自動控制技術(shù)及應(yīng)用（第2版）課件 單元3 自動控制系統(tǒng)時域分析法

控制系統(tǒng)的時域分析法

授課教師：陳慧蓉

時域分析法是解析法，是一種直接在時間域中對系統(tǒng)進行分析的方法，具有直觀準確的優(yōu)點，并且可以提供系統(tǒng)時間響應(yīng)的全部信息?？刂葡到y(tǒng)的時域分析法PART-01系統(tǒng)時間響應(yīng)與性能指標控制系統(tǒng)的時間響應(yīng)G(s)

時間響應(yīng)c(t)動態(tài)響應(yīng)齊次方程通解穩(wěn)態(tài)響應(yīng)非齊次方程特解終值趨于零

時間響應(yīng)12動態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)動態(tài)性能穩(wěn)態(tài)性能控制系統(tǒng)的時間響應(yīng)控制系統(tǒng)動態(tài)性能指標一般認為，跟蹤和復現(xiàn)階躍輸入對系統(tǒng)來說是最嚴峻的工作狀態(tài)，故通常以系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的響應(yīng)，即單位階躍響應(yīng)來定義系統(tǒng)的時域性能指標。系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的輸出隨時間的變化,叫系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng).

穩(wěn)定系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)具有衰減振蕩和單調(diào)變化兩種，分別如圖：控制系統(tǒng)動態(tài)性能指標單位階躍響應(yīng)曲線的兩種形式衰減振蕩形式c(t)c(∞)0t單調(diào)上升形式c(t)c(∞)0t控制系統(tǒng)動態(tài)性能指標衰減振蕩單調(diào)上升c(t)c(∞)0tc(t)c(∞)0t快速性：上升時間

trtrtr0.1c(∞)0.9c(∞)控制系統(tǒng)動態(tài)性能指標衰減振蕩單調(diào)上升c(t)c(∞)0tc(t)c(∞)0t快速性：上升時間

trtrtr0.1c(∞)0.9c(∞)峰值時間

tp

tp

控制系統(tǒng)動態(tài)性能指標衰減振蕩單調(diào)上升c(t)c(∞)0tc(t)c(∞)0t快速性：上升時間

trtrtr0.1c(∞)0.9c(∞)峰值時間

tp

tp

調(diào)節(jié)時間

ts

ts

ts衰減振蕩單調(diào)上升c(t)c(∞)0tc(t)c(∞)0t平穩(wěn)性：振蕩次數(shù)

N

ts

ts無振蕩控制系統(tǒng)動態(tài)性能指標衰減振蕩單調(diào)上升平穩(wěn)性：振蕩次數(shù)

N控制系統(tǒng)動態(tài)性能指標σ%超調(diào)量c(t)0tc(t)c(∞)0t動態(tài)性能指標—平穩(wěn)性超調(diào)量σ%衰減振蕩形式單調(diào)上升形式是指響應(yīng)的最大值與穩(wěn)態(tài)值的差與穩(wěn)態(tài)值的百分比c(t)c(∞)0tc(t)0t

tp無超調(diào)c(tp)c(∞)穩(wěn)態(tài)性能指標—準確性反映了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度，體現(xiàn)了系統(tǒng)的準確成度穩(wěn)態(tài)誤差ess是描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的性能指標穩(wěn)態(tài)誤差定義式為：PART-02一階系統(tǒng)的動態(tài)性能分析一階系統(tǒng)的數(shù)學模型一階系統(tǒng)微分方程一階系統(tǒng)傳遞函數(shù)其中，T為時間常數(shù)一階系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖其中，T是表征一階系統(tǒng)特征的唯一參數(shù)一階系統(tǒng)動態(tài)性能分析---單位階躍輸入c(t)0tT2T3T4T0.6325T0.8560.950.9820.993

初始斜率為1/T

一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線可用實驗方法測定一階系統(tǒng)的時間常數(shù)T在t=0處切線的斜率為:c(t)0t

一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線上升時間trtrtr=2.20T調(diào)節(jié)時間tsts

(=5%)0.95ts(=2%)0.98ts=3T(=5%)ts=4T(=2%)

總結(jié)：T↓，tr、ts↓；T↑，tr、ts↑

0.10.9一階系統(tǒng)動態(tài)性能分析---單位階躍輸入例某一階系統(tǒng)如圖,（1）求調(diào)節(jié)時間ts,kh=0.1（2）若要求ts=0.1s,求反饋系數(shù)Kh.

C(s)R(s)E(s)100/s(-)解:

與標準形式對比得：

(1)(2)

要求

即得

解題關(guān)鍵：化閉環(huán)傳遞函數(shù)為標準形式。PART-03二階系統(tǒng)動態(tài)性能分析二階系統(tǒng)的數(shù)學模型二階系統(tǒng)微分方程二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)其中，ζ為阻尼比ζ、ωn，為表征二階系統(tǒng)特性的兩個參數(shù)二階系統(tǒng)方框圖,ωn為無阻尼自然振蕩頻率二階系統(tǒng)的數(shù)學模型其中，阻尼比ζ和無阻尼自然振蕩角頻率ωn，為表征二階系統(tǒng)特性的兩個參數(shù)二階系統(tǒng)方框圖閉環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù)特征方程

不同ζ值，特征根分布也不同，得到的響應(yīng)曲線也不同二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng)---過阻尼(>1)系統(tǒng)特征方程有兩個不相等負實根s1、s2[s]過阻尼二階系統(tǒng)閉環(huán)極點分布知識小貼士——分解定理求拉氏反變換待定系數(shù)求取公式：單位階躍響應(yīng)---過阻尼(>1)故，系統(tǒng)特征方程有兩個不相等負實根s1、s2[s]過阻尼二階系統(tǒng)閉環(huán)極點分布c(t)0t過阻尼二階系統(tǒng)響應(yīng)曲線1單位階躍響應(yīng)---臨界阻尼(

=1)系統(tǒng)特征方程有兩個相等負實根s1=s2[s]s1,2c(t)0t臨界阻尼二階系統(tǒng)響應(yīng)曲線臨界阻尼二階系統(tǒng)閉環(huán)極點分布1過阻尼單位階躍響應(yīng)---欠阻尼(0<

<1)系統(tǒng)特征方程為一對具有負實部的共軛復數(shù)根s1、s2欠阻尼二階系統(tǒng)閉環(huán)極點分布[s]s2s1βσ=ζωn

阻尼角單位階躍響應(yīng)---欠阻尼(0<

<1)系統(tǒng)特征方程為一對具有負實部的共軛復數(shù)根s1、s2欠阻尼二階系統(tǒng)閉環(huán)極點分布[s]s2s1βσ=ζωn

阻尼角其中，c(t)0t欠阻尼二階系統(tǒng)響應(yīng)曲線1單位階躍響應(yīng)---無阻尼(

=0)系統(tǒng)特征方程為一對純虛根s1、s2無阻尼系統(tǒng)二階系統(tǒng)屬于不穩(wěn)定的系統(tǒng)。[s]無阻尼二階系統(tǒng)閉環(huán)極點分布c(t)0t無阻尼二階系統(tǒng)響應(yīng)曲線456789101101230.20.40.60.81.01.21.41.61.8

0.10.20.40.50.60.81.02.0c(t)二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線456789101101230.20.40.60.81.01.21.41.61.8

0.10.20.40.50.60.81.02.0c(t)二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線欠阻尼二階系統(tǒng)動態(tài)性能分析c(t)c(∞)=10t知識小貼士（動態(tài)性能指標)快速性1上升時間tr峰值時間tp調(diào)節(jié)時間ts平穩(wěn)性2振蕩次數(shù)N超調(diào)量σ%欠阻尼二階系統(tǒng)動態(tài)性能分析c(t)c(∞)=10t上升時間tr響應(yīng)第一次到達穩(wěn)態(tài)值需要的時間tr

β不變，當

一定時，ωn↑→

tr↓，ωn↓→

tr↑；當ωn一定時，

↓→

tr↓欠阻尼二階系統(tǒng)動態(tài)性能分析c(t)c(∞)=10t峰值時間tptr響應(yīng)到達第一個峰值所需的時間

tp當

一定時，ωn↑→

tp↓欠阻尼二階系統(tǒng)動態(tài)性能分析c(t)c(∞)=10t調(diào)節(jié)時間tstr

tp指響應(yīng)到達并保持在穩(wěn)態(tài)值的±2%或±5%誤差范圍所需的最短時間包絡(luò)線

衰減系數(shù)σ↑→

ts↓，σ↓→

ts↑欠阻尼二階系統(tǒng)動態(tài)性能分析c(t)c(∞)=10t超調(diào)量σ%

tp指響應(yīng)的最大值超過穩(wěn)態(tài)值的百分比σ%僅與

有關(guān)，

↑→σ%↓→平穩(wěn)性↑欠阻尼二階系統(tǒng)動態(tài)性能分析c(t)c(∞)=10t振蕩次數(shù)N

tp響應(yīng)在調(diào)節(jié)時間ts的范圍內(nèi)圍繞其穩(wěn)態(tài)值所振蕩的次數(shù)

ts欠阻尼二階系統(tǒng)動態(tài)性能分析已知圖中Tm=0.2，K=5，求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)指標。例解：開環(huán)傳遞函數(shù)為:上升時間峰值時間超調(diào)量調(diào)節(jié)時間對比設(shè)單位反饋的二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示，試確定其開環(huán)傳遞函數(shù)。

例0t(s)11.30.1c(t)圖示為欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線PART-04高階系統(tǒng)動態(tài)性能分析高階系統(tǒng)其動態(tài)性能指標的確定是比較復雜的。工程上常采用閉環(huán)主導極點和偶極子的概念對高階系統(tǒng)進行近似分析，或直接采用MATLAB軟件進行高階系統(tǒng)分析。主導極點在控制系統(tǒng)的極點中，距離虛軸最近，比其它極點要小3-4倍，且緊鄰無零點的系統(tǒng)極點稱為主導極點。偶極子極值接近的一對零極點可抵消。高階系統(tǒng)動態(tài)性能分析高階系統(tǒng)動態(tài)性能分析例：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù):

如何將高階近似為低階？

極值接近的一對零極點稱為偶極子

注意：抵消的是典型環(huán)節(jié)形式高階系統(tǒng)動態(tài)性能分析例：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù):

高階系統(tǒng)動態(tài)性能分析

極點:

一對共軛復數(shù)主導極點非主導極點距離虛軸最近，周圍沒有閉環(huán)零點忽略非主導極點，可將高階近似為低階

忽略非主導極點，可將高階近似為低階注意：忽略的是典型環(huán)節(jié)形式

高階近似為低階，只能分析動態(tài)性能高階系統(tǒng)動態(tài)性能分析PART-05線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)的首要性能，也是系統(tǒng)能夠正常運行的首要條件，如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，也就沒有必要分析系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。1.穩(wěn)定性的基本概念突加擾動信號能回到平衡狀態(tài)的——

穩(wěn)定不能回到平衡狀態(tài)的——不穩(wěn)定平衡狀態(tài)穩(wěn)定的不穩(wěn)定穩(wěn)定是系統(tǒng)的一種固有特性，它只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)而與初始條件及外作用無關(guān)。線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析控制系統(tǒng)穩(wěn)定性絕對穩(wěn)定性相對穩(wěn)定性絕對穩(wěn)定性是指系統(tǒng)穩(wěn)定還是不穩(wěn)定（判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定），而相對穩(wěn)定性是指系統(tǒng)穩(wěn)定的程度（也就是系統(tǒng)的平穩(wěn)性）。前提是系統(tǒng)絕對穩(wěn)定0c(t)tt10c(t)t線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析1.穩(wěn)定性的基本概念2.線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件穩(wěn)定的充分必要條件：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根都具有負實部.即系統(tǒng)所有的閉環(huán)特征根都分布在s平面的左半部，系統(tǒng)穩(wěn)定。如果有一個或一個以上的閉環(huán)特征根分布在平面的右半部，系統(tǒng)不穩(wěn)定。j

0穩(wěn)定區(qū)域不穩(wěn)定區(qū)域[S平面]線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析3.勞斯穩(wěn)定判據(jù)線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析一階系統(tǒng)的特征方程：二階系統(tǒng)的特征方程為：三階或者更高階系統(tǒng)的特征方程的根怎么求呢1877年英國人勞斯(Routh)提出了判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的代數(shù)判據(jù)，稱為勞斯穩(wěn)定判據(jù)。EdwardJohnRouth勞斯判據(jù)步驟1：寫出系統(tǒng)的特征方程，并化為標準形式即降冪形式勞斯穩(wěn)定判據(jù)知識小貼士（特征方程）閉環(huán)傳函：開環(huán)傳函：勞斯判據(jù)步驟2：系統(tǒng)穩(wěn)定必要條件判斷（不滿足必要條件一定不穩(wěn)定）1、系統(tǒng)特征方程系數(shù)符號一致；2、系統(tǒng)特征方程次數(shù)不缺項勞斯判據(jù)步驟1：寫出系統(tǒng)的特征方程，并化為標準形式即降冪形式勞斯穩(wěn)定判據(jù)勞斯判據(jù)步驟3：充分條件的判斷——列勞斯表勞斯穩(wěn)定判據(jù)勞斯判據(jù)步驟3：充分條件的判斷——列勞斯表是否全大于0變號次數(shù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)勞斯判據(jù)步驟3：充分條件的判斷——根據(jù)勞斯表做充分條件判斷①系數(shù)全部大于零，系統(tǒng)穩(wěn)定②系數(shù)不全大于零，不穩(wěn)定，符號改變的次數(shù)為根s的右半平面的個數(shù)已知系統(tǒng)特征方程：

1

123405勞斯穩(wěn)定判據(jù)已知系統(tǒng)特征方程：

1

123405

=1勞斯穩(wěn)定判據(jù)已知系統(tǒng)特征方程：

1

123405

=1

=5勞斯穩(wěn)定判據(jù)已知系統(tǒng)特征方程：

1

12340515

=-6勞斯穩(wěn)定判據(jù)已知系統(tǒng)特征方程：

1

12340515

0

=5勞斯穩(wěn)定判據(jù)已知系統(tǒng)特征方程：

1

12340515

5由“+”到“-”符號變化1次由“-”到“+”符號變化1次小于零不穩(wěn)定兩個特征根在s的右半平面勞斯穩(wěn)定判據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)兩種特殊情況：1

勞斯表中某行第一列項為零，而其余項不為零，或不全為零2

勞斯表中出現(xiàn)全零行的情況1

勞斯表中某行第一列項為零，而其余項不為零，或不全為零已知系統(tǒng)特征方程：勞斯判據(jù)步驟1：寫出系統(tǒng)的特征方程，并化為標準形式即降冪形式滿足勞斯判據(jù)步驟2：系統(tǒng)穩(wěn)定必要條件判斷滿足勞斯判據(jù)步驟3：充分條件的判斷——列勞斯表已知系統(tǒng)特征方程：勞斯表：導致勞斯表無法繼續(xù)列寫1

勞斯表中某行第一列項為零，而其余項不為零，或不全為零已知系統(tǒng)特征方程：勞斯表：很小的正數(shù)ε1

勞斯表中某行第一列項為零，而其余項不為零，或不全為零已知系統(tǒng)特征方程：勞斯表：由“+”到“-”符號變化1次由“-”到“+”符號變化1次符號變化兩次，有兩個特征根在s的右半平面。ε小于零系統(tǒng)不穩(wěn)定勞斯判據(jù)步驟3：充分條件的判斷——根據(jù)勞斯表做充分條件判斷1

勞斯表中某行第一列項為零，而其余項不為零，或不全為零2

勞斯表中出現(xiàn)全零行的情況已知系統(tǒng)特征方程：勞斯表：全為零導致勞斯表無法進行列寫1.利用第k-1行（全零行的上一行）的系數(shù)構(gòu)成輔助多項式A(s)；2.將構(gòu)造的輔助多項式A(s)求取對s的導數(shù)，并用求導后的系數(shù)代替第k行的系數(shù)；3.繼續(xù)計算勞斯陣列表；4.令輔助多項式

A(s)=0可求得所有絕對值相同但符號相異的根（屬于驗證，列勞斯表不需要此步驟）。2

勞斯表中出現(xiàn)全零行的情況已知系統(tǒng)特征方程：勞斯表：構(gòu)造輔助方程A(s)=2s4+8s2+4k-1行系數(shù)2

勞斯表中出現(xiàn)全零行的情況1.利用第k-1行（全零行的上一行）的系數(shù)構(gòu)成輔助多項式A(s)；2.將構(gòu)造的輔助多項式A(s)求取對s的導數(shù)，并用求導后的系數(shù)代替第k行的系數(shù)；3.繼續(xù)計算勞斯陣列表；4.令輔助多項式

A(s)=0可求得所有絕對值相同但符號相異的根（屬于驗證，列勞斯表不需要此步驟）。2

勞斯表中出現(xiàn)全零行的情況已知系統(tǒng)特征方程：勞斯表：構(gòu)造輔助方程A(s)=2s4+8s2+4k-1行系數(shù)dA(s)/ds=8s3+16s2

勞斯表中出現(xiàn)全零行的情況1.利用第k-1行（全零行的上一行）的系數(shù)構(gòu)成輔助多項式A(s)；2.將構(gòu)造的輔助多項式A(s)求取對s的導數(shù)，并用求導后的系數(shù)代替第k行的系數(shù)；3.繼續(xù)計算勞斯陣列表；4.令輔助多項式

A(s)=0可求得所有絕對值相同但符號相異的根（屬于驗證，列勞斯表不需要此步驟）。2

勞斯表中出現(xiàn)全零行的情況已知系統(tǒng)特征方程：勞斯表：全為正穩(wěn)定？不穩(wěn)定2

勞斯表中出現(xiàn)全零行的情況1.利用第k-1行（全零行的上一行）的系數(shù)構(gòu)成輔助多項式A(s)；2.將構(gòu)造的輔助多項式A(s)求取對s的導數(shù)，并用求導后的系數(shù)代替第k行的系數(shù)；3.繼續(xù)計算勞斯陣列表；4.令輔助多項式A(s)=0可求得所有絕對值相同但符號相異的根（屬于驗證，列勞斯表不需要此步驟）。2

勞斯表中出現(xiàn)全零行的情況A(s)=2s4+8s2+4

解輔助方程可得共軛純虛根：令s2=y，

A(s)=2s4+8s2+4=2(y2+4y+2)=0

勞斯表中出現(xiàn)全零行的情況2

勞斯表中出現(xiàn)全零行的情況勞斯穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用利用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確定一個或兩個可調(diào)參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響系統(tǒng)如下圖所示，試求取使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值的范圍例解：控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)如下圖所示，試求取使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值的范圍例系數(shù)全部大于零，系統(tǒng)穩(wěn)定PART-06線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能分析誤差與穩(wěn)態(tài)誤差誤差的定義：從輸出端定義從輸入端定義

只有數(shù)學意義具有物理意義

誤差與穩(wěn)態(tài)誤差

給定輸入擾動輸入

誤差與穩(wěn)態(tài)誤差

令擾動輸入信號D(s)=0知識小貼士終值定理：

條件：sF(s)的全部極點除坐標原點外應(yīng)全部分部在s平面的左半平面誤差與穩(wěn)態(tài)誤差

令擾動輸入信號D(s)=0誤差與穩(wěn)態(tài)誤差

令給定輸入信號R(s)=0誤差與穩(wěn)態(tài)誤差

2系統(tǒng)型別階的概念：閉環(huán)傳函中分母S的最高次冪或系統(tǒng)微分方程階次型的概念：開環(huán)傳函中所含積分環(huán)節(jié)個數(shù)或稱系統(tǒng)無差度γ，γ等于多少即稱系統(tǒng)為幾型系統(tǒng)某單位反饋系統(tǒng)：Ⅰ型四階系統(tǒng)0型二階系統(tǒng)3給定輸入作用下穩(wěn)態(tài)誤差計算方法1：利用拉普拉斯變換終值定理E(s)G(s)C(s)H(s)R(s)B(s)(-)例：求此二階系統(tǒng)在單位階躍輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差

3給定輸入作用下穩(wěn)態(tài)誤差計算方法2：利用誤差系數(shù)計算（1）階躍輸入下穩(wěn)態(tài)誤差及靜態(tài)位置誤差系數(shù)（2）斜坡輸入下穩(wěn)態(tài)誤差及靜態(tài)速度誤差系數(shù)（3）加速度輸入下穩(wěn)態(tài)誤差及