2019-2020年江蘇專用高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一課時(shí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性講義理

§3.2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)1.函數(shù)的單調(diào)性在某個(gè)區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f′(x)

0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f′(x)

0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.2.函數(shù)的極值(1)求函數(shù)y＝f(x)的極值的方法一般地，當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)時(shí)，①如果在x0附近的左側(cè)

，右側(cè)

，那么f(x0)是極大值；②如果在x0附近的左側(cè)

，右側(cè)

，那么f(x0)是極小值.知識(shí)梳理><f′(x)>0f′(x)<0f′(x)<0f′(x)>0(2)求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟：①求f′(x)；②求方程

的根；③考察f′(x)在方程

的根附近的左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值的符號(hào).如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得

；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得

.f′(x)＝0f′(x)＝0極大值極小值3.函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值.(2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則

為函數(shù)的最小值，

為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則

為函數(shù)的最大值，

為函數(shù)的最小值.(3)設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟如下：第一步求f(x)在區(qū)間(a，b)上的極值；第二步將第一步中求得的極值與f(a)，f(b)比較，得到f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值.f(a)f(b)f(a)f(b)知識(shí)拓展1.在某區(qū)間內(nèi)f′(x)>0(f′(x)<0)是函數(shù)f(x)在此區(qū)間上為增(減)函數(shù)的充分不必要條件.2.可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上是增(減)函數(shù)的充要條件是對(duì)?x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零.3.對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，f′(x0)＝0是函數(shù)f(x)在x＝x0處有極值的必要不充分條件.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增，那么一定有f′(x)>0.(

)(2)如果函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)＝0，則f(x)在此區(qū)間內(nèi)沒有單調(diào)性.(

)(3)函數(shù)的極大值不一定比極小值大.(

)(4)對(duì)可導(dǎo)函數(shù)f(x)，f′(x0)＝0是x0點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件.(

)(5)函數(shù)的最大值不一定是極大值，函數(shù)的最小值也不一定是極小值.(

)(6)三次函數(shù)在R上必有極大值和極小值.(

)×√√×√×考點(diǎn)自測(cè)1.(教材改編)f(x)＝x3－6x2的單調(diào)遞減區(qū)間為______.答案解析(0，4)f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，由f′(x)<0，得0<x<4，∴單調(diào)遞減區(qū)間為(0，4).2.(教材改編)函數(shù)f(x)＝x－2sinx在(0，π)上的單調(diào)遞增區(qū)間為_______.答案解析3.(教材改編)函數(shù)y＝3x3－9x＋5的極大值為_____.答案解析11y′＝9x2－9.令y′＝0，得x＝±1.當(dāng)x變化時(shí)，y′，y的變化情況如下表：x(－∞，－1)－1(－1，1)1(1，＋∞)y′＋0－0＋y↗極大值↘極小值↗從上表可以看出，當(dāng)x＝－1時(shí)，函數(shù)y有極大值，3×(－1)3－9×(－1)＋5＝11.4.函數(shù)f(x)＝

＋x2－3x－4在[0，2]上的最小值是______.答案解析f′(x)＝x2＋2x－3，令f′(x)＝0，得x＝1(x＝－3舍去)，5.設(shè)a∈R，若函數(shù)y＝ex＋ax有大于零的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________.答案解析(－∞，－1)∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.∵函數(shù)y＝ex＋ax有大于零的極值點(diǎn)，則方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，∵當(dāng)x>0時(shí)，－ex<－1，∴a＝－ex<－1.幾何畫板展示第1課時(shí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性題型分類深度剖析題型一不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性例1

(1)函數(shù)y＝

x2－ln

x的單調(diào)遞減區(qū)間為_______.答案解析(0，1)令y′<0，得0<x<1，∴單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1).(2)已知定義在區(qū)間(－π，π)上的函數(shù)f(x)＝xsin

x＋cos

x，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是__________________.答案解析f′(x)＝sinx＋xcos

x－sinx＝xcos

x.令f′(x)＝xcos

x>0，確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間.思維升華跟蹤訓(xùn)練1(1)函數(shù)y＝4x2＋

的單調(diào)增區(qū)間為__________.答案解析(2)已知函數(shù)f(x)＝xln

x，則下面關(guān)于函數(shù)f(x)單調(diào)性的判斷正確的是____.①在(0，＋∞)上遞增；

②在(0，＋∞)上遞減；③在(0，)上遞增；

④在(0，)上遞減.答案解析④因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝xln

x，定義域?yàn)?0，＋∞)，所以f′(x)＝ln

x＋1(x>0)，解答f′(x)＝6x2＋3tx－3t2＝3(2x－t)(x＋t).∵t≠0，以下分兩種情況進(jìn)行討論：(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類討論.(2)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要在函數(shù)定義域內(nèi)討論，還要確定導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)和函數(shù)的間斷點(diǎn).(3)個(gè)別導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不影響所在區(qū)間的單調(diào)性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0時(shí)取到)，f(x)在R上是增函數(shù).思維升華跟蹤訓(xùn)練2

討論函數(shù)f(x)＝(a－1)ln

x＋ax2＋1的單調(diào)性.解答幾何畫板展示f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，①當(dāng)a≥1時(shí)，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；②當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；題型三已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)例3

(2016·南通模擬)已知函數(shù)f(x)＝ln

x，g(x)＝

ax2＋2x(a≠0).(1)若函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；解答幾何畫板展示所以a>－1，即a的取值范圍為(－1，＋∞).(2)若函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上單調(diào)遞減，求a的取值范圍.解答由h(x)在[1，4]上單調(diào)遞減得，引申探究1.本題(2)中，若函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍.解答由h(x)在[1，4]上單調(diào)遞增得，當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，h′(x)≥0恒成立，∴a≤－1，即a的取值范圍是(－∞，－1].2.本題(2)中，若h(x)在[1，4]上存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍.解答h(x)在[1，4]上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則h′(x)<0在[1，4]上有解，∴a>－1，即a的取值范圍是(－1，＋∞).根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般思路(1)利用集合間的包含關(guān)系處理：y＝f(x)在(a，b)上單調(diào)，則區(qū)間(a，b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集.(2)f(x)為增函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f′(x)不恒為零，應(yīng)注意此時(shí)式子中的等號(hào)不能省略，否則漏解.(3)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間存在單調(diào)區(qū)間可轉(zhuǎn)化為不等式有解問題.思維升華跟蹤訓(xùn)練3

已知函數(shù)f(x)＝exln

x－aex(a∈R).(1)若f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與直線y＝

x＋1垂直，求a的值；解答(2)若f(x)在(0，＋∞)上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解答幾何畫板展示若f(x)為單調(diào)遞減函數(shù)，則f′(x)≤0在x>0時(shí)恒成立.由g′(x)>0，得x>1；故g(x)在(0，1)上為單調(diào)遞減函數(shù)，在(1，＋∞)上為單調(diào)遞增函數(shù)，此時(shí)g(x)的最小值為g(1)＝1，但g(x)無最大值(且無趨近值).故f(x)不可能是單調(diào)遞減函數(shù).若f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，由g′(x)<0，得0<x<1.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，1].典例(16分)已知函數(shù)f(x)＝ln

x，g(x)＝f(x)＋ax2＋bx，其中函數(shù)g(x)的圖象在點(diǎn)(1，g(1))處的切線平行于x軸.(1)確定a與b的關(guān)系；(2)若a≥0，試討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性.含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問題一般要分類討論，常見的分類討論標(biāo)準(zhǔn)有以下幾種可能：(1)方程f′(x)＝0是否有根；(2)若f′(x)＝0有根，求出根后判斷其是否在定義域內(nèi)；(3)若根在定義域內(nèi)且有兩個(gè)，比較根的大小是常見的分類方法.思想方法指導(dǎo)

用分類討論思想研究函數(shù)的單調(diào)性思想與方法系列5規(guī)范解答解(1)依題意得g(x)＝ln

x＋ax2＋bx，則g′(x)＝

＋2ax＋b. [2分]由函數(shù)g(x)的圖象在點(diǎn)(1，g(1))處的切線平行于x軸，得g′(1)＝1＋2a＋b＝0，∴b＝－2a－1. [4分]∵函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，由g′(x)>0，得0<x<1；由g′(x)<0，得x>1. [8分]綜上可得：當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)g(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減；課時(shí)作業(yè)123456789101112131.(2015·課標(biāo)全國(guó)Ⅱ改編)設(shè)函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù)，f(－1)＝0，當(dāng)x>0時(shí)，xf′(x)－f(x)＜0，則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是___________________.答案解析(－∞，－1)∪(0，1)因?yàn)閒(x)(x∈R)為奇函數(shù)，f(－1)＝0，所以f(1)＝－f(－1)＝0.則g(x)為偶函數(shù)，g(1)＝g(－1)＝0.故g(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，在(－∞，0)上為增函數(shù).所以在(0，＋∞)上，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g(x)＞g(1)＝012345678910111213綜上，知使得f(x)＞0成立的x的取值范圍是(－∞，－1)∪(0，1).123456789101112132.已知函數(shù)f(x)＝

x3＋ax＋4，則“a>0”是“f(x)在R上單調(diào)遞增”的___________條件.答案解析充分不必要故“a>0”是“f(x)在R上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.123456789101112133.在區(qū)間(－1，1)內(nèi)不是增函數(shù)的函數(shù)是______.①y＝ex＋x；

②y＝sinx；③y＝x3－6x2＋9x＋2；

④y＝x2＋x＋1.答案解析④12345678910111213①y＝ex＋x，y′＝ex＋1>0，在區(qū)間(－1，1)內(nèi)是增函數(shù)；②y＝sinx，y′＝cos

x，在區(qū)間(－1，1)內(nèi)是增函數(shù)；③y＝x3－6x2＋9x＋2，y′＝3x2－12x＋9＝3(x－2)2－3，在區(qū)間(－1，1)內(nèi)是增函數(shù)；123456789101112134.

已知函數(shù)y＝f(x)在定義域[－4，6]內(nèi)可導(dǎo)，其圖象如圖，記y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)為y＝f′(x)，則不等式f′(x)≤0的解集為__________________.答案解析不等式f′(x)≤0的解集即函數(shù)y＝f(x)的減區(qū)間，123456789101112135.(2017·江蘇揚(yáng)州中學(xué)月考)若函數(shù)f(x)＝mx2＋ln

x－2x在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是___________.答案解析由題意知，f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，123456789101112136.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f′(x)>f(x)恒成立，若x1<x2，則

與

的大小關(guān)系為__________________.答案解析由題意得g′(x)>0，所以g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x1<x2時(shí)，g(x1)<g(x2)，即

，所以.123456789101112137.(2016·蘇州模擬)若函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的單調(diào)減區(qū)間為(－1，3)，則b＋c＝______.答案解析－12f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由題意知－1<x<3是不等式3x2＋2bx＋c<0的解集，∴－1，3是f′(x)＝0的兩個(gè)根，∴b＝－3，c＝－9，b＋c＝－12.123456789101112138.(2016·無錫模擬)

已知定義在R上的函數(shù)f(x)，其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是_____.①f(b)>f(c)>f(d) ②f(b)>f(a)>f(e)③f(c)>f(b)>f(a) ④f(c)>f(e)>f(d)答案解析③依題意得，當(dāng)x∈(－∞，c)時(shí)，f′(x)>0，所以函數(shù)f(x)在(－∞，c)上是增函數(shù)，因?yàn)閍<b<c，所以f(c)>f(b)>f(a)，因此③正確.12345678910111213答案解析對(duì)f(x)求導(dǎo)，得f′(x)＝－x2＋x＋2a1234567891011121310.(2016·全國(guó)甲卷改編)若函數(shù)f(x)＝x－sin2x＋asin

x在(－∞，＋∞)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是_________.答案解析12345678910111213123456789101112131234567891011121311.(2016·江蘇南京十三中月考)函數(shù)f(x)＝ax3＋3x2＋3x(a≠0).(1)討論f(x)的單調(diào)性；解答12345678910111213函數(shù)f(x)＝ax3＋3x2＋3x(a≠0)，∴f′(x)＝3ax2＋6x＋3，令f′(x)＝0，即3ax2＋6x＋3＝0，則Δ＝36(1－a).①當(dāng)a≥1時(shí)，Δ≤0，f′(x)≥0，∴f(x)在R上是增函數(shù)；②當(dāng)a<1且a≠0時(shí)，Δ>0，12345678910111213(ⅰ)當(dāng)0<a<1時(shí)，易知當(dāng)x∈(－∞，x2)或x∈(x1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)x∈(x2，x1)時(shí)，f′(x)<0，故函數(shù)f(x)在(－∞，x2)，(x1，＋∞)上是增函數(shù)，在(x2，x1)上是減函數(shù)；(ⅱ)當(dāng)a<0時(shí)，易知當(dāng)x∈(－∞，x1)或x∈(x2，＋∞)時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)x∈(x1，x2)時(shí)，f′(x)>0，故函數(shù)f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上是減函數(shù)，在(x1，x2)上是增函數(shù).12345678910111213(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，2)上是增函數(shù)，求a的取值范圍.解答當(dāng)a>0時(shí)，f′(x)＝3ax2＋6x＋3>0(x∈(1，2))，故a>0時(shí)，f(x)在區(qū)間(1，2)上是增函數(shù)，當(dāng)a<0時(shí)，由f(x)在區(qū)間(1，2)上是增函數(shù)，1234567891011121312.(2016·北京)設(shè)函數(shù)f(x)＝xea－x＋bx，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為y＝(e－1)x＋4.(1)求a，b的值；解答f(x)的定義域?yàn)镽.∵f′(x)＝ea－x－xea－x＋b＝(1－x)ea－x＋b.解得a＝2，b＝e.12345678910111213(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.解答由(1)知f(x)＝xe2－x＋ex，f′(x)與1－x＋ex－1同號(hào).所以，當(dāng)x∈(－∞，1)時(shí)，g′(x)＜0，g(x)