【名師一號】2020-2021學年北師大版高中數(shù)學必修1：第四章-函數(shù)應(yīng)用-單元同步測試

階段性檢測卷四(時間：120分鐘，滿分：150分)一、選擇題(本大題共10小題，每題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．)1．若方程f(x)＝0有4個解，則函數(shù)y＝f(x)的零點個數(shù)是()A．1 B．2個C．3個 D．4個答案D2．函數(shù)y＝1＋eq\f(1,x)的零點是()A．(－1,0) B．x＝－1C．x＝1 D．x＝0解析由1＋eq\f(1,x)＝0，得x＝－1.答案B3．某鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)的一個蔬菜生產(chǎn)基地共有8位工人，過去每人年薪為1萬元，從2022年起，方案每人每年的工資比上一年增加20%，并每年新招3位工人，每位新工人第一年年薪為8千元，其次年開頭拿與老工人一樣數(shù)額的年薪，那么第n年付給工人的工資總額y(萬元)表示成n的函數(shù)為()A．y＝(3n＋5)×1.2n＋2.4B．y＝8×1.2n＋2.4nC．y＝(3n＋8)×1.2n＋2.4D．y＝(3n＋5)×1.2n－1＋2.4解析第n年共有(3n＋8)位工人，其中新工人3人，老工人(3n＋5)人，老工人的工資總額為(3n＋5)·(1＋20%)n＝(3n＋5)×1.2n,3位新工人的工資總額為3×0.8＝2.4.所以第n年付給工人的工資總額y＝(3n＋5)×1.2n＋2.4.答案A4．若函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋2的兩個零點是－eq\f(1,2)和eq\f(1,3)，則g(x)＝bx2－ax的零點是()A．－12和－2 B．6和0C.eq\f(1,6)和0 D．－2和6解析由f(x)＝ax2＋bx＋2的兩個零點是－eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，由韋達定理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(1,3)＝－\f(b,a)，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝\f(2,a)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－12，,b＝－2.))∴g(x)＝bx2－ax＝－2x2＋12x＝－2x(x－6)故g(x)的零點是0,6.答案為B.答案B5．若函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，滿足f(1)>0，f(2)<0，則f(x)在(1,2)內(nèi)零點的個數(shù)為()A．至多一個 B．有一個或兩個C．有且僅有一個 D．一個也沒有解析若a≠0時，由二次函數(shù)的圖像知答案為C；當a＝0時，答案也為C.答案C6．實數(shù)a，b，c是圖像連續(xù)不斷的函數(shù)y＝f(x)定義域中的三個數(shù)，且滿足a<b<c，f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，c)上零點有()A．2個 B．奇數(shù)個C．偶數(shù)個 D．至少2個解析∵f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，f(a)f(c)>0，即圖像在區(qū)間(a，c)上至少有2個交點．答案D7．在(－2,2)上有零點，且能用二分法求零點的是()A．y＝x2－2x－3 B．y＝x2－2x＋1C．y＝x2－2x＋3 D．y＝－x2＋2x－3答案A8．已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝(x2－3x＋2)g(x)＋3x－4，其中函數(shù)y＝g(x)的圖像是一條連續(xù)曲線，則方程f(x)＝0在下面哪個范圍內(nèi)必有實數(shù)根()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)解析f(1)＝－1，f(2)＝2，∴f(－1)·f(2)<0∴方程f(x)＝0在(1,2)內(nèi)必有實數(shù)根．答案B9．某商店把原定價每臺為2640元的彩電以九折優(yōu)待售出時，仍可獲利20%，那么這種彩電每臺的進價是()A．1980元 B．2000元C．2112元 D．2200元解析設(shè)每臺彩電進價為x元，由題意得2640×90%－x＝x×20%，解得x＝1980(元)．答案A10．給出下列命題：①y＝1是冪函數(shù)；②函數(shù)y＝|x＋2|－2x在R上有3個零點；③eq\r(x－1)(x－2)≥0的解集為[2，＋∞)；④當n≤0時，冪函數(shù)y＝xn的圖像與兩坐標軸不相交．其中正確的命題是()A．①②④ B．①②③④C．②④ D．①②③答案C二、填空題(本大題共5小題，每題5分，共25分．將答案填在題中橫線上．)11．對于二分法求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(2,4)上的近似解，驗證f(2)·f(4)<0，給定精確度ε＝0.01，取區(qū)間(2,4)的中點x1＝eq\f(2＋4,2)＝3，計算得f(2)·f(x1)<0，則此時零點x0∈________.(填區(qū)間)答案(2,3)12．現(xiàn)測得(x，y)的兩組值為(1,2)，(2,5)，現(xiàn)有兩個擬合模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又測得(x，y)的一組對應(yīng)值為(3,10.2)，則應(yīng)選用________作為擬合模型較好．解析兩組值(1,2)，(2,5)都滿足甲、乙兩模型，又把(3,10.2)代入兩模型檢驗得，甲模型擬合效果更好．答案甲13．假如函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋m＋3的一個零點為0，則另一個零點是________．解析∵函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋m＋3的一個零點為0，則f(0)＝0，∴m＋3＝0，∴m＝－3，則f(x)＝x2－3x，于是另一個零點是3.答案314．若函數(shù)f(x)＝x2＋3x＋a在[0,1]有且只有一個零點，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析當Δ＝9－4a＝0時，a＝eq\f(9,4)時，不合題意．當Δ>0時，由題意可得f(0)·f(1)≤0得－4≤a≤0.答案[－4,0]15．在不考慮空氣阻力的狀況下，火箭(除燃料外)的質(zhì)量mkg，火箭的最大速度vm/s和燃料的質(zhì)量Mkg的函數(shù)關(guān)系是v＝2000lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m))).當燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的________倍時，火箭的最大速度才能達到12km/s.解析設(shè)M＝tm，則有2000ln(1＋t)＝12000.即ln(1＋t)＝6，解得t＝e6－1.答案e6－1三、解答題(本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．)16．(12分)求下列函數(shù)的零點．(1)f(x)＝x2－4x＋3；(2)f(x)＝log2(3x－2)－1解(1)由x2－4x＋3＝0，得(x－1)(x－3)＝0，∴x＝1，或x＝3.∴函數(shù)f(x)的零點為1和3.(2)由log2(3x－2)－1＝0，得3x－2＝2，∴x＝eq\f(4,3).故函數(shù)f(x)＝log2(3x－2)－1的零點為eq\f(4,3).17．(12分)已知函數(shù)f(x)＝x2－mx－m＋3，是否存在實數(shù)m滿足一個零點在(0,1)內(nèi)，另一個零點在(1,2)內(nèi)，若存在，求出m的取值范圍，若不存在，說明理由．解假設(shè)存在實數(shù)m，使f(x)的一個零點在(0,1)內(nèi)，另一個零點在(1,2)內(nèi)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＝3－m>0，,f1＝1－m－m＋3<0，,f2＝4－2m－m＋3>0，))得2<m<eq\f(7,3).∴當2<m<eq\f(7,3)時，f(x)的一個零點在(0,1)內(nèi)，另一個零點在(1,2)內(nèi)．18．(12分)若函數(shù)f(x)＝lnx＋x2－a有且只有一個零點在(1,2)內(nèi)，求實數(shù)a的取值范圍．解∵f(x)＝lnx＋x2－a在(1,2)內(nèi)單調(diào)遞增，又f(x)在(1,2)內(nèi)有且只有一個零點．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝ln1＋1－a<0，,f2＝ln2＋4－a>0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,a<4＋ln2.))∴a的取值范圍是1<a<4＋ln2.19．(13分)已知函數(shù)f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0<a<1)．(1)求函數(shù)f(x)的定義域．(2)求函數(shù)f(x)的零點．(3)若函數(shù)f(x)的最小值為－4，求a的值．解(1)要使函數(shù)有意義，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x>0，,x＋3>0，))解得－3<x<1.所以函數(shù)的定義域為(－3,1)．(2)函數(shù)f(x)可化為f(x)＝loga(1－x)(x＋3)＝loga(－x2－2x＋3)，由f(x)＝0得－x2－2x＋3＝1即x2＋2x－2＝0，解得x＝－1±eq\r(3).∵－1±eq\r(3)∈(－3,1)，∴f(x)的零點是－1±eq\r(3).(3)函數(shù)f(x)可化為f(x)＝loga(1－x)(x＋3)＝loga(－x2－2x＋3)＝loga[－(x＋1)2＋4]．∵－3<x<1，∴0<－(x＋1)2＋4≤4，∵0<a<1，∴l(xiāng)oga[－(x＋1)2＋4]≥loga4.即f(x)min＝loga4，∴l(xiāng)oga4＝－4得a－4＝4，∴a＝4eq\s\up15(－eq\f(1,4))＝eq\f(\r(2),2).20．(13分)已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c和一次函數(shù)g(x)＝－bx，其中a，b，c滿足a>b>c；a＋b＋c＝0(a，b，c∈R)，求證：兩函數(shù)的圖像交于不同的兩點．證明圖像的交點問題可以轉(zhuǎn)化為求方程的根的問題．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝ax2＋bx＋c，,y＝－bx，))消去y得ax2＋2bx＋c＝0，Δ＝4b2－4ac＝4(－a－c)2－＝4(a2＋ac＋c2)＝4eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(c,2)))2＋\f(3,4)c2)).∵a＋b＋c＝0，a>b>c，∴a>0，c<0.∴eq\f(3,4)c2>0，∴Δ>0.∴兩函數(shù)的圖像交于不同的兩點．21．(13分)某服裝廠生產(chǎn)一種服裝，每件服裝的成本為40元，出廠單價定為60元．該廠為鼓舞銷售商訂購，打算當一次訂購量超過100件時，每多訂購一件，訂購的全部服裝的出廠單價就降低0.02元，依據(jù)市場調(diào)查，銷售商一次訂購量不會超過500件．(1)設(shè)一次訂購量為x件，服裝的實際出廠單價為P元，寫出函數(shù)P＝f(x)的表達式；(2)當銷售商一次訂購了450件服裝時，該服裝廠獲得利潤是多少元？(服裝廠售出一件服裝的利潤＝實際出廠單價－成本)解(1)當0＜x≤100時，P＝60，當100＜x≤500時，P＝60－0.02(x－100)＝62－eq\f(x,50).∴P＝f(x)＝eq