3年高考2年模擬2025版新教材高考數(shù)學第二章一元二次函數(shù)方程和不等式2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)第2課時等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)講義新人教A版必修第一冊

PAGEPAGE4第2課時等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)課標解讀課標要求核心素養(yǎng)1.駕馭等式和不等式的基本性質(zhì).(重點)2.運用不等式的性質(zhì)解決有關(guān)問題.(難點)1.通過學習不等式的性質(zhì),培育學生數(shù)學抽象素養(yǎng).2.借助不等式的性質(zhì)解決相關(guān)問題,提升數(shù)學運算素養(yǎng).樓房的采光率有一種簡潔的計算方法:設(shè)樓房的建筑面積為a,窗口的面積和為b,則樓房的采光率為ba問題:自不待言,假如增加窗口的面積,樓房的采光將變好,那么如何用不等式來表示這個事實呢?(不妨設(shè)增加的窗口面積為m,其中m>0)答案b+ma>1.等式的基本性質(zhì)(1)假如a=b,那么①b=a.(2)假如a=b,b=c,那么②a=c.(3)假如a=b,那么a±c=b±c.(4)假如a=b,那么ac=bc.(5)假如a=b,c≠0,那么ac=b

2.不等式的性質(zhì)性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容留意1對稱性a>b?b③<a可逆2傳遞性a>b,b>c?a>c不行逆3可加性a>b?a+c④>b+c可逆4可乘性a>bc>0?c的符號a>bc<0?5同向可加性a>bc>d?同向6同向同正可乘性a>b>0c>d>0?同向7可乘方性a>b>0?an⑨>bn(n∈N,n≥2)同正思索1:假如a>b,c>d,那么a-c>b-d成立嗎?提示不肯定,但a-d>b-c成立.思索2:假如a>b,c>d,那么ac>bd成立嗎?提示不肯定,但當a>b>0,c>d>0時,肯定成立.探究一利用不等式的性質(zhì)推斷命題的真假例1(1)下列命題為真命題的是()A.若a2>b2,則a>b B.若1a>1C.若ac>bc,則a>b D.若a<b,則a<b(2)(多選)若1a<1b<0,則下列不等式中A.|a|>|b| B.a<bC.a+b<ab D.a3>b3答案(1)D(2)CD解析(1)A為假命題,例如(-3)2>22,但-3<2;B為假命題,例如12>-13(2)由1a<1b<0可得b<a<0,|a|<|b|,即A、B中的不等式均不成立;a+b<0,ab>0,則a+b<ab成立;a3>b1.假如a,b,c滿意c<b<a,且ac<0,那么下列不等式中不肯定成立的是()A.ab>ac B.c(b-a)>0C.cb2<ab2 D.ac(a-c)<0答案C由于ac<0,且c<b<a,因此a>0,c<0,b的符號不確定,當b為0時,不等式cb2<ab2不成立.故選C.探究二利用不等式的性質(zhì)證明不等式例2若a>b>0,c<d<0,e<0,求證:e(a-證明∵c<d<0,∴-c>-d>0.又∵a>b>0,∴a-c>b-d,∴(a-c)2>(b-d)2,不等式兩邊同乘1(得1(a-又∵e<0,∴e(a-思維突破利用不等式的性質(zhì)證明不等式時應(yīng)留意的事項(1)解決此類問題時肯定要在理解的基礎(chǔ)上,記準、記熟不等式的性質(zhì)并留意在解題中敏捷、精確地應(yīng)用.(2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進行推導時,應(yīng)留意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件,且不行省略條件或跳步推導,更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則.2.已知a>b>0,c<d<0,求證:3ad<證明因為c<d<0,所以-c>-d>0,所以0<-1c<-1又因為a>b>0,所以-ad>-b所以3-ad>3-b兩邊同乘-1,得3ad<探究三利用不等式的性質(zhì)求范圍例3已知1<a<4,2<b<8,試求2a+3b與a-b的取值范圍.解析∵1<a<4,2<b<8,∴2<2a<8,6<3b<24,∴8<2a+3b<32.∵2<b<8,∴-8<-b<-2.又∵1<a<4,∴-7<a-b<2.故2a+3b的取值范圍是8<2a+3b<32,a-b的取值范圍是-7<a-b<2.易錯點撥利用不等式的性質(zhì)求取值范圍的策略(1)建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的關(guān)系,利用不等式的性質(zhì)進行運算,求得待求的范圍.(2)同向(異向)不等式的兩邊可以相加(相減),這種轉(zhuǎn)化不是等價變形,假如在解題過程中多次運用這種轉(zhuǎn)化,那么就有可能擴大其取值范圍.3.(1)(變條件)若本例條件變?yōu)?3<a<2,-4<b<-3,試求2a+3b與a-b的取值范圍;(2)(變設(shè)問)若本例條件不變,求ab(3)(變條件、變結(jié)論)若本例條件變?yōu)?<a+b<4,2<a-b<8,試求3a+b的取值范圍.解析(1)∵-3<a<2,-4<b<-3,∴-6<2a<4,-12<3b<-9,∴-18<2a+3b<-5.3<-b<4,∴0<a-b<6.故2a+3b的取值范圍是-18<2a+3b<-5,a-b的取值范圍是0<a-b<6.(2)∵2<b<8,∴18<1b<∴1×18<a·1b<4×12,即1故ab的取值范圍是18<(3)設(shè)存在m、n,滿意3a+b=m(a+b)+n(a-b),則m解得m∴3a+b=2(a+b)+1(a-b),∵1<a+b<4,∴2<2(a+b)<8,又∵2<a-b<8,∴4<3a+b<16.故3a+b的取值范圍是4<3a+b<16.1.若-1<α<β<1,則下列各式中恒成立的是()A.-2<α-β<0 B.-2<α-β<-1C.-1<α-β<0 D.-1<α-β<1答案A由-1<β<1,得-1<-β<1,∴-2<α-β<2,但α<β,故-2<α-β<0.2.已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小關(guān)系是()A.a>b>-b>-a B.a>-b>-a>bC.a>-b>b>-a D.a>b>-a>-b答案C由a+b>0知,a>-b,∴-a<b<0.又b<0,∴-b>0,∴a>-b>b>-a.3.設(shè)a,b∈R,若a+|b|<0,則下列不等式中正確的是()A.a-b>0 B.a3+b3>0C.a2-b2<0 D.a+b<0答案D不妨取a=-2,b=1,則a-b<0,a3+b3<0,a2-b2>0,解除A,B,C,故選D.4.若8<x<10,2<y<4,則xy的取值范圍是答案2<xy<5解析∵2<y<4,∴14<1y<12.又∵8<x<10,∴2<5.若bc-ad≥0,bd>0,求證:a+bb證明因為bc-ad≥0,所以ad≤bc,因為bd>0,所以ab≤cd,所以ab+1≤cd+1,所以數(shù)學運算——等價轉(zhuǎn)化法比較大小設(shè)P=a+6+a+7,Q=a+5+a素養(yǎng)探究:比較兩個實數(shù)的大小時,假如干脆用作差法或作商法比較大小比較困難,或無從下手,那么可以考慮利用不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為利于比較大小的數(shù)后再進行比較,過程中體現(xiàn)數(shù)學運算核心素養(yǎng).解析P2=2a+13+2(a+6)(a+7)因為(a+6)(a+7)-(a+5)(a+8)=a2+13a+42-(a2+13a+40)=2>0,所以(a+6)(a+7)>設(shè)a>b>c>0,x=a2+(b+c)2,y=b2答案z>y>x解析∵a>b>c>0,y2-x2=b2+(c+a)2-a2-(b+c)2=2ac-2bc=2c(a-b)>0,∴y2>x2,即y>x.同理可得z>y,故z>y>x.1.設(shè)a=3x2-x+1,b=2x2+x,x∈R,則()A.a>b B.a<b C.a≥b D.a≤b答案C∵a-b=x2-2x+1=(x-1)2≥0,∴a≥b.2.若a,b,c∈R,且a>b,則下列不等式肯定成立的是()A.a+c≥b-c B.ac>bcC.c2a-b答案D∵a>b,∴a-b>0,∴(a-b)c2≥0,故選D.3.已知a>b>c,則1b-cA.正數(shù) B.負數(shù) C.非正數(shù) D.非負數(shù)答案A1b-c+1c-a∵a>b>c,∴b-c>0,c-a<0,b-a<0,∴1b-c4.(多選)下列命題中的真命題為()A.若a>b>0,則1a2B.若a>b,則c-2a<c-2bC.若a<0,b>0,則-a<D.若a>b,則2a>2b答案ABD對于A選項,a>b>0?0<1a<1b?1a2<1b2;對于B選項,a>b?-2a<-2b?5.若1<a<3,-4<b<2,則a-|b|的取值范圍是()A.-3<a-|b|≤3 B.-3<a-|b|<5C.-3<a-|b|<3 D.1<a-|b|<4C∵-4<b<2,∴0≤|b|<4,∴-4<-|b|≤0.又∵1<a<3,∴-3<a-|b|<3.6.不等式a>b和1a>1b同時成立的條件是答案a>0>b7.已知1<α<3,-4<β<2,若z=12α-β,則z的取值范圍是答案z-解析∵1<α<3,∴12<12α<32,又-4<β<2,∴-2<-β<4,∴-32<12α-β<1128.若a>b>0,則a+1bb+1答案>解析解法一:∵a>b>0,∴0<1a<1b,∴a+1b>b+解法二:a+1b-b+1則a+1b>b+19.若-1<a+b<3,2<a-b<4,求2a+3b的取值范圍.解析設(shè)2a+3b=x(a+b)+y(a-b),則x+y=2易知-52<52(a+b)<152所以-92<52(a+b)-12(a-b)<132,所以-10.已知x>y>z,x+y+z=0,則下列不等式中肯定成立的是()A.xy>yz B.xz>yz C.xy>xz D.x|y|>z|y|答案C因為x>y>z,x+y+z=0,所以3x>x+y+z=0,3z<x+y+z=0,所以x>0,z<0,所以由x>11.有外表相同,質(zhì)量不同的四個小球,它們的質(zhì)量分別是a,b,c,d,已知a+b=c+d,a+d>b+c,a+c<b,則這四個小球由重到輕的排列依次是()A.d>b>a>c B.b>c>d>a C.d>b>c>a D.c>a>d>b答案A∵a+b=c+d,a+d>b+c,∴a+d+(a+b)>b+c+(c+d),即a>c,∴b<d.又a+c<b,∴a<b.綜上可得,d>b>a>c.12.(多選)已知a、b、c、d均為實數(shù),則下列命題中正確的是()A.若ab<0,bc-ad>0,則ca-dB.若ab>0,ca-dC.若bc-ad>0,ca-dD.若1a<1b<0,則1答案BCD對于A選項,∵ab<0,∴1ab<0,又∵bc-ad>0,∴ca-db=1ab·(bc-ad)<0,即c對于B選項,∵ab>0,ca-db>0,∴ab·對于C選項,∵ca-db>0,∴對于D選項,由1a<1∴1a+b13.已知a>b>0,c<d<0,求證:ad3<證明∵c<d<0,∴-c>-d>0,∴0<-1c<-1∵a>b>0,∴-ad>-bc>0,∴-ad3>-∴ad3<14.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c滿意以下條件:①該函數(shù)圖象過原點;②當x=-1時,1≤y≤2;③當x=1時,3≤y≤4.當x=-2時,求y的取值范圍.解析∵二次函數(shù)