2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系233直線與平面垂直的性質(zhì)課件新人教A版必修2

2.3.3直線與平面垂直的性質(zhì)

直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行符號(hào)語(yǔ)言

?a∥b圖形語(yǔ)言

【思考】線面垂直的性質(zhì)定理提供了“垂直”與“平行”關(guān)系轉(zhuǎn)化的依據(jù),你能想到其他轉(zhuǎn)化依據(jù)嗎?提示:

【素養(yǎng)小測(cè)】1.思維辨析(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)三角形的兩邊可以垂直于同一個(gè)平面. (

)(2)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線一定共面. (

)(3)過(guò)一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知平面垂直. (

)提示:(1)×.若三角形的兩邊垂直于同一個(gè)平面,則這兩條邊平行,不能構(gòu)成三角形.(2)√.由線面垂直的性質(zhì)定理可知這兩條直線是平行的,故能確定一個(gè)平面.(3)√.假設(shè)過(guò)一點(diǎn)有兩條直線與已知平面垂直,由直線與平面垂直的性質(zhì)定理可得這兩條直線平行,應(yīng)無(wú)公共點(diǎn),這與過(guò)同一點(diǎn)相矛盾,故只有一條直線.2.在圓柱的一個(gè)底面上任取一點(diǎn)(該點(diǎn)不在底面圓周上),過(guò)該點(diǎn)作另一個(gè)底面的垂線,則這條垂線與圓柱的母線所在直線的位置關(guān)系是 (

)

A.相交 B.平行C.異面 D.相交或平行【解析】選B.由于這條垂線與圓柱的母線都垂直于底面,所以它們平行.3.直線n⊥平面α,n∥l,直線m?α,則l,m的位置關(guān)系是 (

)A.相交 B.異面 C.平行 D.垂直【解析】選D.因?yàn)橹本€n⊥平面α,n∥l,所以l⊥平面α,又因?yàn)橹本€m?α,所以l⊥m.類型一直線與平面垂直的性質(zhì)的應(yīng)用【典例】如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1中,EF與異面直線AC,A1D都垂直相交.求證:EF∥BD1.【思維·引】證明EF與BD1都與平面AB1C垂直.【證明】連接AB1,B1C,BD,B1D1,如圖所示.因?yàn)镈D1⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,所以DD1⊥AC.又因?yàn)锳C⊥BD,BD∩DD1=D,所以AC⊥平面BDD1B1,所以AC⊥BD1.同理BD1⊥B1C,又AC∩B1C=C,所以BD1⊥平面AB1C.因?yàn)镋F⊥A1D,且A1D∥B1C,所以EF⊥B1C.又因?yàn)镋F⊥AC,AC∩B1C=C,所以EF⊥平面AB1C,所以EF∥BD1.【素養(yǎng)·探】在與線面垂直性質(zhì)應(yīng)用有關(guān)的問(wèn)題中,經(jīng)常利用核心素養(yǎng)中的邏輯推理,通過(guò)判定直線與平面的垂直,得到直線與直線平行,實(shí)現(xiàn)“平行”與“垂直”的轉(zhuǎn)化.將本例正方體滿足的條件改為“M是AB上一點(diǎn),N是A1C的中點(diǎn),MN⊥平面A1DC”求證:MN∥AD1.【證明】因?yàn)锳DD1A1為正方形,所以AD1⊥A1D.又因?yàn)镃D⊥平面ADD1A1.所以CD⊥AD1.因?yàn)锳1D∩CD=D,所以AD1⊥平面A1DC.又因?yàn)镸N⊥平面A1DC,所以MN∥AD1.【類題·通】證明線線平行常用的方法(1)利用線線平行定義:證共面且無(wú)公共點(diǎn).(2)利用三線平行公理:證兩線同時(shí)平行于第三條直線.(3)利用線面平行的性質(zhì)定理:把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行.(4)利用線面垂直的性質(zhì)定理:把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直.(5)利用面面平行的性質(zhì)定理:把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行.【習(xí)練·破】在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB⊥平面PAD,AD=AP,E是PD的中點(diǎn),M,N分別在AB,PC上,且MN⊥AB,MN⊥PC.求證:AE∥MN.【證明】因?yàn)锳B⊥平面PAD,AE?平面PAD,所以AE⊥AB,又AB∥CD,所以AE⊥CD.因?yàn)锳D=AP,E是PD的中點(diǎn),所以AE⊥PD.又CD∩PD=D,所以AE⊥平面PCD.因?yàn)镸N⊥AB,AB∥CD,所以MN⊥CD.又因?yàn)镸N⊥PC,PC∩CD=C,所以MN⊥平面PCD,所以AE∥MN.【加練·固】如圖,已知平面α∩平面β=l,EA⊥α,垂足為A,EB⊥β,B為垂足,直線a?β,a⊥AB.求證:a∥l.【證明】因?yàn)镋B⊥β,a?β,所以EB⊥a.又因?yàn)閍⊥AB,AB∩EB=B,所以a⊥平面ABE.因?yàn)棣痢搔?l,所以l?α,l?β.因?yàn)镋A⊥α,EB⊥β,所以EA⊥l,EB⊥l.又因?yàn)镋A∩EB=E,所以l⊥平面ABE.所以a∥l.類型二直線與平面垂直的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用【典例】(2019·贛州高一檢測(cè))如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1=,D,F分別是A1B1,BB1的中點(diǎn).(1)求證:C1D⊥AB1.(2)求證:AB1⊥平面C1DF.【思維·引】(1)要證C1D⊥AB1,需證C1D⊥平面AA1B1B,需證C1D⊥A1B1,C1D⊥AA1,由已知可證.(2)要證AB1⊥平面C1DF,需證AB1⊥DF,需證A1B⊥AB1,需證四邊形AA1B1B為正方形,由已知可證.【證明】(1)因?yàn)锳BC-A1B1C1是直三棱柱,所以A1C1=B1C1=1,且∠A1C1B1=90°.又D是A1B1的中點(diǎn),所以C1D⊥A1B1,因?yàn)锳A1⊥平面A1B1C1,C1D?平面A1B1C1,所以AA1⊥C1D,又因?yàn)锳A1∩A1B1=A1,所以C1D⊥平面AA1B1B,又因?yàn)锳B1?平面AA1B1B,所以C1D⊥AB1.(2)連接A1B,因?yàn)镈,F分別是A1B1,BB1的中點(diǎn),所以DF∥A1B.又直角三角形A1B1C1中,所以A1B1=,所以A1B1=AA1,即四邊形AA1B1B為正方形,所以AB1⊥A1B,即AB1⊥DF,又(1)已證C1D⊥AB1

,又DF∩C1D=D,所以AB1⊥平面C1DF.【素養(yǎng)·探】在與線面垂直判定和性質(zhì)綜合應(yīng)用有關(guān)的問(wèn)題中,經(jīng)常利用核心素養(yǎng)中的邏輯推理,常見(jiàn)的推理形式有:(1)l⊥α,m?α?l⊥m.(2)l⊥a,l⊥b,a∩b=A,a?α,b?α?l⊥α.(3)l⊥α,l∥m?m⊥α.(4)l⊥α,m⊥α?l∥m等.將本例直三棱柱滿足的條件改為“E,F分別在BC,B1B上,且B1E⊥C1F,A1C1⊥B1C1”求證:B1E⊥平面A1C1F.【證明】因?yàn)橹比庵鵄BC-A1B1C1中,A1C1⊥CC1,又因?yàn)锳1C1⊥B1C1.B1C1∩CC1=C1,所以A1C1⊥平面BCC1B1,因?yàn)锽1E?平面BCC1B1,所以A1C1⊥B1E,因?yàn)锽1E⊥C1F,A1C1∩C1F=C1,所以B1E⊥平面A1C1F.【類題·通】線線、線面垂直問(wèn)題的解題策略(1)證明線線垂直,一般通過(guò)證明一條直線垂直于經(jīng)過(guò)另一條直線的平面,為此分析題設(shè),觀察圖形找到是哪條直線垂直于經(jīng)過(guò)哪條直線的平面.(2)證明直線和平面垂直,就是要證明這條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線,這一點(diǎn)在解題時(shí)一定要體現(xiàn)出來(lái).【習(xí)練·破】如圖,四邊形ABCD為矩形,AD⊥平面ABE,F為CE上的點(diǎn),且BF⊥平面ACE.求證:AE⊥BE.【證明】因?yàn)锳D⊥平面ABE,AD∥BC,所以BC⊥平面ABE.又AE?平面ABE,所以AE⊥BC.因?yàn)锽F⊥平面ACE,AE?平面ACE,所以AE⊥BF.因?yàn)锽F?平面BCE,BC?平面BCE,BF∩BC=B,所以AE⊥平面BCE.又BE?平面BCE,所以AE⊥BE.【加練·固】如圖,在四面體PABC中,PA⊥平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,BC=.(1)求四面體PABC的四個(gè)面的面積中,最大的面積是多少?(2)證明:在線段PC上存在點(diǎn)M,使得AC⊥BM,并求的值.【解析】(1)由題設(shè)AB=1,AC=2,BC=,可得AB2+BC2=AC2,所以AB⊥BC,由PA⊥平面ABC,BC,AB,AC?平面ABC,所以PA⊥BC,PA⊥AB,PA⊥AC,所以PB=.又由于PA∩AB=A,故BC⊥平面PAB,PB?平面PAB,所以BC⊥PB,所以△ACB,△PAC,△PAB,△PCB均為直角三角形,且△PCB的面積最大,S△PCB=