常數(shù)級數(shù)的概念和性質

常數(shù)級數(shù)的概念和性質一、常數(shù)項級數(shù)的概念

人們認識事物在數(shù)量上的特性，往往有一個由近似到精確的過程．在這種認識過程中，會遇到由有限項相加到無窮項的問題一、常數(shù)項級數(shù)的概念例如，計算半徑為R的圓面積A，具體做法如下：作圓的內接正六邊形，算出這個六邊形的面積a1，它是圓面積A的一個粗糙的近似值．為了比較準確地計算出A的值，我們在這個六邊形的每個邊上分別作一個頂點在圓周上的等腰三角形（見圖9-1），算出這六個等腰三角形的面積之和a2．那么a1+a2（即內接正十二邊形的面積）就是A的一個較好的近似值．同樣的，在這個正十二邊形的每個邊上分別作一個頂點在圓周上的等腰三角形，算出這十二等腰三角形的面積之和a3．那么a1+a2+a3（即內接正二十四邊形的面積）是A的一個更好的近似值．如此繼續(xù)下去，內接正3×2n邊形的面積就逐步逼近圓的面積：一、常數(shù)項級數(shù)的概念圖9-1一、常數(shù)項級數(shù)的概念

如果內接正多邊形的邊數(shù)無限增多，則n無限增大，a1+a2+a3+…+an的極限就是所求的圓面積A．這時和式中的項數(shù)無限增多，于是出現(xiàn)了無窮多個數(shù)量依次相加的數(shù)學式子．一般的，設有一個數(shù)列則由這些數(shù)列構成的和式

（11-10）一、常數(shù)項級數(shù)的概念稱為（常數(shù)項）無窮級數(shù)，簡稱（常數(shù)項）級數(shù)，記為

，即其中第n項un稱為級數(shù)的一般項或通項.上述級數(shù)的定義只是一個形式上的定義，怎樣理解無窮級數(shù)中無窮多個數(shù)量相加呢？相加后和為多少呢？為了回答這個問題，可以通過考察有限項和的變化趨勢來理解無窮多項和的含義.一、常數(shù)項級數(shù)的概念令得到一個數(shù)列

，稱sn為級數(shù)(11-1)的部分和.級數(shù)是否有和，關鍵看當n→∞時

是否有極限，為此給出下列定義.一、常數(shù)項級數(shù)的概念定義若級數(shù)

的部分和數(shù)列

存在極限s，即則稱無窮級數(shù)

收斂，極限稱為級數(shù)的和，并寫成若

沒有極限，則稱無窮級數(shù)

發(fā)散.當級數(shù)收斂時，級數(shù)和s與部分和

之差一、常數(shù)項級數(shù)的概念稱為級數(shù)的余項.由上述定義可知,級數(shù)

與數(shù)列

同時收斂或同時發(fā)散，且在收斂時，有一、常數(shù)項級數(shù)的概念討論級數(shù)的收斂性.

解由于于是【例1】一、常數(shù)項級數(shù)的概念所以即級數(shù)收斂，其和為一、常數(shù)項級數(shù)的概念討論等比級數(shù)(又稱幾何級數(shù))

（11-2）的收斂性.

解當若q<1,有

則【例2】一、常數(shù)項級數(shù)的概念若q>1,有,則若q=1,有,則若q=－1,有顯然sn隨著n為奇數(shù)或偶數(shù)而等于a或等于零,從而

不存在.綜上所述,當q<1時，等比級數(shù)(11-2)收斂,且和為一、常數(shù)項級數(shù)的概念證明調和級數(shù)

（11-3）是發(fā)散的.【例3】一、常數(shù)項級數(shù)的概念證明級數(shù)(11-3)的通項un可以用下列積分表示因為從而于是一、常數(shù)項級數(shù)的概念因此當n→∞時,ln(n+1)→∞,所以調和級數(shù)(11-3)發(fā)散.二、收斂級數(shù)的基本性質

根據(jù)級數(shù)收斂性的定義，可得收斂級數(shù)的幾個性質.二、收斂級數(shù)的基本性質性質1設k為非零常數(shù)，若級數(shù)

收斂于和s，則級數(shù)

也收斂，且其和為ks.證明設級數(shù)

，

的部分和分別為sn，τn，則二、收斂級數(shù)的基本性質于是因此，級數(shù)

也收斂，且其和為ks.二、收斂級數(shù)的基本性質性質2若級數(shù)

與

分別收斂于s與τ，則級數(shù)

也收斂，其和為s±τ.二、收斂級數(shù)的基本性質證明設級數(shù)

的部分和分別為sn，τn，則于是因此，級數(shù)

收斂，其和為s±τ.二、收斂級數(shù)的基本性質性質3在級數(shù)中去掉、加上或改變有限項，不會改變級數(shù)的收斂性.證明證明“改變級數(shù)的前面有限項不會改變級數(shù)的收斂性”，其他兩種情況容易由此結果推出.設有級數(shù)

（11-4）二、收斂級數(shù)的基本性質若改變它的前面有限項，則得一個新的級數(shù)

（11-5）設級數(shù)（11-4）、級數(shù)（11-5）的前n項和分別為sn，τn.又設

，則于是，{τn}

與{sn}具有相同的收斂性，即級數(shù)(11-4)與級數(shù)(11-5)具有相同的收斂性.二、收斂級數(shù)的基本性質性質4在一個收斂級數(shù)中，任意添加括號所得到的新級數(shù)仍收斂，且其和不變.證明設級數(shù)

，其部分和為sn.將這個級數(shù)任意添加括號所得到的新級數(shù)為二、收斂級數(shù)的基本性質設它的前k項和為τk，則于是所以添加括號所得的新級數(shù)收斂，且其和不變.二、收斂級數(shù)的基本性質若添加括號所得到的級數(shù)收斂，則不能斷定去括弧后原來的級數(shù)也收斂.例如，級數(shù)1－1+1－1+…是發(fā)散的，而級數(shù)(1－1)+(1－1)+…卻是收斂的.注意二、收斂級數(shù)的基本性質若級數(shù)的一般項趨近于零，則不能斷定級數(shù)收斂.例如，調和級數(shù)的一般

，但調和級數(shù)

是發(fā)散的.注意二、收斂級數(shù)的基本性質推論若加括號后所成的級數(shù)發(fā)散，則去括后級數(shù)也發(fā)散.二、收斂級數(shù)的基本性質性質5（級數(shù)收斂的必要條件）若級數(shù)

收斂，則證明設級數(shù)

的部分和為sn，且

則二、收斂級數(shù)的基本性質推論若級數(shù)

的一般項不趨近于零，即

，則級數(shù)

發(fā)散.二、收斂級數(shù)的基本性質判別級數(shù)

的斂散性.

解因為所以級數(shù)

發(fā)散.【例4】三、柯西收斂準則

判別一個級數(shù)的收斂性可用下列柯西收斂準則.三、柯西收斂準則

（柯西收斂準則）級數(shù)

收斂的充分必要條件為：對于任意給定的正數(shù)ε，總存在自然數(shù)N，使得當n>N時，對于任意的自然數(shù)p，恒有定理三、柯西收斂準則證明設級數(shù)

的部分和為sn,因為所以由數(shù)列的柯西極限存在準則,即