2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第8章-第8節(jié) 直線與圓錐曲線【課件】

第八章平面解析幾何第8節(jié)直線與圓錐曲線1.理解直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷方法.2.掌握直線被圓錐曲線所截的弦長公式.3.掌握直線與圓錐曲線相交的綜合問題.目

錄CONTENTS知識診斷自測01考點(diǎn)聚焦突破02課時(shí)分層精練03知識診斷自測1ZHISHIZHENDUANZICE1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(1)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系有______、______、______；相交有兩個(gè)交點(diǎn)(特殊情況除外)，相切有一個(gè)交點(diǎn)，相離無交點(diǎn).(2)判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時(shí)，通常將直線l的方程Ax＋By＋C＝0代入圓錐曲線C的方程.消去y(或x)得到一個(gè)關(guān)于變量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).①當(dāng)a≠0時(shí)，可考慮一元二次方程的判別式Δ，有Δ＞0時(shí)，直線l與曲線C______；Δ＝0時(shí)，直線l與曲線C______；Δ＜0時(shí)，直線l與曲線C______.②當(dāng)a＝0時(shí)，即得到一個(gè)一次方程，則l與C相交，且只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，若C為雙曲線，則直線l與雙曲線的________平行；若C為拋物線，則直線l與拋物線的________平行或重合.相交相切相離相交相切相離漸近線對稱軸2.圓錐曲線的弦長公式設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝______________＝____________________________或

|AB|＝______________＝________________________，k為直線斜率且k≠0.常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒√√××解析(3)當(dāng)“直線l與雙曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)”成立時(shí)，則與漸近線平行的直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)或者直線l與雙曲線相切有一個(gè)交點(diǎn).(4)直線與拋物線的對稱軸平行時(shí)也只有一個(gè)交點(diǎn).D解析結(jié)合圖形(圖略)分析可知，滿足題意的直線共有4條，過點(diǎn)(0，1)且平行于漸近線的兩條直線以及過點(diǎn)(0，1)且與雙曲線相切的兩條直線.

C解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，考點(diǎn)聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考點(diǎn)一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系解將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，將①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.感悟提升在判斷直線和圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，先聯(lián)立方程組，再消去x(或y)，得到關(guān)于y(或x)的方程，如果是直線與圓或橢圓，則所得方程一定為一元二次方程；如果是直線與雙曲線或拋物線，則需討論二次項(xiàng)系數(shù)等于零和不等于零兩種情況，只有二次方程才有判別式，另外還應(yīng)注意斜率不存在的情形.D解析法一由于直線y＝kx＋1恒過點(diǎn)(0，1)，所以點(diǎn)(0，1)必在橢圓內(nèi)或橢圓上，故m≥1且m≠5.由題意知Δ＝100k2－20(1－m)(5k2＋m)≥0對一切k∈R恒成立，即5mk2＋m2－m≥0對一切k∈R恒成立，由于m>0且m≠5，所以m≥1－5k2恒成立，所以m≥1且m≠5.(3)若直線y＝k(x＋2)＋1與拋物線y2＝4x只有一個(gè)公共點(diǎn)，則k的值為

____________.解析當(dāng)斜率k＝0時(shí)，直線y＝1平行于x軸，與拋物線y2＝4x僅有一個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)斜率不等于0時(shí)，直線y＝k(x＋2)＋1與拋物線y2＝4x聯(lián)立，考點(diǎn)二中點(diǎn)弦D解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)為M(x0，y0)，由點(diǎn)A，B在雙曲線上，由雙曲線方程可得漸近方程為y＝±3x，如圖.x＋2y－3＝0解析易知此弦所在直線的斜率存在，∴設(shè)斜率為k，弦所在的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，感悟提升訓(xùn)練2

已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1，若拋物線C上存在關(guān)于直線l：x－y－2＝0對稱的不同的兩點(diǎn)P和Q，則線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為__________.(1，－1)解析因?yàn)榻裹c(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p，則p＝1，所以y2＝2x.設(shè)點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x2，y2).考點(diǎn)三弦長公式C解析設(shè)拋物線的方程為x2＝2ay，則拋物線與直線x－2y＝1聯(lián)立消去y，得x2－ax＋a＝0，所以x1＋x2＝a，x1x2＝a，所以a2－4a－12＝0，解得a＝－2或a＝6，所以x2＝－4y或x2＝12y.感悟提升解析由題意知，橢圓的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1，0)，直線AB的方程為y＝2(x－1).微點(diǎn)突破

軌跡方程問題1.曲線C與方程F(x，y)＝0滿足兩個(gè)條件：(1)曲線C上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程F(x，y)＝0的解；(2)以方程F(x，y)＝0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上.則稱曲線C為方程F(x，y)＝0的曲線，方程F(x，y)＝0為曲線C的方程.2.求曲線方程的基本方法主要有：(1)直接法：直接將幾何條件或等量關(guān)系表示為代數(shù)方程；(2)定義法：利用曲線的定義，判斷曲線類型，再由曲線的定義直接寫出曲線方程；(5)交軌法：引入?yún)?shù)表示兩動曲線的方程，將參數(shù)消去，得到兩動曲線交點(diǎn)的軌跡方程.B解析設(shè)P(x，y)，A解析設(shè)M(x，y)，由M為線段OP的中點(diǎn)，得P(2x，2y)，(3)(多選)(2024·泰安模擬)已知圓O的半徑為定長r，A是圓O所在平面內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，P是圓上任意一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線l和直線OP相交于點(diǎn)Q.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時(shí)，下列說法正確的是(

)A.當(dāng)點(diǎn)A在圓O內(nèi)(不與圓心重合)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是橢圓B.點(diǎn)Q的軌跡可能是一個(gè)定點(diǎn)C.當(dāng)點(diǎn)A在圓O外時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是雙曲線的一支D.點(diǎn)Q的軌跡可能是拋物線AB解析對于A，連接QA，OA，由已知得|QA|＝|QP|，所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.又因?yàn)辄c(diǎn)A在圓內(nèi)，所以|OA|<|OP|，根據(jù)橢圓的定義，得點(diǎn)Q的軌跡是以O(shè)，A為焦點(diǎn)，r為長軸長的橢圓，A正確.對于B，當(dāng)點(diǎn)A在圓上時(shí)，點(diǎn)Q與圓心O重合，點(diǎn)Q的軌跡為定點(diǎn)，故B正確.對于C，連接QA，OA，由已知得|QA|＝|QP|，所以||QO|－|QA||＝||QO|－|QP||＝|OP|＝r.又因?yàn)辄c(diǎn)A在圓外，所以|OA|>|OP|，根據(jù)雙曲線的定義，點(diǎn)Q的軌跡是以O(shè)，A為焦點(diǎn)，r為實(shí)軸長的雙曲線，C錯(cuò)誤.對于D，由于當(dāng)點(diǎn)A與圓心O重合時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡為圓，所以點(diǎn)Q的軌跡不可能為拋物線，D錯(cuò)誤.解法一設(shè)直線MB1：y＝kx－3(k≠0)，法二設(shè)N(x，y)，M(x0，y0)(x0≠0).由題意知B1(0，－3)，B2(0，3)，訓(xùn)練（1）動點(diǎn)A在圓x2＋y2＝1上移動時(shí)，它與定點(diǎn)B(3，0)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是(

)A.x2＋y2＋3x＋2＝0 B.x2＋y2－3x＋2＝0C.x2＋y2＋3y＋2＝0 D.x2＋y2－3y＋2＝0B解析設(shè)動點(diǎn)A(xA，yA)與定點(diǎn)B(3，0)連線的中點(diǎn)為P(x，y)，因?yàn)辄c(diǎn)A在圓x2＋y2＝1上，所以(2x－3)2＋(2y)2＝1，即4x2－12x＋9＋4y2＝1，整理得x2＋y2－3x＋2＝0.y2＝4x(x≠0且x≠1)化簡可得y2＝4x(x≠0，x≠1)，故曲線E的方程為y2＝4x(x≠0，x≠1).(3)若動圓與兩定圓(x＋5)2＋y2＝1和(x－5)2＋y2＝49都外切，則動圓圓心的軌跡方程是___________________.解析設(shè)圓C1為(x＋5)2＋y2＝1，可得圓心C1(－5，0)，半徑r1＝1，設(shè)圓C2為(x－5)2＋y2＝49，可得圓心C2(5，0)，半徑r2＝7，且|C1C2|＝10.設(shè)動圓圓心為C，半徑為r，因?yàn)閯訄AC同時(shí)與圓C1和圓C2外切，所以|CC1|＝r＋1，|CC2|＝7＋r，所以|CC2|－|CC1|＝6<|C1C2|＝10，所以點(diǎn)C的軌跡是以C1(－5，0)，C2(5，0)為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，解設(shè)A(x1，y1)，B(x1，－y1).因?yàn)锳1(－a，0)，A2(a，0)，(5)已知點(diǎn)A和點(diǎn)B是拋物線y2＝4px(p>0)上除原點(diǎn)以外的兩個(gè)動點(diǎn)，若OA⊥OB，OM⊥AB于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡方程.解當(dāng)AB所在直線的斜率不存在時(shí)，M為一定點(diǎn)，坐標(biāo)為(4p，0).當(dāng)AB所在直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y＝kx＋b(k≠0).由題可知，k2≠0，Δ>0.設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由OA⊥OB，得x1x2＋y1y2＝0，則b＝－4pk.①設(shè)點(diǎn)M(x，y)(x≠0，y≠0)，由①②及y＝kx＋b消去k，b，得x2＋y2－4px＝0(y≠0).又點(diǎn)(4p，0)滿足x2＋y2－4px＝0，所以點(diǎn)M的軌跡方程為x2＋y2－4px＝0.課時(shí)分層精練3KESHIFENCENGJINGLIANA解析直線y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒過定點(diǎn)(1，1)，又點(diǎn)(1，1)在橢圓內(nèi)部，故直線與橢圓相交.B解析由題意可知F(1，0)，拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－1.CDD得(b2－a2)x2－2a2x－a2－a2b2＝0，則Δ＝4a4＋4(b2－a2)(a2＋a2b2)＝0，即a2＋(b2－a2)(1＋b2)＝0，又b2＝9－a2，所以a2＋(9－2a2)(10－a2)＝0，即a4－14a2＋45＝0，ABDBD對于B，根據(jù)kAB·kOM＝－2，所以kAB＝－2，所以直線方程為y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，B正確；8.過點(diǎn)P(2，2)作拋物線y2＝2x的切線l，切線l在y軸上的截距為________.1令x＝0，得y＝1，∴切線l在y軸上的截距為1.9.以A(2，1)為中點(diǎn)的雙曲線C：2x2－y2＝2的弦所在直線的方程為______________.4x－y－7＝0解析設(shè)A(2，1)是弦P1P2的中點(diǎn)，且P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，∴2(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∴2×4(x1－x2)＝2(y1－y2