【2021屆備考】2020全國(guó)名校數(shù)學(xué)試題分類解析匯編(11月第三期)：N單元-選修4系列

N單元選修4系列名目N單元選修4系列 1N1選修4-1幾何證明選講 1N2選修4-2矩陣 1N3選修4-4參數(shù)與參數(shù)方程 1N4選修4-5不等式選講 1N5選修4-7優(yōu)選法與試驗(yàn)設(shè)計(jì) 1N1選修4-1幾何證明選講【數(shù)學(xué)（理）卷·2021屆重慶市重慶一中高三上學(xué)期其次次月考（202210）】14.如圖所示，已知AB，BC是⊙O的兩條弦，AO⊥BC，AB＝eq\r(3)，BC＝2eq\r(2)，則⊙O的半徑等于_____________．【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】與圓有關(guān)的比例線段．N1【答案解析】eq\f(3,2)解析：設(shè)垂足為D，⊙O的半徑等于R，則∵AB，BC是⊙O的兩條弦，AO⊥BC，AB=，BC=2，∴AD=1，∴R2=2+（R﹣1）2，∴R=1.5．故答案為：1.5【思路點(diǎn)撥】設(shè)垂足為D，⊙O的半徑等于R，先計(jì)算AD，再計(jì)算R即可．【數(shù)學(xué)理卷·2021屆重慶南開中學(xué)高三10月月考（202210）word版】14.如圖，PQ為半圓O的直徑，A為以O(shè)Q為直徑的半圓A的圓心，圓O的弦PN切圓A于點(diǎn)M，PN=8，則圓A的半徑為___________【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】選修4-1幾何證明選講N1【答案解析】如圖所示，連接AM，QN．

由于PQ是⊙O的直徑，∴∠PNQ=90°．

∵圓O的弦PN切圓A于點(diǎn)M，∴AM⊥PN．∴AM∥QN，

∴．又PN=8，∴PM=6．

依據(jù)切割線定理可得：PM2=PO?PQ．

設(shè)⊙O的半徑為R．則62=R?2R，∴R=3，∴⊙A的半徑r=R=．

故答案為：．【思路點(diǎn)撥】利用圓的直徑的性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)可得：∠PNQ=90°=∠PMA．進(jìn)而得到AM∥QN，可得．可得PM，再依據(jù)切割線定理可得：PM2=PO?PQ．可得PO．【數(shù)學(xué)理卷·2021屆寧夏銀川一中高三第三次月考（202210）】22.（本題滿分10分）選修4—1：幾何證明選講如圖，是直角三角形，，以為直徑的圓交于點(diǎn)，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連接交圓于點(diǎn).（1）求證：、、、四點(diǎn)共圓；（2）求證：【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】選修4-1幾何證明選講N1【答案解析】（1）略（2）略證明：（1）連接、，則又是BC的中點(diǎn)，所以又，所以所以所以、、、四點(diǎn)共圓（2）延長(zhǎng)交圓于點(diǎn).由于.所以所以【思路點(diǎn)撥】依據(jù)全等證明四點(diǎn)共圓，依據(jù)線段的關(guān)系證明結(jié)論?！緮?shù)學(xué)理卷·2021屆吉林省試驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期第三次質(zhì)量檢測(cè)（202211）】22．（本小題滿分10分）已知C點(diǎn)在圓O直徑BE的延長(zhǎng)線上，CA切圓O于A點(diǎn)，DC是∠ACB的平分線交AE于點(diǎn)F，交AB于D點(diǎn)．OABCDEFOABCDEF（Ⅱ）若AB=AC，求AC:BC．【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】選修4-1幾何證明選講N1【答案解析】：（Ⅰ）設(shè)∠EAC=α，依據(jù)弦切角定理，∠ABE=α．

依據(jù)三角形外角定理，∠AEC=90°+α．

依據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠ACE=90°-2α．由于CD是∠ACB的內(nèi)角平分線，所以FCE=45°-α．

再依據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠CFE=180°-（90°+α）-（45°-α）=45°．

依據(jù)對(duì)頂角定理，∠AFD=45°．由于∠DAF=90°，所以∠ADF=45°．

（Ⅱ）∵AB=AC，∴∠CAE=∠B=∠ACB，

又∵∠ACB=∠ACB，∴△BCA∽△ACE，∴=，

又∵180°=∠ACE+∠CAE+∠AEC=∠ACE+∠CAE+（90°+∠ABE），

∴∠CAE=∠B=∠ACB=30°，

∴==．【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）依據(jù)直徑上的圓周角是直角、弦切角定理以及三角形內(nèi)內(nèi)角和定理等通過(guò)角的關(guān)系求解．

（Ⅱ）先證明△BCA∽△ACE，再確定∠CAE=∠B=∠ACB=30°，即可得到結(jié)論．【數(shù)學(xué)文卷·2021屆貴州省遵義航天高級(jí)中學(xué)高三上學(xué)期第三次模擬考試（202211）】22、選修4-1：幾何證明選講如圖，EP交圓于E，C兩點(diǎn)，PD切圓于D，G為CE上一點(diǎn)且PG＝PD，連接DG并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)A，作弦AB垂直EP，垂足為F.(1)求證：AB為圓的直徑；(2)若AC＝BD，求證：AB＝ED.【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】直徑所對(duì)圓周角是直角；全等三角形的判定與性質(zhì).N1【答案解析】解析：(1)證明：由于PD=PG,所以.由于PD為切線，故.又由于,故,所以,從而由于,所以,所以,故AB為圓的直徑.(2)連接BC、DC.由于AB是直徑，故在與中，AB=BA,AC=BD,所以≌，所以.又由于,所以,故.由于,所以,為直角.所以ED為直徑.又由（1）知AB為圓的直徑，所以ED=AB.【思路點(diǎn)撥】(1)證明∠BDA是直角，或者用垂徑定理證明結(jié)論；（2）利用證明三角形全等證明結(jié)論.【數(shù)學(xué)文卷·2021屆寧夏銀川一中高三第三次月考（202210）】22.（本題滿分10分）選修4—1：幾何證明選講如圖，是直角三角形，，以為直徑的圓交于點(diǎn)，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連接交圓于點(diǎn).（1）求證：、、、四點(diǎn)共圓；（2）求證：【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】選修4-1幾何證明選講N1【答案解析】（1）略（2）略證明：（1）連接、，則又是BC的中點(diǎn)，所以又，所以所以所以、、、四點(diǎn)共圓（2）延長(zhǎng)交圓于點(diǎn).由于.所以所以【思路點(diǎn)撥】依據(jù)全等證明四點(diǎn)共圓，依據(jù)線段的關(guān)系證明結(jié)論。【數(shù)學(xué)文卷·2021屆吉林省試驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期第三次質(zhì)量檢測(cè)（202211）】22.（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講已知A、B、C、D為圓O上的四點(diǎn)，直線DE為圓O的切線，AC∥DE，AC與BD相交于H點(diǎn)（1）求證：BD平分∠ABC（2）若AB＝4，AD＝6，BD＝8，求AH的長(zhǎng)【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】選修4-1幾何證明選講N1【答案解析】（1）略（2）3（1）又切圓于點(diǎn)，而（同?。┧?，BD平分∠ABC（2）由（1）知，又，又為公共角，所以與相像，，由于AB＝4，AD＝6，BD＝8，所以AH=3【思路點(diǎn)撥】依據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，依據(jù)三角形相像求出AH=3。N2選修4-2矩陣N3選修4-4參數(shù)與參數(shù)方程【數(shù)學(xué)（理）卷·2021屆重慶市重慶一中高三上學(xué)期其次次月考（202210）】15．以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位．已知直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，圓C的極坐標(biāo)方程是，則直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為____________．【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】參數(shù)方程化成一般方程；點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化．N3【答案解析】2eq\r(2)解析：∵圓C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，化為（x﹣2）2+y2=4，其圓心C（2，0），半徑r=2．由直線l的參數(shù)方程（t為參數(shù)），消去參數(shù)可得y=x﹣4．圓心C到直線l的距離d==．∴直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)=2=．故答案為：2．【思路點(diǎn)撥】圓C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ，利用可得直角坐標(biāo)方程，可得圓心C及其半徑r．由直線l的參數(shù)方程（t為參數(shù)），消去參數(shù)可得y=x﹣4．利用點(diǎn)到直線的距離公式可得圓心C到直線l的距離d．再利用弦長(zhǎng)公式l=2即可得出．【數(shù)學(xué)理卷·2021屆重慶南開中學(xué)高三10月月考（202210）word版】15.已知曲線C1、C2的極坐標(biāo)方程分別為，則曲線C1上的點(diǎn)與曲線C2上的點(diǎn)的最近距離為_____________【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】選修4-4參數(shù)與參數(shù)方程N(yùn)3【答案解析】-1由于曲線C1、C2的極坐標(biāo)方程分別為ρ=2sinθ，ρcosθ+ρsinθ+1=0，

則它們的直角坐標(biāo)方程分別為x2+（y-1）2=1，x+y+1=0．

曲線C1上表示一個(gè)半徑為1的圓，圓心為（0，1），

曲線C2表示一條直線，圓心到直線的距離為d=，

故曲線C1上的點(diǎn)與曲線C2上的點(diǎn)的最近距離為-1，故答案為：-1．【思路點(diǎn)撥】把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，求出圓心到直線的距離為d，再把d減去半徑，即為所求．【數(shù)學(xué)理卷·2021屆廣東省陽(yáng)東一中、廣雅中學(xué)高三第一次聯(lián)考（202210）】15．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）曲線對(duì)稱的曲線的極坐標(biāo)方程為?！緦W(xué)問(wèn)點(diǎn)】簡(jiǎn)潔曲線的極坐標(biāo)方程；直線與圓的位置關(guān)系；點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化N3【答案解析】B解析：解：將原極坐標(biāo)方程ρ=4cosθ，化為：ρ2=4ρcosθ，化成直角坐標(biāo)方程為：x2+y2﹣4x=0，它關(guān)于直線y=x（即θ=）對(duì)稱的圓的方程是x2+y2﹣4y=0，其極坐標(biāo)方程為：ρ=4sinθ．故答案為：ρ=4sinθ．【思路點(diǎn)撥】先將原極坐標(biāo)方程ρ=4cosθ兩邊同乘以ρ后化成直角坐標(biāo)方程，再結(jié)合曲線關(guān)于直線的對(duì)稱性，利用直角坐標(biāo)方程解決問(wèn)題三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.【數(shù)學(xué)理卷·2021屆寧夏銀川一中高三第三次月考（202210）】23.（本小題滿分10分）選修4—4；坐標(biāo)系與參數(shù)方程．已知曲線的參數(shù)方程是，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)系方程是，正方形的頂點(diǎn)都在上，且依逆時(shí)針次序排列，點(diǎn)的極坐標(biāo)為（1）求點(diǎn)的直角坐標(biāo)；（2）設(shè)為上任意一點(diǎn)，求的取值范圍?！緦W(xué)問(wèn)點(diǎn)】選修4-4參數(shù)與參數(shù)方程N(yùn)3【答案解析】（1）（1，），（-，1），（-1，-），（-1）（2）[32，52]（1）點(diǎn)A，B，C，D的直角坐標(biāo)為（1，），（-，1），（-1，-），（-1），

（2）設(shè)P（x0，y0），則（φ為參數(shù)）

t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x02+4y02+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]．【思路點(diǎn)撥】確定點(diǎn)A，B，C，D的直角坐標(biāo)，利用參數(shù)方程設(shè)出P的坐標(biāo)，借助于三角函數(shù)，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范圍．【數(shù)學(xué)文卷·2021屆貴州省遵義航天高級(jí)中學(xué)高三上學(xué)期第三次模擬考試（202211）】23．選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1，直線l：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝2－2t))(t為參數(shù))．(1)寫出曲線C的參數(shù)方程、直線l的一般方程；(2)過(guò)曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30°的直線，交l于點(diǎn)A，求|PA|的最大值與最小值．【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】參數(shù)方程與一般方程的互化；點(diǎn)到直線的距離；三角函數(shù)式的最值.N3【答案解析】（1）見(jiàn)解析；（2）最大值為eq\f(22\r(5),5)，最小值為eq\f(2\r(5),5).解析：(1)曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝3sinθ))(θ為參數(shù))，直線l的一般方程為2x＋y－6＝0.(2)曲線C上任意一點(diǎn)P(2cosθ，3sinθ)到直線l的距離d＝eq\f(\r(5),5)|4cosθ＋3sinθ－6|，則|PA|＝eq\f(d,sin30°)＝eq\f(2\r(5),5)|5sin(θ＋α)－6|，其中α為銳角，且tanα＝eq\f(4,3).當(dāng)sin(θ＋α)＝－1時(shí)，|PA|取得最大值，最大值為eq\f(22\r(5),5).當(dāng)sin(θ＋α)＝1時(shí)，|PA|取得最小值，最小值為eq\f(2\r(5),5).【思路點(diǎn)撥】（1）由橢圓參數(shù)方程公式寫出橢圓參數(shù)方程，把直線參數(shù)方程中的參數(shù)消去得其一般方程；（2）設(shè)出)曲線C上任意一點(diǎn)P(2cosθ，3sinθ)，利用點(diǎn)到直線的距離公式，Rt三角形的邊角關(guān)系得|PA|關(guān)于的三角函數(shù)式，再用三角函數(shù)的最值求結(jié)論.【數(shù)學(xué)文卷·2021屆湖南省師大附中高三上學(xué)期其次次月考（202210）】11、在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線的距離是.【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】極坐標(biāo)的意義.N3【答案解析】解析：點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，直線的直角坐標(biāo)方程為，所以所求距離為.【思路點(diǎn)撥】先把極坐標(biāo)系下的坐標(biāo)、方程，化為直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)、方程，利用直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線的距離公式求解.【數(shù)學(xué)文卷·2021屆寧夏銀川一中高三第三次月考（202210）】23.（本小題滿分10分）選修4—4；坐標(biāo)系與參數(shù)方程．已知曲線的參數(shù)方程是，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)系方程是，正方形的頂點(diǎn)都在上，且依逆時(shí)針次序排列，點(diǎn)的極坐標(biāo)為（1）求點(diǎn)的直角坐標(biāo)；（2）設(shè)為上任意一點(diǎn)，求的取值范圍。【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】選修4-4參數(shù)與參數(shù)方程N(yùn)3【答案解析】（1）（1，），（-，1），（-1，-），（-1）（2）[32，52]（1）點(diǎn)A，B，C，D的直角坐標(biāo)為（1，），（-，1），（-1，-），（-1），

（2）設(shè)P（x0，y0），則（φ為參數(shù)）

t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x02+4y02+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]．【思路點(diǎn)撥】確定點(diǎn)A，B，C，D的直角坐標(biāo)，利用參數(shù)方程設(shè)出P的坐標(biāo)，借助于三角函數(shù)，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范圍．【數(shù)學(xué)文卷·2021屆吉林省試驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期第三次質(zhì)量檢測(cè)（202211）】23.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系和參數(shù)方程以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知某圓的極坐標(biāo)方程為（1）將極坐標(biāo)方程化為一般方程，并選擇恰當(dāng)?shù)膮?shù)寫出它的參數(shù)方程；（2）若點(diǎn)在該圓上，求的最大值和最小值．【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】選修4-4參數(shù)與參數(shù)方程N(yùn)3【答案解析】（1）（2）6和2（1）由ρ2-4ρcos(θ-)+6=0，得ρ2-4ρ(cosθcos+sinθsin)+6=0，即ρ2-4ρ(cosθ+sinθ)+6=0，

ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+6=0，即x2+y2-4x-4y+6=0為所求圓的一般方程，

整理為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（x-2）2+（y-2）2=2，令x-2=cosα，y-2=sinα．

得圓的參數(shù)方程為（α為參數(shù)）；

（2）由（1）得：x+y=4+(cosα+sinα)=4+2sin（α+），∴當(dāng)sin（α+）=1時(shí)，x+y的最大值為6，當(dāng)sin（α+）=-1時(shí)，x+y的最小值為2．故x+y的最大值和最小值分別是6和2．【思路點(diǎn)撥】（1）開放兩角差的余弦，整理后代入ρcosθ=x，ρsinθ=y得圓的一般方程，化為標(biāo)準(zhǔn)方程后由三角函數(shù)的平方關(guān)系化參數(shù)方程；

（2）把x，y分別代入?yún)?shù)式，利用三角函數(shù)化積后借助于三角函數(shù)的有界性求最值．【數(shù)學(xué)文卷·2021屆云南省玉溪一中高三上學(xué)期期中考試（202210）】17、（本小題滿分分）選修：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與直角坐標(biāo)系的軸的正半軸重合．直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），曲線的極坐標(biāo)方程為．（Ⅰ）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，求，兩點(diǎn)間的距離．【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】選修4-4參數(shù)與參數(shù)方程N(yùn)3【答案解析】（1）x2+y2-x-y=0（Ⅱ）（1）將曲線C的極坐標(biāo)方程化為ρ=2sin（θ+）=cosθ+sinθ

兩邊都乘以ρ，得ρ2=ρcosθ+ρsinθ由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2

代入上式，得方求曲線C的直角坐標(biāo)方程為：x2+y2-x-y=0

（2）直線l的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），消去參數(shù)t得一般方程：4x-3y+1=0，將圓C的極坐標(biāo)方程化為一般方程為：x2+y2-x-y=0，

所以（，）為圓心，半徑等于所以，圓心C到直線l的距離d=所以直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為：|MN|=2．即M、N兩點(diǎn)間的距離為．【思路點(diǎn)撥】（1）利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，將曲線C的極坐標(biāo)方程：ρ=2sin（θ+）化成直角坐標(biāo)方程：x2+y2-x-y=0，問(wèn)題得以解決；

（2）先將直線l的參數(shù)方程化成一般方程：4x-3y+1=0，由（1）得曲線C是以（，）為圓心，半徑等于的圓，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式及圓的幾何性質(zhì)，可求得M、N兩點(diǎn)間的距離N4選修4-5不等式選講【數(shù)學(xué)（理）卷·2021屆重慶市重慶一中高三上學(xué)期其次次月考（202210）】16．若不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】確定值不等式的解法．N4【答案解析】（﹣∞，0）∪{2}解析：令y=|x+1|+|x﹣3|，由確定值不等式的幾何意義可知函數(shù)y=|x+1|+|x﹣3|的最小值為4，∵不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立∴原不等式可化為≤4解得a=2或a＜0故答案為：（﹣∞，0）∪{2}．【思路點(diǎn)撥】不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立轉(zhuǎn)化為a+小于等于函數(shù)y=|x+1|+|x﹣3|的最小值，依據(jù)確定值不等式的幾何意義可知函數(shù)y=|x+1|+|x﹣3|的最小值為4，因此原不等式轉(zhuǎn)化為分式不等式的求解問(wèn)題．三、解答題（本大題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）【數(shù)學(xué)理卷·2021屆重慶南開中學(xué)高三10月月考（202210）word版】16.若不等式的解集為R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】選修4-5不等式選講N4【答案解析】[-2，5]∵|x+3|+|x-7|≥|（x+3）+（7-x）|=10，

∴|x+3|+|x-7|≥a2-3a的解集為R?a2-3a≤10，解得-2≤a≤5．

∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-2，5]．故答案為：[-2，5]．【思路點(diǎn)撥】利用確定值三角不等式可求得|x+3|+|x-7|≥10，依題意，解不等式a2-3a≤10即可．【數(shù)學(xué)理卷·2021屆寧夏銀川一中高三第三次月考（202210）】24.（本小題滿分10分）選修4－5：不等式選講已知(a是常數(shù)，a∈R)（1）當(dāng)a=1時(shí)求不等式的解集；（2）假如函數(shù)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍．【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】選修4-5不等式選講N4【答案解析】（1）{x|x≥2或x≤-4}．（2）（-2，2）①當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=|2x-1|+x-5=．

由解得x≥2；由解得x≤-4．∴f（x）≥0的解為{x|x≥2或x≤-4}．

②由f（x）=0得|2x-1|=-ax+5．作出y=|2x-1|和y=-ax+5的圖象，觀看可以知道，當(dāng)-2＜a＜2時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，函數(shù)y=f（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．故a的取值范圍是（-2，2）．

【思路點(diǎn)撥】①當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=，把和的解集取并集，即得所求．②由f（x）=0得|2x-1|=-ax+5，作出y=|2x-1|和y=-ax+5的圖象，觀看可以知道，當(dāng)-2＜a＜2時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，由此得到a的取值范圍．【數(shù)學(xué)理卷·2021屆吉林省試驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期第三次質(zhì)量檢測(cè)（202211）】23．（本小題滿分10分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，若以該直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為：（其中為常數(shù)）.（Ⅰ）若曲線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求曲線上的點(diǎn)與曲線上點(diǎn)的最小距離．【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】選修4-4參數(shù)與參數(shù)方程N(yùn)3【答案解析】（1）[-，]．（2）（1）曲線M（θ為參數(shù)），即x2=1+y，

即y=x2-1，其中，x=sinθ+cosθ=sin（θ+）∈[-，]．

把曲線N的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+）=t（其中t為常數(shù)）化為直角坐標(biāo)方程為x+y-t=0．

由曲線N（圖中藍(lán)色直線）與曲線M（圖中紅色曲線）只有一個(gè)公共點(diǎn)，則有直線N過(guò)點(diǎn)A（，1時(shí)滿足要求，

并且向左下方平行運(yùn)動(dòng)直到過(guò)點(diǎn)B（-，1）之前總是保持只有一個(gè)公共點(diǎn)，

再接著向左下方平行運(yùn)動(dòng)直到相切之前總是有兩個(gè)公共點(diǎn)，

所以-+1＜t≤+1滿足要求，當(dāng)直線和曲線M相切時(shí)，由有唯一解，即x2+x-1-t=0有唯一解，故有△=1+4+4t=0，解得t=-．

綜上可得，要求的t的范圍為（-+1，+1]∪{-}．

（2）當(dāng)t=-2時(shí)，曲線N即x+y+2=0，當(dāng)直線和曲線M相切時(shí)，由（1）可得t=-．

故曲線M上的點(diǎn)與曲線N上的點(diǎn)的最小距離，即直線x+y+2=0和直線x+y+=0之間的距離為=．【思路點(diǎn)撥】（1）把曲線M的參數(shù)方程化為y=x2-1，把曲線N的極坐標(biāo)方程化為x+y-t=0．曲線N與曲線M只有一個(gè)公共點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求得t的范圍．

（2）當(dāng)t=-2時(shí)，曲線N即x+y+2=0，當(dāng)直線和曲線N相切時(shí)，由（1）可得t=-，故本題即求直線x+y+2=0和直線x+y+=0之間的距離，利用兩條平行線間的距離公式計(jì)算求得結(jié)果．24．（本小題滿分10分）對(duì)于任意的實(shí)數(shù)恒成立，記實(shí)數(shù)M的最大值是m．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）解不等式．【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】選修4-5不等式選講N4【答案解析】（1）m=2（2）{x|≤x≤}（1）不等式|a+b|+|a-b|≥M?|a|恒成立，即M≤對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a（a≠0）和b恒成立，故只要左邊恒小于或等于右邊的最小值．由于|a+b|+|a-b|≥|（a+b）+（a-b）|=2|a|，當(dāng)且僅當(dāng)（a-b）（a+b）≥0時(shí)等號(hào)成立，

即|a|≥|b|時(shí)，≥2成立，也就是的最小值是2，

故M的最大值為2，即m=2．

（2）不等式|x-1|+|x-2|≤m即|x-1|+|x-2|≤2．

由于|x-1|+|x-2|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，

而數(shù)軸上和對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1和2