高二【數(shù)學(xué)(人教A版)】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程-教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息課例編號(hào)2020QJ11SXRA026學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高二學(xué)期上課題2.4.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程教科書(shū)書(shū)名：《數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊(cè)出版社：人民教育出版日期：2020年5月教學(xué)人員姓名單位授課教師陳東峰北京匯文中學(xué)指導(dǎo)教師雷曉莉北京東城區(qū)教育研修學(xué)院教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：（1）理解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程，體會(huì)類(lèi)比的方法和數(shù)形結(jié)合思想；（2）掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）會(huì)利用給定條件或適當(dāng)補(bǔ)充條件，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，提高提出問(wèn)題的能力，體會(huì)數(shù)形結(jié)合以及方程思想．教學(xué)重點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的導(dǎo)及求法。教學(xué)難點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法。教學(xué)過(guò)程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)回顧舊知引入課題類(lèi)比分析確立研究方案設(shè)立條件推導(dǎo)方程形成方程加深理解例題講解鞏固方程應(yīng)用方程梳理方法小結(jié)歸納布置作業(yè)在前一階段的學(xué)習(xí)中，我們學(xué)習(xí)了直線與方程，請(qǐng)同學(xué)們回憶一下：?jiǎn)栴}1：在直線與方程的學(xué)習(xí)中，我們都研究了哪些問(wèn)題？問(wèn)題2：類(lèi)比直線方程的研究過(guò)程，我們?nèi)绾窝芯繄A的方程呢？追問(wèn)(1)：直線方程是如何建立的呢？怎樣在坐標(biāo)系中確定一條直線呢？追問(wèn)(2)：在平面直角坐標(biāo)系中，如何確定一個(gè)圓呢？需要兩個(gè)幾何要素，圓心與半徑。圓心確定了圓的位置，半徑確定了圓的大小，二者缺一不可。問(wèn)題3：設(shè)圓心A(a,b)，半徑為r,如何建立關(guān)于圓的關(guān)系式呢？追問(wèn)1：圓上任一點(diǎn)M(x,y)滿足什么性質(zhì)呢?在平面解析幾何中，用距離定義曲線是比較常見(jiàn)的。由于|MA|=r,用兩點(diǎn)距離公式代入可得：，平方化簡(jiǎn)得：，記為方程(1)。追問(wèn)2：方程（1）一定表示圓的方程嗎？我們應(yīng)該從哪個(gè)角度分析呢？從曲線和方程的概念出發(fā)，說(shuō)明方程與圓的等價(jià)性。問(wèn)題4：與直線方程比，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有什么特點(diǎn)？直線方程是二元一次方程，而圓的方程則是二元二次；直線方程點(diǎn)斜式方程中含有三個(gè)參數(shù)：定點(diǎn)坐標(biāo)和斜率；圓的方程也含有三個(gè)參數(shù)，圓心坐標(biāo)和半徑。另外，我們?yōu)槭裁捶Q為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程?是因?yàn)樵摲匠探Y(jié)構(gòu)優(yōu)美，可直接得到圓心和半徑。問(wèn)題5：圓心在原點(diǎn)，半徑為r的圓的方程是什么？追問(wèn)：x2＋y2=m2一定表示圓心在圓點(diǎn)的圓嗎等式右方含有參數(shù)，要對(duì)m進(jìn)行討論，當(dāng)m≠0時(shí)，表示半徑為|m|的圓，而當(dāng)m=0時(shí)，就只能是一個(gè)點(diǎn)了。實(shí)際上，當(dāng)m大小變化時(shí)，該方程表示一組圓，可以稱為“同心圓”。例1：求圓心為C（2，－3），且經(jīng)過(guò)A（5，1）的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。分析：關(guān)注兩個(gè)幾何要素，幾何角度：圓心給定，半徑可以通過(guò)兩點(diǎn)距離求出。從代數(shù)的角度思考，由于標(biāo)準(zhǔn)方程中含有三個(gè)參數(shù)，現(xiàn)在只有r未知，所以我們可以先待定r,然后利用A點(diǎn)坐標(biāo)代入方程即可。兩種方法而言，一個(gè)關(guān)注距離，一個(gè)求解方程，二者在本質(zhì)上是一致的。變式:1.已知A(-4,-5),B(6,-1),求以AB為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.求以C(1,-3)為圓心,且與y軸相切的圓的方程.問(wèn)題6：點(diǎn)B（－2，－1）在圓（x－2）2＋（y＋3）2＝25上嗎？追問(wèn)：點(diǎn)B在圓的什么位置呢？一般化：如何判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系呢？從到圓心距離公式考慮，將點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的方程，若取“=”,則在圓上；若“<”,則在圓內(nèi)；若“>”則在圓外。例2：△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A（5，1），B（7，－3），C（2，－8），求△ABC的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．從代數(shù)方程和幾何兩個(gè)角度分析。解1：設(shè)所求的方程是（x－a）2＋（y－b）2＝r2.①因?yàn)锳（5，1），B（7，－3），C（2，－8）三點(diǎn)都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都滿足方程①．于是觀察上面的式子，我們發(fā)現(xiàn)，三式兩兩相減，可以消去，得到關(guān)于a，b的二元一次方程組解此方程組，得代入得.所以，△ABC的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x－2）2＋（y＋3）2＝25．解2：可考慮兩條邊的中垂線，聯(lián)立即得圓心，然后再求半徑。例3：已知圓心為C的圓經(jīng)過(guò)A（1，1），B（2，－2）兩點(diǎn)，且圓心C在直線l：x－y＋1＝0上，求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．分析：待定系數(shù)法．先設(shè)圓心的坐標(biāo)，通過(guò)圓心在直線上，滿足直線的方程，得到圓心的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之間的關(guān)系式；再根據(jù)圓心與圓上任意一點(diǎn)的距離都等于半徑，得出圓心橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之間的關(guān)系式，通過(guò)兩個(gè)關(guān)系式，得出圓心的坐標(biāo)的具體值．這種方法的出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)都是圓心，求出圓心的坐標(biāo)，圓心坐標(biāo)確定后，半徑自然就確定了．還可以充分運(yùn)用圖形的幾何性質(zhì)，圓心在弦的垂直平分線上