2025年滬科版八年級數(shù)學(xué)寒假復(fù)習(xí) 專題04 三角形、命題與證明

專題04三角形、命題與證明考點(diǎn)聚焦：核心考點(diǎn)+中考考點(diǎn)，有的放矢重點(diǎn)專攻：知識點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺提升專練：真題感知+精選專練，全面突破知識點(diǎn)1：三角形中的邊角關(guān)系1.三角形的定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的封閉圖形叫做三角形．2.三角形的“三元素”：頂點(diǎn)、邊、內(nèi)角．3.三角形分類（1）按邊分：三邊都不相等的三角形、等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形和等邊三角形）（2）按角分：直角三角形、斜三角形（銳角三角形、鈍角三角形）4.三角形的三邊關(guān)系文字語言數(shù)學(xué)語言理論依據(jù)三角形中任何兩邊的和大于第三邊，，兩點(diǎn)之間線段最短三角形中任何兩邊的差小于第三邊，，5.三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于180°．知識點(diǎn)2：幾條重要的線段1.角平分線：三角形中，一個角的平分線與這個角對邊相交，頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線；2.中線：三角形中，連接一個頂點(diǎn)與它對邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線；3.三角形的重心：三角形的三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心；4.每條三角形的中線都可以將三角形分成面積相等的兩個三角形；三條中線將原三角形分成面積相等的6個三角形。5.三角形的高線：從三角形一個頂點(diǎn)向它所對的邊做垂線，所得線段叫做這條邊上的高．知識點(diǎn)3：命題與證明1.命題：對某一事件作出正確或不正確判斷的句子（或式子）叫做命題．2.命題的結(jié)構(gòu)：命題由題設(shè)（條件）和結(jié)論兩部分組成．題設(shè)（條件）是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)．3.命題的種類：（1）真命題：如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做真命題．（2）假命題：題設(shè)成立時(shí)，不能保證結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做假命題．4.反例：符合命題的條件，但不滿足命題結(jié)論的例子稱之為反例．5.定理：有些命題，是從基本事實(shí)或其他真命題出發(fā)，用推理方法判斷為正確的，并被選作判斷命題真假的依據(jù)．這樣的真命題叫做定理．

6.證明：從已知條件出發(fā)，依據(jù)定義、基本事實(shí)、已證定理，并按照邏輯規(guī)則，推導(dǎo)出結(jié)論，這一方法稱為演繹推理（或演繹法）．演繹推理的過程，就是

演繹證明，簡稱證明．（1）證明一個命題是真命題的依據(jù)可以是已知條件，也可以是學(xué)過的定義、基本事實(shí)（公理）、定理等．（2）證明一個命題是假命題，只要舉出一個反例即可．

7.證明的一般步驟：（1）審題，分清命題的題設(shè)和結(jié)論；（2）畫圖，結(jié)合圖形寫出已知和求證；（3）分析因果關(guān)系，找出證明途徑；（4）有條理地寫出證明過程．

題型歸納【考點(diǎn)01三角形的三邊關(guān)系】1．（24-25八年級上·河南信陽·期末）以下列各組線段為邊，能組成三角形的是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，2．（24-25八年級上·湖北恩施·期中）如圖，為了估計(jì)池塘岸邊A，B的距離，小芳在池塘的一側(cè)選取一點(diǎn)O，測得米，米，A，B間的距離不可能是（

）A．20米 B．15米 C．10米 D．5米3．（24-25八年級上·山東濟(jì)寧·期中）如圖，在四邊形中，，，，，則的值不可能是（

）A．13 B．12 C．11 D．104．（24-25八年級上·北京海淀·期中）已知三角形三邊為，，（其中三邊均不相等且為最長邊，為最短邊），若，，滿足，則稱它為“不均衡三角形”，例如，一個三角形三邊分別為，，，因?yàn)?，且，所以這個三角形為“不均衡三角形”．若“不均衡三角形”三邊分別為，，，直接寫出的整數(shù)值為．【考點(diǎn)02與三角形的高有關(guān)的計(jì)算】1．（24-25八年級上·遼寧大連·期中）如圖，在中，，，的高與的比是（

）A． B． C． D．2．（24-25八年級上·河南焦作·期中）如圖，，是的兩條高，，，，則的長為（）A． B． C． D．3．（24-25八年級上·湖南長沙·期中）如圖，在中，，垂足為點(diǎn)．則CD的長為．4．（24-25八年級上·安徽安慶·期中）如圖，在與中，與相交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．(1)中邊上的高是___________；中邊上的高是___________；(2)若，，，求的面積．【考點(diǎn)03根據(jù)三角形的中線求長度和面積】1．（24-25八年級上·云南曲靖·期末）如圖，在中，，分別是邊上的中線和高，，，則的長是（

）A． B． C． D．2．（24-25八年級上·浙江溫州·期中）如圖，是的中線，，，E，F(xiàn)分別是垂足．已知，，則的長度為（

）A．3 B．4 C．6 D．83．（24-25八年級上·安徽合肥·期中）在中，．(1)若是整數(shù)，求的長；(2)已知是的中線，若的周長為17，求的周長．4．（24-25八年級上·安徽淮北·期中）在中，，．(1)若是偶數(shù)，求的長；(2)已知是的中線，若的周長為10，求的周長．【考點(diǎn)04三角形內(nèi)角和定理的證明和應(yīng)用】1．（24-25八年級上·重慶·期中）如圖，M，N分別是的邊，上一點(diǎn)，將沿折疊，使點(diǎn)A落在邊上，若，則（

）A． B． C． D．2．（23-24八年級上·廣東佛山·期末）在探究證明“三角形的內(nèi)角和等于”時(shí)，綜合實(shí)踐小組的同學(xué)作了如圖四種輔助線，其中不能證明“三角形的內(nèi)角和等于”的是（

）A．如圖①，過點(diǎn)作B．如圖②，延長到，過點(diǎn)作C．如圖③，過上一點(diǎn)作，D．如圖④，過點(diǎn)作3．（24-25八年級上·安徽淮北·期中）如圖，中，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．4．（24-25八年級上·河北保定·期中）在中，，平分，點(diǎn)在射線上，連接，點(diǎn)在的延長線上．(1)如圖，．若，分別求和的度數(shù)；若直線與的一條邊垂直，求的度數(shù)；(2)若平分，請直接寫出的度數(shù)．【考點(diǎn)05直角三角形的兩銳角互余】1．（24-25八年級上·山西大同·期中）在中，是的角平分線，(1)如圖1，是邊上的高，直接寫出的度數(shù)；(2)如圖2，點(diǎn)E在上，于F，猜想與，的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．2．（24-25八年級上·陜西渭南·期中）如圖，分別是的角平分線，高，且，求的度數(shù)．3．（24-25八年級上·廣東江門·期中）如圖，中，AD是邊上的高，是邊上的中線，，．(1)求的度數(shù)；(2)若，，求的長．4．（24-25八年級上·安徽安慶·期中）如圖所示，為的高，為的角平分線，若，．(1)求的度數(shù)；(2)若點(diǎn)M為線段上任意一點(diǎn)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，直接寫出的度數(shù)．【考點(diǎn)06三角形外角的定義與性質(zhì)】1．（24-25八年級上·福建廈門·期中）如圖是可調(diào)躺椅示意圖，與BD的交點(diǎn)為，且的大小保持不變．為了舒適，需調(diào)整的大小，使，則圖中應(yīng)（

）A．增加 B．減少 C．增加 D．減少2．（24-25八年級上·四川廣元·期中）小明把一副含，的直角三角板如圖擺放，其中，，，則等于．3．（22-23七年級下·河南洛陽·期末）如圖，是的高，、是的角平分線，且．(1)求的度數(shù)；(2)若，求的度數(shù)．4．（24-25八年級上·河南焦作·期中）如圖，在中，，，．(1)求的度數(shù)；(2)若，求的度數(shù)．【考點(diǎn)07判斷命題的真假】1．（24-25八年級上·浙江杭州·期中）下列命題是真命題的為（

）A．內(nèi)錯角相等 B．周長相等的兩個三角形全等C．若，則 D．若，則2．（24-25八年級上·安徽安慶·期中）下列命題是真命題的是（

）A．兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等B．相等的角是對頂角C．有理數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)D．在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行3．（24-25八年級上·海南儋州·期中）下列命題∶①若，，則；②若恰好是另一個整式的平方，則常數(shù)的值為；③若圖是由個全等的小正方形拼成，則；④有一個角及兩條邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等，其中假命題的個數(shù)有（

）A．個 B．個 C．個 D．個4．（24-25八年級上·河南周口·期中）（1）如圖，，，，試說明；（2）若把（1）中的已知“”與結(jié)論“”對調(diào)，所得的命題是真命題還是假命題？請判斷并說明理由．【考點(diǎn)08寫出命題的逆命題】1．（24-25八年級上·全國·期末）下列各命題的逆命題是真命題的是（

）A．全等三角形的對應(yīng)角相等 B．兩直線平行，同位角相等C．如果兩個數(shù)相等，那么它們的絕對值相等 D．如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等2．（24-25八年級上·河北唐山·期中）下列命題的逆命題是假命題的是（

）A．偶數(shù)一定能被整除 B．兩直線平行，內(nèi)錯角相等C．三條邊對應(yīng)相等的兩個三角形是全等三角形 D．若，則3．（24-25八年級上·湖北·期中）請你寫出一個逆命題為真命題的命題4．（23-24八年級上·安徽·期末）“如果，互為倒數(shù)，那么”的逆命題是命題（填“真”或“假”）．過關(guān)檢測一、單選題1．（24-25八年級上·浙江寧波·期中）下列命題中，真命題是（

）A．若，則B．任何一個角都比它的余角小C．一個銳角與一個鈍角的和等于一個平角D．在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行2．（24-25八年級上·廣東東莞·期中）如圖，已知D是的中點(diǎn)，、分別是的角平分線、高線，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．3．（24-25八年級上·湖北武漢·期中）如圖，是的邊上的中線，是的邊上的中線，是的邊上的中線，若的面積是，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．4．（24-25八年級上·北京·期中）如圖，在中，AD是邊上的高，平分交邊于點(diǎn)E，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．30°5．（24-25八年級上·安徽馬鞍山·期中）如圖，在中，已知點(diǎn)D、E、F分別是、、的中點(diǎn)，且，（

）A．2 B．1 C． D．6．（24-25八年級上·河北唐山·期中）如圖，在中，，是高線，是角平分線，是中線，則下列說法中錯誤的是（

）A． B． C． D．7．（24-25八年級上·安徽六安·期中）如圖，在一副直角三角板中，兩塊三角板（和）各有一條直角邊與直線重合，，，連接，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．8．（24-25八年級上·安徽滁州·期中）在下列條件中：①，②，③，④，⑤中，能確定是直角三角形的條件有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個二、填空題9．（24-25八年級上·廣西南寧·期中）如圖，一束平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡折射后，其折射光線與一束經(jīng)過光心O的光線相交于點(diǎn)P，點(diǎn)F為焦點(diǎn)．若，，則的度數(shù)為．10．（24-25八年級上·福建廈門·期中）在三角形中，如果一個角是另一個角的4倍，這樣的三角形我們稱之為“高倍三角形”．例如，三個內(nèi)角分別為的三角形是“高倍三角形”．如圖，，在射線上找一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作交于點(diǎn)B，以A為端點(diǎn)作射線，交線段于點(diǎn)C（規(guī)定）．當(dāng)為“高倍三角形”時(shí)，的度數(shù)為．11．（24-25八年級上·安徽安慶·期中）在中，為邊上的高，，，則的度數(shù)為．12．（24-25八年級上·安徽六安·期中）如圖，將三角形紙片沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接，，平分，平分．（1）若，則的度數(shù)為．（2）若的度數(shù)為，的度數(shù)為，則與的數(shù)量關(guān)系是．三、解答題13．（24-25八年級上·安徽馬鞍山·期中）已知三角形三邊長分別為a，b，c，其中a，b滿足，這個三角形的最長邊為．(1)求的取值范圍：(2)若此三角形的周長為偶數(shù)，求此三角形的周長．14．（24-25八年級上·河南信陽·期中）如圖，在中，三個內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交邊于點(diǎn)，的外角的平分線與的延長線交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．15．（24-25八年級上·河北邯鄲·期中）如圖，四邊形的內(nèi)角的角平分線交于點(diǎn)E，的角平分線交于點(diǎn)F．(1)若，則______；_____；(2)探索與有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由16．（24-25八年級上·福建廈門·期中）如圖，在中，AD是的平分線，P為線段AD上一個動點(diǎn)，于點(diǎn)P，交BD的延長線于點(diǎn)E．(1)若，，求和；(2)若，，求的度數(shù)；17．（24-25八年級上·江西南昌·期中）在中，平分交于點(diǎn)D，點(diǎn)E是線段上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），過點(diǎn)E作交射線于點(diǎn)F，的平分線所在直線與射線交于點(diǎn)G．如圖，點(diǎn)E在線段上運(yùn)動．(1)若，，則的度數(shù)是______；的度數(shù)是______；(2)設(shè)，，請用含m的式子表示n，并說明理由；18．（24-25八年級上·浙江溫州·期中）在一個三角形中，如果一個角是另一個角的2倍，這樣的三角形我們稱之為“智慧三角形”．比如：三個內(nèi)角分別為，，的三角形是“智慧三角形”．如圖，，在射線上找一點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，以為端點(diǎn)作射線，交線段于點(diǎn)．(1)；(2)若．求證：為“智慧三角形”；(3)當(dāng)為“智慧三角形”時(shí)，請求出的度數(shù)．19．（24-25八年級上·湖北恩施·期中）在物理學(xué)中，平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等．如圖，是平面鏡，若入射光線與水平鏡面夾角為，反射光線與水平鏡面夾角為，則．(1)如圖，入射光線經(jīng)過次反射后與反射光線交于點(diǎn)．若，求的度數(shù)；(2)如圖，圖，若，入射光線經(jīng)過兩次反射，得到反射光線，光線與所在的直線相交于點(diǎn)，，分別寫出與之間滿足的等量關(guān)系是______（直接寫出兩個結(jié)果）．20．（24-25八年級上·安徽安慶·期中）如圖，在中，，點(diǎn)D、E是邊AC、AB上的點(diǎn)，點(diǎn)P是平面內(nèi)一動點(diǎn)．令，，．(1)若點(diǎn)P在線段BC上，如圖1所示，，則______；(2)若點(diǎn)P在邊BC上運(yùn)動，如圖2所示，猜想、、之間的關(guān)系并說明理由；(3)若點(diǎn)P運(yùn)動到邊CB的延長線上，如圖3所示，猜想、、之間的關(guān)系并說明理由；(4)若直線l在點(diǎn)A上方，且，點(diǎn)P在l上運(yùn)動，點(diǎn)D到直線l的距離大于點(diǎn)E到直線l的距離，如圖4，則、、之間的關(guān)系為______．（寫出所有可能的結(jié)果）

專題04三角形、命題與證明考點(diǎn)聚焦：核心考點(diǎn)+中考考點(diǎn)，有的放矢重點(diǎn)專攻：知識點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺提升專練：真題感知+精選專練，全面突破知識點(diǎn)1：三角形中的邊角關(guān)系1.三角形的定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的封閉圖形叫做三角形．2.三角形的“三元素”：頂點(diǎn)、邊、內(nèi)角．3.三角形分類（1）按邊分：三邊都不相等的三角形、等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形和等邊三角形）（2）按角分：直角三角形、斜三角形（銳角三角形、鈍角三角形）4.三角形的三邊關(guān)系文字語言數(shù)學(xué)語言理論依據(jù)三角形中任何兩邊的和大于第三邊，，兩點(diǎn)之間線段最短三角形中任何兩邊的差小于第三邊，，5.三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于180°．知識點(diǎn)2：幾條重要的線段1.角平分線：三角形中，一個角的平分線與這個角對邊相交，頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線；2.中線：三角形中，連接一個頂點(diǎn)與它對邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線；3.三角形的重心：三角形的三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心；4.每條三角形的中線都可以將三角形分成面積相等的兩個三角形；三條中線將原三角形分成面積相等的6個三角形。5.三角形的高線：從三角形一個頂點(diǎn)向它所對的邊做垂線，所得線段叫做這條邊上的高．知識點(diǎn)3：命題與證明1.命題：對某一事件作出正確或不正確判斷的句子（或式子）叫做命題．2.命題的結(jié)構(gòu)：命題由題設(shè)（條件）和結(jié)論兩部分組成．題設(shè)（條件）是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)．3.命題的種類：（1）真命題：如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做真命題．（2）假命題：題設(shè)成立時(shí)，不能保證結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做假命題．4.反例：符合命題的條件，但不滿足命題結(jié)論的例子稱之為反例．5.定理：有些命題，是從基本事實(shí)或其他真命題出發(fā)，用推理方法判斷為正確的，并被選作判斷命題真假的依據(jù)．這樣的真命題叫做定理．

6.證明：從已知條件出發(fā)，依據(jù)定義、基本事實(shí)、已證定理，并按照邏輯規(guī)則，推導(dǎo)出結(jié)論，這一方法稱為演繹推理（或演繹法）．演繹推理的過程，就是

演繹證明，簡稱證明．（1）證明一個命題是真命題的依據(jù)可以是已知條件，也可以是學(xué)過的定義、基本事實(shí)（公理）、定理等．（2）證明一個命題是假命題，只要舉出一個反例即可．

7.證明的一般步驟：（1）審題，分清命題的題設(shè)和結(jié)論；（2）畫圖，結(jié)合圖形寫出已知和求證；（3）分析因果關(guān)系，找出證明途徑；（4）有條理地寫出證明過程．

題型歸納【考點(diǎn)01三角形的三邊關(guān)系】1．（24-25八年級上·河南信陽·期末）以下列各組線段為邊，能組成三角形的是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】C【解析】解：A選項(xiàng)：，不能組成三角形；B選項(xiàng)：，不能組成三角形；C選項(xiàng)：，能組成三角形；D選項(xiàng)：，不能組成三角形；故選：C．2．（24-25八年級上·湖北恩施·期中）如圖，為了估計(jì)池塘岸邊A，B的距離，小芳在池塘的一側(cè)選取一點(diǎn)O，測得米，米，A，B間的距離不可能是（

）A．20米 B．15米 C．10米 D．5米【答案】D【解析】解：設(shè)A，B間的距離為x，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得：，，故A，B間的距離不可能是5米．故選：D．3．（24-25八年級上·山東濟(jì)寧·期中）如圖，在四邊形中，，，，，則的值不可能是（

）A．13 B．12 C．11 D．10【答案】D【解析】解：設(shè)長為x，根據(jù)題意，得，，故解集為，故13，12，11都可以，10不可能．故選：D．4．（24-25八年級上·北京海淀·期中）已知三角形三邊為，，（其中三邊均不相等且為最長邊，為最短邊），若，，滿足，則稱它為“不均衡三角形”，例如，一個三角形三邊分別為，，，因?yàn)?，且，所以這個三角形為“不均衡三角形”．若“不均衡三角形”三邊分別為，，，直接寫出的整數(shù)值為．【答案】或或或【解析】解：分三種情況討論：①，解得：，，解得：，∴，∵為整數(shù)，∴，當(dāng)時(shí)，，，∵，∴能構(gòu)成三角形；②，解得：，，解得：，∴，此時(shí)，不合題意舍去；③，解得：，，解得：，∴，∵為整數(shù)，∴或或，當(dāng)時(shí)，，，∵，∴能構(gòu)成三角形；當(dāng)時(shí)，，，∵，∴能構(gòu)成三角形；當(dāng)時(shí)，，，∵，∴能構(gòu)成三角形；綜上所述：的整數(shù)值為或或或．故答案為：或或或．【考點(diǎn)02與三角形的高有關(guān)的計(jì)算】1．（24-25八年級上·遼寧大連·期中）如圖，在中，，，的高與的比是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解∶∵與是高，∴，∴，故選∶B．2．（24-25八年級上·河南焦作·期中）如圖，，是的兩條高，，，，則的長為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：，，，，，，故選：A．3．（24-25八年級上·湖南長沙·期中）如圖，在中，，垂足為點(diǎn)．則CD的長為．【答案】【解析】解：根據(jù)題意得，，∴，故答案為：．4．（24-25八年級上·安徽安慶·期中）如圖，在與中，與相交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．(1)中邊上的高是___________；中邊上的高是___________；(2)若，，，求的面積．【答案】(1)；(2)8【解析】（1）解：∵在中，，∴的邊上的高是；∵在中，∴的邊上的高是；故答案為：，.（2）解：∵在中，，，，的面積為．【考點(diǎn)03根據(jù)三角形的中線求長度和面積】1．（24-25八年級上·云南曲靖·期末）如圖，在中，，分別是邊上的中線和高，，，則的長是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：∵是邊上的中線，，∴，∵是邊上的高∴∴．故選：B．2．（24-25八年級上·浙江溫州·期中）如圖，是的中線，，，E，F(xiàn)分別是垂足．已知，，則的長度為（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】解：是的中線，的面積的面積，，，，，，，，．故選：C．3．（24-25八年級上·安徽合肥·期中）在中，．(1)若是整數(shù)，求的長；(2)已知是的中線，若的周長為17，求的周長．【答案】(1)8(2)10【解析】（1）解：由題意得：，∵，，是整數(shù)，；（2）解：是的中線，，的周長為17，，，的周長．4．（24-25八年級上·安徽淮北·期中）在中，，．(1)若是偶數(shù)，求的長；(2)已知是的中線，若的周長為10，求的周長．【答案】(1)(2)的周長【解析】（1）解：由題意得：，又，，，又是偶數(shù)，；（2）解：是的中線，．的周長為10，，，，，又，的周長．【考點(diǎn)04三角形內(nèi)角和定理的證明和應(yīng)用】1．（24-25八年級上·重慶·期中）如圖，M，N分別是的邊，上一點(diǎn)，將沿折疊，使點(diǎn)A落在邊上，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：，，，，故選：D．2．（23-24八年級上·廣東佛山·期末）在探究證明“三角形的內(nèi)角和等于”時(shí)，綜合實(shí)踐小組的同學(xué)作了如圖四種輔助線，其中不能證明“三角形的內(nèi)角和等于”的是（

）A．如圖①，過點(diǎn)作B．如圖②，延長到，過點(diǎn)作C．如圖③，過上一點(diǎn)作，D．如圖④，過點(diǎn)作【答案】D【解析】∵，∴，∵，∴，故A選項(xiàng)不符合題意，∵，∴，∵，∴，故B選項(xiàng)不符合題意，∵，，∴，，∴，∵，∴，故C選項(xiàng)不符合題意，∵，∴，不能證明“三角形的內(nèi)角和等于”故D選項(xiàng)符合題意，故選：D3．（24-25八年級上·安徽淮北·期中）如圖，中，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【解析】（1）證明：，，，，，，；（2）解：，，，，，．4．（24-25八年級上·河北保定·期中）在中，，平分，點(diǎn)在射線上，連接，點(diǎn)在的延長線上．(1)如圖，．若，分別求和的度數(shù)；若直線與的一條邊垂直，求的度數(shù)；(2)若平分，請直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)，；的度數(shù)為90°，或；(2)的度數(shù)為．【解析】（1），，；平分，，，；，，當(dāng)時(shí)，如下圖所示，；當(dāng)時(shí)，如下圖所示，，；當(dāng)時(shí)，如下圖所示，，∴．綜上，當(dāng)直線與的一條邊垂直時(shí)，的度數(shù)為90°，或；（2）解：，平分，，．【考點(diǎn)05直角三角形的兩銳角互余】1．（24-25八年級上·山西大同·期中）在中，是的角平分線，(1)如圖1，是邊上的高，直接寫出的度數(shù)；(2)如圖2，點(diǎn)E在上，于F，猜想與，的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)(2)，證明見解析【解析】（1）解：是的角平分線，，是邊上的高，，，，，；（2）解：，理由如下：過A作于G，，，，由（1）得，．2．（24-25八年級上·陜西渭南·期中）如圖，分別是的角平分線，高，且，求的度數(shù)．【答案】【解析】解：∵中，，∴；∵分別是的角平分線，∴，又∵是的高，∴，∴，∴．3．（24-25八年級上·廣東江門·期中）如圖，中，AD是邊上的高，是邊上的中線，，．(1)求的度數(shù)；(2)若，，求的長．【答案】(1)；(2)．【解析】（1）解：在中，，，，是邊上的高，，；（2）解：是邊上的高，且，，，，，是邊上的中線，．4．（24-25八年級上·安徽安慶·期中）如圖所示，為的高，為的角平分線，若，．(1)求的度數(shù)；(2)若點(diǎn)M為線段上任意一點(diǎn)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)(2)或60°【解析】（1）解：∵平分，且，∴，∴；∵平分，∴，∴；∵，∴；（2）解：①如圖，當(dāng)時(shí)，則；②如圖，當(dāng)時(shí)，則，∴；綜上，的度數(shù)為或．【考點(diǎn)06三角形外角的定義與性質(zhì)】1．（24-25八年級上·福建廈門·期中）如圖是可調(diào)躺椅示意圖，與BD的交點(diǎn)為，且的大小保持不變．為了舒適，需調(diào)整的大小，使，則圖中應(yīng)（

）A．增加 B．減少 C．增加 D．減少【答案】A【解析】解：延長交CD于點(diǎn)，如圖，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴增加，故選：．2．（24-25八年級上·四川廣元·期中）小明把一副含，的直角三角板如圖擺放，其中，，，則等于．【答案】【解析】解：如圖．∵，，，∴．故答案為：．3．（22-23七年級下·河南洛陽·期末）如圖，是的高，、是的角平分線，且．(1)求的度數(shù)；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：平分，，，是的高，，；（2）解：，，，，平分，，．4．（24-25八年級上·河南焦作·期中）如圖，在中，，，．(1)求的度數(shù)；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：，，，，，；（2）解：，，，，．【考點(diǎn)07判斷命題的真假】1．（24-25八年級上·浙江杭州·期中）下列命題是真命題的為（

）A．內(nèi)錯角相等 B．周長相等的兩個三角形全等C．若，則 D．若，則【答案】C【解析】A．兩直線平行，內(nèi)錯角相等，所以，原命題是假命題，故該選項(xiàng)不符合題意；B．周長相等的兩個三角形不一定全等，例如，一個邊長為3、4、5的三角形和一個邊長為4、4、4的三角形，它們的周長都是12，但它們不是全等三角形，所以，原命題是假命題，故該選項(xiàng)不符合題意；C．若，兩邊同時(shí)平方可得，該命題是真命題，故該選項(xiàng)符合題意；D．若，則x可以是大于0的數(shù)，也可以是小于0的數(shù)（例如時(shí)，），所以，原命題是假命題，故該選項(xiàng)不符合題意．故選：C．2．（24-25八年級上·安徽安慶·期中）下列命題是真命題的是（

）A．兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等B．相等的角是對頂角C．有理數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)D．在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行【答案】D【解析】解：A、只有兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角才相等，此選項(xiàng)為假命題，不符合題意；B、相等的角不一定是對頂角，此選項(xiàng)為假命題，不符合題意；C、數(shù)軸上有的點(diǎn)表示有理數(shù)，有的點(diǎn)表示無理數(shù)，故只有實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)，此選項(xiàng)為假命題，不符合題意；D、在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行，此選項(xiàng)是真命題，符合題意．故選：D．3．（24-25八年級上·海南儋州·期中）下列命題∶①若，，則；②若恰好是另一個整式的平方，則常數(shù)的值為；③若圖是由個全等的小正方形拼成，則；④有一個角及兩條邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等，其中假命題的個數(shù)有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【解析】解：①若，，則，，故為①假命題；②若恰好是另一個整式的平方，則常數(shù)的值為，故②為假命題；③若圖是由個全等的小正方形拼成，，，，，，，，故③為真命題；④有一個角及兩條邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等，當(dāng)角為兩邊的夾角時(shí)相等，故④為假命題；綜上，假命題有個，故選：C．4．（24-25八年級上·河南周口·期中）（1）如圖，，，，試說明；（2）若把（1）中的已知“”與結(jié)論“”對調(diào)，所得的命題是真命題還是假命題？請判斷并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）真命題，理由見解析．【解析】解：（1），．，，，，；（2）是真命題，理由：，．，，．，．【考點(diǎn)08寫出命題的逆命題】1．（24-25八年級上·全國·期末）下列各命題的逆命題是真命題的是（

）A．全等三角形的對應(yīng)角相等 B．兩直線平行，同位角相等C．如果兩個數(shù)相等，那么它們的絕對值相等 D．如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等【答案】B【解析】解：A、原命題的逆命題是：如果三角形的三個角對應(yīng)相等，則這兩個三角形是全等三角形，是假命題，不合題意；B、原命題的逆命題是：同位角相等，兩直線平行，是真命題，符合題意；C、原命題的逆命題是：如果兩個數(shù)的絕對值相等，那么這兩個數(shù)相等，是假命題，不合題意；D、原命題的逆命題是：如果兩個角相等，則這兩個角是對頂角，是假命題，不合題意．故選B．2．（24-25八年級上·河北唐山·期中）下列命題的逆命題是假命題的是（

）A．偶數(shù)一定能被整除 B．兩直線平行，內(nèi)錯角相等C．三條邊對應(yīng)相等的兩個三角形是全等三角形 D．若，則【答案】D【解析】解：A、逆命題為能被整除的數(shù)一定是偶數(shù)，正確，是真命題，不符合題意；B、逆命題為內(nèi)錯角相等，兩直線平行，正確，是真命題，不符合題意；C、逆命題為全等三角形的三條邊對應(yīng)相等，正確，是真命題，不符合題意；D、逆命題為若，則，錯誤，是假命題，符合題意．故選：D．3．（24-25八年級上·湖北·期中）請你寫出一個逆命題為真命題的命題【答案】兩直線平行，同位角相等（答案不唯一）【解析】解：如命題：同位角相等，兩直線平行；逆命題是：兩直線平行，同位角相等，真命題．故答案為：兩直線平行，同位角相等（答案不唯一）．4．（23-24八年級上·安徽·期末）“如果，互為倒數(shù)，那么”的逆命題是命題（填“真”或“假”）．【答案】真【解析】解：命題“如果，互為倒數(shù)，那么”的逆命題是“如果，那么，互為倒數(shù)”，逆命題是真命題；故答案為：真過關(guān)檢測一、單選題1．（24-25八年級上·浙江寧波·期中）下列命題中，真命題是（

）A．若，則B．任何一個角都比它的余角小C．一個銳角與一個鈍角的和等于一個平角D．在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行【答案】D【解析】解：A.若，則，故選項(xiàng)是假命題；B.任何一個角不一定都比它的余角小，故選項(xiàng)是假命題；C.一個銳角與一個鈍角的和不一定等于一個平角，故選項(xiàng)是假命題；D.在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行，故選項(xiàng)是真命題；故選：D．2．（24-25八年級上·廣東東莞·期中）如圖，已知D是的中點(diǎn)，、分別是的角平分線、高線，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】A、∵D是的中點(diǎn)，∴，但不一定等于，故本選項(xiàng)結(jié)論錯誤，不符合題意；B、∵是的角平分線，∴，本選項(xiàng)結(jié)論正確，符合題意；C、∵是的角平分線，不是高線，∴不等于，故本選項(xiàng)結(jié)論錯誤，不符合題意；D、與的關(guān)系不能確定，故本選項(xiàng)結(jié)論錯誤，不符合題意；故選：B．3．（24-25八年級上·湖北武漢·期中）如圖，是的邊上的中線，是的邊上的中線，是的邊上的中線，若的面積是，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：是的邊上的中線，，是的邊上的中線，，又是的邊上的中線，則是的邊上的中線，，，則，故選：D．4．（24-25八年級上·北京·期中）如圖，在中，AD是邊上的高，平分交邊于點(diǎn)E，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．30°【答案】A【解析】解：∵AD是邊上的高，∴，∵平分，，∴，∴，∴，故選：A．5．（24-25八年級上·安徽馬鞍山·期中）如圖，在中，已知點(diǎn)D、E、F分別是、、的中點(diǎn)，且，（

）A．2 B．1 C． D．【答案】A【解析】解：∵D為的中點(diǎn)，∴，∵E是的中點(diǎn)，∴，，∴，∵F是的中點(diǎn)，∴，∴．故選：A．6．（24-25八年級上·河北唐山·期中）如圖，在中，，是高線，是角平分線，是中線，則下列說法中錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：A.∵是中線，∴，故A正確，不符合題意；B.∵為邊上的高，∴，∵，∴，∴，故B正確，不符合題意；C.∵是角平分線，∴，故C正確，不符合題意；D.∵和中，，但、邊上的高相等，∴，故D錯誤，符合題意．故選：D．7．（24-25八年級上·安徽六安·期中）如圖，在一副直角三角板中，兩塊三角板（和）各有一條直角邊與直線重合，，，連接，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：，，，，，，，故選：B．8．（24-25八年級上·安徽滁州·期中）在下列條件中：①，②，③，④，⑤中，能確定是直角三角形的條件有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【解析】解：，又，，，是直角三角形；，設(shè)，則，，又，，，，是直角三角形；，，，是直角三角形；，設(shè)，則，又，，，，，不是直角三角形；，，，又，，，不是直角三角形；綜上，能確定是直角三角形的條件有，共個，故選：．二、填空題9．（24-25八年級上·廣西南寧·期中）如圖，一束平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡折射后，其折射光線與一束經(jīng)過光心O的光線相交于點(diǎn)P，點(diǎn)F為焦點(diǎn)．若，，則的度數(shù)為．【答案】【解析】解：解：如圖，

，，，，，．故答案為：．10．（24-25八年級上·福建廈門·期中）在三角形中，如果一個角是另一個角的4倍，這樣的三角形我們稱之為“高倍三角形”．例如，三個內(nèi)角分別為的三角形是“高倍三角形”．如圖，，在射線上找一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作交于點(diǎn)B，以A為端點(diǎn)作射線，交線段于點(diǎn)C（規(guī)定）．當(dāng)為“高倍三角形”時(shí)，的度數(shù)為．【答案】或或【解析】解：設(shè)，則，∵∴∵為“高倍三角形”當(dāng)時(shí)，即，解得：；當(dāng)時(shí)，即，解得：（舍）；當(dāng)時(shí)，即，解得：；當(dāng)時(shí)，即，解得：；當(dāng)時(shí)，即，解得：；（舍）當(dāng)時(shí)，即，解得：；（舍）故答案為：或或11．（24-25八年級上·安徽安慶·期中）在中，為邊上的高，，，則的度數(shù)為．【答案】或【解析】解：當(dāng)在內(nèi)部時(shí)，如圖：∵為邊上的高，∴，∴，∴，當(dāng)在外部時(shí)，如圖：則：；故答案為：或．12．（24-25八年級上·安徽六安·期中）如圖，將三角形紙片沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接，，平分，平分．（1）若，則的度數(shù)為．（2）若的度數(shù)為，的度數(shù)為，則與的數(shù)量關(guān)系是．【答案】【解析】解：（1）如圖，連接，

，∵平分，平分，，，，故答案為：（2）由折疊可知：，，．即．故答案為：三、解答題13．（24-25八年級上·安徽馬鞍山·期中）已知三角形三邊長分別為a，b，c，其中a，b滿足，這個三角形的最長邊為．(1)求的取值范圍：(2)若此三角形的周長為偶數(shù)，求此三角形的周長．【答案】(1)(2)22或24【解析】（1）解：∵，∴，，∴，，∵三角形的最長邊為，∴，即：；（2）由（1）可知，，，，則此三角形的周長為，∵此三角形的周長為偶數(shù)，∴為奇數(shù)，則或11，∴或24，∴此三角形的周長為22或24．14．（24-25八年級上·河南信陽·期中）如圖，在中，三個內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交邊于點(diǎn)，的外角的平分線與的延長線交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）證明：∵，平分，平分，∴，∴，∴，∴．∵，∴；（2）解：∵，∴，∴，∴．∵、分別為、的角平分線，∴，∴．15．（24-25八年級上·河北邯鄲·期中）如圖，四邊形的內(nèi)角的角平分線交于點(diǎn)E，的角平分線交于點(diǎn)F．(1)若，則______；_____；(2)探索與有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由【答案】(1)220，110(2)，理由見解析【解析】（1）解：∵，∴．∵、的角平分線交于點(diǎn)F，∴，，∴；∵四邊形的內(nèi)角和為，∴．∵四邊形的內(nèi)角、的角平分線交于點(diǎn)E，∴，，∴，∴；（2）