信號(hào)與系統(tǒng)3電子課件

第3章連續(xù)時(shí)間傅里葉分析

3.1傅里葉分析的意義3.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析3.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析3.4連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻域分析3.5信號(hào)的抽樣*3.6希爾伯特變換3.1傅里葉分析的意義單頻信號(hào)分離3.13.23.33.4圖3.1時(shí)域信號(hào)的疊加:(a)do音;(b)mi音;(c)sol音;(d)domisol同奏3.53.62025/1/142/1453.1傅里葉分析的意義從離散信號(hào)恢復(fù)原來的連續(xù)時(shí)間信號(hào)？

目前很多信號(hào)都是由連續(xù)信號(hào)抽樣得到的離散信號(hào)，通過數(shù)字設(shè)備進(jìn)行存儲(chǔ)和處理?！皝G棄”了連續(xù)信號(hào)在很多時(shí)間點(diǎn)上的函數(shù)值后，我們還能夠從這樣的離散信號(hào)恢復(fù)原來的連續(xù)時(shí)間信號(hào)嗎？傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換：從一個(gè)新的角度（頻域的角度）認(rèn)識(shí)信號(hào)，按照頻率進(jìn)行“過濾”，分離出單音信號(hào)抽樣定理：在什么條件下能從離散化信號(hào)恢復(fù)原連續(xù)信號(hào)的問題。3.13.23.33.43.53.62025/1/143/1453.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析3.2.1周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開指數(shù)函數(shù)展開式

周期為T的周期信號(hào)xT(t)可以表示成指數(shù)函數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)：上式兩邊同乘并在任意一個(gè)周期內(nèi)積分

3.2.13.2.23.2.33.2.43.13.23.33.43.53.62025/1/144/1453.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析上式右端求和只有k=n時(shí)的一項(xiàng)為非零值，因此右端可化簡為：從而有指數(shù)展開的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)3.2.13.2.23.2.33.2.43.13.23.33.43.53.62025/1/145/1453.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析【例3-1】圖3.1(d)音樂信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析。圖3.1(d)中x1+3+5(t)稱為和弦信號(hào)。記和弦信號(hào)的周期為T（對(duì)應(yīng)于ω0），音階信號(hào)的周期為T1,T3,T5。由圖可以看出T=4T1=5T3=6T5，即ω1=4ω0，ω3=5ω0，ω5=6ω0。因此和弦信號(hào)可以表示為

利用歐拉公式上式可寫為

對(duì)照展開式，可知其展開式系數(shù)ck為

其余ck為0

3.2.13.2.23.2.33.2.43.13.23.33.43.53.62025/1/146/1453.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析【例3-2】試求圖3.2(a)給出的周期信號(hào)δT(t)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式

【解】利用展開公式因此，δT(t)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為

3.2.13.2.23.2.33.2.4圖3.2(a)周期沖激信號(hào);(b)周期沖激信號(hào)的頻譜3.13.23.33.43.53.62025/1/147/1453.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析【例3-3】周期矩形脈沖信號(hào)xT(t)如圖3.3(a)所示，其脈幅為1，脈寬為2，脈沖重復(fù)周期為T1，求其傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)ck。假定T1=1,T=8時(shí)，繪出ck序列的波形圖。

3.2.13.2.23.2.33.2.4圖3.3(a)周期方波信號(hào);(b)2T1=2,T=8

的ck曲線,3.13.23.33.43.53.62025/1/148/1453.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析【解】為便于計(jì)算，積分周期取為[-T/2,T/2]，則積分限為[-T1,T1]：所以該周期脈沖信號(hào)的展開式為T1=1,T=8時(shí)，ck序列如下，波形如圖3.3(b)所示

3.2.13.2.23.2.33.2.43.13.23.33.43.53.62025/1/149/1453.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析討論譜線間隔—信號(hào)分量的頻率間隔

圖3.3(b)中的橫坐標(biāo)是k，可以看到是kω0一個(gè)“整體”，不同的k值意味著不同的頻率信號(hào)分量。每個(gè)值對(duì)應(yīng)的稱為一條譜線，相鄰譜線的間隔為ω0。當(dāng)給定周期T后，譜線間隔就固定了。T值越大，譜線間隔越小，譜線越密。譜線的包絡(luò)線及其零點(diǎn)位置

若用連續(xù)變量ω替換kω0，則得到連續(xù)函數(shù)2T1Sa(ωT1)/T，稱其為譜線的包絡(luò)線。當(dāng)ωT1=m

時(shí)Sa(ωT1)=0，因此譜線包絡(luò)的零點(diǎn)位置為

方波信號(hào)的周期決定了譜線間隔，脈寬決定了包絡(luò)線的零點(diǎn)位置

3.2.13.2.23.2.33.2.43.13.23.33.43.53.62025/1/1410/1453.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析三角函數(shù)展開式

對(duì)指數(shù)展開式進(jìn)行如下變形

即其中A0=c0，Ak

=2|ck|(k≥0)

一個(gè)周期信號(hào)可以分解為直流信號(hào)分量和一系列正弦信號(hào)分量的疊加，其中k=1時(shí)的正弦分量稱為基波分量，k≥2時(shí)稱為諧波分量，k=m時(shí)稱為m次諧波分量。3.2.13.2.23.2.33.2.43.13.23.33.43.53.62025/1/1411/1453.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析【例3-4】寫出例3-3所示周期方波信號(hào)的三角函數(shù)展開式。如果方波的參數(shù)為T1=1,T=8，繪出各頻率分量的信號(hào)幅度Ak和相位θk隨k變化的波形圖?！窘狻坑衫?-3可知ck為k的實(shí)函數(shù)，由于正實(shí)數(shù)的幅角為0，負(fù)實(shí)數(shù)的幅角為π或-π，ck的模和相角可以寫為因此，周期方波的三角函數(shù)展開式為可以看到正弦信號(hào)的幅度是2|ck|，依據(jù)圖3.3(b)不難繪出,T1=1,T=8時(shí)的幅度和相位波形，分別如圖3.4(b)和(c)所示。

3.2.13.2.23.2.33.2.43.13.23.33.43.53.62025/1/1412/1453.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析3.2.13.2.23.2.33.2.4圖3.4(a)傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù);(b)各頻率分量的幅度;(c)各頻率分量的相位3.13.23.33.43.53.62025/1/1413/1453.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析常用周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開3.2.13.2.23.2.33.2.4圖3.5鋸齒波、三角波、方波和周期沖激信號(hào)的幅頻特性比較3.13.23.33.43.53.62025/1/1414/1453.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析3.2.2復(fù)指數(shù)展開式系數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1.

若周期信號(hào)xT(t)為實(shí)函數(shù)，則ck具有共軛對(duì)稱性【證明】由ck的定義：3.2.13.2.23.2.33.2.4[ck的定義]

[共軛運(yùn)算的性質(zhì)][x(t)為實(shí)函數(shù)，x*(t)=x(t)]

[對(duì)照ck的定義]

3.13.23.33.43.53.62025/1/1415/1453.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析性質(zhì)2.若周期信號(hào)xT(t)為實(shí)函數(shù)，則ck的模是k的偶函數(shù)，ck的相位是k的奇函數(shù)，即【證明】令，由性質(zhì)1可知：

對(duì)比等式兩邊，性質(zhì)即可得證3.2.13.2.23.2.33.2.43.13.23.33.43.53.62025/1/1416/1453.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析性質(zhì)3.若周期信號(hào)xT(t)是實(shí)偶函數(shù)，則ck是k的實(shí)偶函數(shù)，即（實(shí)函數(shù)），（偶函數(shù)）【證明】由性質(zhì)1知c-k=ck*，因此只要證明c-k=ck，則有c-k=ck=ck*成立。

3.2.13.2.23.2.33.2.4[定義式中令-k替換k][積分變量代換：令t=-t’][x(t)為偶函數(shù)；改變積分限][對(duì)照定義式]3.13.23.33.43.53.62025/1/1417/1453.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析3.2.13.2.23.2.33.2.4圖3.6對(duì)稱方波周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)(a)ck;(b)|ck|;(c)θk3.13.23.33.43.53.62025/1/1418/1453.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析3.2.3周期信號(hào)的頻譜幅頻特性和相頻特性

信號(hào)的頻域描述

對(duì)于給定周期的周期信號(hào)，當(dāng)直流分量A0及各正弦分量的幅值A(chǔ)k和相角θk確定后，該周期信號(hào)就被完全確定了。換句話說，周期信號(hào)各分量的幅值A(chǔ)k和相角θk隨頻率kω變化的規(guī)律是在頻域中對(duì)周期信號(hào)的充分描述。這一頻域中的描述稱為周期信號(hào)的頻譜或頻譜特性。類似圖3.6(b)中，給出信號(hào)頻率成分構(gòu)成及各頻率分量的幅度Ak大小的圖，稱之為幅頻特性圖，類似圖3.6(c)中，給出信號(hào)各頻率分量的初相位大小的圖，稱之為相頻特性圖。

3.2.13.2.23.2.33.2.43.13.23.33.43.53.62025/1/1419/1453.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)任何周期信號(hào)的頻譜都具有離散性和諧波性

常見周期信號(hào)的頻譜具有衰減性和無限大帶寬

時(shí)域中信號(hào)的跳變會(huì)產(chǎn)生豐富的高頻分量信號(hào)的有效帶寬

實(shí)際信號(hào)處理設(shè)備或系統(tǒng)只能處理一定帶寬內(nèi)的頻率分量，在該帶寬內(nèi)所有信號(hào)分量的合成能夠體現(xiàn)原來信號(hào)的主要特征，這就是所謂的有效帶寬。對(duì)于方波信號(hào)，通常選取直流到頻譜包絡(luò)線的第一個(gè)零點(diǎn)(f=1/2T1)之間的頻帶寬度作為其有效帶寬，即

(方波有效帶寬=1/方波脈寬)

3.2.13.2.23.2.33.2.43.13.23.33.43.53.62025/1/1420/1453.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析3.2.4關(guān)于傅里葉級(jí)數(shù)的幾點(diǎn)補(bǔ)充狄里赫利條件在一個(gè)周期內(nèi)xT(t)必須絕對(duì)可積。在一個(gè)周期內(nèi)xT(t)的極大值和極小值數(shù)目是有限的。在一個(gè)周期內(nèi)xT(t)只能有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)，且在這些不連續(xù)點(diǎn)上的函數(shù)值必須是有限的。傅里葉級(jí)數(shù)的收斂值和不連續(xù)函數(shù)的表示若周期信號(hào)xT(t)在t0點(diǎn)處連續(xù)，則傅里葉級(jí)數(shù)在處收斂于原函數(shù)值xT(t0)；若在處不連續(xù)，傅里葉級(jí)數(shù)將收斂于xT(t)在t0處的左極限和右極限的平均值。3.2.13.2.23.2.33.2.43.13.23.33.43.53.62025/1/1421/1453.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析周期信號(hào)的重構(gòu)和吉布斯現(xiàn)象

當(dāng)用直流和前N項(xiàng)正弦分量重構(gòu)一個(gè)理論上為無限帶寬的周期信號(hào)時(shí)，有限項(xiàng)的重構(gòu)會(huì)存在誤差，N愈大，愈逼近。

重構(gòu)信號(hào)有振蕩和過沖現(xiàn)象。然而過沖的幅度并不隨N的增大而減小，總是約為跳變幅度的9%左右，如圖3.8所示。即使N→∞，重構(gòu)信號(hào)在方波上下跳沿處仍有過沖，這就是吉布斯(Gibbs)現(xiàn)象。

3.2.13.2.23.2.33.2.4N=10 N=30N=100圖3.8方波吉布斯現(xiàn)象3.13.23.33.43.53.62025/1/1422/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析3.3.1非周期信號(hào)的傅里葉變換表示正變換定義

當(dāng)周期時(shí)T→∞，周期信號(hào)xT(t)將變成非周期信號(hào)x(t)，同時(shí)的譜線間隔ω0→0，即將由離散譜趨向于連續(xù)譜。然而為了避開ck→0問題，可以定義

3.13.23.33.43.53.63.3.13.3.23.3.33.3.43.3.52025/1/1423/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5圖3.9(a)從周期信號(hào)到非周期信號(hào);(b)從離散譜到連續(xù)譜3.13.23.33.43.53.62025/1/1424/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析逆變換定義

考察傅里葉級(jí)數(shù)展開式，并注意到ω0T=2π有

當(dāng)T→∞時(shí)，kω0→ω，Tck

→X(ω)，此譜線間隔ω0可用無窮小量dω表示，求和變成積分，xT(t)→

x(t)，則上式變?yōu)楦道锶~正變換、逆變換和變換對(duì)常用下列符號(hào)表示傅里葉變換具有唯一性，X(ω)和x(t)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1425/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析常見信號(hào)的傅里葉變換【例3-5】求單個(gè)脈沖信號(hào)的傅里葉變換。【解】x(t)的波形參見圖3.10。根據(jù)傅里葉變換的定義有

即

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5圖3.10方波信號(hào)及其頻譜3.13.23.33.43.53.62025/1/1426/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析【例3-6】求單邊指數(shù)衰減信號(hào)x(t)=e-atu(t)的傅里葉變換?！窘狻考纯梢奨(ω)是復(fù)函數(shù)，其幅頻特性和相頻特性分別為

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5圖3.11單邊指數(shù)衰減信號(hào)及其頻譜3.13.23.33.43.53.62025/1/1427/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析【例3-7】求單位沖激函數(shù)δ(t)的傅里葉變換。

【解】即

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5圖3.12沖激信號(hào)及其頻譜3.13.23.33.43.53.62025/1/1428/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析【例3-8】求頻域信號(hào)2πδ(ω)的傅里葉逆變換。

【解】即

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5圖3.12沖激信號(hào)及其頻譜3.13.23.33.43.53.62025/1/1429/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析【例3-9】求頻域方波函數(shù)X(ω)

=u(ω+W)-u(ω-W)的傅里葉逆變換【解】

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5圖3.14頻域方波函數(shù)及其對(duì)應(yīng)時(shí)域波形3.13.23.33.43.53.62025/1/1430/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析傅里葉變換的存在條件

傅里葉正逆變換都是定義在無窮區(qū)間上的積分。

如果x(t)滿足絕對(duì)可積條件，即

則積分一定收斂，傅里葉變換一定存在。顯然，絕對(duì)可積條件是傅里葉變換存在的充分條件。

引入頻域中的沖激函數(shù)δ(ω)后，理論分析和實(shí)際應(yīng)用中的常見信號(hào)均存在傅里葉變換表達(dá)式。3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1431/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析可以將變換定義式中，積分收斂的傅里葉變換稱為狹義傅里葉變換；而將該積分不收斂，但引入δ(ω)后仍可表述的傅里葉變換稱為廣義傅里葉變換。

x(t)絕對(duì)可積，則其狹義傅里葉變換一定存在，且對(duì)于所有的ω取值恒有|X(ω)|<∞成立。x(t)雖不滿足絕對(duì)可積條件，但其傅里葉變換可以借助頻域沖激函數(shù)δ(ω)表示，則其廣義傅里葉變換是存在的。信號(hào)功率趨于無窮大的信號(hào)，其廣義傅里葉變換也不存在。3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1432/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析【例3-10】求符號(hào)函數(shù)的傅里葉變換?！窘狻縮gn(t)不滿足絕對(duì)可積條件，直接利用傅里葉變換定義式求解會(huì)有積分的困難，為此構(gòu)造一個(gè)雙邊指數(shù)衰減奇函數(shù)

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5圖3.15雙邊指數(shù)衰減奇函數(shù)與符號(hào)函數(shù)3.13.23.33.43.53.62025/1/1433/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析當(dāng)a→0時(shí)，x(t)

→sgn(t)。因此可以先求x(t)的傅里葉變換：當(dāng)ω

=0時(shí)，F(xiàn){sgn(t)}=0，因此

簡便起見，常只用主體函數(shù)代替

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1434/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析3.3.2傅里葉變換的性質(zhì)

X(ω)的特點(diǎn)性質(zhì)1.共軛對(duì)稱性若x(t)為t的實(shí)函數(shù)，則X(ω)滿足【證明】3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5[定義式兩邊取共軛][共軛運(yùn)算的性質(zhì)][x*(t)=x(t)][與定義式對(duì)比可得]3.13.23.33.43.53.62025/1/1435/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析性質(zhì)2.

若x(t)為t的實(shí)函數(shù)，則幅頻特性是ω的偶函數(shù)，相頻特性是ω的奇函數(shù)，即X(ω)實(shí)部XR(ω)是ω的偶函數(shù)，虛部XI(ω)是ω的奇函數(shù)，即3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1436/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析性質(zhì)3.

若x(t)為t的實(shí)偶函數(shù)，則X(ω)是ω的實(shí)偶函數(shù)，即（實(shí)函數(shù)）（偶函數(shù)）

性質(zhì)4.若x(t)為t虛函數(shù)（即x(t)=jf(t)，f(t)為t的實(shí)函數(shù)），則3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1437/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析性質(zhì)5.帕斯瓦爾(Parseval)定理時(shí)域信號(hào)和頻域函數(shù)具有相同的能量，即

【證明】考慮更一般的復(fù)數(shù)信號(hào)情形：

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5[復(fù)數(shù)的性質(zhì)][x(t)用傅里葉逆變換表示][交換積分次序]3.13.23.33.43.53.62025/1/1438/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析3.3.3傅里葉變換的性質(zhì)

信號(hào)運(yùn)算的傅里葉變換性質(zhì)1.線性若，

，a1,a2為常數(shù)，則

【例3-11】求階躍函數(shù)u(t)的傅里葉變換【解】參見圖3.16，可以看成符號(hào)函數(shù)和直流函數(shù)的疊加：

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5圖3.16符號(hào)函數(shù)及其分解3.13.23.33.43.53.62025/1/1439/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析根據(jù)傅里葉變換的線性性質(zhì)有即需注意，對(duì)上式的準(zhǔn)確理解應(yīng)為3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1440/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析性質(zhì)2.時(shí)移特性若，則

(t0為常數(shù))【證明】根據(jù)傅里葉逆變換定義：

與逆變換定義式對(duì)比知：等價(jià)表述：3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5[用t-t0代替逆變換定義式中的t]3.13.23.33.43.53.62025/1/1441/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析【例3-12】二進(jìn)制數(shù)字通信系統(tǒng)中常用雙極性的方波信號(hào)表示0和1，碼元波形如圖3.17(a)所示，求其傅里葉變換。

【解】如圖3.17所示，雙極性脈沖可以分解為兩個(gè)單極性脈沖的疊加，即3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5圖3.17雙極性方波信號(hào)的分解3.13.23.33.43.53.62025/1/1442/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析設(shè)對(duì)稱方波g(t)=

u(t+T/2)-u(t-T/2)，則x1

(t)和x2

(t)是g(t)和-g(t)的平移，即根據(jù)傅里葉變換的線性和時(shí)移特性有利用例3-5的結(jié)果，可知因此

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1443/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析性質(zhì)3.時(shí)域微分特性若，則

(t0為常數(shù))【證明】對(duì)傅里葉逆變換式兩邊求導(dǎo)

：

即3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5[x(t)用逆變換定義表示][交換微分和積分順序][與逆變換定義式比較可得]3.13.23.33.43.53.62025/1/1444/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析

【例3-13】考察脈沖信號(hào)微分后高頻分量的提升情況，參見圖3.18。

【解】由前面方波信號(hào)的傅里葉變換，并利用時(shí)移特性可得利用時(shí)域微分特性知方波信號(hào)和跳沿的幅頻特性分別為

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5圖3.18脈沖信號(hào)及其微分[方波幅頻特性][跳沿幅頻特性]3.13.23.33.43.53.62025/1/1445/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析性質(zhì)4.時(shí)域積分特性若，則

其中X(0)

=X(ω)|ω=0，當(dāng)X(0)

=0時(shí)有

【例3-14】利用積分性質(zhì)求單位階躍函數(shù)的傅里葉變換?！窘狻?這里x(t)

=δ(t)

,X(ω)=1,X(0)=1所以3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1446/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析【例3-15】求圖3.19(a)所示三角波信號(hào)的傅里葉變換。

【解】記，方波信號(hào)為g(t)=

u(t+T/4)-u(t-T/4)，脈寬為T/2。由圖3.19可知y(t)=2[g(t+T/4)-g(t-T/4)]/T，兩邊取傅里葉變換得3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5圖3.19三角波及其微分[時(shí)移特性]3.13.23.33.43.53.62025/1/1447/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析

由于且Y(0)=0，根據(jù)時(shí)域積分特性知如果要利用時(shí)域積分性質(zhì)求F{y(t)}，則必須有y(-∞)=0成立。當(dāng)y(-∞)≠0時(shí)，可將該常數(shù)項(xiàng)移去后再應(yīng)用時(shí)域積分性質(zhì)。

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5[利用例3-5結(jié)論和歐拉公式]3.13.23.33.43.53.62025/1/1448/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析【例3-16】利用時(shí)域積分性質(zhì)求符號(hào)函數(shù)的傅里葉變換?！窘狻吭O(shè)y(t)=sgn(t)，x(t)=y’(t)=sgn’(t)=2δ(t)的傅里葉變換易求。但不能直接對(duì)y(t)應(yīng)用時(shí)域積分性質(zhì)，因?yàn)閥(-∞)≠0。為此構(gòu)造函數(shù)

z(t)=y(t)-y(-∞)=sgn(t)+1此時(shí)z(-∞)=0，z’(t)=2δ(t)。對(duì)z(t)應(yīng)用時(shí)域積分性質(zhì)有從而3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1449/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析性質(zhì)5.尺度變換特性若，則

【證明】根據(jù)傅里葉變換定義

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5[變量代換λ=at][對(duì)照定義式

]3.13.23.33.43.53.62025/1/1450/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析性質(zhì)6.時(shí)域卷積定理★

若，，則

【證明】根據(jù)卷積積分定義和傅里葉變換定義：

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5[交換積分次序][傅里葉變換時(shí)移特性]3.13.23.33.43.53.62025/1/1451/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析【例3-17】時(shí)域積分性質(zhì)的證明。

【證明】根據(jù)卷積積分定義有

因此3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5[時(shí)域卷積定理,代入u(t)的傅里葉變換][δ(·)函數(shù)的性質(zhì)]3.13.23.33.43.53.62025/1/1452/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析性質(zhì)7.對(duì)偶性若，則

【證明】在傅里葉逆變換定義中，將變量t換為–t得

：

作為數(shù)學(xué)函數(shù)，顯然上式中自變量符號(hào)t和ω

可交換，且兩邊同乘2π，則有

將上式與傅里葉變換定義式比較，則知對(duì)偶性成立。

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1453/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析【例3-18】利用對(duì)偶性求的Sa(ωct)傅里葉變換。

【解】令g(t)=

u(t+T1)-u(t-T1)，g(t)=g(-t)。由方波的傅里葉變換（例3-5）可知根據(jù)對(duì)偶性得令T1=ωc且上式兩邊同除以2ωc，則

在系統(tǒng)的頻域分析中更為有用的結(jié)論是上式的變形（理想低通）3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1454/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析【例3-19】利用對(duì)偶性求頻域階躍函數(shù)u(ω)的逆變換。

【解】因?yàn)?，根?jù)對(duì)偶性知

又因?yàn)?/p>

（尺度變換特性推論），改變上式ω的符號(hào)，則有即3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1455/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析【例3-20】利用對(duì)偶性求頻域符號(hào)函數(shù)

sgn(ω)的逆變換。

【解】因?yàn)?，根?jù)對(duì)偶性知：

因此3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1456/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析性質(zhì)8.頻移特性若，則

【證明】根據(jù)傅里葉變換定義

：

上式與傅里葉變換定義對(duì)比可知

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1457/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析【例3-21】求正弦信號(hào)sin(ω0t),cos(ω0t)的傅立葉變換。

【解】利用和頻移性質(zhì)有因此類似可求得

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1458/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析

【例3-22】在二進(jìn)制數(shù)字通信系統(tǒng)中，常用圖3.21(a)所示的方波g(t)表示1或0，但g(t)通常難以進(jìn)行無線傳輸。為了便于無線發(fā)射，可用一段時(shí)間內(nèi)的高頻正弦波表示1或0，如圖3.21(c)的x(t)波形所示，現(xiàn)求x(t)的傅里葉變換。

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5圖3.21數(shù)字調(diào)制及其頻譜變化3.13.23.33.43.53.62025/1/1459/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析【解】如圖3.21所示，x(t)可以表示成

x(t)=g(t)cos(ω0t)所以利用頻移性質(zhì)得

其中G(ω)為

G(ω)=2T1Sa(ωT1)因此x(t)乘cos(ω0t)的過程稱為調(diào)制，它將的頻譜搬移至±ω0處（圖(e)）。3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1460/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析性質(zhì)9.頻域微分特性若，則

【證明】傅里葉變換式兩邊對(duì)ω求導(dǎo)

：

與傅里葉變換定義式對(duì)比知頻域微分特性成立

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5[交換求導(dǎo)和積分的次序]3.13.23.33.43.53.62025/1/1461/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析【例3-23】求x(t)=te-atu(t)的傅立葉變換。

【解】由例3-6結(jié)論可知根據(jù)頻域微分性質(zhì)知

因此該題也可利用時(shí)域卷積定理求解

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1462/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析性質(zhì)10.頻域積分特性若，則

其證明將在頻域卷積定理后的例3-26給出。性質(zhì)11.頻域卷積定理若，

，則

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1463/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析【證明】根據(jù)傅里葉變換的定義有

：

如果函數(shù)X1(ω)帶限于[W1L,W1H]，X2(ω)帶限于[W2L,W2H]。那么卷積后函數(shù)的頻率范圍將為[W1L+

W2L,W1H+

W2H]。因此時(shí)域信號(hào)的相乘，可能會(huì)導(dǎo)致頻譜帶寬的擴(kuò)展。

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5[交換積分次序][x1(t)用逆變換表示]3.13.23.33.43.53.62025/1/1464/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析【例3-24】假設(shè)信號(hào)含有100Hz

800Hz的頻率分量，含有200Hz

600Hz的頻率分量，試確定乘積后信號(hào)的最低頻率和最高頻率。【解】最低頻率為100+200=300Hz；最高頻率為800+600=1400Hz【例3-25】試?yán)妙l域卷積定理證明頻移特性

【解】記x1(t)=x

(t),x2(t)=ejω0t，其傅里葉變換分別為根據(jù)頻域卷積定理知

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1465/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析【例3-26】試?yán)妙l域卷積定理證明頻域積分特性。

【證明】先推導(dǎo)所需的預(yù)備結(jié)論。由可知

[對(duì)偶性]由卷積定義根據(jù)頻域卷積定理有

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5[沖激函數(shù)性質(zhì)][u(ω)逆變換代入上式]3.13.23.33.43.53.62025/1/1466/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析傅里葉變換的性質(zhì)小結(jié)加深對(duì)信號(hào)時(shí)域及頻域特性的認(rèn)識(shí)

時(shí)域與頻域的對(duì)偶性

時(shí)頻分析中的一個(gè)重要概念由傅里葉變換定義的對(duì)偶性導(dǎo)致，對(duì)偶性不僅僅存在于信號(hào)本身，傅里葉變換的性質(zhì)也是成對(duì)出現(xiàn)。時(shí)限信號(hào)一定具有無限帶寬帶限頻譜一定對(duì)應(yīng)無限時(shí)寬信號(hào)

利用性質(zhì)解決較為復(fù)雜的頻譜求解和頻域分析問題

頻域函數(shù)的求解方法是靈活多樣的，傅里葉變換性質(zhì)為傅里葉變換求解提供了更多靈活和便捷的方法。一個(gè)問題?？梢杂枚喾N方法進(jìn)行求解，究竟使用哪個(gè)性質(zhì)，不僅取決于問題本身，同時(shí)還與掌握公式和有關(guān)內(nèi)容的熟悉程度有關(guān)。

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1467/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析【例3-27】對(duì)于圖3.22(a)所示的三角波，可以用多種方法求其傅里葉變換。

解法一：直接用定義積分計(jì)算。（積分計(jì)算復(fù)雜，要求數(shù)學(xué)計(jì)算能力）解法二：先定義計(jì)算微分信號(hào)x’(t)的傅里葉變換，再利用積分性質(zhì)求三角波信號(hào)x(t)的傅立葉變換。（積分略簡單，要求熟悉微分、積分性質(zhì)）解法三：利用方波信號(hào)的傅里葉變換和時(shí)移性質(zhì)，計(jì)算x’(t)的傅里葉變換，再利用積分性質(zhì)求x(t)的傅立葉變換。（要求熟悉方波傅里葉變換，時(shí)移性質(zhì)，微分、積分性質(zhì)）3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5圖3.22(a)三角波;(b)三角波的一次導(dǎo)數(shù);(c)三角波的二階導(dǎo)數(shù)3.13.23.33.43.53.62025/1/1468/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析解法四

：將三角波微分兩次得到?jīng)_激信號(hào)構(gòu)成的x”(t)，沖激函數(shù)的傅里葉變換式比較簡單，再利用時(shí)移性質(zhì)和時(shí)域積分性質(zhì)求解，具體過程如下。利用時(shí)域積分性質(zhì)關(guān)系得

（要求熟悉沖激信號(hào)傅里葉變換，時(shí)移性質(zhì)，微分、積分性質(zhì)）3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1469/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析解法五

：三角波x(t)可以看成兩個(gè)方波脈沖信號(hào)的卷積，如圖3.23所示，即

由方波信號(hào)的傅里葉變換公式知

根據(jù)時(shí)域卷積定理得

（要求熟悉常見信號(hào)的時(shí)域卷積，方波信號(hào)傅里葉變換，時(shí)域卷積性質(zhì)）3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5圖3.23將三角脈沖表示為兩個(gè)矩形脈沖的卷積3.13.23.33.43.53.62025/1/1470/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析傅里葉變換也可以用于系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)求解對(duì)系統(tǒng)微分方程兩邊進(jìn)行傅里葉變換，利用傅里葉變換的微分性質(zhì)，可以將時(shí)域的微分方程，變換為頻域的普通代數(shù)方程。通過在頻域求解代數(shù)方程，即可得到系統(tǒng)響應(yīng)的頻域解。再進(jìn)行逆變換，就可以系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。該頻域信號(hào)通常表現(xiàn)為jω的有理分式，可以利用部分分式展開法求解，下面以一簡單例子說明?！纠?-29】設(shè)，求其逆變換?！窘狻靠梢苑纸鉃橄铝袃蓚€(gè)部分分式之和兩邊取傅里葉逆變換得

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1471/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析3.3.4周期信號(hào)的傅里葉變換周期信號(hào)的傅里葉變換設(shè)周期信號(hào)xT(t)的周期為T，xT(t)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為兩邊同取傅里葉變換

代入F{ejω0t}=2πδ

(ω

–kω0)得

周期信號(hào)的傅里葉變換是由沖激函數(shù)構(gòu)成的，這些沖激函數(shù)出現(xiàn)在kω0處，對(duì)應(yīng)的沖激強(qiáng)度為2πck。ck為xT(t)的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1472/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5圖3.24周期方波信號(hào)(a)時(shí)域波形(b)傅里葉級(jí)數(shù)(c)傅里葉變換3.13.23.33.43.53.62025/1/1473/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析【例3-30】求圖3.25左圖所示周期沖激信號(hào)的傅里葉變換?！窘狻喀腡(t)的傅里葉級(jí)數(shù)展開系數(shù)為由前面周期信號(hào)傅里葉變換結(jié)論可知，δT(t)的傅里葉變換為

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5圖3.25周期沖激信號(hào)及其傅里葉變換3.13.23.33.43.53.62025/1/1474/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)和非周期信號(hào)傅里葉變換之間的關(guān)系

設(shè)x(t)為非周期信號(hào)，其傅里葉變換為X(ω)。若x(t)將作周期為T的周期延拓，構(gòu)成設(shè)周期信號(hào)xT(t)，如圖3.26所示，顯然有3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5圖3.26非周期信號(hào)的周期延拓3.13.23.33.43.53.62025/1/1475/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析周期信號(hào)xT(t)的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)可以寫為另一方面，x(t)的傅里葉變換為比較上述兩式可以看出需要注意的是上式給出的關(guān)系不是同一個(gè)信號(hào)，它是圖3.26所示兩個(gè)信號(hào)之間的頻譜關(guān)系

（非周期信號(hào)和其周期延拓得到的周期信號(hào)）。3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1476/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析【例3-31】求圖3.5(a)周期三角波的傅里葉級(jí)數(shù)展開式系數(shù)ck?！窘狻繉?duì)于一些周期信號(hào)，直接根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)的定義式求，其積分過程往往很復(fù)雜。利用傅里葉變換和傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系求會(huì)簡便很多，因?yàn)槲覀儗?duì)傅里葉變換更熟悉，有更多的已有結(jié)論可用。由例3-15知，單個(gè)三角波的傅里葉變換為

因此，周期三角波信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)為為

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5圖3.5(a)周期三角波及其傅里葉級(jí)數(shù)3.13.23.33.43.53.62025/1/1477/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析周期信號(hào)傅里葉變換兩種表達(dá)式的等價(jià)性

周期信號(hào)也可以用非周期信號(hào)的周期延拓表示，即上式兩邊取傅里葉變換，并應(yīng)用傅里葉變換的時(shí)域平移性質(zhì)可得同時(shí)

上述兩種表達(dá)式，為同一信號(hào)的傅里葉變換，由傅里葉變換的一一對(duì)應(yīng)特性，可知上述兩種表達(dá)式等價(jià)3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1478/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析3.3.5傅里葉變換與信號(hào)頻譜傅里葉變換的核心思想：非周期信號(hào)分解為無窮小正弦信號(hào)的疊加周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)：非周期信號(hào)傅里葉變換：

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1479/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析考慮到實(shí)信號(hào)x(t)幅相特性|X(ω)|為偶函數(shù)，相頻特性

(

)為奇函數(shù)。上式虛部為奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間積分，積分為零。實(shí)部為偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分，積分為單邊區(qū)間的2倍。所以

積分也是一種求和，為了便于概念的理解，可將上式改寫為

：

因此從信號(hào)分析角度可以這樣解釋信號(hào)的傅里葉變換：一個(gè)能量有限的非周期信號(hào)可以看成是由無窮多個(gè)、頻率連續(xù)變化的、各分量實(shí)際幅度為無窮小量|X(

)|d

/

、各分量幅度之間相對(duì)大小關(guān)系由|X(

)|確定、各分量相位由

(

)確定的正弦信號(hào)的疊加。圖3.29示意了這一概念。

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1480/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析

能量有限信號(hào)，其直流分量就是函數(shù)的均值，即

能量有限信號(hào)，直流分量的幅度必定是一個(gè)無限趨于零、但不等于零的無窮小量。其他各個(gè)頻率分量類似3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5圖3.27能量有限信號(hào)的正弦波分解圖3.28(a)方波信號(hào)的直流分量;(b)單邊指數(shù)衰減信號(hào)的直流分量3.13.23.33.43.53.62025/1/1481/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析綜上所述

非周期信號(hào)傅里葉變換的模值并不是信號(hào)分量的實(shí)際幅度大小實(shí)際幅度為無窮小不同頻率點(diǎn)的取值反映的是它們之間的相對(duì)大小簡言之，傅里葉變換X(

)是描述無窮小量的函數(shù)。

頻域沖激函數(shù)表示的信號(hào)頻譜由于傅里葉變換X(

)是描述無窮小量的函數(shù)，當(dāng)信號(hào)x(t)中某個(gè)頻率分量實(shí)際幅度大小不是無窮小，而是某個(gè)有限值時(shí)，它只能用無窮大來表示（有限值相對(duì)于無窮小量則為無窮大），即必須借助沖激函數(shù)才能表述。3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1482/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析【例3-32】設(shè)下圖是某個(gè)信號(hào)的傅里葉變換，試確定所含有的頻率分量、各分量信號(hào)的實(shí)際幅度大小和信號(hào)的表達(dá)式?！窘狻繌膱D可知信號(hào)含有三個(gè)頻率分量：直流、10Hz和30Hz正弦波。各分量的幅度：直流幅度為1/2

=0.16；10Hz正弦分量幅度為2.5

2/(2

)=0.80；30Hz正弦分量幅度為1.5

2/(2

)=0.48。信號(hào)的頻譜表達(dá)式為信號(hào)的表達(dá)式為3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1483/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析相頻特性和附加相移

相頻特性

(

)的物理含義：它是信號(hào)在

處頻率分量的初相角。由傅里葉變換的時(shí)域平移性質(zhì)可知因此，信號(hào)x(t)在時(shí)域中的延時(shí)會(huì)改變其相頻特性，產(chǎn)生附加相移-

t0。類似的有式表明：x(t)在時(shí)域中整體延時(shí)t0就是每一個(gè)頻率分量均延時(shí)t0。反之，如果x(t)的各頻率分量在傳輸過程中時(shí)延不等，或附加相移和頻率

不是負(fù)斜率線性關(guān)系-

t0

，信號(hào)波形就會(huì)產(chǎn)生失真。

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1484/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析非周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)非周期信號(hào)頻譜的基本特點(diǎn)是連續(xù)譜，即

可連續(xù)取值。和周期信號(hào)類似，很多非周期信號(hào)的頻譜也具有無限頻帶寬度和高頻衰減的特征。非周期信號(hào)的幅頻特性|X(

)|反映的是各分量幅度的相對(duì)大小，各分量的實(shí)際幅度是一個(gè)趨于零（但不等于零）的無窮小量。若信號(hào)在某個(gè)頻率點(diǎn)上含有實(shí)際幅度不為無窮小的分量，則其傅里葉變換在該頻率點(diǎn)上會(huì)出現(xiàn)頻域沖激函數(shù)。

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1485/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析乘法調(diào)制的頻譜分析

應(yīng)用頻域卷積定理可以分析通信系統(tǒng)中乘法調(diào)制信號(hào)的頻譜。信號(hào)在無線發(fā)送前需要調(diào)制的主要目的是解決電磁波的有效輻射問題。乘法調(diào)制（圖3.30(a)），其原理是將基帶信號(hào)x(t)和高頻載波信號(hào)cos

0t相乘即可。調(diào)制后信號(hào)頻譜為

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1486/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5圖3.30(a)乘法調(diào)制;(b)未調(diào)制信號(hào)頻譜X(

)

;(c)調(diào)制后信號(hào)頻譜Xm(

)

3.13.23.33.43.53.62025/1/1487/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析相干解調(diào)如果再將xm(t)乘以cos

0t，即xd(t)=xm(t)cos

0t，則其頻譜為

由圖3.31可以看出，只要取出xd(t)中的低頻部分，則可以得到話音信號(hào)的頻譜X(

)

，這就是相干解調(diào)的基本原理。乘法調(diào)制與解調(diào)只是調(diào)制技術(shù)中的一種。3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1488/1453.3非周期信號(hào)的傅里葉變換分析

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5圖3.31相干解調(diào)及其頻譜分析3.13.23.33.43.53.62025/1/1489/1453.4連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻域分析3.4.1連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻域表示系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性

由第2章時(shí)域分析知LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為兩邊取傅里葉變換并應(yīng)用時(shí)域卷積定理得因此，h(t)的傅里葉變換H(

)在頻域中充分表征了一個(gè)LTI系統(tǒng)，稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性或頻率響應(yīng)函數(shù)。一般為復(fù)函數(shù)，寫為模和幅角的形式：其中|H(

)|稱為系統(tǒng)的幅頻特性，稱

(

)為系統(tǒng)的相頻特性。3.13.23.33.43.53.63.4.13.4.23.4.32025/1/1490/1453.4連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻域分析為了理解H(

)的物理含意，現(xiàn)考察LTI系統(tǒng)在正弦信號(hào)激勵(lì)下的響應(yīng)。設(shè)激勵(lì)為x(t)=Acos(

0t+

)，h(t)為實(shí)函數(shù)，系統(tǒng)輸出y(t)=x(t)*h(t)可計(jì)算如下：

3.4.13.4.23.4.3[歐拉公式][h(t)為實(shí)函數(shù)H(

)共軛對(duì)稱]3.13.23.33.43.53.62025/1/1491/1453.4連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻域分析因?yàn)楦道锶~變換將任意信號(hào)分解為正弦信號(hào)的疊加這一分析具有一般性。由上式看到，LTI系統(tǒng)在正弦信號(hào)激勵(lì)下的響應(yīng)仍為一個(gè)正弦信號(hào)（復(fù)指數(shù)信號(hào)也一樣），只是系統(tǒng)輸出的正弦信號(hào)幅度和相位被進(jìn)行了修正。

對(duì)不同的輸入信號(hào)頻率

0，|H(

0)|和

(

0)的取值不同，則輸入正弦信號(hào)的幅度和相位會(huì)受到不同的修正。因此，|H(

)|和

(

)描述了LTI系統(tǒng)對(duì)不同頻率輸入信號(hào)的幅度增益和相位延遲，或者說H(

)描述了系統(tǒng)的頻域特性。3.4.13.4.23.4.33.13.23.33.43.53.62025/1/1492/1453.4連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻域分析H(

)的一般形式

很多系統(tǒng)都可以用微分方程描述，例如上式兩邊取傅里葉變換，并應(yīng)用時(shí)域微分性質(zhì)，則有整理得不難推知，對(duì)于階微分方程系統(tǒng)有

3.4.13.4.23.4.33.13.23.33.43.53.62025/1/1493/1453.4連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻域分析【例3-33】本例考察一階微分系統(tǒng)和一階積分系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性。

【解】一階微分系統(tǒng)為y(t)=x’(t)，兩邊取傅里葉變換得Y(

)=jX(

)，即所以一階微分系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)分別為3.4.13.4.23.4.33.13.23.33.43.53.62025/1/1494/1453.4連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻域分析對(duì)于一階積分系統(tǒng)為，由傅里葉變換的時(shí)域積分特性知

上式右端δ

(

)表明系統(tǒng)在

=0處的輸出為無窮大，即系統(tǒng)增益H(0)=∞

。當(dāng)

≠0時(shí)有所以一階微分系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)分別為3.4.13.4.23.4.33.13.23.33.43.53.62025/1/1495/1453.4連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻域分析3.4.13.4.23.4.3圖3.32(a)微分系統(tǒng)頻率特性；(b)積分系統(tǒng)頻率特性3.13.23.33.43.53.62025/1/1496/1453.4連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻域分析互聯(lián)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)串聯(lián)系統(tǒng)由于Z(

)=H2(

)Y(

)=H2(

)H1(

)X(

)

，所以總頻率響應(yīng)為并聯(lián)系統(tǒng)由于Y(

)=H1(

)X(

)+H2(

)X(

)

，所以總頻率響應(yīng)為

混聯(lián)系統(tǒng)利用上面的兩個(gè)結(jié)論，可知混聯(lián)系統(tǒng)的總頻率響應(yīng)為反饋系統(tǒng)在系統(tǒng)輸出端列方程，則有Y(

)=[X(

)+H2(

)Y(

)]H1(

)，可得反饋系統(tǒng)的總頻率響應(yīng)為3.4.13.4.23.4.33.13.23.33.43.53.62025/1/1497/1453.4連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻域分析3.4.2理想傳輸系統(tǒng)和濾波器理想傳輸系統(tǒng)與線性相位條件對(duì)于任意信號(hào)的理想傳輸系統(tǒng)，其輸入輸出關(guān)系應(yīng)為兩邊取傅里葉變換后可得理想傳輸系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性為其幅頻特性和相頻特性分別為

|H(

)|=1和

(

0)=

-t03.4.13.4.23.4.3圖3.33理想傳輸系統(tǒng)的頻率特性3.13.23.33.43.53.62025/1/1498/1453.4連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻域分析上述結(jié)果給出兩個(gè)重要的概念：

如果要實(shí)現(xiàn)理想傳輸，系統(tǒng)必須具有線性相位特性。

線性相位特性反映的直觀觀念就是：對(duì)輸入信號(hào)的所有頻率分量，系統(tǒng)的延時(shí)必須是相等的。對(duì)于可實(shí)現(xiàn)的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，

(

)應(yīng)該具有負(fù)斜率特性。如果是正斜率曲線，則系統(tǒng)具有“時(shí)間提前”功能，顯然是不可實(shí)現(xiàn)的。

3.4.13.4.23.4.33.13.23.33.43.53.62025/1/1499/1453.4連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻域分析理想濾波器的概念從前面對(duì)H(

)的物理概念討論可知，若對(duì)某個(gè)頻率

0有H(

0)=0，那么系統(tǒng)在該頻率上的輸出將為零。因而設(shè)計(jì)不同特性的H(

)，可以讓系統(tǒng)抑制或阻止信號(hào)中的某些頻率分量通過系統(tǒng)，這就是濾波器的概念。

根據(jù)允許通過的信號(hào)頻率范圍，可以將濾波器分為低通、高通、帶通和帶阻濾波器。所謂的“理想濾波器”有兩個(gè)含義：

幅頻特性是理想化的“方波型”函數(shù)。相頻特性是理想化的線性相位特性（理想傳輸要求線性相位特性）。

3.4.13.4.23.4.33.13.23.33.43.53.62025/1/14100/1453.4連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻域分析

3.4.13.4.23.4.3圖3.34理想濾波器的特性3.13.23.33.43.53.62025/1/14101/1453.4連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻域分析理想低通濾波器理想低通濾波器要求在通帶內(nèi)，系統(tǒng)對(duì)所有的輸入信號(hào)頻率分量具有單位增益，并且具有負(fù)斜率線性相位特性，因此其頻率響應(yīng)H(

)應(yīng)為

即：

理想低通濾波器的沖激響應(yīng)函數(shù)為

3.4.13.4.23.4.33.13.23.33.43.53.62025/1/14102/1453.4連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻域分析3.4.3因果穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性穩(wěn)定性：穩(wěn)定系統(tǒng)的沖激響應(yīng)滿足絕對(duì)可積條件，其傅里葉變換積分一定收斂。因此，穩(wěn)定系統(tǒng)的H(

)一定是普通意義下的函數(shù)（即不會(huì)含有類似的δ

(

±

0)頻域沖激函數(shù)）。

因果性：假設(shè)h(t)是一個(gè)因果系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，其頻率響應(yīng)函數(shù)H(

)的直角坐標(biāo)表示為

由因果性知一定是單邊信號(hào)。因此，因果系統(tǒng)的h(t)滿足3.4.13.4.23.4.33.13.23.33.43.53.62025/1/14103/1453.4連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻域分析兩邊取傅里葉變換