2025年湘教新版高二數(shù)學(xué)下冊階段測試試卷

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年湘教新版高二數(shù)學(xué)下冊階段測試試卷263考試試卷考試范圍：全部知識點；考試時間：120分鐘學(xué)校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五六總分得分評卷人得分一、選擇題(共6題，共12分)1、已知橢圓上的一點P到橢圓一個焦點的距離為4；則P到另一焦點距離為（）

A.5

B.4

C.6

D.7

2、計算的結(jié)果是（）

A.-

B.

C.-1

D.1

3、正方體的棱長為1，線段上有兩個動點且則下列結(jié)論中錯誤的是()

A.B.A1C⊥平面AEFC.三棱錐A-BEF的體積為定值D.異面直線所成角為定值4、設(shè)則數(shù)列{an}的最大項為（）A.5B.11C.10或11D.365、已知a、b、c、d∈R＋，且a+d=b+c，│a-d│<│b-c│，則（）A.ad=bcB.adC.ad>bcD.ad≤bc6、讀程序。

甲：i=1

乙：i=1000

S=0S=0

WHILEi<=1000DO

S=S+iS=S+i

i=i+li=i鈭?1

WENDLoopUNTILi<1

PRINTSPRINTS

ENDEND

對甲乙兩程序和輸出結(jié)果判斷正確的是(

)

A.程序不同結(jié)果不同B.程序不同，結(jié)果相同C.程序相同結(jié)果不同D.程序相同，結(jié)果相同評卷人得分二、填空題(共5題，共10分)7、已知的三邊分別為a，b，c，且＝那么角C＝.8、是虛數(shù)單位，計算：=____9、【題文】函數(shù)的圖象。

如圖所示，則的表達式是____.10、【題文】已知的值為____。11、sin15°+cos15°=____．評卷人得分三、作圖題(共9題，共18分)12、著名的“將軍飲馬”問題：有一位將軍騎著馬要從A地走到B地；但途中要到水邊喂馬喝一次水，則將軍怎樣走最近？

13、A是銳角MON內(nèi)部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最?。ㄈ鐖D所示）14、已知，A，B在直線l的兩側(cè)，在l上求一點，使得PA+PB最小．（如圖所示）15、著名的“將軍飲馬”問題：有一位將軍騎著馬要從A地走到B地；但途中要到水邊喂馬喝一次水，則將軍怎樣走最近？

16、A是銳角MON內(nèi)部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最?。ㄈ鐖D所示）17、已知，A，B在直線l的兩側(cè)，在l上求一點，使得PA+PB最?。ㄈ鐖D所示）18、分別畫一個三棱錐和一個四棱臺．評卷人得分四、解答題(共4題，共40分)19、如圖；在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．

（1）求證：PC⊥BC；

（2）求點A到平面PBC的距離．

20、已知：求證：21、【題文】已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點,短軸長為2,一條準(zhǔn)線的方程為l:x=2.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點,F是橢圓的右焦點,點M是直線l上的動點,過點F作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于點N,求證:線段ON的長為定值.22、已知數(shù)列{an}

的前n

項和為Sn

且滿足Sn=2an鈭?n

求數(shù)列{an}

的通項公式.

勤于思考的小紅設(shè)計了下面兩種解題思路，請你選擇其中一種并將其補充完整．

思路1

先設(shè)n

的值為1

根據(jù)已知條件，計算出a1=

______，a2=

______，a3=

______．

猜想：an=

______

然后用數(shù)學(xué)歸納法證明.

證明過程如下：

壟脵

當(dāng)n=1

時；______，猜想成立。

壟脷

假設(shè)n=k(k隆脢N*)

時；猜想成立，即ak=

______．

那么；當(dāng)n=k+1

時，由已知Sn=2an鈭?n

得Sk+1=

______．

又Sk=2ak鈭?k

兩式相減并化簡，得ak+1=

______(

用含k

的代數(shù)式表示)

．

所以；當(dāng)n=k+1

時，猜想也成立．

根據(jù)壟脵

和壟脷

可知猜想對任何k隆脢N*

都成立．

思路2

先設(shè)n

的值為1

根據(jù)已知條件，計算出a1=

______．

由已知Sn=2an鈭?n

寫出Sn+1

與an+1

的關(guān)系式：Sn+1=

______；

兩式相減；得an+1

與an

的遞推關(guān)系式：an+1=

______．

整理：an+1+1=

______．

發(fā)現(xiàn)：數(shù)列{an+1}

是首項為______；公比為______的等比數(shù)列．

得出：數(shù)列{an+1}

的通項公式an+1=

______，進而得到an=

______．評卷人得分五、計算題(共3題，共12分)23、已知等式在實數(shù)范圍內(nèi)成立，那么x的值為____．24、已知a為實數(shù)，求導(dǎo)數(shù)25、已知f（x）=∫1x（4t3﹣）dt，求f（1﹣i）?f（i）．評卷人得分六、綜合題(共1題，共2分)26、（2015·安徽）設(shè)橢圓E的方程為+=1(ab0),點O為坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)為（a，0），點B的坐標(biāo)為（0，b），點M在線段AB上，滿足=2直線OM的斜率為參考答案一、選擇題(共6題，共12分)1、C【分析】

∵橢圓的方程為P為橢圓上一點，P到它的一個焦點的距離等于4；

設(shè)P到另一個焦點的距離為x；

則x+4=2a=10；

x=6．即P到另一個焦點的距離為6．

故選C．

【解析】【答案】由橢圓的定義即可求得P到另一個焦點的距離．

2、D【分析】

由題，==1．

故選D．

【解析】【答案】由于F（x）=sinx為f（x）=cosx的一個原函數(shù)即F′（x）=f（x），根據(jù)∫abf（x）dx=F（x）|ab公式即可求出值．

3、D【分析】【解答】解：∵AC⊥平面BB1D1D，又BE?平面BB1D1D；

∴AC⊥BE．故A正確．

∵EF垂直于直線AB1，AD1；

∴A1C⊥平面AEF．故B正確．

C中由于點B到直線B1D1的距離不變；故△BEF的面積為定值．

又點A到平面BEF的距離為故VA-BEF為定值．C正確。

當(dāng)點E在D1處，F(xiàn)為D1B1的中點時，異面直線AE，BF所成的角是∠FBC1；

當(dāng)E在上底面的中心時，F(xiàn)在C1的位置；

異面直線AE，BF所成的角是∠EAA1

顯然兩個角不相等；D不正確．

故選D．

【分析】通過直線AC垂直平面平面BB1D1D，判斷A是正確的；通過直線EF垂直于直線AB1，AD1，判斷A1C⊥平面AEF是正確的；計算三角形BEF的面積和A到平面BEF的距離是定值，說明C是正確的；只需找出兩個特殊位置，即可判斷D是不正確的；綜合可得答案．4、A【分析】【解答】由題意，=﹣（n﹣5）2+36

∴n=5時，an取得最大。

故選A．

【分析】利用配方法，即可求得數(shù)列{an}的最大項．5、C【分析】【分析】取a=1，d=4，b=2；c=3驗證知，選C。

【點評】對此類問題，既可以加以論證，也可以用特殊值檢驗的方法。6、B【分析】解：程序甲是計數(shù)變量i

從1

開始逐步遞增直到i=1000

時終止；

累加變量從0

開始；這個程序計算的是：1+2+3++1000

程序乙計數(shù)變量從1000

開始逐步遞減到i=1

時終止；

累加變量從0

開始；這個程序計算的是1000+999++1

．

但這兩個程序是不同的.

兩種程序的輸出結(jié)果都是：S=1+2+3++1000=100500

．

故選B．

分析程序中各變量；各語句的作用；再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是利用循環(huán)計算并打印S

值。

考查由框圖分析出算法結(jié)構(gòu)的能力，本題考查是循環(huán)的結(jié)果．【解析】B

二、填空題(共5題，共10分)7、略

【分析】試題分析：在中，化簡整理得:根據(jù)余弦定理化簡為;答案為考點：1.三角形的面積公式；2.余弦定理.【解析】【答案】8、略

【分析】【解析】

因為【解析】【答案】-1-3i9、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】10、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】11、【分析】【解答】解：sin15°+cos15°=（sin15°+cos15°）=sin（15°+45°）=sin60°=．故答案為：

【分析】原式提取利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，即可得到結(jié)果．三、作圖題(共9題，共18分)12、略

【分析】【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出B點與河面的對稱點B′，連接AB′，AB′與河面的交點C即為所求．【解析】【解答】解：作B點與河面的對稱點B′；連接AB′，可得到馬喝水的地方C；

如圖所示；

由對稱的性質(zhì)可知AB′=AC+BC；

根據(jù)兩點之間線段最短的性質(zhì)可知；C點即為所求．

13、略

【分析】【分析】作出A關(guān)于OM的對稱點A'，關(guān)于ON的A對稱點A''，連接A'A''，根據(jù)兩點之間線段最短即可判斷出使三角形周長最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A關(guān)于OM的對稱點A'；關(guān)于ON的A對稱點A''，與OM；ON相交于B、C，連接ABC即為所求三角形．

證明：∵A與A'關(guān)于OM對稱；A與A″關(guān)于ON對稱；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根據(jù)兩點之間線段最短，A'A''為△ABC的最小值．14、略

【分析】【分析】顯然根據(jù)兩點之間，線段最短，連接兩點與直線的交點即為所求作的點．【解析】【解答】解：連接兩點與直線的交點即為所求作的點P；

這樣PA+PB最??；

理由是兩點之間，線段最短．15、略

【分析】【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出B點與河面的對稱點B′，連接AB′，AB′與河面的交點C即為所求．【解析】【解答】解：作B點與河面的對稱點B′；連接AB′，可得到馬喝水的地方C；

如圖所示；

由對稱的性質(zhì)可知AB′=AC+BC；

根據(jù)兩點之間線段最短的性質(zhì)可知；C點即為所求．

16、略

【分析】【分析】作出A關(guān)于OM的對稱點A'，關(guān)于ON的A對稱點A''，連接A'A''，根據(jù)兩點之間線段最短即可判斷出使三角形周長最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A關(guān)于OM的對稱點A'；關(guān)于ON的A對稱點A''，與OM；ON相交于B、C，連接ABC即為所求三角形．

證明：∵A與A'關(guān)于OM對稱；A與A″關(guān)于ON對稱；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根據(jù)兩點之間線段最短，A'A''為△ABC的最小值．17、略

【分析】【分析】顯然根據(jù)兩點之間，線段最短，連接兩點與直線的交點即為所求作的點．【解析】【解答】解：連接兩點與直線的交點即為所求作的點P；

這樣PA+PB最??；

理由是兩點之間，線段最短．18、解：畫三棱錐可分三步完成。

第一步：畫底面﹣﹣畫一個三角形；

第二步：確定頂點﹣﹣在底面外任一點；

第三步：畫側(cè)棱﹣﹣連接頂點與底面三角形各頂點．

畫四棱可分三步完成。

第一步：畫一個四棱錐；

第二步：在四棱錐一條側(cè)棱上取一點；從這點開始，順次在各個面內(nèi)畫與底面對應(yīng)線段平行的線段；

第三步：將多余線段擦去．

【分析】【分析】畫三棱錐和畫四棱臺都是需要先畫底面，再確定平面外一點連接這點與底面上的頂點，得到錐體，在畫四棱臺時，在四棱錐一條側(cè)棱上取一點，從這點開始，順次在各個面內(nèi)畫與底面對應(yīng)線段平行的線段，將多余線段擦去，得到圖形．四、解答題(共4題，共40分)19、略

【分析】

（1）證明：因為PD⊥平面ABCD；BC?平面ABCD，所以PD⊥BC．

由∠BCD=90°；得CD⊥BC；

又PD∩DC=D；PD；DC?平面PCD；

所以BC⊥平面PCD．

因為PC?平面PCD；故PC⊥BC．

（2）（方法一）分別取AB；PC的中點E、F；連DE、DF，則：

易證DE∥CB；DE∥平面PBC，點D；E到平面PBC的距離相等．

又點A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍．

由（1）知：BC⊥平面PCD；所以平面PBC⊥平面PCD于PC；

因為PD=DC；PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F．

易知DF=故點A到平面PBC的距離等于．

（方法二）等體積法：連接AC．設(shè)點A到平面PBC的距離為h．

因為AB∥DC；∠BCD=90°，所以∠ABC=90°．

從而AB=2，BC=1，得△ABC的面積S△ABC=1．

由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱錐P-ABC的體積．

因為PD⊥平面ABCD；DC?平面ABCD，所以PD⊥DC．

又PD=DC=1，所以．

由PC⊥BC，BC=1，得△PBC的面積．

由VA-PBC=VP-ABC，得

故點A到平面PBC的距離等于．

【解析】【答案】（1）；要證明PC⊥BC，可以轉(zhuǎn)化為證明BC垂直于PC所在的平面，由PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°，容易證明BC⊥平面PCD，從而得證；

（2）；有兩種方法可以求點A到平面PBC的距離：

方法一；注意到第一問證明的結(jié)論，取AB的中點E，容易證明DE∥平面PBC，點D；E到平面PBC的距離相等，而A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍，由第一問證明的結(jié)論知平面PBC⊥平面PCD，交線是PC，所以只求D到PC的距離即可，在等腰直角三角形PDC中易求；

方法二；等體積法：連接AC，則三棱錐P-ACB與三棱錐A-PBC體積相等，而三棱錐P-ACB體積易求，三棱錐A-PBC的地面PBC的面積易求，其高即為點A到平面PBC的距離，設(shè)為h，則利用體積相等即求．

20、略

【分析】【解析】試題分析：思路分析：利用“分析法”，從假定成立入手，經(jīng)過兩邊平方等一系列變換，探尋其成立的條件，歸結(jié)為成立，而此成立，達到證明目的。證明：要使原不等式成立，只要：3分只要：6分只要：由已知此不等式成立。10分考點：絕對值不等式的證明【解析】【答案】應(yīng)用分析法21、略

【分析】【解析】(1)∵橢圓C的短軸長為2,橢圓C的一條準(zhǔn)線為l:x=2,

∴不妨設(shè)橢圓C的方程為+y2=1.

∴==2,即c=1.

∴橢圓C的方程為+y2=1.

(2)F(1,0),右準(zhǔn)線為l:x=2.設(shè)N(x0,y0),

則直線FN的斜率為kFN=直線ON的斜率為kON=

∵FN⊥OM,∴直線OM的斜率為kOM=-

∴直線OM的方程為y=-x,

點M的坐標(biāo)為M(2,-).

∴直線MN的斜率為kMN=

∵MN⊥ON,∴kMNkON=-1.

∴·=-1.

∴+2(x0-1)+x0(x0-2)=0,即+=2.

∴ON=為定值.【解析】【答案】(1)+y2=1(2)見解析22、略

【分析】本題滿分8

分)

解：思路1

隆脽Sn=2an鈭?n

隆脿a1=1(1

分)

由1+a2=2a2鈭?2

得：a2=3(2

分)

同理可得；a3=7(3

分)

猜想：an=2n鈭?1(4

分)

a1=21鈭?1=1(5

分)

ak=2k鈭?1(6

分)

Sk+1=2ak+1鈭?(k+1)(,(7

分)

ak+1=2k+1鈭?1.(8

分)

思路2

a1=1(1

分)

Sn+1=2an+1鈭?(n+1)(2

分)

an+1=2an+1(3

分)

an+1+1=2(an+1)(4

分)

2(5

分)

2(6

分)

an+1=2n(7

分)

an=2n鈭?1.(8

分)

思路1

由Sn=2an鈭?n

可求得a1a2a3

故可猜想：an=2n鈭?1

然后用數(shù)學(xué)歸納法證明．

思路2

先設(shè)n

的值為1

根據(jù)已知條件，計算出a1

再由已知Sn=2an鈭?n

寫出Sn+1

與an+1

的關(guān)系式：Sn+1=2an+1鈭?(n+1)

兩式相減，得an+1

與an

的遞推關(guān)系式：an+1=2an+1

．

繼而發(fā)現(xiàn)：數(shù)列{an+1}

是首項為2

公比為2

的等比數(shù)列，于是可得：數(shù)列{an+1}

的通項公式，進而得到an

．

本題考查數(shù)列遞推式的應(yīng)用，熟練掌握數(shù)學(xué)歸納法與等比數(shù)列的判斷及通項公式的應(yīng)用是解決問題的關(guān)鍵，屬于中檔題．