該同學(xué)的解答從第________步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是用錯了性質(zhì)：當時，________；當時，________；(2)寫出原題正確的解答過程；(3)若實數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，化簡：．【答案】(1)二，，(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)二次根式的性質(zhì)，絕對值的性質(zhì)即可求解；（3）根據(jù)數(shù)軸的特點判定的符號、大小，再結(jié)合二次根式的性質(zhì)化簡即可求解．【詳解】（1）解：該同學(xué)的解答從第二步開始出現(xiàn)錯誤，二次根式的性質(zhì)為，故答案為：二，，．（2）解：∵，∴．（3）解：由數(shù)軸可得，，，，∴．【點睛】本題主要考查二次根式的性質(zhì)化簡，掌握是解題的關(guān)鍵．23．觀察下列等式：第一個等式：；第二個等式：；第三個等式：；……根據(jù)上述規(guī)律解決下列問題：(1)寫出第四個等式：______；(2)寫出你猜想的第n個等式（用含n的式子表示），并給出證明．【答案】(1)(2)，證明見解析【分析】（1）由前三個等式得出規(guī)律，即可得出結(jié)果；（2）由規(guī)律得出答案，再驗證即可．【詳解】（1）解：由題意可得：第四個等式為：，故答案為：；（2）猜想的第n個等式為：，驗證：所寫等式正確．【點睛】本題主要考查數(shù)式的變化規(guī)律，二次根式的化簡，歸納推理等知識，根據(jù)題意得出規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵．五、（本大題共2小題，每小題12分，共24分）24．像，……這樣的根式叫做復(fù)合二次根式．有一些復(fù)合二次根式可以借助構(gòu)造兩數(shù)和（差）的平方公式進行化簡：如：；再如：．請用上述方法探索并解決下列問題：(1)請你嘗試化簡：；(2)若，且，，均為正整數(shù)，則的值為______．【答案】(1)(2)6或9【分析】本題考查二次根式的化簡，將二次根式的被開方數(shù)變?yōu)橥耆椒绞绞乔蠼獗绢}的關(guān)鍵．（1）將被開方數(shù)寫成完全平方式，再化簡；（2）變形已知等式得，建立，，