2024-2025學(xué)年黑龍江省佳木斯市高三上學(xué)期第五次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年黑龍江省佳木斯市高三上學(xué)期第五次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上一、單選題（本題共有8個(gè)小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.若，則（）A. B.1 C. D.【正確答案】C【分析】先根據(jù)條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，求出復(fù)數(shù)，，再求即可.【詳解】由，得，所以，所以.故選：C2.若方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】先化為橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)橢圓方程性質(zhì)列不等式組計(jì)算即可求參.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎緳E圓，所以m+3>01?m>0且與不相等，所以.故選：C.3.若點(diǎn)在圓的外部，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)在圓外以及圓的一般式滿足的系數(shù)關(guān)系即可列不等式求解.【詳解】由于點(diǎn)在圓的外部，故?22+1故選：C4.若函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)小于零并結(jié)合定義域得出結(jié)果.【詳解】函數(shù)，定義域?yàn)椋?，令，解得，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：C.5.在等比數(shù)列中，記其前項(xiàng)和為，已知，則的值為（）A.2 B.17 C.2或8 D.2或17【正確答案】D【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得或，再利用等比數(shù)的求和公式求解即可.【詳解】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，整理得，解得或．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以的值為2或17．故選：D．6.設(shè)圓和不過(guò)第三象限的直線，若圓上恰有三點(diǎn)到直線的距離均為2，則實(shí)數(shù)（）A. B.1 C.21 D.31【正確答案】D【分析】根據(jù)圓心到直線的距離，結(jié)合直線在軸的截距，即可求解.【詳解】的圓心為，半徑為若圓上恰有三點(diǎn)到直線的距離均為2，則圓心到直線的距離為解得或，由于直線不經(jīng)過(guò)第三象限，則直線與軸的交點(diǎn)，故，故選：D7.如圖，將繪有函數(shù)部分圖像的紙片沿x軸折成鈍二面角，夾角為，此時(shí)A，B之間的距離為，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】過(guò)分別作軸的垂線，垂足分別為，過(guò)分別作軸、軸的垂線相交于點(diǎn)，利用周期求，利用余弦定理求，然后由勾股定理求出，根據(jù)圖象過(guò)點(diǎn)即可得解.【詳解】過(guò)分別作軸的垂線，垂足分別為，過(guò)分別作軸、軸的垂線相交于點(diǎn)，連接，則，由余弦定理得，由上可知，軸垂直于，又平面，所以軸垂直于平面，又軸，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)榈闹芷?，所以，由勾股定理得，解得，由圖知，的圖象過(guò)點(diǎn)，且在遞減區(qū)間內(nèi)，所以，即，因?yàn)椋c(diǎn)在遞減區(qū)間內(nèi)，所以.故選：C8.設(shè)橢圓的焦點(diǎn)為，，是橢圓上一點(diǎn)，且，若的外接圓和內(nèi)切圓的半徑分別為，，當(dāng)時(shí)，橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用正弦定理計(jì)算，根據(jù)余弦定理計(jì)算，根據(jù)等面積法列方程得出，的關(guān)系，從而可求出橢圓的離心率．【詳解】橢圓的焦點(diǎn)為，，，根據(jù)正弦定理可得，，．設(shè)，，則，由余弦定理得，，，，又，，即，故，解得：或（舍．故選：B．二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．）9.下列說(shuō)法正確的有（）A.直線恒過(guò)定點(diǎn)B.若兩直線與平行，則實(shí)數(shù)的值為1C.若，，則直線不經(jīng)過(guò)第二象限D(zhuǎn).點(diǎn)，，直線與線段相交，則實(shí)數(shù)取值范圍是【正確答案】AC【分析】A選項(xiàng)，將直線變形為點(diǎn)斜式，求出所過(guò)定點(diǎn)；B選項(xiàng)，根據(jù)兩直線平行，得到方程，求出實(shí)數(shù)的值，檢驗(yàn)后得到答案；C選項(xiàng)，直線變形為斜截式，得到斜率與與軸截距，得到C正確；D選項(xiàng)，求出過(guò)定點(diǎn)，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合得到實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】A選項(xiàng)，，故直線恒過(guò)定點(diǎn)，A正確；B選項(xiàng)，兩直線與平行，則，解得或，當(dāng)時(shí)，兩直線與滿足要求，當(dāng)時(shí)，兩直線與滿足要求，綜上，或，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，若，則直線變形為，直線斜率，與軸截距為直線經(jīng)過(guò)一，三，四象限，不經(jīng)過(guò)第二象限，C正確；D選項(xiàng)，直線，直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，畫出坐標(biāo)系，如下：

其中，，則要想直線與線段相交，則直線斜率或，解得或，D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知圓與圓，下列說(shuō)法正確的是（）A.過(guò)點(diǎn)作圓的切線有且只有一條B.圓和圓共有4條公切線C.若M，N分別為兩圓上的點(diǎn)，則M，N兩點(diǎn)間的最大距離為D.若E，F(xiàn)為圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為【正確答案】ACD【分析】A選項(xiàng)，利用點(diǎn)圓位置關(guān)系即可判斷；B選項(xiàng)，將兩圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓心和半徑，判斷兩圓位置關(guān)系即可判斷；C選項(xiàng)，數(shù)形結(jié)合得到；D選項(xiàng)，由垂徑定理得到，從而得到線段的中點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】對(duì)于A，對(duì)于圓，有，所以點(diǎn)在圓上，則點(diǎn)作圓的切線有且只有一條，故A正確；對(duì)于B，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，則圓的圓心為，半徑為2，圓的方程化為，則圓的圓心為圓心，半徑為3，因此，因?yàn)?，所以，所以兩圓相交，則圓和圓共有2條公切線，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，根據(jù)圓的圖象可知，故C正確；對(duì)于D，不妨設(shè)中點(diǎn)為，則，圓的半徑為3，由垂徑定理可知，即，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，又點(diǎn)的坐標(biāo)為0,1，所以的軌跡方程為，故D正確.故選：ACD.11.（多選）如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為5的正方形，半圓面平面ABCD，點(diǎn)P為半圓弧AD上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A，D不重合），下列說(shuō)法正確的是（）A.三棱錐的四個(gè)面都是直角三角形B.三棱錐的體積最大值為C.在點(diǎn)P變化過(guò)程中，直線PA與BD始終不垂直D.當(dāng)直線PB與平面ABCD所成角最大時(shí)，點(diǎn)P不是半圓弧AD的中點(diǎn)【正確答案】ACD【分析】對(duì)于A，利用空間中直線、平面垂直的有關(guān)定理證明即可；對(duì)于B，三棱錐底面面積固定，當(dāng)高最大時(shí)，體積最大，可通過(guò)計(jì)算進(jìn)行判斷；對(duì)于C，假設(shè)垂直，利用空間中直線、平面垂直的有關(guān)定理即可推出矛盾；對(duì)于D，首先利用空間向量解決當(dāng)直線PB與平面ABCD所成角最大時(shí)，點(diǎn)P的位置，進(jìn)而作出判斷即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以為直角三角形，又因?yàn)闉橹睆?，所以，為直角三角形，又因?yàn)榘雸A面平面ABCD，平面平面，，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，所以為直角三角形，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)?，，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，所以為直角三角形，因此三棱錐的四個(gè)面都是直角三角形，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作于點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，平面，所以平面ABCD，為三棱錐的高，所以三棱錐的體積，因?yàn)榈拿娣e為定值，所以當(dāng)最大時(shí)，三棱錐的體積最大，此時(shí)點(diǎn)為半圓弧AD的中點(diǎn)，，所以三棱錐體積的最大值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若點(diǎn)P變化過(guò)程中，直線PA與BD垂直，由圓的性質(zhì)，，所以平面，平面，所以，又由A知：，在同一平面內(nèi)，一條直線不可能同時(shí)垂直于兩條相交直線，所以點(diǎn)P變化過(guò)程中，直線PA與BD始終不垂直，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)B解析可知：平面ABCD，為在平面內(nèi)的投影，所以直線PB與平面ABCD所成角，當(dāng)直線PB與平面ABCD所成角最大時(shí)，取最小值，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)，，則，在直角三角形內(nèi)，，即，所以，所以，，，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取最小值，直線PB與平面ABCD所成角最大，此時(shí)點(diǎn)P不是半圓弧AD的中點(diǎn)，故選項(xiàng)D正確，故選.II卷非選擇題三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12.已知向量，滿足，，，則_____．【正確答案】6【分析】根據(jù)模長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】由可得，，解得，故答案：613.在中，，已知點(diǎn)，，則點(diǎn)到直線的最大距離為_____．【正確答案】【分析】利用正弦定理及橢圓的定義可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合即可求得結(jié)果.【詳解】由已知，，則6，因?yàn)?，則由正弦定理可知AC+所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為12的橢圓，不含左、右頂點(diǎn)，所以當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在橢圓的上、下頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大為.故答案為.14.在體積為的三棱錐中，，，平面平面，，，若點(diǎn)、、、都在球的表面上，則球的表面積為______．【正確答案】【分析】過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足點(diǎn)為，取線段CD的中點(diǎn)，連接、，分析可知，三棱錐的外接球的球心為中點(diǎn)，設(shè)球的半徑為，利用錐體的體積公式可求出的值，結(jié)合球體的表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作作，垂足點(diǎn)為，取線段CD的中點(diǎn)，連接、，如下圖所示：因?yàn)椋?，則，所以，三棱錐的外接球的球心為中點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，則平面，設(shè)球的半徑為，則，又，，所以，，，，所以，，所以，三棱錐的體積為，解得，因此，球的表面積為.故答案為.四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）15.已知點(diǎn)，，點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為C.（1）求的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線被圓E截得的弦長(zhǎng)為2，求直線l的方程.【正確答案】（1）（2）或.【分析】（1）先利用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求得圓的一般方程，從而配方得解；（2）利用圓的弦長(zhǎng)公式求得圓心到直線的距離，再分類討論直線斜率存在與否，利用點(diǎn)線距離公式列式即可得解.小問(wèn)1詳解】依題意，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以，解得，故，設(shè)的外接圓的一般方程為，則，解得，則圓的一般方程為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，圓的圓心為，半徑為，因?yàn)橹本€被圓截得的弦長(zhǎng)為2，所以圓心到直線的距離為，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，易知滿足題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，則，解得，此時(shí)的方程為，即綜上，所求直線的方程為或.16.記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．（1）求；（2）若，，，求．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由已知，利用正弦定理可得，利用余弦定理可求得，即可求得；（2）由，可得，利用三角形的面積公式可求得，再利用余弦定理即可求得.【小問(wèn)1詳解】由及正弦定理得，整理得，又由余弦定理的推論得，，因?yàn)?，所以．小?wèn)2詳解】由，，得，即，可得，由余弦定理可得，，即．17.已知等差數(shù)列的公差，且，，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)求數(shù)列前項(xiàng)和為；（3）設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根據(jù)題意得到方程組，求出首項(xiàng)和公差，得到通項(xiàng)公式；（2）變形得到，裂項(xiàng)相消法求和；（3）利用錯(cuò)位相減法求和即可.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)題意，因?yàn)椋?，，成等比?shù)列，所以，又，解得，，故；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?；【小?wèn)3詳解】∵∴①，②，∴①-②得∴.18.已知矩形中，，，是的中點(diǎn)，如圖所示，沿將翻折至，使得平面平面.（1）證明：；（2）已知在線段上存在點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)，均不重合），使得與平面所成的角的正弦值是.①求的值；②求點(diǎn)到平面的距離.【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）①；②【分析】（1）應(yīng)用面面垂直性質(zhì)定理得出線面垂直進(jìn)而得出線線垂直；（2）①先建立空間直角坐標(biāo)系由線面角的正弦值即可求出比值；②由空間向量法計(jì)算點(diǎn)到平面距離公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榫匦?，，，是中點(diǎn)，所以，又，所以，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，又平面，所?【小問(wèn)2詳解】（1）以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，設(shè)是的中點(diǎn)，因?yàn)椋?，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，，所以，設(shè)，則，所以則，則.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，可得，，即為平面的一個(gè)法向量，設(shè)與平面所成的角為，所以，解得（舍去），所以的值為.②由①得，所以點(diǎn)到平面的距離.19.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；（2）若恒成立，求的范圍；（3）若在內(nèi)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，求證.【正確答案】（1）（2）（3）證明見(jiàn)解析【分析】（1）求導(dǎo)，即可求解斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式求解切線方程，（2）構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，根據(jù)單調(diào)性可得，進(jìn)而，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)判斷單調(diào)性，即可求解最值得解.（3）根據(jù)單調(diào)遞減.證明，即可求證，構(gòu)造函數(shù)以及，利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性，即可求證.【小問(wèn)1詳解】，則，，故切線方程為，即，【小問(wèn)2詳解】，令，令，當(dāng)在單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，解集為，故，進(jìn)而即，令，，當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)，單調(diào)