【2021屆備考】2020全國名校數(shù)學(xué)試題分類解析匯編(12月第一期)：F3平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用

F3平面對量的數(shù)量積及應(yīng)用【數(shù)學(xué)理卷·2021屆湖南省瀏陽一中、攸縣一中、醴陵一中三校高三聯(lián)考（202211）】12.若等邊△ABC的邊長為1，平面內(nèi)一點(diǎn)M滿足，則=．【學(xué)問點(diǎn)】向量的線性運(yùn)算；向量的數(shù)量積.F1F3【答案】【解析】解析：=.【思路點(diǎn)撥】用表示所求數(shù)量積中的向量，再用數(shù)量積公式求解.【數(shù)學(xué)理卷·2021屆湖南省瀏陽一中、攸縣一中、醴陵一中三校高三聯(lián)考（202211）】10、已知，曲線恒過點(diǎn)，若是曲線上的動點(diǎn)，且的最小值為，則().A.B.-1C.2D.1【學(xué)問點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的定點(diǎn)性；向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算；導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.B6F2F【答案】【解析】D解析：依據(jù)題意得B(0，1),設(shè)，則，即函數(shù)有最小值0.由于，所以當(dāng)a時f(x)無最小值；當(dāng)a>0時，有時f(x)=0,即，明顯a=1是此方程的解，故選D.【思路點(diǎn)撥】易得B（0,1），設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積德坐標(biāo)運(yùn)算，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)取得最值得條件.【數(shù)學(xué)理卷·2021屆湖南省岳陽一中高三上學(xué)期第三次月考（202211）】14.平面對量滿足，，則向量與的夾角為【學(xué)問點(diǎn)】平面對量的數(shù)量積的運(yùn)算；向量的夾角；向量的模.F2F3【答案】【解析】解析：，，又，，所以，所以向量與的夾角為，故答案為?！舅悸伏c(diǎn)撥】先依據(jù)已知條件結(jié)合向量的夾角公式計算出，再求夾角即可。【數(shù)學(xué)理卷·2021屆河南省試驗中學(xué)高三上學(xué)期期中考試（202211）】10.O為平面上的一個定點(diǎn)，A、B、C是該平面上不共線的三點(diǎn)，若，則△ABC是()A.以AB為底邊的等腰三角形 B.以BC為底邊的等腰三角形C.以AB為斜邊的直角三角形 D.以BC為斜邊的直角三角形【學(xué)問點(diǎn)】平面對量的數(shù)量積及應(yīng)用F3【答案解析】B由題意知-2)=，如圖所示其中（點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)），所以AD⊥BC，即AD是BC的中垂線，

所以AB=AC，即△ABC為等腰三角形．故答案為“B.【思路點(diǎn)撥】首先把2拆開分別與組合，再由向量加減運(yùn)算即可整理，然后依據(jù)（點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)），并結(jié)合圖形得出結(jié)論．【數(shù)學(xué)理卷·2021屆河南省試驗中學(xué)高三上學(xué)期期中考試（202211）】4.設(shè)向量，向量，向量，則向量（）A．（－15，12）B.0 C.－3 D.－11【學(xué)問點(diǎn)】平面對量的數(shù)量積及應(yīng)用F3【答案解析】C依題意：∵=（1，-2），=（-3，4），+2=（1，-2）+2（-3，4）=（-5，6）

∵=（3，2），∴(+2)?=（-5，6）?（3，2）=-5×3+6×2=-3故答案為C【思路點(diǎn)撥】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出相應(yīng)向量的坐標(biāo)，在進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算．【數(shù)學(xué)理卷·2021屆河北省衡水中學(xué)高三上學(xué)期期中考試（202211）】8、已知直線與圓交于不同的兩點(diǎn)是坐標(biāo)點(diǎn)，且有，那么的取值范圍是（）A．B．C．D．【學(xué)問點(diǎn)】向量及向量的模.F3【答案】【解析】B解析：設(shè)AB的中點(diǎn)為D，則，，，直線與圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，所以答案為B.【思路點(diǎn)撥】依據(jù)向量及向量模的運(yùn)算可找到正確結(jié)果.【數(shù)學(xué)理卷·2021屆江西省贛州市十二縣（市）高三上學(xué)期期中聯(lián)考（202211）】4.平面對量，的夾角為，，，則（）A．B． C．D．【學(xué)問點(diǎn)】平面對量數(shù)量積的運(yùn)算．F3【答案】【解析】A解析：由,得；又由于平面對量，的夾角為，，所以依據(jù)已知條件可得：．故選A．【思路點(diǎn)撥】依據(jù)已知條件可求出，又知夾角以及，從而能求出?！緮?shù)學(xué)理卷·2021屆安徽省“江淮十校”高三11月聯(lián)考（202211）WORD版】14.已知正方形的邊長為，是正方形的外接圓上的動點(diǎn)，則的最大值為_______________.【學(xué)問點(diǎn)】向量的數(shù)量積，圓的方程F3H3【答案】【解析】解析：以正方形的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于為軸，平行于為軸建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)在圓上，設(shè)則，，即的最大值為.【思路點(diǎn)撥】以正方形的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出坐標(biāo)以及利用數(shù)量積求解?！緮?shù)學(xué)文卷·2021屆湖南省岳陽一中高三上學(xué)期第三次月考（202211）】8.若向量a與向量b的夾角為60°，且|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，則向量a的模為(C)A．2B．4C．6【學(xué)問點(diǎn)】向量的模；平面對量數(shù)量積的運(yùn)算.F2F3【答案】【解析】C解析：（a+2b）?（a﹣3b）=|a|2﹣|a||b|cos60°﹣6|b|2=|a|2﹣2|a|﹣96=﹣72，∴|a|2﹣2|a|﹣24=0．∴（|a|﹣6）?（|a|+4）=0．∴|a|=6．故選C【思路點(diǎn)撥】分解（a+2b）?（a﹣3b）得|a|2﹣|a||b|cos60°﹣6|b|2，由于向量的夾角、已知，代入可得關(guān)于的方程，解方程可得．【數(shù)學(xué)文卷·2021屆江西省贛州市十二縣（市）高三上學(xué)期期中聯(lián)考（202211）】12、設(shè)，向量，若，則_______.【學(xué)問點(diǎn)】平面對量數(shù)量積的運(yùn)算．F3【答案】【解析】解析：∵=sin2θ﹣cos2θ=2sinθcosθ﹣cos2θ=0，，∴2sinθ﹣cosθ=0，∴tanθ=，故答案為：．【思路點(diǎn)撥】由條件利用兩個向量的數(shù)量積公式求得2sinθcosθ﹣cos2θ=0，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得tanθ。【數(shù)學(xué)文卷·2021屆江西省贛州市十二縣（市）高三上學(xué)期期中聯(lián)考（202211）】4.在中，，，是邊上的高，則的值等于（）A． B．C． D．9【學(xué)問點(diǎn)】平面對量數(shù)量積的運(yùn)算．F3【答案】【解析】C解析：分別以BC，AD所在直線為x軸，y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系；依據(jù)已知條件可求以下幾點(diǎn)坐標(biāo)：A，D，C；∴，；∴．故選C．【思路點(diǎn)撥】依據(jù)已知條件可以分別以BC，DA所在直線為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，而依據(jù)已知的邊長及角的值可求出向量，的坐標(biāo)，依據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出．【數(shù)學(xué)文卷·2021屆江西省師大附中高三上學(xué)期期中考試（202211）】18.（本小題12分）已知向量=（），=（,）,,函數(shù)，其最小正周期為.（1）求函數(shù)的表達(dá)式及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，S為其面積，若=1，b=l，S△ABC=，求a的值．【學(xué)問點(diǎn)】向量的數(shù)量積三角函數(shù)的性質(zhì)解三角形F3C3C【答案】【解析】(1)，單調(diào)遞增區(qū)間為；(2).解析：(1)由于，由于最小正周期為，所以，得，所以，由,得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；(2)由于，所以，則，得c=4，所以.【思路點(diǎn)撥】一般爭辯與三角相關(guān)的函數(shù)的性質(zhì)通常先把函數(shù)化成一個角的三角函數(shù)再進(jìn)行解答，再解三角形中可運(yùn)用三角形面積公式及余弦定理進(jìn)行解答.【數(shù)學(xué)文卷·2021屆江西省師大附中高三上學(xué)期期中考試（202211）】9．在中,是邊上的高，則的值等于（）A．0 B．4 C．8 D．【學(xué)問點(diǎn)】向量的數(shù)量積向量的減法F1F3【答案】【解析】B解析：由于是邊上的高，所以∠BAD=60°，AD=2，則，所以選B.【思路點(diǎn)撥】先利用向量的減法運(yùn)算，把向量向已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再利用向量的數(shù)量積計算公式計算，留意向量的夾角與三角形的內(nèi)角的關(guān)系.【數(shù)學(xué)文卷·2021屆安徽省“江淮十?！备呷?1月聯(lián)考（202211）WORD版】20.（本題滿分13分）已知。函數(shù)且.（1）求的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將的圖像向右平移單位得的圖像，若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【學(xué)問點(diǎn)】平面對量數(shù)量積三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)恒成立問題F3C3【答案】【解析】（1）遞增區(qū)間為；（2）.解析：解（1）1分由，知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，2分所以，又，所以4分即所以函數(shù)的遞增區(qū)間為；5分（2）易知6分即在上恒成立。令由于，所以8分當(dāng)，在上單調(diào)遞減，，滿足條件；當(dāng)，在上單調(diào)遞增，，不成立；③當(dāng)時，必存在唯一，使在上遞減，在遞增，故只需，解得；12分綜上，由①②③得實(shí)數(shù)的取值范圍是：.13分另解：由題知：∴即在x∈[0,]上恒成立也即在x∈[0,]上恒成立令，如圖：的圖象在圖象的下方，則：故.【思路點(diǎn)撥】依據(jù)可得函數(shù)的對稱軸為，所以，在依據(jù)其范圍，求得，利用三角函數(shù)的性質(zhì)以及整體思想求得函數(shù)的單調(diào)第增區(qū)間，由圖像的平移可得，若在上恒成立，可得在上恒成立.【數(shù)學(xué)文卷·2021屆安徽省“江淮十?！备呷?1月聯(lián)考（202211）WORD版】20.（本題滿分13分）已知。函數(shù)且.（1）求的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將的圖像向右平移單位得的圖像，若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【學(xué)問點(diǎn)】平面對量數(shù)量積三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)恒成立問題F3C3【答案】【解析】（1）遞增區(qū)間為；（2）.解析：解（1）1分由，知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，2分所以，又，所以4分即所以函數(shù)的遞增區(qū)間為；5分（2）易知6分即在上恒成立。令由于，所以8分當(dāng)，在上單調(diào)遞減，，滿足條件；當(dāng)，在上單調(diào)遞增，，不成立；③當(dāng)時，必存在唯一，使在上遞減，在遞增，故