2024-2025學(xué)年北京166中高三（上）期末數(shù)學(xué)模擬試卷（12月份）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年北京166中高三（上）期末數(shù)學(xué)模擬試卷（12月份）一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知全集U=R，集合A={x|x2?4<0}，B={x|x≥1}，則A∩A.(1,2) B.(?2,2) C.(?∞,2) D.(?2,1)2.設(shè)復(fù)數(shù)z=3?i，則復(fù)數(shù)zi在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標是(

)A.(1,3) B.(?1,3) C.(?1,?3) D.(?3,?1)3.求圓x2+y2?2x+6y=0的圓心到A.23 B.2 C.34.已知拋物線C：y2=8x的焦點為F，點M在C上，若M到直線x=?3的距離為5，則|MF|=(

)A.7 B.6 C.5 D.45.已知α，β是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，能使m⊥n成立的一組條件是(

)A.α//β，m⊥α，n⊥β B.α//β，m?α，n⊥β

C.α⊥β，m⊥α，n//β D.α⊥β，m?α，n//β6.設(shè)函數(shù)f(x)=sin(ωx?π3)(ω>0)，已知f(x0)=?1A.1 B.2 C.3 D.47.已知函數(shù)f(x)=x2+5x,x≥0?ex+1,x<0.若A.(?∞,0] B.(?∞,5] C.(0,5] D.[0,5]8.已知(x1,y1)，(A.ex1+y2>x1+9.△ABC的外接圓的半徑等于3，AB=4，則AB?AC的取值范圍是(

)A.[?4,24] B.[?8,20] C.[?8,12] D.[?4,20]10.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，動點M在線段CC1上，動點P在平面A1A.[1,2]B.[1,3]

二、填空題：本題共5小題，共30分。11.(2x?1)6的展開式中含x312.設(shè)向量a=(1,2),b=(m,1)，且|a+b|=|a?b13.已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為3，則圓錐的體積為______．14.直線y=k(x?3)與雙曲線x24?y215.設(shè){an}與{bn}是兩個不同的無窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列.記集合M={k|ak=bk,k∈N?}，給出下列四個結(jié)論：

①若{an}與{bn}均為等差數(shù)列，則M中最多有1個元素；

②若{an}與{bn}均為等比數(shù)列，則M中最多有2個元素；

③三、解答題：本題共6小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題12分)

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，∠A為鈍角，a=7，sin2B=37bcosB，

(1)求∠A；

(2)若csinA=517.(本小題12分)

如圖，四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是邊長為2的正方形，D1D=3，側(cè)面ADD1A1⊥底面ABCD，E是棱BC上一點，D1B//平面C1ED．

(1)求證：E是BC的中點；

(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個條件作為已知，使四棱柱ABCD?A1B1C1D1唯一確定，

(i)求二面角D?C1E?B1的余弦值；

(ii)18.(本小題12分)

某社區(qū)計劃組織一次公益講座向居民普及垃圾分類知識.為掌握居民對垃圾分類知識的了解情況并評估講座的效果，主辦方從全體居民中隨機抽取10位參加試講講座活動，讓他們在試講講座前后分別回答一份垃圾分類知識問卷.試講講座前后.這10位居民答卷的正確率如下表：編號正確率1號2號3號4號5號6號7號8號9號10號試講講座前65%60%0%100%65%75%90%85%80%60%試講講座后90%85%80%95%85%85%95%100%85%90%根據(jù)居民答卷的正確率可以將他們垃圾分類的知識水平分為以下三個層級：答卷正確率Pp<70%70≤p<90%90%≤p≤100垃圾分類知識水平一般良好優(yōu)秀假設(shè)每位居民回答問卷的結(jié)果之間互相獨立，用頻率估計概率．

(Ⅰ)正式講座前，從該社區(qū)的全體居民中隨機抽取1人，試估計該居民垃圾分類知識水平恰為“一般”的概率；

(Ⅱ)正式講座前，從該社區(qū)的全體居民中隨機抽取3人，這3人垃圾分類知識水平分別是“一般”、“良好”、“良好”.設(shè)隨機變量X為“這3人講座后垃圾分類知識水平達到‘優(yōu)秀’的人數(shù)”，試估計X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(Ⅲ)在未參加講座的全部居民中再隨機抽取若干人參加下一輪的公益講座并讓他們在講座前后分別填寫問卷.從講座后的答卷中隨機抽取一份，如果完成該答卷的居民的知識水平為“良好”，他在講座前屬于哪一知識水平的概率最大？(結(jié)論不要求證明)19.(本小題12分)

設(shè)橢圓M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，離心率為32，長軸長為4.過點P(4,0)的直線l與橢圓交于A，B兩點，直線l與x軸不重合．

(1)求橢圓M的方程；

(2)已知點T(1,1)，直線AT與x軸交于E，與y軸交于C，直線BT與x軸交于20.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=(2x?a)lnx(a∈R)．

(1)當(dāng)a=0時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：當(dāng)a=?1，曲線y=f(x)的切線不經(jīng)過點(0,0)；

(3)當(dāng)a>0時，若曲線y=f(x)與直線y=?x在區(qū)間(1,+∞)上有兩個不同的交點，求實數(shù)a的取值范圍．21.(本小題12分)

已知Q：a1，a2，…，ak為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)m，若對任意的n∈{1,2,…,m}，在Q中存在ai，ai+1，ai+2，…，ai+j(j≥0)，使得ai+ai+1+ai+2+…+ai+j=n，則稱Q為m?連續(xù)可表數(shù)列．

(Ⅰ)判斷Q：2，1，4是否為5?連續(xù)可表數(shù)列？是否為6?連續(xù)可表數(shù)列？說明理由；

(Ⅱ)若Q：a1，a2，…，ak為8?連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；

參考答案1.D

2.C

3.C

4.D

5.B

6.B

7.D

8.D

9.D

10.D

11.?160

12.?2

90°

13.314.[?115.①③④

16.解：(1)由sin2B=37bcosB，可得2sinBcosB=37bcosB，

因為A為鈍角，即cosB≠0，所以2sinB=37b，

由正弦定理得asinA=bsinB=237，結(jié)合a=7，解得sinA=32，所以A=2π3(A=π3不符合題意，舍去)．

(2)法一：根據(jù)題意，可得c=532sinA=5，

根據(jù)余弦定理，得a2=b2+c217.解：(1)證明：連接CD1交C1D于O，連接OE，

因為D1B/?/平面C1ED，D1B?平面D1CB，平面C1ED∩平面D1CB=OE，

所以D1B//OE，又因為四邊形DCC1D1是平行四邊形，所以O(shè)是CD1的中點，

所以E是BC的中點；

(2)(i)

選擇條件①：

因為底面ABCD是正方形，所以CD⊥AD，

側(cè)面ADD1A1⊥平面ABCD，且側(cè)面ADD1A1∩平面ABCD=AD，CD?平面ABCD，

故CD⊥平面ADD1A1，又DD1?平面ADD1A1，則CD⊥DD1，

即四邊形DCC1D1為矩形，因為D1D=3，CD=C1D1=2，則C1D=13，

與選擇條件①：C1D=13等價，故條件C1D=13不能進一步確定DD1，AD的夾角大小，故二面角D?C1E?B1不能確定；

選擇條件②：

連結(jié)D1A，因為底面ABCD是正方形，所以BA⊥AD，

又因為側(cè)面ADD1A1⊥平面ABCD，且側(cè)面ADD1A1∩平面ABCD=AD，BA?平面ABCD，

所以BA⊥平面ADD1A1，又D1A，DD1?平面ADD1A1，所以BA⊥D1A，BA⊥D1D，

在Rt△D1AB中，因為D1B=17，AB=2，所以D1A=13，

在△D1AD中，因為AD=2，D1D=3，所以AD⊥DD1，

又AB∩AD=A，AB，AD?平面ABCD，所以DD1⊥平面ABCD，又AD⊥CD，

所以如圖建立空間直角坐標系D?xyz，其中D(0,0,0)，C1(0,2,3)，E(1,2,0)，C(0,2,0)，

且DC1=(0,2,3)，DE=(1,2,0)，易知DC=(0,2,0)為平面C1EB1的一個法向量，

設(shè)n=(x,y,z)為平面18.解：正式講座前，10位選取的居民中，垃圾分類知識水平為“一般”的人數(shù)為5人，所以垃圾分類知識水平位“一般”的頻率為：12，

所以估計居民垃圾分類知識水平恰為“一般”的頻率為：P=12．

(Ⅱ)由表中提供的數(shù)據(jù)可得：正式講座前，垃圾分類知識水平為“一般”的人在講座后，達到“優(yōu)秀”的概率估計為：25，

正式講座前，垃圾分類知識水平為“良好”的人在講座后，達到“優(yōu)秀”的概率估計為：13，

由題意，X的值可以為：0，1，2，3，

且：P(X=0)=35×(23)2=415

X0

1

2

3

P

4

20

11

2所以E(X)=0×415+1×2045+2×1145+3×245=1615．

(Ⅲ)從未參加講座的居民中抽取1人，垃圾分類水平為“一般”記為事件A，則P(A)=12，講座后，知識水平為“良好”的概率估計為35；

從未參加講座的居民中抽取1人，垃圾分類水平為“良好”記為事件B，則P(B)=310，講座后，知識水平為“良好”的概率估計為23；

從未參加講座的居民中抽取1人，垃圾分類水平為“優(yōu)秀”記為事件C，則P(C)=1519.解：(1)因為橢圓M的離心率為32，長軸長為4，

所以2a=4ca=32a2=b2+c2，

解得a=2，b=1，c=3，

則M：x24+y2=1．

(2)因為過點P(4,0)的直線l與橢圓交于A，B兩點，直線l與x軸不重合，所以直線l的斜率不為0，

設(shè)直線AB得方程為x=my+4，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

聯(lián)立x=my+4x24+y2=1，消去x并整理得(m2+4)y2+8my+12=0，

此時Δ=64m2?48(m2+4)>0，

解得m<?23或m>23，k∈(?36,0)∪(0,36)；

由韋達定理得y1+y2=?8mm220.解：(1)當(dāng)a=0時，f(x)=2xlnx，函數(shù)定義域為(0,+∞)，

可得f′(x)=2lnx+2，

當(dāng)0<x<1e時，f′(x)<0；當(dāng)x>1e時，f′(x)>0，

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1e,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1e)；

(2)證明：當(dāng)a=?1時，f(x)=(2x+1)lnx，函數(shù)定義域為(0,+∞)，

可得f′(x)=2lnx+2+1x．

設(shè)曲線y=f(x)的切點為(t,f(t))(t>0)，

此時切線方程為y?(2t+1)lnt=(2lnt+1t+2)(x?t)，

假設(shè)切線過原點，

可得?(2t+1)lnt=(2lnt+1t+2)?(?t)，

整理得lnt?2t?1=0．

令g(t)=lnt?2t?1，函數(shù)定義域為(0,+∞)，

可得g′(t)=1t?2，

當(dāng)0<t<12時，g′(t)>0，g(t)單調(diào)遞增；

當(dāng)t>12時，g′(t)<0，g(t)單調(diào)遞減，

所以g(t)≤g(12)=?ln2?2<0，

則方程lnt?2t?1=0無解，

綜上可知，曲線y=f(x)在點的(t,f(t))切線不過原點；

(3)若曲線y=f(x)與直線y=?x在區(qū)間(1,+∞)上有兩個不同的交點，

即f(x)=?x在區(qū)間(1,+∞)上有兩個不同的解，

所以(2x?a)lnx=?x在區(qū)間(1,+∞)上有兩個不同的解，

即a=2x+xlnx在區(qū)間(1,+∞)上有兩個不同的解，

設(shè)?(x)=2x+xlnx，函數(shù)定義域為(1,+∞)，

可得?′(x)=2+lnx?1ln2x=(lnx+1)(2lnx?1)ln2x，

令?′(x)=0，

解得x1=1e,x2=e，

因為x>1，

所以x=21.解：(Ⅰ)若m=5，則對于任意的n∈{1,2,3,4,5}，

a2=1，a1=2，a1+a2=2+1=3，a3=4，a2+a3=1+4=5，

所以Q是5?連續(xù)可表數(shù)列；

由于不存在任意連續(xù)若干項之和相加為6，

所以Q不是6?連續(xù)可表數(shù)列；

(Ⅱ)假設(shè)k的值為3，則a1，a2，a3最多能表示a1，a2，a3，a1+a2