第2章 自動(dòng)控制系統(tǒng)的基本理論知識(shí)

1第二章

自動(dòng)控制系統(tǒng)的基本理論知識(shí)2內(nèi)容簡(jiǎn)介2.1自動(dòng)控制系統(tǒng)的基本概念2.2連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.3拉普拉斯變換及其應(yīng)用2.4傳遞函數(shù)2.5方塊圖2.6典型一階和二階閉環(huán)系統(tǒng)分析2.7系統(tǒng)穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差分析重點(diǎn)：連續(xù)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型、傳遞函數(shù)及方塊圖化簡(jiǎn)、典型一階和二階閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和原理、系統(tǒng)穩(wěn)定性及穩(wěn)態(tài)誤差分析。難點(diǎn)：傳遞函數(shù)及方塊圖化簡(jiǎn)、系統(tǒng)穩(wěn)定性及穩(wěn)態(tài)誤差分析。32.1自動(dòng)控制系統(tǒng)的基本概念2.1.1自動(dòng)控制系統(tǒng)自動(dòng)控制自動(dòng)控制系統(tǒng)由控制器、執(zhí)行機(jī)構(gòu)、被控對(duì)象等部件為了一定的目的有機(jī)的聯(lián)結(jié)成的一個(gè)進(jìn)行自動(dòng)控制的總體，稱(chēng)為自動(dòng)控制系統(tǒng)控制系統(tǒng)自動(dòng)控制系統(tǒng)人工控制系統(tǒng)4自動(dòng)控制理論是以自動(dòng)控制系統(tǒng)為研究對(duì)象，用動(dòng)力學(xué)的方法在運(yùn)動(dòng)中考察系統(tǒng)，揭示出所有類(lèi)型或某些類(lèi)型系統(tǒng)所共有的普遍規(guī)律，并在此基礎(chǔ)上指出將理論用于工程實(shí)際的途徑自動(dòng)控制理論的任務(wù)就是采用數(shù)學(xué)的方法對(duì)自動(dòng)控制系統(tǒng)進(jìn)行分析與綜合分析：系統(tǒng)模型

性能綜合：性能

系統(tǒng)模型2.1.2自動(dòng)控制理論5經(jīng)典控制理論：研究單輸入單輸出（SISO）線性系統(tǒng)采用時(shí)域分析法、頻率響應(yīng)法和根軌跡法現(xiàn)代控制理論：研究MIMO、時(shí)變參數(shù)、非線性系統(tǒng)采用狀態(tài)空間法延伸自動(dòng)控制理論經(jīng)典控制理論現(xiàn)代控制理論2.1.2自動(dòng)控制理論62.1.3自動(dòng)控制系統(tǒng)的分類(lèi)按信號(hào)傳遞路徑分類(lèi)：開(kāi)環(huán)控制系統(tǒng)和閉環(huán)控制系統(tǒng)按參考輸入信號(hào)分類(lèi)：恒值控制、隨動(dòng)控制和程序控制系統(tǒng)按系統(tǒng)數(shù)學(xué)性質(zhì)分類(lèi)：線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)按時(shí)間信號(hào)分類(lèi)：連續(xù)控制系統(tǒng)和離散控制系統(tǒng)按端口關(guān)系分類(lèi)：?jiǎn)屋斎?單輸出系統(tǒng)和多輸入-多輸出系統(tǒng)

71開(kāi)環(huán)（前饋）控制系統(tǒng)控制器被控對(duì)象輸入量擾動(dòng)輸出量系統(tǒng)的被控制量（輸出量）對(duì)系統(tǒng)的給定量（輸入量）沒(méi)有影響，即被控制量只受控于給定量，而對(duì)給定量無(wú)反作用，這類(lèi)系統(tǒng)稱(chēng)為開(kāi)環(huán)系統(tǒng)，或前饋控制系統(tǒng)~220V調(diào)壓變壓器電熱絲爐子8特點(diǎn)：作用信號(hào)由輸入到輸出單方向傳遞，不對(duì)輸出量進(jìn)行檢測(cè)，或雖進(jìn)行檢測(cè)也不對(duì)系統(tǒng)起控制作用外部條件和系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)保持不變時(shí)，對(duì)于一個(gè)確定的輸入量，總存在一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的輸出量控制精度取決于控制器及被控對(duì)象的參數(shù)穩(wěn)定性，易受干擾影響，缺乏精確性和適應(yīng)性92閉環(huán)（反饋）控制系統(tǒng)閉環(huán)控制系統(tǒng)是指系統(tǒng)的被控量經(jīng)反饋裝置反饋給控制器，并根據(jù)給定量與反饋量之間的偏差產(chǎn)生控制作用，并力圖減小偏差，使被控量趨于給定量的系統(tǒng)反饋控制系統(tǒng)是在負(fù)反饋的基礎(chǔ)上，用“檢測(cè)誤差用以糾正誤差”這一原理組成的系統(tǒng)。由于此類(lèi)系統(tǒng)信息的傳遞途徑有一個(gè)自己閉合的環(huán)路，所以稱(chēng)為閉環(huán)控制系統(tǒng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)電熱器前置放大爐子功率放大給定電壓熱電偶M比較u調(diào)壓變壓器~220V減速器輸入變換電壓放大執(zhí)行機(jī)構(gòu)功率放大減速器電熱器調(diào)壓器爐子+熱電偶期望溫度實(shí)際溫度-11特點(diǎn)：由負(fù)反饋構(gòu)成閉環(huán)，利用誤差信號(hào)進(jìn)行控制對(duì)于外界擾動(dòng)和系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)的變化等引起的誤差能夠自動(dòng)糾正系統(tǒng)元件參數(shù)配合不當(dāng)，容易產(chǎn)生振蕩，使系統(tǒng)不能正常工作，因而存在穩(wěn)定性問(wèn)題閉環(huán)控制系統(tǒng)與開(kāi)環(huán)控制系統(tǒng)的主要區(qū)別在于閉環(huán)控制系統(tǒng)有一條從系統(tǒng)輸出端經(jīng)過(guò)測(cè)量元件到輸入端的反饋通路輸入量控制器被控對(duì)象擾動(dòng)輸出量反饋元件+-122.1.4自動(dòng)控制系統(tǒng)的基本組成H輸入變換元件串聯(lián)校正放大變換元件執(zhí)行元件被控對(duì)象并聯(lián)校正反饋元件控制指令++--參考輸入比較元件誤差信號(hào)主反饋信號(hào)輸出信號(hào)VCG0Gc1G1G2G3Gc2擾動(dòng)信號(hào)13術(shù)語(yǔ)解釋?zhuān)狠斎胱儞Q元件：用于產(chǎn)生參考輸入信號(hào)，是進(jìn)行物理量大小和性質(zhì)變換的元件反饋元件：是測(cè)量元件，用來(lái)測(cè)量被控制量的實(shí)際值，同時(shí)起著物理量大小和性質(zhì)變換的作用比較元件：用來(lái)比較參考輸入信號(hào)和主反饋信號(hào)，并產(chǎn)生反映兩者差值信號(hào)的元件或電路放大變換元件：把誤差信號(hào)放大并進(jìn)行能量形式轉(zhuǎn)換，使之達(dá)到足夠幅值和功率的元件執(zhí)行元件：根據(jù)控制信號(hào)直接對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行操縱的元件被控對(duì)象：控制系統(tǒng)所要操縱的對(duì)象，其輸出量即為系統(tǒng)的被控制量前向通路：從輸入端到輸出端的單方向通路反饋通路：從輸出端到輸入端的反方向通路14術(shù)語(yǔ)解釋?zhuān)盒Ｕ簽楦纳葡到y(tǒng)的控制性能而加入的元件。主反饋信號(hào)：由輸出端反饋到輸入端的信號(hào)。反饋信號(hào)可以是被控制量本身，也可以是它的函數(shù)或?qū)?shù)。誤差信號(hào)：參考輸入信號(hào)與主反饋信號(hào)之差。串聯(lián)校正元件：串聯(lián)在系統(tǒng)前向通路內(nèi)的校正裝置并聯(lián)校正元件：與系統(tǒng)部分元件接成局部反饋的校正裝置輸入信號(hào)：包括參考輸入信號(hào)和擾動(dòng)信號(hào)參考輸入：系統(tǒng)的給定輸入信號(hào)，或稱(chēng)為給定值擾動(dòng)信號(hào)：外界或系統(tǒng)內(nèi)部影響系統(tǒng)輸出的干擾信號(hào)輸出信號(hào)：是其變化規(guī)律要加以控制的信號(hào)。輸出信號(hào)應(yīng)與輸入給定信號(hào)間保持一定的函數(shù)關(guān)系15一個(gè)處于靜止或平衡工作狀態(tài)的系統(tǒng)，當(dāng)受到任何輸入的激勵(lì)，就可能偏離平衡狀態(tài)。當(dāng)激勵(lì)消失后，再經(jīng)過(guò)一段暫態(tài)過(guò)程后，系統(tǒng)中的狀態(tài)若能恢復(fù)到原先的平衡狀態(tài)，則系統(tǒng)稱(chēng)為穩(wěn)定的。一個(gè)控制系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的，而且必須滿足一定的穩(wěn)定裕量，以保證當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生某些變化時(shí)，也能夠使系統(tǒng)保證穩(wěn)定的工作狀態(tài)。1穩(wěn)定性2.1.5對(duì)控制系統(tǒng)的基本要求系統(tǒng)品質(zhì)指標(biāo)的基本要求為：系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動(dòng)態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性16動(dòng)態(tài)特性穩(wěn)定的控制系統(tǒng)受到外加控制信號(hào)或擾動(dòng)的作用后，系統(tǒng)要恢復(fù)穩(wěn)定或達(dá)到一新的平衡狀態(tài)。但由于系統(tǒng)內(nèi)部各參數(shù)（如質(zhì)量、慣性、電容、電感、電源、功率）的限制，使得系統(tǒng)的各狀態(tài)不能瞬時(shí)變化，而要經(jīng)過(guò)一個(gè)過(guò)程。系統(tǒng)狀態(tài)隨時(shí)間t變化的這一過(guò)程稱(chēng)為動(dòng)態(tài)過(guò)程或過(guò)渡過(guò)程。動(dòng)態(tài)特性即是反映在這一過(guò)程中，系統(tǒng)跟蹤控制信號(hào)或抑制擾動(dòng)的速度快慢，系統(tǒng)響應(yīng)過(guò)程的振蕩大小及平穩(wěn)、均勻的程度等。一個(gè)動(dòng)態(tài)特性好的系統(tǒng)既要過(guò)渡過(guò)程時(shí)間短，又要過(guò)渡平穩(wěn)、振蕩幅度小。2.1.5對(duì)控制系統(tǒng)的基本要求173穩(wěn)態(tài)特性系統(tǒng)在過(guò)渡過(guò)程結(jié)束后，主反饋量與參考輸入量的誤差值，反映了系統(tǒng)的控制精度，兩者的差值越小，則說(shuō)明系統(tǒng)的控制精度越高。2.1.5對(duì)控制系統(tǒng)的基本要求182.1.5對(duì)控制系統(tǒng)的基本要求對(duì)于一個(gè)控制系統(tǒng)首要的要求就是系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性。在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，要求系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能要好對(duì)于系統(tǒng)的性能要求可以概括為：響應(yīng)速度要快動(dòng)態(tài)過(guò)程平穩(wěn)跟蹤值要準(zhǔn)確19由于控制系統(tǒng)的控制目的、要求和對(duì)象的不同，因而各系統(tǒng)的對(duì)動(dòng)態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性的要求也不同對(duì)于同一個(gè)系統(tǒng)，穩(wěn)定性、動(dòng)態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性的穩(wěn)定、快速、準(zhǔn)確這三個(gè)要求是相互制約的提高過(guò)程快速性，則會(huì)使系統(tǒng)振蕩性加強(qiáng)；改善系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性，則又可能會(huì)使控制過(guò)程時(shí)間延長(zhǎng)，反應(yīng)遲緩；提高系統(tǒng)控制穩(wěn)態(tài)的精度，則會(huì)引起動(dòng)態(tài)性能（過(guò)渡過(guò)程時(shí)間及振蕩性）的變化2.1.5對(duì)控制系統(tǒng)的基本要求202.1.6控制系統(tǒng)常用的典型測(cè)試信號(hào)

典型測(cè)試信號(hào)是簡(jiǎn)單的時(shí)間函數(shù)，便于對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)處理和實(shí)驗(yàn)分析選取典型測(cè)試信號(hào)的原則：選取輸入信號(hào)的典型形式應(yīng)大致反映系統(tǒng)的實(shí)際工作情況要從系統(tǒng)工作最不利的情況出發(fā)來(lái)選取典型測(cè)試信號(hào)選取的典型測(cè)試信號(hào)要盡可能簡(jiǎn)單211.階躍輸入函數(shù)該函數(shù)表示參考輸入量的一種瞬變t0r(t)R階躍輸入函數(shù)式中：R為恒值；

u(t)為單位階躍函數(shù)，即R=122u(t-

)表示一個(gè)經(jīng)過(guò)延遲時(shí)間

的單位階躍函數(shù)t0r(t)1

帶延遲的單位階躍函數(shù)232斜坡（速度）函數(shù)該函數(shù)表示一勻速信號(hào)，該信號(hào)對(duì)時(shí)間t的變化率是一常數(shù)，斜坡函數(shù)等于階躍函數(shù)對(duì)t的積分。t0r(t)

tg=RRt式中：R為常數(shù)；為單位速度函數(shù)243拋物線（加速度）函數(shù)該函數(shù)表示勻加速信號(hào)，由等速函數(shù)對(duì)t積分而得。式中：R為常數(shù)；為單位加速度函數(shù)254脈沖函數(shù)式中：A為常數(shù)；h為脈沖寬度當(dāng)A=1，h

0，1/h

時(shí)稱(chēng)為理想單位脈沖，其表達(dá)式為：?jiǎn)挝幻}沖函數(shù)可看作單位階躍函數(shù)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，u(t)只在t=0時(shí)有突變，所以u(píng)(t)在t=0的導(dǎo)數(shù)為，而在其它處為0。t0r(t)h265正弦函數(shù)式中：A為振幅；

為相位移；

為振蕩角頻率272.2連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型分類(lèi)靜態(tài)模型：在靜態(tài)條件下，描述各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)方程動(dòng)態(tài)模型：用微分方程描述的各變量在動(dòng)態(tài)過(guò)程中關(guān)系數(shù)學(xué)模型的表示方法圖形表示：信號(hào)流圖、方塊圖及頻率特性圖等微分方程：是最基本的形式，但求解困難

數(shù)學(xué)表示傳遞函數(shù)或頻率特性：適用于單輸入單輸出系統(tǒng) 狀態(tài)變量表達(dá)式：適于多變量系統(tǒng)及最優(yōu)控制問(wèn)題數(shù)字計(jì)算機(jī)上的程序綜合28建立數(shù)學(xué)模型方法

分析法：從系統(tǒng)或元件所依據(jù)的物理規(guī)律出發(fā)，通過(guò)分析和推導(dǎo)，建立數(shù)學(xué)模型，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)法：加入一定形式的輸入信號(hào)，求取輸出響應(yīng)的方法建立數(shù)學(xué)模型的原則分清主次，合理簡(jiǎn)化，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型。既要便于對(duì)系統(tǒng)模型進(jìn)行數(shù)學(xué)處理，又要保證分析研究的精確度由選定的系統(tǒng)分析方法建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。經(jīng)典控制理論常用：微分方程、傳遞函數(shù)或頻率特性292.2.1控制系統(tǒng)的微分方程控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，一般是以時(shí)間t為自變量，可采用線性常系數(shù)微分方程來(lái)描述的，表示如下：或者：式中：30建立系統(tǒng)微分方程的步驟：分析系統(tǒng)工作原理和系統(tǒng)中各變量之間的關(guān)系，將系統(tǒng)劃分成若干個(gè)環(huán)節(jié)，確定系統(tǒng)和每一個(gè)環(huán)節(jié)的輸入量和輸出量環(huán)節(jié)是指可以組成獨(dú)立運(yùn)動(dòng)方程的那一部分通過(guò)反映環(huán)節(jié)內(nèi)在運(yùn)動(dòng)規(guī)律的基本物理或化學(xué)定律，依次列寫(xiě)各環(huán)節(jié)的原始運(yùn)動(dòng)方程式，在保證分析精度的條件下進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化。同時(shí)要考慮元件之間的相互影響，即所謂的負(fù)載效應(yīng)簡(jiǎn)化的方法：忽略一些次要因素；使非線性函數(shù)線性化等常用的物理定律：牛頓定律；能量守恒定律；歐姆定律等若原始運(yùn)動(dòng)方程不能直接用分析法得到，應(yīng)借助于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，然后歸納出與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相符的描述方程31消去中間變量，得到只含有輸入量和輸出量的方程式，并把與輸入量有關(guān)的各項(xiàng)放在方程的右邊，與輸出量有關(guān)的各項(xiàng)放在方程的左邊，即：由于一般物理系統(tǒng)中均有質(zhì)量、慣性或滯后的儲(chǔ)能元件，所以方程左邊的導(dǎo)數(shù)階次總比右邊的高（有時(shí)兩邊相等），即：mn3322.2.2線性微分方程的性質(zhì)可加性：同一線性系統(tǒng)對(duì)若干個(gè)輸入共同作用時(shí)所引起的輸出響應(yīng)，等于各個(gè)輸入單獨(dú)作用于系統(tǒng)時(shí)輸出響應(yīng)的疊加。線性系統(tǒng)x1(t)y1(t)線性系統(tǒng)x2(t)y2(t)線性系統(tǒng)x1(t)+kx2(t)y1(t)+ky2(t)齊次性：線性系統(tǒng)的輸入若變化k倍，則其輸出響應(yīng)也變化k倍參數(shù)定常性：系統(tǒng)的參數(shù)，或者說(shuō)元件的參數(shù)均為常數(shù)，則稱(chēng)為定常系統(tǒng)。否則稱(chēng)為時(shí)變系統(tǒng)或變系數(shù)系統(tǒng)。332.2.3電學(xué)系統(tǒng)微分方程的建立在電學(xué)系統(tǒng)中，需要遵循元件約束和網(wǎng)絡(luò)約束。在元件約束中只考慮集總參數(shù)的線性約束，在網(wǎng)絡(luò)約束中只考慮電網(wǎng)絡(luò)的基本約束1元件約束電路分析中的基本線性元件有三種，電阻R、電容C和電感L，它們的V-I關(guān)系必須遵循廣義歐姆定律uRiRR電阻R34電容CuCiCCuLiLL電感L352網(wǎng)絡(luò)約束電網(wǎng)絡(luò)的基本約束為基爾霍夫的兩個(gè)定律：回路電壓定律：節(jié)點(diǎn)電流定律：例1

由電阻R與電容C組成的一階濾波電路如圖所示，寫(xiě)出以u(píng)i為輸入u0為輸出的微分方程解：由電學(xué)基本定律得：輸出變量最高階導(dǎo)數(shù)為一階，因此該微分方程為一階微分方程消去中間變量i(t)uiu0RCi例2

由電阻R和電感L組成的串聯(lián)電路如圖所示。當(dāng)外加電壓變化時(shí)，回路電流發(fā)生響應(yīng)變化，試寫(xiě)出微分方程式解：（1）確定輸入量和輸出量取電路的輸入量為u1(t)，輸出量為為i(t)（2）由回路電壓定律得：規(guī)范化：iu1u2RL例3

上例中若以u(píng)1(t)為輸入量，電感兩端電壓u2(t)為輸出量，試寫(xiě)出微分方程式解：由基爾霍夫定律得：i(t)為中間變量，(1)式整理得：(3)式代入(2)式消去i(t)得：iu1u2RL例4

由兩級(jí)RC網(wǎng)絡(luò)組成濾波電路如圖所示，寫(xiě)出以u(píng)i為輸入，u0

為輸出的微分方程。解：對(duì)于回路L1有：對(duì)于回路L2有：元件約束為：u0uii1i2R1R2C1C2i1-i2)()()(11tututuiCR=+0)()()(221=++-tututuCRC消去中間變量i1(t)，i2(t)

，uC1(t)得：設(shè)時(shí)間常數(shù)為：方程可寫(xiě)為：因?yàn)檩敵鲎兞康淖罡唠A導(dǎo)數(shù)為二階，該微分方程為二階微分方程，又由于各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)都是常系數(shù)，所以該系統(tǒng)又稱(chēng)為二階線性定常系統(tǒng)。412.3拉普拉斯變換及其應(yīng)用2.3.1拉氏變換的定義一個(gè)實(shí)變量t的函數(shù)f(t)，其線性積分表達(dá)式如下：如果該線性積分存在，則稱(chēng)其為函數(shù)f(t)的拉氏變換。變換后的函數(shù)是復(fù)變量s的函數(shù)，記作F(s)或L[

f(t)]，即式中：F(s)稱(chēng)為象函數(shù)；f(t)稱(chēng)為原函數(shù)422.3.2常用函數(shù)的拉氏變換單位階躍函數(shù)t0r(t)1單位階躍輸入函數(shù)其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：其拉氏變換為：43t0r(t)單位斜坡函數(shù)其拉氏變換為：拉氏變換對(duì)照表拉氏變換的重要性質(zhì)482.3.3拉普拉斯反變換如果已知象函數(shù)F(s)求原函數(shù)，稱(chēng)為拉氏反變換，其公式為：上式為復(fù)變函數(shù)的積分，顯然用其求反變換極其復(fù)雜，因此常采用部分分式法求取拉氏反變換，即將F(s)分解成一些有理分式之和，然后利用拉氏變換對(duì)照表查出對(duì)應(yīng)的f(t)49把上式用部分分式展開(kāi)，利用查找拉氏變換表求出原函數(shù)在線性定常系統(tǒng)中，系統(tǒng)微分方程經(jīng)拉氏變換后可寫(xiě)成下列一般形式：式中：分子中的-z1，-z2，

-zm稱(chēng)為F(s)的零點(diǎn)；分母中的-p1，-p2，

-pn稱(chēng)為F(s)的極點(diǎn)50F(s)的分母X(s)的各種不同情況分析

X(s)=0無(wú)重極點(diǎn)各極點(diǎn)均不相同，故F(s)可以分解成n個(gè)部分分式之和：Ai為常數(shù)，可由下式求得：或各項(xiàng)系數(shù)求出后，由拉氏變換表即可查得F(s)的反變換為：解：將F(s)分解成部分分式，則：式中：于是：的反變換求342)(

2+++=ssssF

例

X(s)=0有重極點(diǎn)設(shè)-p0為r階重極點(diǎn)，-pr+1，-pr+2，…

，-pn為單根，則可展開(kāi)成下式：式中Ar+1，…

，An的計(jì)算與單極點(diǎn)情況下求待定系數(shù)相同；而重極點(diǎn)項(xiàng)的系數(shù)Ar，Ar-1，…

，A1的計(jì)算公式如下：53求出待定系數(shù)后代入F(s)，再取反變換可求得：上式中各項(xiàng)系數(shù)為：于是：55

X(s)=0有共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)如果F(s)含有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)-p1，-p2

，可以展開(kāi)成：式中A1，，A2可按下式求解：因?yàn)?p1是復(fù)數(shù)值，故上式兩邊都是復(fù)數(shù)值，令兩邊的實(shí)部和虛部分別相等，即可求得A1，

A2

。三個(gè)極點(diǎn)分別為s1=0，s2,3=-0.5j0.866，上式中各項(xiàng)系數(shù)為：令兩邊的實(shí)部和虛部分別相等，則得下列方程組：582.3.4拉氏變換法求解微分方程求解微分方程的方法數(shù)學(xué)分析方法拉氏變換法拉氏變換法求解微分方程步驟如下：考慮初始條件，對(duì)微分方程進(jìn)行拉氏變化，將時(shí)域的微分方程變換為S域的代數(shù)方程求解代數(shù)方程得到微分方程在S域的解求S域的拉氏反變換，即可得到微分方程的時(shí)域解微分方程S域解代數(shù)方程拉氏變換

時(shí)域解拉氏反變換例：已知微分方程為：輸入信號(hào)u=(t)，初始條件為y(0)=0，y’(0)=0，求系統(tǒng)的輸出y(t)解：方程兩邊做拉氏變換：代入初值，得輸出響應(yīng)的拉氏變換為：作拉氏反變換，得時(shí)間響應(yīng)為：utytyty=++)(2)('2)(''221)(2++=sssY1)1(12++=stetytsin)(-=例：

RC濾波電路如圖所示，輸入電壓ui(t)=5V，電容的初始電壓u0(0)分別為0V和1V時(shí)，分別求時(shí)間解u0(t)解：RC電路的微分方程為：方程兩邊做拉氏變換：由拉氏變換的線性定理得：由拉氏變換的微分定理得：)()()(00tutudttduRCi=+[])()()(00tutudttduRCiLL=ú?ùê?é+u0ui=10K=10

RC輸出的拉氏變換為：（1）u

0(0)=0V時(shí)：代入，整理得：，，將ssUCKRi5)(1010===m)11.0(5)(0+=sssU1055+-=ss（2）u

0(0)=1V時(shí)：)11.0(51.0)(0++=ssssU1045+-=ss632.4傳遞函數(shù)2.4.1定義實(shí)例：在初始條件為零的情況下，上式進(jìn)行拉氏變換得：取輸出的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比得：在線性定常數(shù)系統(tǒng)中，當(dāng)初始條件全為零時(shí)，系統(tǒng)或部件輸出的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比稱(chēng)為系統(tǒng)或部件的傳遞函數(shù))()()(00tutudttduRCi=+)()()1(0sUsURCsi=+11)()(0+=RCssUsUiuiuoRC64設(shè)描述系統(tǒng)的微分方程為：式中：令所有的初始條件為0，即：輸出信號(hào)及其各階導(dǎo)數(shù)初始狀態(tài)為0；輸入信號(hào)及其各階導(dǎo)數(shù)初始狀態(tài)為065將方程兩邊做拉氏變換，得：取輸出的拉氏變換Y(s)與輸入的拉氏變換X(s)之比，得到系統(tǒng)或部件的傳遞函數(shù)的一般形式：66傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)表達(dá)式為：式中：Kr為增益因子-zi為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)（即分子多項(xiàng)式等于零的根），-pj為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)（即分母多項(xiàng)式等于零的根）672.4.2傳遞函數(shù)的求取方法方法一：一般元件或系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的求取方法列出元件或系統(tǒng)的微分方程；在零初始條件下對(duì)方程進(jìn)行拉氏變換；取輸出與輸入的復(fù)變量之比。方法二：利用系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)測(cè)量系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)：當(dāng)輸入x(t)為脈沖信號(hào)

(t)時(shí)，系統(tǒng)輸出y(t)為沖擊響應(yīng)g(t)；根據(jù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)與沖擊響應(yīng)求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。方法三：利用頻率特性法，以實(shí)驗(yàn)進(jìn)行測(cè)定682.4.3傳遞函數(shù)的性質(zhì)傳遞函數(shù)是物理系統(tǒng)在復(fù)域的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型，它只與系統(tǒng)或元件本身內(nèi)部結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，與輸入量、初始條件等外部參數(shù)無(wú)關(guān)實(shí)際系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是復(fù)變數(shù)s的有理分式，傳遞函數(shù)的分母的階次大于等于分子的階次（即n

m），其所有系數(shù)均為實(shí)數(shù)傳遞函數(shù)不能反映系統(tǒng)或元件的物理組成，物理性質(zhì)截然不同的元件或系統(tǒng)可以有相同的傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)的拉氏反變換就是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)；反之，系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的拉氏變換就是系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。兩者有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系傳遞函數(shù)僅適用于線性定常系統(tǒng)或元件692.4.4典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)比例環(huán)節(jié)其傳遞函數(shù)為：式中K為增益特點(diǎn)：輸入輸出量成比例，無(wú)失真和時(shí)間延遲70慣性環(huán)節(jié)其傳遞函數(shù)為：式中T為時(shí)間常數(shù)特點(diǎn)：含有一個(gè)儲(chǔ)能元件，對(duì)突變的輸入，輸出不能立即復(fù)現(xiàn)，輸出無(wú)振蕩71積分環(huán)節(jié)其傳遞函數(shù)為：特點(diǎn)：輸出量與輸入量的積分成比例，當(dāng)輸入消失。輸出具有記憶功能72微分環(huán)節(jié)其傳遞函數(shù)為：特點(diǎn)：輸出量正比于輸入量的變化速度，能預(yù)示輸入信號(hào)的變化趨勢(shì)73振蕩環(huán)節(jié)其傳遞函數(shù)為：特點(diǎn)：環(huán)節(jié)中有兩個(gè)獨(dú)立的儲(chǔ)能元件，并可進(jìn)行能量交換，其輸出出現(xiàn)震蕩式中：為阻尼比（0<1，欠阻尼)

n為自然振蕩角頻率（無(wú)阻尼振蕩角頻率）74純時(shí)間滯后環(huán)節(jié)其傳遞函數(shù)為：特點(diǎn)：輸出量能準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)輸入量，但需延遲一固定的時(shí)間間隔式中：為延遲時(shí)間752.4.5復(fù)數(shù)阻抗電阻R線性元件的復(fù)數(shù)阻抗是依據(jù)線性元件的V-I關(guān)系而建立的。時(shí)域上的關(guān)系所遵循的是歐姆定律，在變換域中也有相同的形式?？梢园褟?fù)數(shù)阻抗所遵循的V-I關(guān)系稱(chēng)為廣義歐姆定律，而且符合傳遞函數(shù)的定義uRiRR76電容CuCiCCiLLuL電感L例

RCL網(wǎng)絡(luò)如圖所示，試采用復(fù)數(shù)阻抗法求取該網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。解：由復(fù)數(shù)阻抗法可以寫(xiě)出分壓公式為：代入各復(fù)數(shù)阻抗的：求得傳遞函數(shù)為：uiu0CRL782.5方塊圖控制系統(tǒng)的方塊圖是系統(tǒng)各元件特性、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的信號(hào)流向的圖解表示，在每個(gè)方塊中寫(xiě)入該環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，以箭頭和字母標(biāo)明其輸入量和輸出量，按照信號(hào)的傳輸方向把各方塊連接起來(lái)，就構(gòu)成了方塊圖，或稱(chēng)為結(jié)構(gòu)圖2.5.1方塊圖基本單元元部件傳遞函數(shù)方塊：用傳遞函數(shù)來(lái)描述輸入輸出的函數(shù)關(guān)系信號(hào)流線：標(biāo)有信號(hào)流通方向的信號(hào)輸入輸出通路信號(hào)流線方塊79比較點(diǎn)：又稱(chēng)合成點(diǎn)或綜合點(diǎn)，是指兩個(gè)或兩個(gè)以上的輸入信號(hào)進(jìn)行加減比較的元件。進(jìn)行加減時(shí)要統(tǒng)一量綱++ABA+B+-ABA-B+C+-ABA-B+C分支點(diǎn)：又稱(chēng)引出點(diǎn)或分離點(diǎn)，表示信號(hào)測(cè)量或引出的位置，同一位置的信號(hào)大小和性質(zhì)完全一樣G1(s)G2(s)802.5.2方塊圖的繪制繪制依據(jù)系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)微分方程式及其拉式變換（傳遞函數(shù)）繪制方法選取系統(tǒng)的有關(guān)變量（信號(hào)）后，按照變量的傳送順序與變換關(guān)系，從輸入信號(hào)到輸出信號(hào)直接用基本單元組成系統(tǒng)的方塊圖81一階RC網(wǎng)絡(luò)

解：利用基爾霍夫電壓定律及電容元件特性可得：例：畫(huà)出下列RC電路的方塊圖。822.5.3方塊圖的化簡(jiǎn)法則一個(gè)實(shí)際的控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方塊圖通常是比較復(fù)雜的，它往往具有多條反饋通道，各個(gè)閉合反饋通路之間往往有交叉與重疊，對(duì)于這樣復(fù)雜的系統(tǒng)，一般總是把動(dòng)態(tài)方塊圖化簡(jiǎn)成如下的形式。G1(s)G2(s)+++H(s)-X(s)B(s)E(s)N(s)Y(s)G

(s)+H(s)-X(s)B(s)E(s)Y(s)83保持信號(hào)傳遞過(guò)程中的數(shù)學(xué)關(guān)系不變前向通道中傳遞函數(shù)的乘積不變回路中傳遞函數(shù)的乘積不變?yōu)榱饲笕∠到y(tǒng)的各個(gè)傳遞函數(shù)，從而分析研究系統(tǒng)。不同的系統(tǒng),化簡(jiǎn)的步驟不盡相同，但在化簡(jiǎn)時(shí)必須遵循如下的原則：84基本連接方式的化簡(jiǎn)

在控制系統(tǒng)中，任何復(fù)雜系統(tǒng)主要由響應(yīng)環(huán)節(jié)的方塊經(jīng)串聯(lián)、并聯(lián)和反饋三種基本形式連接而成。85特點(diǎn)：前一環(huán)節(jié)的輸出量就是后一環(huán)節(jié)的輸入量

1）串聯(lián)連接結(jié)論：串聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)等于所有傳遞函數(shù)的乘積n為相串聯(lián)的環(huán)節(jié)數(shù)

87

環(huán)節(jié)的并聯(lián)連接

特點(diǎn)：各環(huán)節(jié)的輸入信號(hào)是相同的，均為R(s)，輸出C(s)為各環(huán)節(jié)的輸出之和2）并聯(lián)連接88結(jié)論：并聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)等于所有并聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和

n為相并聯(lián)的環(huán)節(jié)數(shù)，當(dāng)然還有“-”的情況

893）反饋連接

特點(diǎn)：存在反饋回路(a)90結(jié)論：具有負(fù)反饋結(jié)構(gòu)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)等于前向通道的傳遞函數(shù)除以1加（若正反饋為減）前向通道與反饋通道傳遞函數(shù)的乘積(a)912.信號(hào)比較點(diǎn)和信號(hào)引出點(diǎn)的等效變換

對(duì)于一般系統(tǒng)的方塊圖，系統(tǒng)中常常出現(xiàn)信號(hào)或反饋環(huán)相互交叉的現(xiàn)象，此時(shí)可將信號(hào)比較點(diǎn)或信號(hào)引出點(diǎn)作適當(dāng)?shù)牡刃б苿?dòng)，先消除各種形式的交叉，再進(jìn)行等效變換即可92變換比較點(diǎn)+-A++BCA-B+C++A+-CBA-B+C+-A++BCA-B+C比較點(diǎn)分解+-A+BCA-B+C93比較點(diǎn)前移GAAGAG

BB+

+

AB/GG

A

B/GAG

B1/GB+

AG

A

BAG

BGB比較點(diǎn)后移GAAGAG

BGB+

G94引出點(diǎn)前移GAAGAGAG

AGG

AG引出點(diǎn)后移GAAGAAG

AG1/G

A95交換比較點(diǎn)，引出點(diǎn)+-ABA-BA-B-++-ABA-BA-BB交換相鄰引出點(diǎn)G1G2ACBBBG1G2ACBBB96例1求C(s)/R(s)要點(diǎn)：從內(nèi)到外根據(jù)負(fù)反饋法則逐一求取閉環(huán)負(fù)反饋傳遞函數(shù)k+f-R(s)C(s)+-2.5.4動(dòng)態(tài)方塊圖化簡(jiǎn)實(shí)例例2求C(s)/R(s)+-R(s)C(s)+-G1G2G3G4要點(diǎn)：區(qū)別是閉環(huán)還是并聯(lián)例3求C(s)/R(s)要點(diǎn)：解決反饋環(huán)之間的交連+-R(s)C(s)--G1G2G3G41/G11/G4要點(diǎn)：從內(nèi)到外逐一求取負(fù)反饋傳遞函數(shù)+-R(s)C(s)--G1G2G3G4ADBC比較引出例4求C(s)/R(s)要點(diǎn)：確定輸入、輸出；找到前向通道；將動(dòng)態(tài)方塊圖畫(huà)成輸入在左輸出在右的習(xí)慣形式+-R(s)C(s)+-G1G2G3G4G5G6G7++1002.5.5基本概念和術(shù)語(yǔ)前向通路傳遞函數(shù)：打開(kāi)反饋環(huán)后，輸出Y(s)與輸入X(s)之比反饋通路傳遞函數(shù)：主反饋信號(hào)B(s)與輸出Y(s)之比)()()(sHsYsB=G1(s)G2(s)+++H(s)-X(s)B(s)E(s)N(s)Y(s)打開(kāi)反饋101開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：打開(kāi)反饋環(huán)后，主反饋信號(hào)B(s)與誤差信號(hào)E(s)之比。閉環(huán)傳遞函數(shù)：輸出信號(hào)Y(s)與輸入信號(hào)X(s)之比。102誤差傳遞函數(shù)：誤差信號(hào)E(s)與輸入信號(hào)X(s)之比。103輸出對(duì)擾動(dòng)的傳遞函數(shù)：為了了解干擾對(duì)系統(tǒng)的影響，需要求出輸出信號(hào)與擾動(dòng)信號(hào)之間的關(guān)系，當(dāng)X(s)=0時(shí)，輸出信號(hào)Y(s)與擾動(dòng)信號(hào)N(s)之比為輸出對(duì)擾動(dòng)的傳遞函數(shù)。此時(shí)，系統(tǒng)的方塊圖如下：G2(s)+H(s)-N(s)Y(s)G1(s)104誤差對(duì)擾動(dòng)的傳遞函數(shù)：當(dāng)X(s)=0時(shí)，系統(tǒng)的方塊圖如下：G2(s)+H(s)+N(s)E(s)G1(s)-1105系統(tǒng)的總輸出(系統(tǒng)總輸出的象函數(shù))：根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，當(dāng)X(s)0，

N(s)0時(shí)，系統(tǒng)的總輸出應(yīng)等于它們各自單獨(dú)作用時(shí)的輸出之和。根據(jù)疊加原理，當(dāng)X(s)0，

N(s)0時(shí)，系統(tǒng)的總誤差為：由于干擾信號(hào)極性的隨機(jī)性，不能簡(jiǎn)單的認(rèn)為干擾引起的誤差可以部分或全部的抵消給定輸入引起的誤差，而且從最?lèi)毫拥那闆r考慮,兩者引起的誤差的幅值很可能是相加的。系統(tǒng)的總誤差(系統(tǒng)總誤差的象函數(shù))：1062.6典型一階和二階閉環(huán)系統(tǒng)分析2.6.1典型時(shí)間響應(yīng)初始狀態(tài)為零的系統(tǒng)，在典型輸入作用下輸出量的動(dòng)態(tài)過(guò)程，稱(chēng)為典型時(shí)間響應(yīng)。單位階躍響應(yīng)系統(tǒng)在單位階躍信號(hào)u(t)作用下的響應(yīng)，稱(chēng)為單位階躍響應(yīng)，常以h(t)表示。設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

(s)，則單位階躍響應(yīng)的拉氏變換式為：故單位階躍響應(yīng)為：107單位斜坡響應(yīng)系統(tǒng)在單位斜坡信號(hào)t·u(t)作用下的響應(yīng)，稱(chēng)為單位斜坡響應(yīng)，常以ct(t)表示。則單位斜坡響應(yīng)的拉氏變換式為：故單位斜坡響應(yīng)為：108單位脈沖響應(yīng)系統(tǒng)在單位脈沖信號(hào)

(t)作用下的響應(yīng)，稱(chēng)為單位脈沖響應(yīng)，常以

k(t)表示。則單位脈沖響應(yīng)的拉氏變換式為：故單位階躍響應(yīng)為：和傳遞函數(shù)一樣，單位脈沖響應(yīng)只由系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)及參數(shù)決定，k(t)也可以認(rèn)為是系統(tǒng)的一種動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型1092.6.2階躍響應(yīng)的性能指標(biāo)控制系統(tǒng)追蹤或復(fù)現(xiàn)階躍輸入，一般認(rèn)為是較為惡劣、嚴(yán)格的工作條件，故常以階躍響應(yīng)衡量系統(tǒng)控制性能的好壞時(shí)間響應(yīng)可以劃分為暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)兩個(gè)階段，暫態(tài)是指系統(tǒng)響應(yīng)從開(kāi)始到接近終了平衡的狀態(tài)；穩(wěn)態(tài)是指時(shí)間延續(xù)較長(zhǎng)(t)后的平衡狀態(tài)。評(píng)價(jià)系統(tǒng)的響應(yīng)，必須對(duì)兩個(gè)階段的性能給以全面考慮110單位階躍響應(yīng)曲線和性能指標(biāo)峰值時(shí)間tp：指h(t)曲線中超過(guò)穩(wěn)態(tài)值而達(dá)到第一個(gè)峰值所需要的時(shí)間。超調(diào)量

：指h(t)中對(duì)穩(wěn)態(tài)值的最大超出量與穩(wěn)態(tài)值之比。即：調(diào)節(jié)時(shí)間ts：指響應(yīng)曲線中，h(t)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)值附近±5

h(

)[或±2

h(

)]誤差帶而不再超出的最小時(shí)間。ts也常稱(chēng)為過(guò)渡時(shí)間。穩(wěn)態(tài)誤差ess：指響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值與期望值之差。111峰值時(shí)間tp表征響應(yīng)的初始段快慢，而調(diào)節(jié)時(shí)間ts則表明系統(tǒng)響應(yīng)的過(guò)渡階段的總持續(xù)時(shí)間，從總體上反映了過(guò)程的快速性。超調(diào)量

反映了系統(tǒng)響應(yīng)階段的平穩(wěn)性。穩(wěn)態(tài)誤差ess

表征的是系統(tǒng)響應(yīng)的最終（穩(wěn)態(tài)）精度?？刂乒こ讨校Ｒ?/p>

、ts及ess

三項(xiàng)指標(biāo)評(píng)價(jià)系統(tǒng)的穩(wěn)、快、準(zhǔn)。1122.6.3典型一階閉環(huán)系統(tǒng)分析所謂一階是指系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)分母的最高次冪為1開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：C(s)R(s)積分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)模型T：一階系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)；（一階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)分母常數(shù)項(xiàng)為1，s一階項(xiàng)的系數(shù)即為時(shí)間常數(shù)T）C(s)R(s)－113單位階躍響應(yīng)h(t)單位階躍函數(shù)輸入的拉氏變換為：將上式展開(kāi)為部分分式：故單位階躍響應(yīng)為：穩(wěn)態(tài)分量暫態(tài)分量114性能指標(biāo)在t=0時(shí)，響應(yīng)曲線的初始斜率為：即系統(tǒng)如果能保持初始響應(yīng)速度，則在t=T時(shí)就能達(dá)到穩(wěn)態(tài)值（減小T可以提高響應(yīng)的初速度）。所以，如果已知系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，那么單位階躍響應(yīng)曲線的初始斜率與穩(wěn)態(tài)值相交處所對(duì)應(yīng)的時(shí)間就是系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)Th(t)h(t)在t=T時(shí)，h(T)=1–e-1=0.632。說(shuō)明此時(shí)系統(tǒng)的輸出已達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的63.2%h(t)一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)沒(méi)有超調(diào)，其動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)主要是調(diào)節(jié)時(shí)間ts此值與穩(wěn)態(tài)值僅差5%，在工程中此時(shí)常看作過(guò)渡過(guò)程已結(jié)束由于T愈大，階躍響應(yīng)曲線上升斜率愈小，因而在一定條件下，一階系統(tǒng)可近似看成為積分環(huán)節(jié)當(dāng)t=3T時(shí)：116單位階躍響應(yīng)其它輸入函數(shù)的響應(yīng)僅需改動(dòng)R(s)便可求出C(s)例：設(shè)一階系統(tǒng)的前向通道傳遞函數(shù)為，即積分環(huán)節(jié)。要求當(dāng)反饋系數(shù)為0.1時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)單位階躍響應(yīng)的ts不大于0.1s，問(wèn)原參數(shù)能否滿足此要求？若不能滿足，而主通道參數(shù)又不能改變，應(yīng)如何解決？解：已知系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)T=0.1s，故ts=3T=30.1=0.3s不滿足對(duì)ts的要求欲使ts減小可采用：改變主通道的積分時(shí)間常數(shù)改變反饋系數(shù)不符合題意設(shè)改變后的H(s)=Kt使系統(tǒng)閉環(huán)輸出穩(wěn)態(tài)值變化不會(huì)改變階躍輸入響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值通過(guò)以上分析增大反饋系數(shù)，可以使ts減小，但卻使系統(tǒng)對(duì)單位階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值也發(fā)生了變化。如沒(méi)有前向通道傳遞函數(shù)不能改變的限制，修改前向通道傳遞函數(shù)，也可以達(dá)到改變ts的目的，且穩(wěn)態(tài)值也不會(huì)改變。設(shè)kg為前向通道系數(shù)，則：1202.6.4典型二階閉環(huán)系統(tǒng)分析所謂二階是指系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)分母的最高次冪為2閉環(huán)傳遞函數(shù)為：數(shù)學(xué)模型開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：

n稱(chēng)為二階系統(tǒng)的自然振蕩角頻率為二階系統(tǒng)的阻尼比式中：R(s)C(s)－121單位階躍響應(yīng)h(t)單位階躍函數(shù)輸入的拉氏變換為：系統(tǒng)的特征方程（系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式等于零）該方程的兩個(gè)特征根（即閉環(huán)極點(diǎn)）為：122欠阻尼(0<<1)狀態(tài)0<<1時(shí)根的分布s1，s2是一對(duì)共軛復(fù)根此時(shí)，輸出C(s)的表達(dá)式為：兩個(gè)特征根為：令，上式變?yōu)椋菏街?/p>

d稱(chēng)為阻尼振蕩角頻率穩(wěn)態(tài)分量0<<1時(shí)根的分布暫態(tài)分量124系統(tǒng)的誤差信號(hào)是輸入量與輸出量之差，即系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的第二項(xiàng)反映的是系統(tǒng)誤差信號(hào)的大小變化，誤差信號(hào)是一個(gè)振蕩角頻率為

d的阻尼振蕩，并以的速率在衰減穩(wěn)態(tài)時(shí)，亦即t=

時(shí)，輸入量與輸出量之間沒(méi)有誤差)()()(tctrte-=125右圖是二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線，圖中采用

nt作橫坐標(biāo)，量綱為弧度，這時(shí)單位階躍響應(yīng)曲線只是

的函數(shù)。圖中給出了對(duì)應(yīng)

不同取值的曲線h(t)126無(wú)阻尼(=0)狀態(tài)h(t)=0時(shí)的二階系統(tǒng)根的分布和單位階躍響應(yīng)曲線此時(shí)系統(tǒng)呈不衰減的等幅振蕩，振蕩頻率

n稱(chēng)為自然振蕩角頻率其特征根為：當(dāng)

=0時(shí)，可看成欠阻尼的一個(gè)特殊情況，將=0代入欠阻尼系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)式中得：127臨界阻尼(=1)狀態(tài)=1時(shí)的二階系統(tǒng)根的分布和單位階躍響應(yīng)曲線上式表明，臨界阻尼時(shí)二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是穩(wěn)態(tài)值為1的單調(diào)上升曲線，整個(gè)響應(yīng)特性不再出現(xiàn)振蕩h(t)當(dāng)

=1時(shí)，特征根為s1,2=-

n

是負(fù)實(shí)重根128過(guò)阻尼(>1)狀態(tài)T1、T2稱(chēng)為過(guò)阻尼二階系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)，其中T1>T2令129當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時(shí)，輸出為：h(t)>1時(shí)的二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線穩(wěn)態(tài)值隨時(shí)間增長(zhǎng)而衰減到零整個(gè)過(guò)程不存在振蕩從以上四種情況分析，說(shuō)明阻尼比

越小，則超調(diào)量越大，上升時(shí)間越短。在非振蕩響應(yīng)曲線中，臨界阻尼具有最短的上升時(shí)間h(t)在實(shí)際工程中。要兼顧過(guò)渡過(guò)程和超調(diào)量時(shí)，阻尼比應(yīng)選擇在0.4~0.8之間。

值太小（如<0.4），超調(diào)太大。故應(yīng)適當(dāng)選擇來(lái)滿足超調(diào)量和過(guò)渡過(guò)程時(shí)間在工程實(shí)際中，通過(guò)調(diào)整系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)放大系數(shù)K來(lái)獲得較理想的值131過(guò)渡過(guò)程的性能指標(biāo)由于0<<1和1時(shí)系統(tǒng)具有不同形式的響應(yīng)曲線，因此性能指標(biāo)的計(jì)算方法亦有所不同欠阻尼(0<<1)狀態(tài)輸出響應(yīng)為：峰值時(shí)間tp

：將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并令其等于零，即可求出峰值時(shí)間tp即：在n=1時(shí)，第一次達(dá)到峰值，所以已知欠阻尼狀態(tài)下：bpzzpbw+=-+=+narctgntpd21超調(diào)量

：代入到因?yàn)槌{(diào)量發(fā)生在峰值上，所以將得：已知超調(diào)量的定義為：故在單位階躍輸入下：阻尼比越小超調(diào)量越大調(diào)節(jié)時(shí)間（過(guò)渡過(guò)程時(shí)間）ts：在欠阻尼情況下，系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入信號(hào)的瞬態(tài)響應(yīng)呈衰減阻尼振蕩，其包絡(luò)線函數(shù)為：135從調(diào)節(jié)時(shí)間的定義可得ts是過(guò)渡過(guò)程曲線到達(dá)并永遠(yuǎn)保持在規(guī)定的允許誤差帶（

=±5

）內(nèi)所需的最小時(shí)間。即：因此可求得時(shí)間ts：調(diào)節(jié)時(shí)間與阻尼比的近似關(guān)系圖136二階系統(tǒng)超調(diào)量與阻尼比關(guān)系曲線∴在設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)，阻尼比

通常由超調(diào)量決定∴調(diào)節(jié)時(shí)間ts由

n決定過(guò)阻尼(1)狀態(tài)在過(guò)阻尼情況下，不存在超調(diào)量，僅討論調(diào)節(jié)時(shí)間ts即可從下式來(lái)看，要直接求解ts比較困難，需借助于計(jì)算機(jī)求解，計(jì)算結(jié)果如右圖所示在工程上可進(jìn)一步簡(jiǎn)化計(jì)算，當(dāng)T1≥4T2時(shí)，ts=3T1已滿足工程上的需要了綜上所述，在過(guò)阻尼條件下，當(dāng)系統(tǒng)中兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根相差4倍以上時(shí)，系統(tǒng)可近似等效為一個(gè)一階系統(tǒng)，其ts=3T1（誤差小于10%）。從圖中可以看出，在1~1.25范圍內(nèi)取值時(shí)，可從圖中查出ts

；當(dāng)＞1.25時(shí)，系統(tǒng)可等效為一階慣性環(huán)節(jié)一般用右式估算：1384.結(jié)論阻尼比：二階系統(tǒng)的一個(gè)重要參量，值決定超調(diào)量

0＜＜1時(shí)，%

＞1時(shí)，無(wú)超調(diào)調(diào)節(jié)時(shí)間ts

0＜＜1時(shí)，與n

成反比，確定后，通過(guò)改變

n

來(lái)改變ts

1時(shí)，ts

在工程上，要兼顧ts及

%，常取在0.4~0.8之間，這時(shí)

%在25%-1.5%之間階躍輸入穩(wěn)態(tài)誤差ess=0例一角位置隨動(dòng)系統(tǒng)為單位負(fù)反饋系統(tǒng)，其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下所示：假設(shè)系統(tǒng)中前向通道中放大器的增益KA可調(diào)，試計(jì)算KA=200情況下，系統(tǒng)被控制量的單位階躍響應(yīng)性能指標(biāo)：峰值時(shí)間tp

、調(diào)節(jié)時(shí)間ts及超調(diào)量

%

。如果增益提高到1500或減小到10，試問(wèn)對(duì)系統(tǒng)的響應(yīng)有何影響？解：1.KA=200系統(tǒng)為單位負(fù)反饋，故得閉環(huán)傳遞函數(shù)：代入KA=200

，則：對(duì)照標(biāo)準(zhǔn)形式：得：根據(jù)指標(biāo)計(jì)算公式得：2.KA=1500同法可得：則：提高增益將使響應(yīng)初始段加快但振蕩強(qiáng)烈，平穩(wěn)性明顯下降

減小n增大，調(diào)節(jié)時(shí)間并無(wú)多大變化3.KA=10算得：系統(tǒng)具有過(guò)阻尼：響應(yīng)雖然無(wú)超調(diào)，但過(guò)程偏于緩慢1425.改善二階系統(tǒng)響應(yīng)性能的措施從上例中不難發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)響應(yīng)的平穩(wěn)性和快速性對(duì)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)的要求往往是矛盾的為提高響應(yīng)速度而加大開(kāi)環(huán)增益，結(jié)果阻尼比又偏小，使振蕩加劇反之，減小增益能顯著改善平穩(wěn)性，但過(guò)程又偏于緩慢可見(jiàn)僅通過(guò)調(diào)整系統(tǒng)原有部件的有限個(gè)參數(shù)，有時(shí)很難全面滿足性能指標(biāo)。因此只能另辟新徑來(lái)改善系統(tǒng)的品質(zhì)。可以采取在原反饋系統(tǒng)中加入校正環(huán)節(jié)，來(lái)著重改善系統(tǒng)響應(yīng)某一方面的性能比例-微分控制的二階系統(tǒng)1++Tds-R(s)E(s)C(s)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)同時(shí)受誤差信號(hào)和誤差微分信號(hào)雙重控制，Td稱(chēng)微分時(shí)間常數(shù)（微分系數(shù)）系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：稱(chēng)等效阻尼比Tds的設(shè)置等效于阻尼比加大，從而使超調(diào)減弱，改善了系統(tǒng)的平穩(wěn)性。甚至在原系統(tǒng)阻尼比很小的情況下，可實(shí)現(xiàn)等效阻尼比大于1，完全消除振蕩微分控制是一種超前控制，能在實(shí)際超調(diào)出現(xiàn)之前，就產(chǎn)生一個(gè)適當(dāng)?shù)男拚饔美?：某單位負(fù)反饋系統(tǒng)如圖，求系統(tǒng)單位階躍輸入的σ%和ts解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)：)6.0(1+ssr(t)=1(t)-c(t)例2：若在上例中的前向通道串入一比例微分校正環(huán)節(jié)，求系統(tǒng)單位階躍輸入的σ%和ts。解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)：系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng):-c(t)14.0+sr(t)=1(t))6.0(1+ss(1)例3：若在例1中的系統(tǒng)采用反饋校正環(huán)節(jié)，求系統(tǒng)單位階躍輸入的σ%和ts解：系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：-c(t)s4.0)6.0(1+ssr(t)=1(t)-閉環(huán)傳遞函數(shù)1502.7系統(tǒng)穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)誤差分析如果系統(tǒng)受外界或內(nèi)部的擾動(dòng)（包括給定值的變化），偏離了原平衡狀態(tài)，而當(dāng)擾動(dòng)消失后（包括給定值恢復(fù)到原狀態(tài)），系統(tǒng)的輸出仍能逐漸恢復(fù)到原狀態(tài)，則稱(chēng)系統(tǒng)是穩(wěn)定的或具有穩(wěn)定性穩(wěn)定性是擾動(dòng)消失后系統(tǒng)自身的一種恢復(fù)能力，是系統(tǒng)的一種固有特性，穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，而與初始條件及外作用無(wú)關(guān)穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)的重要性能，是系統(tǒng)正常工作的首要條件。分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的基本任務(wù)之一2.7.1系統(tǒng)穩(wěn)定性分析151穩(wěn)定的數(shù)學(xué)條件閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為：系統(tǒng)穩(wěn)定的數(shù)學(xué)條件為：閉環(huán)系統(tǒng)所有特征根均具有負(fù)實(shí)部（或所有特征根均位于s左半平面），即：Resi

<0(i=1，2，，n）系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)：系統(tǒng)穩(wěn)定性特征根的性質(zhì)特征方程結(jié)構(gòu)參數(shù)∴系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于自身而與擾動(dòng)及其形式以及初始條件無(wú)關(guān)152代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)根據(jù)穩(wěn)定條件Resi

<0判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性，需要知道系統(tǒng)所有特征根實(shí)部的正、負(fù)，求解工作量較大（尤其是高階系統(tǒng)）可采用一種不必解出特征根，而直接判別特征根是否滿足Resi

<0的代數(shù)方法，稱(chēng)為代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)的特征方程為：則系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為：特征多項(xiàng)式中各項(xiàng)系數(shù)大于零，即：153特征多項(xiàng)式各系數(shù)構(gòu)造的n階行列式中，各奇數(shù)子行列式或各偶數(shù)子行列式大于零，即：或其中：例1

系統(tǒng)特征方程為試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性解由特征方程知各項(xiàng)系數(shù)均大于零不滿足各奇數(shù)子行列式大于零的條件，系統(tǒng)不穩(wěn)定例2

單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試求保證系統(tǒng)穩(wěn)定增益K的可調(diào)范圍。解系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為：展開(kāi)得：根據(jù)穩(wěn)定條件：

ai>0：則由閉環(huán)特征多項(xiàng)式看出，應(yīng)有K>0

D2>0得:為保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定增益K的可調(diào)范圍是:增大開(kāi)路增益對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性不利156結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定問(wèn)題僅靠調(diào)整各元部件參數(shù)無(wú)法保證穩(wěn)定的系統(tǒng)，稱(chēng)結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)K1--HrUHKPL1Q1Q2Q其系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為：令:則：展開(kāi)得：缺少s項(xiàng)，即a2=0，系統(tǒng)不穩(wěn)定。調(diào)整Tm及K均構(gòu)造不出s項(xiàng)，該系統(tǒng)為一結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)有兩個(gè)1/s環(huán)節(jié)串聯(lián)，且傳遞函數(shù)分子中無(wú)s項(xiàng)，造成s一次項(xiàng)系數(shù)為零某控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下所示：157改變結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定可以采用兩種方案：改變1/s環(huán)節(jié)的性質(zhì)（減少閉合回路積分環(huán)節(jié)的數(shù)目）由比例反饋KH包圍兩個(gè)1/s環(huán)節(jié)中的任一個(gè)HKH-