2023-2024學(xué)年西藏林芝市某中學(xué)高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2023-2024學(xué)年西藏林芝市一中高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)

1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知獨(dú)BC的內(nèi)角AC的對(duì)邊分別是a,b,c,且二十六：I：=2c2,若。為最大邊，貝j絲2的取值范圍

a2+b2c

2.已知函數(shù)f(x)=x-J7(x>0),g(x)=x+e',力(x)=x+lnx(x>0)的零點(diǎn)分別為』，占，&，則()

A.xt<x2<x3B.x2<xt<x3

X

C.工2<X3<\D.x3<x{<x2

3.已知集合A={x|/og2X<l},集合z?={)'|y=J2r},則()

A.(e,2)B.(-00,2]C.(0,2)D.[0,+oo)

4.如圖，網(wǎng)格紙是由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成，若粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()

A.9萬+20B.9%+26C.5%+20D.5%+26

5.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)Z=2+i,zz=5,則|z|=

A.1B.舊

C.5D.5石

x+y<10

6.設(shè)實(shí)數(shù)X、y滿足約束條件卜一yV2,則z=2x+3y的最小值為（）

x>4

A.2B.24C.16D.14

22

7.已知片，工分別為雙曲線C:￡—"=/〉0）的左、右焦點(diǎn)，過匕的直線/與雙曲線。的左、右兩支分別

交于AS兩點(diǎn)，若4?二月=0,陰=2,則雙曲線C的離心率為（）

H周5

A.Vt3B.4C.2D.y/3

8.在滿足0<￡<y44,二），/的實(shí)數(shù)對(duì)（七,凹）。=1,2「一,〃「?）中，使得玉+工2+…+七1<34成立的正整

數(shù)"的最大值為（）

A.5B.6C.7D.9

9.已知集合A=={—1,0,1},則AC3等于（）

人I，

A.{x|-l<x<l}B.{-1,0,1}C.{-1,0}D.{0,1}

10.在中，角A8,C的對(duì)邊分別為q/,c,若c-acos8=（2a-〃）cosA,則AA/C的形狀為（）

A.直角三角形B.等腰非等邊三角形

C.等腰或直角三角形D.鈍角三角形

11.下列函數(shù)中，圖象關(guān)于）,軸對(duì)稱的為（）

X

/（X）=

y]x2+\B.f(x)=《7+2x+S-2x,XG[-1,2]

.1z>一。'

c./（x）=sin8xD./（x）=——；—

廠

12.對(duì)于定義在R上的函數(shù)y=/（x）,若下列說法中有且僅有一個(gè)是錯(cuò)誤的，則錯(cuò)誤的一個(gè)是（）

A./（/）在（―⑼上是減函數(shù)B./（X）在（0,+8）上是增函數(shù)

C./（“不是函數(shù)的最小值D.對(duì)于XER,都有/（X+1）=/（1—X）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在區(qū)間［-6,2］內(nèi)任意取一個(gè)數(shù)小,則%恰好為非負(fù)數(shù)的概率是.

14.已知圓O:/+），2=4,直線/與圓。交于尸，Q兩點(diǎn)，A（2,2）,若AQ2+AQ2=40,則弦PQ的長(zhǎng)度的最大

值為.

2

15.（5分）已知橢圓方程為/+±=1,過其下焦點(diǎn)/作斜率存在的直線/與橢圓交于A8兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

2

則面積的取值范圍是.

16.已知全集為R,集合A=何％27.=0｝,4=｛-1,0｝,則AUB=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知函數(shù)/（x）=e'-2x.

（1）若曲線y=的切線方程為y=ai+l,求實(shí)數(shù)。的值；

（2）若函數(shù)°（司=〃礦（同+2〃吠-f+3在區(qū)間［-2,4］上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)，〃的取值范圍.

18.（12分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，且S〃是?！ㄅc工的等差中項(xiàng).

n

（1）證明：｛S：｝為等差數(shù)列，并求3；

（2）設(shè)琢——數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和為求滿足q25的最小正整數(shù)〃的值.

19.（12分）如圖1,在等腰R/A4BC中，ZC=9O°,D,E分別為AC,的中點(diǎn)，尸為CD的中點(diǎn)，G在線

段8C上，且8G=3CG。將AM底沿。E折起，使點(diǎn)A到A的位置（如圖2所示），且A,尸_LCO。

（1）證明：8E//平面A/G；

（2）求平面AFG與平面A.8E所成銳二面角的余弦值

20.（12分）已知函數(shù)/（#=巴竺

x

（D若恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

X

(2)若方程/0)=機(jī)有兩個(gè)不同實(shí)根音，/，證明：X,+X2>2.

21.(12分)某工廠生產(chǎn)某種電子產(chǎn)品，每件產(chǎn)品不合格的概率均為〃，現(xiàn)工廠為提高產(chǎn)品聲譽(yù)，要求在交付用戶前

每件產(chǎn)品都通過合格檢驗(yàn)，已知該工廠的檢驗(yàn)儀器一次最多可檢驗(yàn)5件該產(chǎn)品，且每件產(chǎn)品檢驗(yàn)合格與否相互獨(dú)立.若

每件產(chǎn)品均檢驗(yàn)一次，所需檢驗(yàn)費(fèi)用較多，該工廠提出以下檢驗(yàn)方案：將產(chǎn)品每人個(gè)(AK5)一組進(jìn)行分組檢驗(yàn)，如

果某一組產(chǎn)品檢驗(yàn)合格，則說明該組內(nèi)產(chǎn)品均合格，若檢驗(yàn)不合格，則說明該組內(nèi)有不合格產(chǎn)品，再對(duì)該組內(nèi)每一件

產(chǎn)品單獨(dú)進(jìn)行檢驗(yàn)，如此，每一組產(chǎn)品只需檢驗(yàn)1次或1+k次.設(shè)該工廠生產(chǎn)1000件該產(chǎn)品，記每件產(chǎn)品的平均檢驗(yàn)

次數(shù)為X.

(1)求X的分布列及其期望；

(2)(i)試說明，當(dāng)〃越小時(shí)，該方案越合理，即所需平均檢驗(yàn)次數(shù)越少；

(ii)當(dāng)〃=01時(shí)，求使該方案最合理時(shí)k的值及1000件該產(chǎn)品的平均檢驗(yàn)次數(shù).

22.(10分)已知拋物線M：x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)R到點(diǎn)N[—l,-2)的距離為何.

(1)求拋物線M的方程；

(2)過點(diǎn)N作拋物線M的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,點(diǎn)A、8分別在第一和第二象限內(nèi)，求AA5N的面積.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解析】

4.44212

由4+1jc尸折=2。2,化簡(jiǎn)得到COSC的值，根據(jù)余弦定理和基本不等式，即可求解.

a2+b2

【詳解】

.a4+b4-^-c4+a2b2、？_(a2+b2)2+c4-a2b2

由------.——.-------=2c-,可得------3——z------=2c~2,

a2+b2a2+b2

可得/+-=總*二”紇

a~+h~

通分得=0,

a~+b~

整理得(二+b2-c2)2=a2h2,所以尸+"I)=1,

lab4

因?yàn)镃為三角形的最大角，所以cosC=-g,

2

又由余弦定理c?=a2+b2-2abcosC=a2+b~+ab=(a+b)2-ab

>(?+Z?i2-(—)2=-(?+Z?)2,當(dāng)且僅當(dāng)〃時(shí)，等號(hào)成立，

24

gcBlf日0〃+8/2s

所以c>—(a+b),即-----<-----,

2c3

又由a+b>c,所以卓的取值范圍是(1,竿].

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了代數(shù)式的化簡(jiǎn)，余弦定理，以及基本不等式的綜合應(yīng)用，試題難度較大，屬于中檔試題，著重考查了

推理與運(yùn)算能力.

2、C

【解析】

轉(zhuǎn)化函數(shù)f(x)=x-4x(x>0),g(x)=x+e',〃(x)=x+lnx(x>0)的零點(diǎn)為y=x與)，=J7(x>0),y=-ex,

y=-lnxa>0)的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合，即得解.

【詳解】

函數(shù)/(A)=x-\/x(x>0),g(x)=x+/,〃(x)=x+lnx(x>0)的零點(diǎn)，即為丁=%與)，=?[x>0),y=-ex,

y=-ln戈(％>0)的交點(diǎn)，

作出丁=不與丁=J7(x>0),y=-ex,y=-lnx(x>0)的圖象，

如圖所示，可知々V&<X|

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點(diǎn)，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合的能力，屬于中檔題.

3、D

【解析】

可求出集合A,B,然后進(jìn)行并集的運(yùn)算即可.

【詳解】

解：A={x\0<x<2}f8={田），20}；

???AU8=［（）*）.

故選Q.

【點(diǎn)睛】

考查描述法、區(qū)間的定義，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及并集的運(yùn)算.

4、C

【解析】

根據(jù)三視圖還原為幾何體，結(jié)合組合體的結(jié)構(gòu)特征求解表面積.

【詳解】

由三視圖可知，該幾何體可看作是半個(gè)圓柱和一個(gè)長(zhǎng)方體的組合體，其中半圓柱的底面半圓半徑為1,高為4,長(zhǎng)方體

的底面四邊形相鄰邊長(zhǎng)分別為1,2,高為4,所以該幾何體的表面積

S=^-xl2+—x2.7rx1x4+1x2x2+1x4x2+2x4=5^4-20,故選C.

2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三視圖的識(shí)別，利用三視圖還原成幾何體是求解關(guān)鍵，側(cè)重考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

5、B

【解析】

由=5可得z=W,所以|z|=U="三=4=石，故選B.

2,|2|I|2+1|V5

6、D

【解析】

做出滿足條件的可行域，根據(jù)圖形即可求解.

【詳解】

x+y<\0

做出滿足?x-），02的可行域，如下圖陰影部分,

x>4

根據(jù)圖象，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y過點(diǎn)4時(shí)，取得最小值,

x=4解得彳x=4

由《\,即A(4,2),

卜=2

所以z=2x+3），的最小值為14.

本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合求線性目標(biāo)函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.

7、A

【解析】

由已知得A8J.8/"忸可=4凡由已知比值得|A段=5x,|A同=3x,再利用雙曲線的定義可用a表示出|4制，

用勾股定理得出dc?的等式，從而得離心率.

【詳解】

㈣J

0,/.=90°.又.?.可令忸用=4x,則|然|=5x,\AB\=3x.設(shè)

ABBF2=O,AB^O,BF2^ZABF2I*5

|A制=/,得|你|一|西|=|幽|一忸回=2a,即5x-1=(3x+/)-4x=2a,解得f=3a,x=〃,

???忸周=4凡忸用=|4耳+|4胃=6a,

由忸周2+忸周2=忻圖2得《方+^^二0a，C2=13/,c=JE,?,.該雙曲線的離心率八、/瓦

故選；A.

【點(diǎn)睛】

本題考查求雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是由向量數(shù)量積為0得出垂直關(guān)系，利用雙曲線的定義把雙曲線上的點(diǎn)到

焦點(diǎn)的距離都用。表示出來，從而再由勾股定理建立凡。的關(guān)系.

8、A

【解析】

\nx;Iny...Inr,、/、

由題可知：。＜蒼＜y,Y4,且葉=力可得一二一，構(gòu)造函數(shù)/?(/)=——(0＜，44)求導(dǎo)，通過導(dǎo)函數(shù)求出力(，)

XiX-t

的單調(diào)性，結(jié)合圖像得出。n=2,即得出3x〃＜3e,

從而得出〃的最大值.

【詳解】

因?yàn)?＜七W4,二yj

則Inxf=Inyf,即y,Inx.=xrIn%

In菁_In%

整理得令￡=%=%,

%y.

設(shè)/2(f)=乎(0<K4),

則〃曾;■，

tr

令萬'?)＞0,則Ov/ve,令〃則ev/44,

故g)在(O,e)上單調(diào)遞增，在(e,4)上單調(diào)遞減，則/)=：,

因?yàn)閍〈％,〃(%)="();)，

由題可知：〃(7)=Jln4時(shí)，則Ln=2,所以2We,

所以2$七ve<y.￡4,

當(dāng)Z無限接近e時(shí)，滿足條件，所以2Wx”<e,

所以要使得X+9+…+七.1<3x”<女H8.154

故當(dāng)王=/=芻=%時(shí)，可有

=2X)+x2+x3+x4=8<8.154,

故〃一1W4,即〃W5,

所以：〃最大值為5.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性、極值和最值，以及運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法和放縮法，同時(shí)考查轉(zhuǎn)化思想和解題能力.

9、C

【解析】

先化簡(jiǎn)集合A,再與集合8求交集.

【詳解】

因?yàn)?/p>

所以4c3={-

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查集合的基本運(yùn)算以及分式不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.

10、C

【解析】

利用正弦定理將邊化角，再由sin(A+8)=sinC,化簡(jiǎn)可得sinBcos4=sinAcosA,最后分類討論可得;

【詳解】

解：因?yàn)閏-acosB=(2a-b)cosA

所以sinC-sinAcosB=(2sinA-sin8)cosA

所以sinC-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA

所以sin(A+B)-sinAcos8=2sinAcosA-sinBcosA

所以sinAcosB+sinBcosA-sinAcos3=2sinAcosA-sinBcosA

所以sinBcosA=sinAcosA

TT

當(dāng)以％4=0時(shí)A=-,AA3C為直角三角形；

2

當(dāng)cosAwO時(shí)51114=5m8即A=A,AA5C為等腰三角形：

???AABC的形狀是等腰三角形或直角三角形

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形形狀的判斷，考查正弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.

11、D

【解析】

圖象關(guān)于)'軸對(duì)稱的函數(shù)為偶函數(shù)，用偶函數(shù)的定義及性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷可解.

【詳解】

圖象關(guān)于)'軸對(duì)稱的函數(shù)為偶函數(shù)；

A中，xeR,/(—)=I,二=-7'*),故/(幻=7^為奇函數(shù)；

+1?y/x2+1

8中，f(x)=J7+2x+J7—2x的定義域?yàn)閇-1,2],

不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故為非奇非偶函數(shù)；

。中，由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，f(x)=sin8x為奇函數(shù)；

。中，X￡R且九工0,/(-1)==4-=/(幻，故為偶函數(shù).

(-X)-X-

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查判斷函數(shù)奇偶性.判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法：

(1)定義法：對(duì)于函數(shù)/*)的定義域內(nèi)任意一個(gè)X都有/(X)=-/(-X),則函數(shù)/(X)是奇函數(shù)；都有/。)=/'(7),

則函數(shù)/(X)是偶函數(shù)

(2)圖象法：函數(shù)是奇(偶)函數(shù)O函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)()'軸)對(duì)稱.

12、B

【解析】

根據(jù)函數(shù)對(duì)稱性和單調(diào)性的關(guān)系，進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

由/(x+1)=/(1-x)得f(X)關(guān)于X=1對(duì)稱，

若關(guān)于x=l對(duì)稱，則函數(shù)/(x)在(0,內(nèi))上不可能是單調(diào)的，

故錯(cuò)誤的可能是4或者是。，

若。錯(cuò)誤，

貝IJ/。)在(F,0]上是減函數(shù)，在/。)在(0,+8)上是增函數(shù)，則/(0)為函數(shù)的最小值，與C矛盾，此時(shí)。也錯(cuò)誤,

不滿足條件.

故錯(cuò)誤的是月，

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，結(jié)合對(duì)稱性和單調(diào)性的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13>-

4

【解析】

先分析非負(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的區(qū)間長(zhǎng)度，然后根據(jù)幾何概型中的長(zhǎng)度模型，即可求解出恰好為非負(fù)數(shù)”的概率.

【詳解】

當(dāng)后是非負(fù)數(shù)時(shí)，XOG[0,2],區(qū)間長(zhǎng)度是2-0=2,

又因?yàn)閇-6,2]對(duì)應(yīng)的區(qū)間長(zhǎng)度是2-(-6)=8,

所以“與恰好為非負(fù)數(shù)”的概率是「哈：?

故答案為：—.

4

【點(diǎn)睛】

本題考查幾何概型中的長(zhǎng)度模型，難度較易.解答問題的關(guān)鍵是能判斷出目標(biāo)事件對(duì)應(yīng)的區(qū)間長(zhǎng)度.

14、2〃

【解析】

取尸。的中點(diǎn)為M,由AP2+AQ2=4O可得4172-0加2=]6,可得M在式+y+2=O上，當(dāng)OW最小時(shí)，弦尸。

的長(zhǎng)才最大.

【詳解】

22222222

設(shè)M為PQ的中點(diǎn)，2(4P+AQ)=(2AM)+PQ,AP+AQ=2AM+2MQf

即40=24〃2+2(0。2—0例2)，20=AA/2+4—CW?,AM2-69M2=16.

設(shè)M(x,y),則(x—2)2+(y—2)2—(f+/)=i6,得x+)，+2=0.

所以O(shè)M?=±e,PQa=2、6.

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生的邏輯推理、數(shù)形結(jié)合的思想，是一道有一定難度的題.

15、（0,爭(zhēng)

【解析】

由題意，a=C,b=l,貝!lc=，7彳=1，得產(chǎn)（。,一1）.由題意可沒/的方程為丁=依一1,4（內(nèi),），］）,3（工2，%），

y=七（一1、、-12k

聯(lián)立方程組J；,,c八，消去）'得（公+2）f—2履一1=0，/>0恒成立，玉元二,則

2x~+y~-2=0FTP…二E

IAB\=J(1+—)[(X[+刀)2-44七】=2勺2+D,點(diǎn)。（0,0）到直線/的距離為1=二二，則

爐+2

____&_______________

sT?=:^i=E看'又K看22尸高=2,則

720__

TJ當(dāng)且僅當(dāng)即攵=0時(shí)取等號(hào)?故,AO3面積的取值范圍是

16、｛-1.0,1）

【解析】

先化簡(jiǎn)集合A,再求AUB得解.

【詳解】

由題得A={O,1},

所以AUB={4,O,1}.

故答案為{?1,0,1}

【點(diǎn)睛】

本題主要考查集合的化簡(jiǎn)和并集運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

[36

17、(1)a=—\;(2)-2e<fn<—^ni=-r

ee'

【解析】

(D根據(jù)解析式求得導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(無,0“-2%),結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得方程與1-*+1=。，構(gòu)造

函數(shù)〃卜)=并求得由導(dǎo)函數(shù)求得〃(“有最小值力(0)=0,進(jìn)而可知由唯一零點(diǎn)/二0,即可

代入求得a的值；

(2)將/(戈)解析式代入e(x),結(jié)合零點(diǎn)定義化簡(jiǎn)并分離參數(shù)得〃「寧，構(gòu)造函數(shù)#(工)==2,根據(jù)題意可

知直線y=m與曲線g(x)==2有兩個(gè)交點(diǎn)；求得/(力并令/(力=0求得極值點(diǎn)，列出表格判斷g(x)的單調(diào)

性與極值，即可確定與)'="?有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)機(jī)的取值范圍.

【詳解】

(1)依題意，/(x)=eA-2x,f\x)=ex-2,

設(shè)切點(diǎn)為-2%)，/'(入0)=泊一2,

J"+1=e與一2x0

故與)-2)+1=e"-2%),則與0。-ex°+1=0；

令7i(x)=xex-/+1,”(%)=xex,

故當(dāng)x?-oo,0)時(shí)，//(x)<0,

當(dāng)x?0,+co)時(shí)，ZZ(x)>0,

故當(dāng)JV=0時(shí)，函數(shù)/2(工)有最小值，

由于妝0)=。故網(wǎng)切=0有唯一實(shí)數(shù)根o,

即升)=0，則a-—1；

(2)由0(1)=〃如(同+2〃氏一工2+3=/〃€'—12+3=0,得〃?=，'-3.

所以”(x)在區(qū)間［-2,4］上有兩個(gè)零點(diǎn)”等價(jià)于“直線)，=〃?與曲線g(x)=Z/在1?-2,4］有兩個(gè)交點(diǎn)”;

—儲(chǔ)+2x+3

由于g'(x)=

由g'(x)=°，解得X]=-1,%=3.

當(dāng)X變化時(shí)，，(力與g(犬)的變化情況如下表所示:

X[-2,-1)-1(T3)3(利

g'(x)—0+0—

g(x)極小值/極大值

所以g⑺在卜2,-1),(3,4］上單調(diào)遞減，在(-1,3)上單調(diào)遞增.

又因?yàn)間(-2)=/,^(-l)=-2e,

g⑶=］<g(-2)，g(4)=J>g(T)，

C-v,

故當(dāng)-26<〃?<1或〃7=g時(shí)，直線尸〃2與曲線網(wǎng)耳=二^在/4-2,4］上有兩個(gè)交點(diǎn)，

eee

即當(dāng)d或〃z=?時(shí)，函數(shù)姒力在區(qū)間［-2,4］上有兩個(gè)零點(diǎn).

ee'

【點(diǎn)睛】

本題考杳了導(dǎo)數(shù)的幾何意義應(yīng)用，由切線方程求參數(shù)值，構(gòu)造函數(shù)法求參數(shù)的取值范圍，函數(shù)零點(diǎn)的意義及綜合應(yīng)用,

屬于難題.

18、(1)見解析，5〃=6(2)最小正整數(shù)〃的值為35.

【解析】

(1)由等差中項(xiàng)可知2s當(dāng)〃22時(shí)，得2S“二S“-S“T+《［整理后可得S：-S3=1,從而證

明代｝為等差數(shù)列，繼而可求S“?

(2)〃=j〃+；+4=4^-G,則可求出(=JE-1,令而？一125‘即可求出〃的取值范圍'進(jìn)而

求出最小值.

【詳解】

解析；(D由題意可得2s〃=凡+」-,當(dāng)〃一1時(shí)，2§=0+-!-,.?.q2=l,q=l,

4的

當(dāng)〃N2時(shí)，2S—1+[,整理可得s；-S,3=l,

???｛s；｝是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列，???s；=s；+(〃-1)=〃，s〃=G.

(2)由(1)可得勿=-/=」--j==x[nV\-4n,

yjn+\+yjn

??Tlt=-y/l+>/3-y/2+…+\fn—-1+\]n+1—>/n=JA?+1-125,解得nN35,

，最小正整數(shù)〃的值為35.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差中項(xiàng)，考查了等差數(shù)列的定義，考查了%與S”的關(guān)系，考查了裂項(xiàng)相消求和.當(dāng)已知有為與S”的

q,〃=l

遞推關(guān)系時(shí)，常代入q=7進(jìn)行整理,證明數(shù)列是等差數(shù)列時(shí)，一般借助數(shù)列，即后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差為常

-3c”一]

數(shù).

19、(1)證明見解析

⑵回

5

【解析】

(1)要證明線面平行，需證明線線平行，取8c的中點(diǎn)連接DW，根據(jù)條件證明〃尸G,即

BE//FG；

(2)以尸為原點(diǎn)，叱所在直線為x軸，過尸作平行于C8的直線為y軸，所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)

系尸一乃，Z,求兩個(gè)平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值.

【詳解】

(1)證明：取〃。的中點(diǎn)“，連接DW.

???8G=3CG,???G為CM的中點(diǎn).

又F為CD的中氤，工FG//DM.

依題意可知。EJ3M,則四邊形DWB￡為平行四邊形，

/.BE//DM,從而BE//FG.

又/Gu平面A/G,BEa平面AFG,

???3七7/平面A/G.

(2)'：DELAD^DELDCt且AQlOC=O,

.?.。七_(dá)1平面4。。，Abu平面ADC,

DE1A.Ff

vA.F1DCt且DEcDC=D,

人/上平面/^石，

二.以尸為原點(diǎn),爪所在直線為x軸，過b作平行于C8的直線為)'軸，F(xiàn)A所在直線為二軸，建立空間直角坐標(biāo)系

F-xyzf不妨設(shè)C/)=2,

則打0,0,0),4(0,0,73),8(1,4,0),石(一1,2,0),G(1J,O),

R=(0,0,@,FG=(l,l,0),AE=(T，2,-G),EZ?=(2,2,0).

設(shè)平面AFG的法向量為勺=(%?y,zJ,

小/G=()

令罰=1,得〃=(1,-1,0).

設(shè)平面ABE的法向量為m=(%，%，4)，

-x2+2y2-V3Z2=0

mEB=()2X2+2y2=0

令馬=1,得加=(1,一1,一75人

故平面AFG與平面ABE所成銳二面角的余弦值為叵.

5

【點(diǎn)睛】

本題考查線面平行的證明和空間坐標(biāo)法解決二面角的問題，意在考查空間想象能力，推理證明和計(jì)算能力，屬于中檔

題型，證明線面平行，或證明面面平行時(shí)，關(guān)鍵是證明線線平行，所以做輔助線或證明時(shí)，需考慮構(gòu)造中位線或平行

四邊形，這些都是證明線線平行的常方法.

20、(1)(《,3)(2)詳見解析

2e

【解析】

InrInY

(D將原不等式轉(zhuǎn)化為一，構(gòu)造函數(shù)g(x)二一，求得g(x)的最大值即可；

x~x~

(2)苜先通過求導(dǎo)判斷了(x)的單調(diào)區(qū)間，考查兩根的取值范圍，再構(gòu)造函數(shù)〃(幻=/(幻-/(2-.。，將問題轉(zhuǎn)化為

證明〃(x)v0,探究在區(qū)間內(nèi)的最大值即可得證.

【詳解】

解：(1)由/(x)vax+,，即電)vox,

nr111X

即4>—,

Inx

令g(x)=r，。>()),則只需a>gCr)3x，

x

g(x)=l2]nx,令g<x)=。，得犬=&,

x

g*)在(0,五)上單調(diào)遞增，在(V^,+00)上單調(diào)遞減,

?飛⑴g=g(G)=7T，

2e

???，的取值范圍是(「，18)；

2e

(2)證明：不妨設(shè)不<X2，/'。)=——->

x~

.?.當(dāng)xe(0,1)時(shí)，f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)xw(l,+oo)時(shí)，f(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

v/(l)=l,/^=0,當(dāng)工—轉(zhuǎn)時(shí)，

/.0<m<l,—<x<1<x,

e12

要證西+々>2,即證占>2-

由9>1：2-芭>1,/。)在(1,y)上單調(diào)遞增，

只需證明/(9)〈/(2—%)，

由/(3)=〃％)，只需證明/(不)<〃2—不)，

令a(x)=/(x)—/(2-X),XG(OJ),

只需證明力")<0,

Inxln(2-x)

易知力(1)=0,〃(x)=f(x)+/(2-x)=

X2(2-x)2

由XE(0,1),故一lnx>0,f<(2-X)2,

-lnx-ln(2-x)-ln[x(2-x)l

/.h(x)>>0,

(2-x)2(27)2

從而〃(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,

由/?(1)=0,故當(dāng)X￡(?！?時(shí)，h(x)<0,

故菁十三>2,證畢.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，最值等，關(guān)鍵是要對(duì)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，比如把恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，把根的

個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明不等式的問題，屬難題.

21、(1)見解析，1一(1一〃>十；(2)(i)見解析(ii)攵=4時(shí)平均檢驗(yàn)次數(shù)最少，約為594次.

K

【解析】

I?+攵

(1)由題意可得產(chǎn),X的可能取值為二和一「，分別求出其概率即可求出分布列，進(jìn)而可求出

kk

期望.

(2)⑴由⑴記〃p)=l—(l—根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可證出；(ii)記g僅)=1一(1—〃1+；