【2022屆走向高考】高三數(shù)學一輪(北師大版)基礎(chǔ)鞏固：第8章-第7節(jié)-空間向量及其運算(理)

第八章第七節(jié)一、選擇題1．已知空間四邊形OABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，點M在OA上，且OM＝2MA，N為BC中點，則eq\o(MN,\s\up6(→))＝()A．eq\f(1,2)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(1,2)c B．－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cC．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c D．eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,2)c[答案]B[解析]明顯eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))－eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→)).2．空間直角坐標系中，A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，則直線AB與CD的位置關(guān)系是()A．垂直 B．平行C．異面 D．相交但不垂直[答案]B[解析]由題意得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－3,3)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(1,1，－1)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝－3eq\o(CD,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線，又eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))沒有公共點，∴AB∥CD．3．已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,4,5)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(3，x，y)，若eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，則()A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝eq\f(15,2)C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝eq\f(15,2)[答案]D[解析]eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))?eq\o(AB,\s\up6(→))＝keq\o(CD,\s\up6(→))，得2＝3k，∴k＝eq\f(2,3).∴x＝6，y＝eq\f(15,2).4．已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E為上底面A1C1的中心，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))，則x，y的值分別為()A．x＝1，y＝1 B．x＝1，y＝eq\f(1,2)C．x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2) D．x＝eq\f(1,2)，y＝1[答案]C[解析]如圖，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))．5．如圖所示，已知空間四邊形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝eq\f(π,3)，則cos<eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))>的值為()A．0 B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(2),2)[答案]A[解析]設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c由已知條件<a，b>＝<a，c>＝eq\f(π,3)，且|b|＝|c|，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝eq\f(1,2)|a||c|－eq\f(1,2)|a||b|＝0，∴cos<eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))>＝0.6．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三個向量共面，則實數(shù)λ等于()A．eq\f(62,7) B．eq\f(63,7)C．eq\f(64,7) D．eq\f(65,7)[答案]D[解析]由于a，b，c三向量共面．所以存在實數(shù)m，n使得c＝ma＋nb，即有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7＝2m－n,5＝－m＋4n,λ＝3m－2n))，解得m＝eq\f(33,7)，n＝eq\f(17,7)，λ＝eq\f(65,7).故選D．二、填空題7．(2021·西安模擬)在z軸上求一點A，使它到點B(1,1,2)的距離為3eq\r(2)，則A的坐標是________．[答案](0,0,6)或(0,0，－2)[解析]設(shè)A(0,0，a)，則|AB|＝eq\r(1－02＋1－02＋2－a2)＝3eq\r(2)，即(a－2)2＝16.∴a＝6或a＝－2.∴A(0,0,6)或(0,0，－2)．8．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，滿足條件(c－a)·(2b)＝－2，則x＝______.[答案]2[解析]c－a＝(1,1,1)－(1,1，x)＝(0,0,1－x)．∴(c－a)·(2b)＝(0,0,1－x)·(2,4,2)＝2－2x＝－2.∴x＝2.9．如圖，已知長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，BC＝3，M為AC1與CA1的交點，則M點的坐標為________[答案](1，eq\f(3,2)，1)[解析]由長方體的幾何性質(zhì)得，M為AC1的中點，在所給的坐標系中，A(0,0,0)，C1(2,3,2)．∴中點M的坐標為(1，eq\f(3,2)，1)．三、解答題10．如圖，平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條棱長都為1，(1)求AC1的長；(2)求eq\o(BD1,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))夾角的余弦值．[解析]記eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，則|a|＝|b|＝|c|＝1，<a，b>＝<b，c>＝<c，a>＝60°，∴a·b＝b·c＝c·a＝eq\f(1,2).(1)|eq\o(AC1,\s\up6(→))|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,2)＋\f(1,2)))＝6，∴|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝eq\r(6).(2)eq\o(BD1,\s\up6(→))＝b＋c－a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，∴|eq\o(BD1,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，eq\o(BD1,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.∴cos<eq\o(BD1,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))>＝eq\f(\o(BD1,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(BD1,\s\up6(→))||AC|)＝eq\f(\r(6),6).∴eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(BD1,\s\up6(→))夾角的余弦值為eq\f(\r(6),6).一、選擇題1．在下列命題中：①若向量a，b共線，則向量a，b所在的直線平行；②若向量a，b所在的直線為異面直線，則向量a，b確定不共面；③若三個向量a，b，c兩兩共面，則向量a，b，c共面；④已知空間的三個向量a，b，c，則對于空間的任意一個向量p總存在實數(shù)x，y，z使得p＝xa＋yb＋zC．其中正確命題的個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3[答案]A[解析]①錯，向量a，b所在的直線可能重合；②錯，向量a，b可以平行移動到同一平面內(nèi)；③錯，如從三棱錐的一個頂點動身的三條棱所對應(yīng)的三個向量；④錯，a，b，c要求不共面．2．(2022·廣東高考)已知向量a＝(1,0，－1)，則下列向量中與a成60°夾角的是()A．(－1,1,0) B．(1，－1,0)C．(0，－1,1) D．(－1,0,1)[答案]B[解析]本題考查空間向量所成的角公式，逐一驗證：A．cosθ＝eq\f(－1,\r(2)×\r(2))＝－eq\f(1,2)，則θ＝120°.B．cosθ＝eq\f(1,\r(2)×\r(2))＝eq\f(1,2)，∴θ＝60°.C．cosθ＝eq\f(－1,\r(2)×\r(2))＝－eq\f(1,2)，θ＝120°.D．cosθ＝eq\f(－2,\r(2)×\r(2))＝－1，θ＝180°.選B．留意兩向量夾角公式cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＋z2)·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)＋z\o\al(2,2)))，同時留意夾角范圍．二、填空題3．若A、B、C、D是空間中不共面的四點，且滿足eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，則△BCD的外形是________．[答案]銳角三角形[解析]∵eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0.∴AB⊥AC，AC⊥AD，AB⊥AD．∴BC2＋CD2＝AB2＋AC2＋AC2＋AD2>AB2＋AD2＝BD2，∴∠BCD為銳角．同理∠BDC，∠CBD也為銳角．∴△BCD為銳角三角形．4．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下面給出四個命題①|(zhì)eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→))|2＝3|eq\o(A1B1,\s\up6(→))|2；②eq\o(A1C,\s\up6(→))·(eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))＝0；③eq\o(AD1,\s\up6(→))與eq\o(A1B,\s\up6(→))的夾角為60°；④此正方體體積為|eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))|.則錯誤命題的序號是________(填出全部錯誤命題的序號)．[答案]③④[解析]∵|eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→))|＝|eq\o(A1C,\s\up6(→))|＝eq\r(3)|eq\o(A1B1,\s\up6(→))|，∴①正確；∵eq\o(A1C,\s\up6(→))·(eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))＝eq\o(A1C,\s\up6(→))·eq\o(AB1,\s\up6(→))，由三垂線定理知eq\o(A1C,\s\up6(→))⊥eq\o(AB1,\s\up6(→))，∴②正確；③AD1與A1B異面直線的夾角為60°，但eq\o(AD1,\s\up6(→))與eq\o(A1B,\s\up6(→))的夾角為120°，eq\o(A1B,\s\up6(→))＝eq\o(D1C,\s\up6(→))，留意方向．④由于eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))＝0，正確的應(yīng)是|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AA1,\s\up6(→))|·|eq\o(AD,\s\up6(→))|.三、解答題5．如圖所示，在四棱錐M－ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側(cè)棱AM的長為b，且AM和AB，AD的夾角都等于60°，N是CM的中點．(1)以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))為基向量表示出向量eq\o(CM,\s\up6(→))，并求CM的長；(2)求BN的長．[解析](1)eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))－(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))，|eq\o(CM,\s\up6(→))|2＝(eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))2＝eq\o(AM,\s\up6(→))2＋eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AD,\s\up6(→))2－2eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－2eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝b2＋a2＋a2－2bacos60°－2bacos60°＋2a2＝2a2－2ab＋b2∴CM＝|eq\o(CM,\s\up6(→))|＝eq\r(2a2－2ab＋b2).(2)eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))，∴|eq\o(BN,\s\up6(→))|2＝eq\f(1,4)(eq\o(AM,\s\up6(→))2＋eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AD,\s\up6(→))2－2eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))－2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)(2a2＋b2)∴BN＝|eq\o(BN,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)eq\r(2a2＋b2).6．如圖所示，直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分別是A1B1、A1A的中點(1)求BN的長；(2)求異面直線BA1與CB1所成角的余弦值；(3)求證：A1B⊥C1M[分析]建立適當?shù)目臻g直角坐標系，用坐標表示出各向量，利用兩向量的數(shù)量積的夾角公式及模長公式