【名師一號(hào)】2020-2021學(xué)年人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-1雙基限時(shí)練21

雙基限時(shí)練(二十一)1．若n＝(2，－3,1)是平面α的一個(gè)法向量，則下列向量中能作為平面α法向量的是()A．(0，－3,1) B．(2,0,1)C．(－2，－3,1) D．(－2,3，－1)答案D2．設(shè)平面α的法向量為(1,2，－2)，平面β的法向量為(－2，－4，k)，若α∥β，則k＝()A．2 B．－4C．4 D．－2答案C3．若平面α與平面β的法向量分別是a＝(4,0，－2)，與b＝(1,0,2)，則平面α與平面β的位置關(guān)系是()A．平行 B．垂直C．相交不垂直 D．無法判定答案B4．若直線l1的方向向量與l2的方向向量的夾角為150°，則l1與l2這兩條異面直線所成的角等于()A．30° B．150°C．30°或150° D．以上均錯(cuò)答案A5．若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角等于120°，則直線l與平面α所成的角等于()A．120° B．60°C．30° D．以上均錯(cuò)解析如圖所示，易知直線l與平面α所成的角為30°.答案C6．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，則平面ABC的一個(gè)單位法向量是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)))解析∵eq\o(AB,\s\up16(→))＝(－1,1,0)，eq\o(AC,\s\up16(→))＝(－1,0,1)，結(jié)合選項(xiàng)，驗(yàn)證知應(yīng)選D.答案D7．已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1，則平面ACB1解析建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，B1(1,1,1)，∴eq\o(AC,\s\up16(→))＝(－1,1,0)，eq\o(AB1,\s\up16(→))＝(0,1,1)．設(shè)平面ACB1的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，則由n⊥eq\o(AC,\s\up16(→))，n⊥eq\o(AB1,\s\up16(→))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋y＝0，,y＋z＝0，))令x＝1，得n＝(1,1，－1)．答案(1,1，－1)8．若兩個(gè)平面α，β的法向量分別等于u＝(1,0,1)，v＝(－1,1,0)則這兩個(gè)平面所成的銳二面角的度數(shù)是____________________．解析∵a＝(1,0,1)，v＝(－1,1,0)，∴|u|＝eq\r(2)，|v|＝eq\r(2)，u·v＝－1.∴cos〈u·v〉＝－eq\f(1,2).∴〈u，v〉＝120°，故兩平面所成的銳二面角為60°.答案60°9．已知直線l1的一個(gè)方向向量為v1＝(1，－1,2)，直線l2的一個(gè)方向向量為v2＝(3，－3,0)，則兩直線所成角的余弦值為________．解析cos〈v1，v2〉＝eq\f(v1·v2,|v1|·|v2|)＝eq\f(3＋3,\r(6)·\r(18))＝eq\f(\r(3),3).答案eq\f(\r(3),3)10．給定下列命題：①若n1，n2分別是平面α，β的法向量，則n1∥n2?α∥β；②若n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α∥β?n1·n2＝0；③若n是平面α的法向量，且向量a與平面α共面，則a·n＝0；④若兩個(gè)平面的法向量不垂直，則這兩個(gè)平面肯定不垂直．其中正確命題的序號(hào)是________．答案①③④11．設(shè)a，b分別是直線l1和l2的方向向量，依據(jù)下列條件推斷l(xiāng)1與l2的位置關(guān)系．(1)a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)；(2)a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)；(3)a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)．解(1)∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)，∴a＝－eq\f(1,3)b，∴a∥b，∴l(xiāng)1∥l2.(2)∵a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，∴a·b＝0，∴a⊥b，∴l(xiāng)1⊥l2.(3)∵a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)，∴a與b不共線，也不垂直，∴l(xiāng)1與l2的位置關(guān)系是相交或異面．12．設(shè)u，v分別是平面α，β的法向量，依據(jù)下列條件推斷α，β的位置關(guān)系．(1)u＝(1，－1,2)，v＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，2，－\f(1,2)))；(2)u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)；(3)u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)．解(1)∵u＝(1，－1,2)，v＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，2，－\f(1,2)))，∴u·v＝3－2－1＝0.∴u⊥v，∴α⊥β.(2)∵u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)，∴u＝－eq\f(3,5)v，∴u∥v，∴α∥β.(3)∵u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)，∴u與v既不共線，也不垂直，∴平面α與β相交(不垂直)．13．設(shè)u是平面α的法向量，a是直線l的方向向量，依據(jù)下列條件推斷α與l的關(guān)系．(1)u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)；(2)u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)；(3)u＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)．解(1)∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)，∴u·a＝－6＋8－2＝0.∴u⊥a.∴直線l與平面α的位置關(guān)系是l?α或l∥α.(2)∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，∴u＝－eq\f(1,4)a.∴u∥a，∴l(xiāng)⊥α.(3)∵u＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)，∴u與a不共線也不垂直．∴l(xiāng)與α相交(斜交)．14．若直線a和b是兩條異面直線，它們的方向向量分別是(1,1,1)，和(2，－3，－2)，求直線a和b的公垂線的一個(gè)方向向量．解設(shè)直線a與b的公垂線的一個(gè)方向向量為n＝(x，y，z)，則n⊥(1,1,1)，n⊥(2，－3，－2)，∴eq\b\lc