工學自動控制理論3時域分析

第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析

本章主要內(nèi)容及難點

自動控制系統(tǒng)的時域指標

一階系統(tǒng)的階躍響應

二階系統(tǒng)的階躍響應

高階系統(tǒng)的階躍響應

自動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

穩(wěn)態(tài)誤差

小結本章主要內(nèi)容

本章介紹了控制系統(tǒng)時域性能分析法的相關概念和原理。包括各種典型輸入信號的特征、控制系統(tǒng)常用性能指標、一階、二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應、脈沖響應函數(shù)及其應用、控制系統(tǒng)穩(wěn)定性及穩(wěn)定判據(jù)、系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差等。本章重點

通過本章學習，應重點掌握典型輸入信號的定義與特征、控制系統(tǒng)暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能指標的定義及計算方法、一階及二階系統(tǒng)暫態(tài)響應的分析方法、控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念及穩(wěn)定判據(jù)的應用、控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差概念和誤差系數(shù)的求取等內(nèi)容。自動控制系統(tǒng)的時域指標

對控制性能的要求

（1）系統(tǒng)應是穩(wěn)定的；（2）系統(tǒng)達到穩(wěn)定時，應滿足給定的穩(wěn)態(tài)誤差的要求；（3）系統(tǒng)在暫態(tài)過程中應滿足暫態(tài)品質(zhì)的要求。

一、典型二階系統(tǒng)的暫態(tài)特性

系統(tǒng)的特征方程為：可解出特征方程式的特征根，這些根與阻尼比

有關1．過阻尼（

>1）的情況

系統(tǒng)的特征根為：

2．欠阻尼（）的情況

特征方程的根為：系統(tǒng)輸出響應為：式中，稱阻尼振蕩角頻率，或振蕩角頻率；

圖3-10以

參變量的二階系統(tǒng)單位階躍響應3．臨界阻尼（

=1）的情況

系統(tǒng)的特征方程式的根為：

圖3-11時二階系統(tǒng)的單位階躍響應4．無阻尼（

=0）的情況

特征方程式的根為：二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應為：

圖3-12時二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應

二、二階系統(tǒng)暫態(tài)特性指標

1．上升時間tr：

在暫態(tài)過程中第一次達到穩(wěn)態(tài)值的時間稱為上升時間tr。

其計算公式為：由上式可以看出和

n對上升時間的影響。當

n一定時，阻尼比越大，則上升時間tr越長；當一定時，

n越大，則tr越短。2．最大超調(diào)量

%最大超調(diào)量發(fā)生在第一個周期中t=tm

時刻。根據(jù)超調(diào)量的定義得最大超調(diào)量的計算公式為：從上式知，二階系統(tǒng)的最大超調(diào)量與值有密切的關系，阻尼比越小，超調(diào)量越大。3．調(diào)節(jié)時間ts

調(diào)節(jié)時間ts是與穩(wěn)態(tài)值之間的偏差達到允許范圍（一般取5%~2%）而不再超出的暫態(tài)過程時間。調(diào)節(jié)時間為：調(diào)節(jié)時間ts近似與成反比關系。在設計系統(tǒng)時，通常由要求的最大調(diào)節(jié)量所決定，所以調(diào)節(jié)時間ts由自然振蕩角頻率所決定。也就是說，在不改變超調(diào)量的條件下，通過改變的值可以改變調(diào)節(jié)時間。4．振蕩次數(shù)

振蕩次數(shù)是指在調(diào)節(jié)時間ts內(nèi)，波動的次數(shù)。根據(jù)這一定義可得振蕩次數(shù)為式中為阻尼振蕩的周期時間。三、二階工程最佳參數(shù)

目前，在某些控制系統(tǒng)中常常采用所謂二階工程最佳參數(shù)作為設計控制系統(tǒng)的依據(jù)。這種系統(tǒng)選擇的參數(shù)使這時。將這一參數(shù)代入二階系統(tǒng)標準式，得開環(huán)傳遞函數(shù)為：得閉環(huán)傳遞函數(shù)為：這一系統(tǒng)的單位階躍響應暫態(tài)特性指標為：

最大超調(diào)量

上升時間

調(diào)節(jié)時間

ts（2%）=8.43T（用近似公式求得為8T）

ts（5%）=4.14T（用近似公式求得為6T）例3-1有一位置隨動系統(tǒng)，其結構圖如圖3-13所示，其中Kk

=4。求該系統(tǒng)的（1）自然振蕩角頻率；（2）系統(tǒng)的阻尼比；（3）超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間；（4）如果要求，應怎樣改變系統(tǒng)參數(shù)Kk

值。解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

寫成標準形式由此得自然振蕩角頻率阻尼比由得超調(diào)量調(diào)節(jié)時間

當要求時,

所以必須降低開環(huán)放大系數(shù)值，才能滿足二階工程最佳參數(shù)的要求。但應注意到，降低開環(huán)放大系數(shù)將使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差增大。

圖3-13例3-1隨動系統(tǒng)結構圖

圖3-14例3-2隨動系統(tǒng)結構圖

例3-2為了改善圖3-13所示系統(tǒng)的暫態(tài)響應性能，滿足單位階躍輸入下系統(tǒng)超調(diào)量的要求，今加入微分負反饋，如圖3-14所示。求微分時間常數(shù)。解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

為了使，令

由可求得并由此求得開環(huán)放大系數(shù)為比例-微分控制不改變系統(tǒng)的自然頻率，但增大了系統(tǒng)的阻尼比。適當選擇開環(huán)增益和微分時間常數(shù)，既可減小系統(tǒng)斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差，又可使系統(tǒng)具有滿意的階躍響應性能。四、零極點對二階系統(tǒng)暫態(tài)性能的影響

具有零點的二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

結論：（1）微分控制可增大系統(tǒng)阻尼，減小階躍響應的超調(diào)量，縮短調(diào)節(jié)時間；（2）允許選取較高的開環(huán)增益，減小穩(wěn)態(tài)誤差；（3）微分對于噪聲（高頻噪聲）有放大作用，在輸入端噪聲較強時，不用比例-微分控制。高階系統(tǒng)的暫態(tài)響應

高階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可表示為如下普通形式將分子和分母分解成因式，上式可寫成式中——系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的零點；——系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點單位階躍響應為

從分析高階系統(tǒng)單位階躍響應表達式還可以得出如下結論。（1）系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)極點的實部在s平面左側離虛軸越遠，則相應的分量衰減越快。反之，系統(tǒng)閉環(huán)極點的實部越小，即在s平面左側離虛軸越近，則相應的分量衰減越慢。

（2）高階系統(tǒng)暫態(tài)響應各分量的系數(shù)不僅和極點在s平面中的位置有關，并且與零點的位置有關。（3）如果高階系統(tǒng)中距離虛軸最近的極點，其實部小于其它極點的實部的1/5，并且附近不存在零點，可以認為系統(tǒng)的暫態(tài)響應主要由這一極點決定。這些對暫態(tài)響應起主導作用的閉環(huán)極點，叫作主導極點，是所有閉環(huán)極點中最重要的極點。在設計一個高階控制系統(tǒng)時，我們常常利用主導極點這一概念選擇系統(tǒng)參數(shù)，使系統(tǒng)具有一對共軛復數(shù)主導極點，這樣就可以近似地用一階或二階系統(tǒng)的指標來設計系統(tǒng)。

胡爾維茨判據(jù)

設所研究的代數(shù)方程仍為構造胡爾維茨行列式D：

胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù)：特征方程式的全部根都在左半復平面的充分必要條件是上述行列式的各階主子式均大于0，即四、參數(shù)對穩(wěn)定性的影響應用代數(shù)穩(wěn)定判椐可以用來判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定，還可以方便地用于分析系統(tǒng)參數(shù)變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，從而給出使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)范圍。

例如系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

系統(tǒng)特征方程為根據(jù)代數(shù)穩(wěn)定判椐，穩(wěn)定的充要條件得穩(wěn)態(tài)誤差

在穩(wěn)態(tài)條件下輸出量的期望值與穩(wěn)態(tài)值之間存在的誤差，稱為系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差。穩(wěn)態(tài)誤差的大小是衡量系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的重要指標。影響系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的因素很多，如系統(tǒng)的結構、系統(tǒng)的參數(shù)以及輸入量的形式等。必須指出的是，這里所說的穩(wěn)態(tài)誤差并不考慮由于元件的不靈敏區(qū)、零點漂移、老化等原因所造成的永久性的誤差。

本節(jié)將討論計算和減少穩(wěn)態(tài)誤差的方法。給定穩(wěn)定誤差和誤差系數(shù)

圖（a）所示為控制系統(tǒng)的典型動態(tài)結構圖。圖中為主反饋檢測元件的傳遞函數(shù)，不包括為改善被控制對象性能的局部反饋環(huán)節(jié)在內(nèi)。系統(tǒng)的期望值是給定信號誤差定義為這個誤差是可以量測的，但是這個誤差并不一定反映輸出量的實際值與期望值之間的偏差。另一種定義誤差的方法是取系統(tǒng)輸出量的實際值與期望值的差，但這一誤差在實際系統(tǒng)中有時無法量測。

誤差傳遞函數(shù)為由此得誤差的拉氏變換為給定穩(wěn)態(tài)誤差為根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)個數(shù)，可將系統(tǒng)分為幾種不同類型。單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可以表示為

1．典型輸入情況下系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差分析（1）單位階躍函數(shù)輸入令，稱為位置誤差系數(shù)，則（2）單位斜坡函數(shù)輸入

令，稱為速度誤差系數(shù)。則

（3）拋物線函數(shù)輸入令，稱為加速度誤差系數(shù)。則

2．動態(tài)誤差系數(shù)

上面所介紹的計算穩(wěn)態(tài)誤差的方法，只能根據(jù)終值定理求得穩(wěn)態(tài)誤差值，而不能了解進入穩(wěn)態(tài)后誤差的變化規(guī)律。下面介紹另一計算穩(wěn)態(tài)誤差的方法，根據(jù)這一方法不但可以求出穩(wěn)態(tài)值，而且不必通過解微分方程，可以簡便地了解到進入穩(wěn)態(tài)后，誤差隨時間變化的規(guī)律。單位反饋系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)為如果將分子和分母中的冪次相同的各項合并，則可寫成用分母多項式除分子多項式，可把上式寫為如下的s的升冪級數(shù)由此可得誤差的拉氏變換為可以求得穩(wěn)態(tài)誤差值。

將k0，k1，k2分別定義為：k0——動態(tài)位置誤差系數(shù)；

k1——動態(tài)速度誤差系數(shù)；

k2——動態(tài)加速度誤差系數(shù)。設初始條件為零，并忽略時系統(tǒng)的脈沖值，則進入穩(wěn)態(tài)時的系統(tǒng)誤差為如果已知各動態(tài)系數(shù)和輸入量的各階導數(shù)，即可求出時誤差的變化規(guī)律。

三、減小穩(wěn)態(tài)誤差的方法

為了進一步減小給定和擾動誤差，可以采用補償?shù)姆椒?。所謂補償是指作用于控制對象的控制信號中，除了偏差信號外，還引入與擾動或給定量有關的補償信號，以提高系統(tǒng)的控制精度，減小誤差。這種控制稱為復合控制或前饋控制。如圖所示的控制系統(tǒng)

給定量通過補償校正裝置，對系統(tǒng)進行開環(huán)控制。這樣，引入的補償信號與偏差信號一起，對控制對象進行復合控制。這種系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為由此得到給定誤差的拉氏變換為如果補償校正裝置的傳遞函數(shù)為則系統(tǒng)補償后的誤差又如在圖所示的結構圖中，為了補償外部擾動對系統(tǒng)產(chǎn)生的作用，引入了擾動的補償信號，補償校正裝置。此時，系統(tǒng)的擾動誤差就是給定量為零時系統(tǒng)的輸出量如果選取則得到小結時域分析是通過直接求解系統(tǒng)在典型輸入信號作用下的時域響應來分析系統(tǒng)的性能的。通常是以系統(tǒng)階躍響應的超調(diào)量、調(diào)整時間和穩(wěn)態(tài)誤差等性能指標來評價系統(tǒng)性能的優(yōu)劣。二階系統(tǒng)在欠阻尼時的響應雖有振蕩，但只要阻尼比取值適當（如左右），則系統(tǒng)既有響應的快速性，又有過渡過程的平穩(wěn)性，因而在控制工程中常把二階系統(tǒng)設計為欠阻尼。如果高階系統(tǒng)中含有一對閉環(huán)主導極點，則該系統(tǒng)的瞬態(tài)響應就可以近似地用這對主導極點所描述的二階系統(tǒng)